2019-2020学年北京市门头沟区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市门头沟区八上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若分式 3x+3 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
A. x<−3B. x>−3C. x≠−3D. x=−3

2. 下列各式中，最简二次根式是
A. 15B. 7C. 24D. 12

3. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是
A. x2−6x+9=0B. x2−4x+9=0C. x2−6x−9=0D. x2−2x+1=0

4. 下列各式计算正确的是
A. a+ca+b=cbB. a−c−a+b=−a−ca+b
C. x8x2=x4D. b3a2+16ab=2b2+a6a2b

5. 京剧是中国的国粹，脸谱是传统戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型艺术．下列脸谱中不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，且 ∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定 △ABE≌△ACD 的是
A. AD=AEB. ∠AEB=∠ADC
C. BE=CDD. AB=AC

7. 下列计算正确的是
A. −22=2B. −52=−5
C. 2÷6=3D. a2b=aba<0

8. 下列事件中是必然事件的是
A. 任意掷一枚硬币，落地后正面和反面同时朝上
B. 李阿姨申请了北京市小客车购买指标，在申请后的第一次“摇号”时就中签
C. 分别从写有 2，4，5 三个数字的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字一定能被 2 整除
D. 哥哥的年龄比弟弟大

9. 某地为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2015 年投入 4000 万元，预计 2017 年投入 6000 万元，设教育经费的年平均增长率为 x，下面所列方程正确的是
A. 40001+x2=6000
B. 4000x2=6000
C. 40001+x%2=6000
D. 40001+x+40001+x2=6000

10. 已知：x=2 是关于 x 的方程 x2−m+1x+m=0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰 △ABC 的两条边的边长，则 △ABC 的周长为
A. 6B. 4C. 5D. 4 或 5

二、填空题（共7小题；共35分）
11. 64 的平方根是 ．

12. 如果分式 x−2x+4 的值为 0，那么 x ．

13. 小明口袋中有 10 个球，这 10 个球除颜色外都相同，其中有 2 个红球，5 个黄球，3 个绿球，小明从口袋里随意摸出一个球，那么摸出一个黄球的可能性是 ．

14. 将一元二次方程 x2+4x−2=0 化成 x+a2=b 的形式，其中 a，b 是常数，则 a+b= ．

15. 已知：如图，∠B=40∘，∠B=∠BAD，∠C=∠ADC，则 ∠DAC 的度数为 ．

16. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，以 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以 M，N 为圆心，以大于 12MN 为半径作弧，两弧交于点 O，作射线 AO，交 BC 于点 E．已知 CE=3，BE=5，则 AC 的长为 ．

17. 如图，∠AOB=45∘，P 是 ∠AOB 内一点，PO=10，Q，R 分别是 OA，OB 上的动点，则 △PQR 周长的最小值为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
18. 515+3220−105．

19. 148÷212×−22．

20. y−3x3⋅xy2÷−yx4．

21. 先化简，再求值：1x+2+2x2−4÷x2x+2，其中 x2−2x−3=0．

22. x+1x−1−6x2−1=1．

23. 用公式法解方程 yy−3=2+y1−3y．

24. 已知：点 A，F，E，C 在同一条直线上，AF=CE，BE∥DF，∠A=∠C．求证：△ABE≌△CDF．

25. “世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车 2015 年 12 月份销售总额为 32000 元，2016 年经过改造升级后A型车每辆销售价比 2015 年增加 400 元，现统计发现，2016 年 12 月份与 2015 年 12 月份卖出的A型车数量相同，但是 2016 年 12 月份销售总额为 40000 元，那么，2016 年A型车每辆销售价多少元?

26. 已知：如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC，现要在 AB 边上确定一点 D，使点 D 到点 A 的距离与点 D 到点 C 的距离相等．
（1）请你按照要求，在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）．
（2）简单说明你作图的依据．
（3）在（1）的条件下，若等腰三角形 ABC 的周长为 21，底边 BC 的长度为 5，请求出 △BCD 的周长．

27. 探究学习：
已知：C 是线段 AB 所在平面内任意一点，分别以 AC，BC 为边在 AB 同侧作等腰直角 △ACD 和等腰直角 △BCE，∠ACD=∠BCE=90∘，连接 AE，BD．
（1）如图 1，当点 C 在线段 AB 上移动时，线段 AE 与 BD 的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图 2，当点 C 在直线 AB 外，等腰直角 △ECB 绕点 C 逆时针旋转至图 2 位置时，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图 3，在（1）基础上等腰直角 △BCE 绕顶点 C 逆时针旋转到图 3 位置，取等腰直角 △ACD 的斜边 AD 的中点 M，连接 CM 交 BE 于点 G，试探究 BG，GH，HE 的数量关系，并写出证明思路．
答案
第一部分
1. C【解析】由题意，得 x+3≠0，解得 x≠−3．
2. B【解析】A、被开方数含分母，故 A 不符合题意；
B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故 B 符合题意；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 C 不符合题意；
D、分母为根式，故 D 不符合题意．
3. C【解析】A．在方程 x2−6x+9=0 中，Δ=−62−4×1×9=0，
所以该方程有两个相等的实数根，A不符合题意；
B．在方程 x2−4x+9=0 中，Δ=−42−4×1×9=−20<0，
所以该方程没有实数根，B不符合题意；
C．在方程 x2−6x−9=0 中，Δ=−62−4×1×−9=72>0，
所以该方程有两个不相等的实数根，C符合题意；
D．在方程 x2−2x+1=0 中，Δ=−22−4×1×1=0，
所以该方程有两个相等的实数根，D不符合题意．
4. D【解析】A、 a+ca+b≠cb，不符合题意；
B、 a−c−a+b=−a−ca−b，不符合题意；
C、 x8x2=x6，不符合题意；
D、 b3a2+16ab=2b26a2b+a6a2b=2b2+a6a2b，符合题意．
5. B
【解析】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
6. B
7. A【解析】−22=2，A正确；
−52=5，B错误；
2÷6=33，C错误；
a2b=−aba<0，D错误．
8. D【解析】A、任意掷一枚硬币，落地后正面和反面同时朝上是不可能事件，故A不符合题意；
B、李阿姨申请了北京市小客车购买指标，在申请后的第一次“摇号”时就中签是随机事件，故 B 不符合题意；
C、分别从写有 2，4，5 三个数字的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字一定能被 2 整除是随机事件，故 C 不符合题意；
D、哥哥的年龄比弟弟大是必然事件，故 D 符合题意；
9. A【解析】设教育经费的年平均增长率为 x，则 2016 年的教育经费为：40001+x，2017 年的教育经费为：40001+x2．
那么可得方程：40001+x2=6000．
10. C
【解析】将 x=2 代入方程得：4−2m+1+m=0，
解得：m=2，
则方程为 x2−3x+2=0，
即 x−1x−2=0，
解得：x1=1，x2=2，
当三角形的三边长分别为 1，1，2 时，1+1=2，不能构成三角形，舍去；
当三角形的三边长分别为 1，2，2 时，三角形的周长为 1+2+2=5．
第二部分
11. ±8
12. =2
【解析】由题意，得 x−2=0，解得 x=2．
13. 12
【解析】∵ 从中随意摸出一个球共有 10 种等可能的结果，其中随意摸出一个球是黄球的结果数是 5，
∴ 从中随意摸出一个球，摸出黄球的可能性是 510=12．
14. 8
【解析】x2+4x−2=0，x2+4x=2，x2+4x+4=2+4，x+22=6，
∴a=2，b=6，即 a+b=8．
15. 20∘
【解析】由三角形的外角性质得，∠ADC=∠B+∠BAD=40∘+40∘=80∘，
∵ ∠C=∠ADC，
∴ ∠C=∠ADC=80∘，
∴ 在 △ACD 中，
∠DAC=180∘−∠ADC−∠C=180∘−80∘−80∘=20∘．
16. 6
【解析】过点 E 作 ED⊥AB 于点 D，
由作图方法可得出 AE 是 ∠CAB 的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC=ED=3，
在 Rt△ACE 和 Rt△ADE 中，
AE=AE,EC=ED,
∴Rt△ACE≌Rt△ADE，
∴AC=AD，
∵ 在 Rt△EDB 中，DE=3，BE=5，
∴BD=4，
设 AC=x，则 AB=4+x，
∴ 在 Rt△ACB 中，AC2+BC2=AB2，即 x2+82=x+42，解得：x=6，
即 AC 的长为：6．
17. 102
【解析】分别作点 P 关于 OA，OB 的对称点 M，N．
连接 MN 交 OA，OB 交于 Q，R，则 △PQR 符合题意．
连接 OM，ON，MN，如图，
∴ OM=ON=OP=10，
∵ ∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×45∘=90∘，
∴ △MON 为等腰直角三角形．
∴ MN=102+102=102，
∴ △PQR 周长的最小值为 102．
第三部分
18. 原式=5+35−25=25.
19. 原式=−14×12×28×2×2=−1432=−2.
20. y−3x3⋅xy2÷−yx4=−y327x3⋅xy2⋅x4y4=−x227y3.
21. 原式=1x+2+2x+2x−2÷x2x+2=x−2x+2x−2+2x+2x−2÷x2x+2=x−2+2x+2x−2÷x2x+2=xx+2x−2÷x2x+2=xx+2x−2⋅x+2x2=1xx−2.
∵x2−2x−3=0，
∴x2−2x=3，
∴原式=13．
22.
x+12−6=x+1x−1,
即
x2+2x+1−6=x2−1,2x=4,
解得
x=2.
检验：当 x=2 时，x+1x−1≠0，
所以 x=2 是原方程的解．
23. 原方程可化为
y2−3y=2+y−3y2,y2+3y2−3y−y−2=0,4y2−4y−2=0,∴y=4±482×4=1±32,∴
原方程的根为 y1=1+32，y2=1−32．
24. ∵ AF=CE，
∴ AF+EF=CE+EF，
∴ AE=CF，
∵ BE∥DF，
∴ ∠AEB=∠CFD，
在 △ABE 和 △CDF 中，
∠A=∠C,AE=CF,∠AEB=∠CFD,
∴ △ABE≌△CDF．
25. 设 2016 年A型车每辆销售价 x 元，
根据题意得
32000x−400=40000x,
解得
x=2000,
经检验，x=2000 是所列方程的解，且符合题意．
答：2016 年A型车每辆销售价 2000 元．
26. （1） 如图 1 所示．
（2） 作图依据：两点确定一条直线；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
（3） 连接 CD，如图 2，
∵DE 垂直平分 AC,
∴AD=CD，
∵ 等腰 △ABC 的周长为 21，底边 BC 的长度为 5，
∴ 等腰 △ABC 的腰 AB 的长度为 21−5÷2=8，
∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AD+BD=BC+AB=5+8=13.
27. （1） AE=BD；AE⊥BD
【解析】如图 1，延长 AE 交 BD 于点 F，
∵ △ACD 和 △BCE 都是等腰直角三角形，∠ACE=∠DCB=90∘，
∴ AC=DC，EC=BC，
在 △ACE 和 △DCB 中，
AC=DC,∠ACE=∠DCB,CE=BC,
∴ △ACE≌△DCB，
∴ AE=DB，∠CAE=∠CDB，
∵ ∠ACE=90∘，∠AEC=∠DEF，
∴ ∠DFE=90∘，
∴ AF⊥DB，即 AE⊥DB，
故线段 AE 与 BD 的数量关系是 AE=BD，位置关系是 AE⊥BD．
（2） 结论 AE=BD，AE⊥BD 仍然成立．
证明：∵△ACD 和 △BCE 是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90∘，
∴AC=CD，CE=CB，
∵∠ACE+∠ECD=90∘，∠BCD+∠ECD=90∘，
∴∠ACE=∠BCD，
在 △ACE 和 △DCB 中，
AC=CD,∠ACE=∠BCD,CE=CB,
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD，∠EAC=∠BDC，
如图 2，延长 AE 交 BD 于点 F，
∵∠ACD=90∘，
∴∠DAC+∠ADC=90∘，
∵∠ADF+∠DAF+∠DFA=180∘，
∴∠ADC+∠BDC+∠DAF+∠DFA=180∘，
∴∠ADC+∠EAC+∠DAF+∠DFA=180∘，
∴∠ADC+∠DAC+∠DFA=180∘，
∴90∘+∠DFA=180∘，
∴∠DFA=90∘，
∴AE⊥BD．
（3） BG，GH，HE 的数量关系是 BG2+HE2=GH2．
证明：如图 3，过点 C 作 CF⊥CG，且 CF=CG，连接 HF，EF．
∵ △ACD 和 △BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90∘，
∴ BC=CE，∠CBG=∠CEB=45∘，
∵ M 是 AD 的中点，
∴ ∠DCM=∠GCH=12×90∘=45∘，
∵CF⊥CG，CE⊥CB，
∴ ∠BCG+∠GCE=∠ECF+∠GCE=90∘，
∴∠BCG=∠ECF，
在 △BCG 和 △ECF 中，
CG=CF,∠BCG=∠ECF,CB=CE,
∴△BCG≌△ECF，
∴BG=EF，∠CBG=∠CEF=45∘，
∴∠HEF=∠HEC+∠CEF=90∘，
∵ ∠ACE+∠BCH=∠DCB+∠BCH=90∘，
∴∠ACE=∠DCB，
∴∠FCH=∠ACE+∠ECF=∠DCB+∠BCG=45∘，
∴∠GCH=∠FCH，
在 △GCH 和 △FCH 中，
CG=CF,∠GCH=∠FCH,CH=CH,
∴△GCH≌△FCH，
∴GH=FH，
∵ 在 Rt△HEF 中，EF2+HE2=FH2，
∴BG2+HE2=GH2．