2019-2020学年福建省厦门市思明区第一中学八上期中数学试卷

这是一份2019-2020学年福建省厦门市思明区第一中学八上期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列国产车标属于轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 下列四个图形中，线段 BE 是 △ABC 的高的是
A. B.
C. D.

3. 2a2 的计算结果是
A. 4a2B. 2a2C. 4aD. 4a4

4. 点 3,−2 关于 x 轴的对称点是
A. 3,2B. −3,−2C. −3,2D. 3,−2

5. △ABC 中，AB=AC，∠A=∠C，则 ∠B=
A. 36∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

6. 如图，△ABC 中，AC=AD=BD，∠DAC=40∘，则 ∠B 的度数是
A. 35∘B. 30∘C. 25∘D. 20∘

7. x23 可以表示为
A. 3x2B. x2C. x2+x2+x2D. x2⋅x2⋅x2

8. 如图，△ABC 为三边 AB，BC，CA 的长分别为 20，30，40，其三条角平分线将 △ABC 分为三个三角形，则 S△ABO:S△BCO:S△ACO 等于
A. 1:1:1B. 2:3:4C. 1:2:3D. 3:4:5

9. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，∠B=30∘，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB，AC 于点 M 和 N，再分别以 M，N 为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，则下列说法中正确的个数是
① AD 是 ∠BAC 的平分线；
② ∠ADC=60∘；
③点 D 在 AB 的中垂线上．
A. 1B. 2C. 3D. 4

10. 选一选。
【9】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE=12BF；④AE＝BG．其中正确的是（ ）。
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④

二、填空题（共6小题；共33分）
11. 计算：
① a⋅a2= ；
② x32= ；
③ a0= a≠0；
④ −2b2= ；
⑤ −6a÷3a= ；
⑥ 0.252020⋅−42019= ；
⑦ 2a−ba+b= ；
⑧ 10x2−5x÷−5x= ．

12. 内角和与外角和相等的多边形的边数是 ．

13. 如图，D 是 BC 的中点，E 是 AC 的中点．S△ADE=2，则 S△ABC= ．

14. xm=3，xn=2，则 x2m−3n= ．

15. 将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果 ∠1=41∘，∠2=51∘，那么 ∠3 的度数等于 ．

16. 如图，在等腰 △ABC 中，AB=AC=12 厘米，BC=8 厘米，点 D 为 AB 的中点．如果点 P 在线段 BC 上以 2 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动．若点 Q 的运动速度为 x 厘米/秒，则当 △BPD 与 △CQP 全等时，x 的值为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 求值：x2x−1−xx2+x−1，其中 x=−12．

18. 如图，PC⊥OA，PD⊥OB 且 OC=OD，求证：∠1=∠2．

19. 如图，△ABC 的顶点坐标为 A0,−2，B3,−1，C2,1．
（1）请在图中画出 △ABC 关于 y 轴对称的图形 △ABʹCʹ；
（2）在 y 轴上找一点 P，使 PB+PC 的值最小．（在坐标系中标出点 P）

20. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=30∘．
（1）用尺规作 ∠ABC 的平分线交 AC 于点 D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的前提下，若 AD=10，求 CD 的长度．

21. 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，将 △ABC 沿着一条直线折叠后，使点 A 与点 C 重合（如图②）．
（1）在图①中画出折痕所在的直线 l，问直线 l 是线段 AC 的 线；
（2）设直线 l 与 AB，AC 分别相交于点 M，N，连接 CM，若 △CMB 的周长是 21 cm，AB=14 cm，求 BC 的长．

22. 已知：如图，锐角 △ABC 的两条高 BD，CE 相交于点 O，且 OB=OC．
求证：△ABC 是等腰三角形．

23. 如图，已知 ∠AOB=60∘，点 P 在边 OA 上，点 M，N 在边 OB 上．
（1）若 ∠PNO=60∘，证明 △PON 是等边三角形；
（2）若 PM=PN，OP=12，MN=2，求 OM 的长度．

24. 新定义：如图 1 和图 2 中，点 P 是平面内一点，如果 PAPB=2 或 PAPB=12，称点 P 是线段 AB 的强弱点．
（1）如图 2，在 Rt△APB 中，∠APB=90∘，∠A=30∘，问：点 B 是否是线段 AP 的强弱点?请说明理由；
（2）如图 3，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，B 是线段 AC 的强弱点（BA>BC），BD 是 Rt△ABC 的角平分线，求证：点 D 是线段 AC 上的强弱点．

25. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=2，∠B=∠C=50∘，点 D 在线段 BC 上运动（点 D 不与 B，C 重合），连接 AD，作 ∠ADE=50∘，DE 交线段 AC 于点 E．
（1）若 DC=2，求证：△ABD≌△DCE；
（2）在点 D 运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗?若可以，请求出 ∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．

26. 如图，数学老师布置了这样一道作业题：
在 △ABC 中，AB=AC≠BC，点 D 和点 A 在直线 BC 的同侧．BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120∘，连接 AD，求 ∠ADB 的度数．
小聪提供了研究：先从特殊问题开始研究：当 α=90∘，β=30∘ 时，利用轴对称知识，以 AB 为对称轴构造 △ABD 的轴对称图形 △ABDʹ，连接 CDʹ，然后利用 α=90∘，β=30∘ 以及等边三角形的相关知识可解决这个问题．
（1）请结合小聪研究，画出当 α=90∘，β=30∘ 时相应的图形；
（2）请结合小聪研究，求出当 α=90∘，β=30∘ 时 ∠ADB 的图形；
（3）请结合小聪研究，请解决数学老师布置的这道作业题．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. A【解析】2a2=4a2．
故选：A．
4. A【解析】点 x,y 关于 x 轴对称点的坐标为 x,−y，
∴ 点 3,−2 关于 x 轴的对称点是 3,2．
5. C
【解析】∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴3∠B=180∘，
∴∠B=60∘．
6. A【解析】∵△ABC 中，AC=AD，∠DAC=40∘，
∴∠ADC=180∘−40∘2=70∘，
∵AD=BD，∠ADC=∠B+∠BAD=70∘，
∴∠B=∠BAD=702∘=35∘．
7. D【解析】x23 可以表示为：x2⋅x2⋅x2．
8. B【解析】过点 O 作 OD⊥AC 于 D，OE⊥AB 于 E，OF⊥BC 于 F，
∵O 是三角形三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF，
∵AB=20，BC=30，AC=40，
∴S△ABO:S△BCO:S△CAO=2:3:4．
9. C【解析】① AD 是 ∠BAC 的平分线，说法正确；
② ∵∠C=90∘，∠B=30∘，
∴∠CAB=60∘，
∵AD 平分 ∠CAB，
∴∠DAB=30∘，
∴∠ADC=30∘+30∘=60∘，因此 ∠ADC=60∘ 正确；
③ ∵∠DAB=30∘，∠B=30∘，
∴AD=BD，
∴ 点 D 在 AB 的垂直平分线上，故③说法正确．
10. C
【解析】解：
∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形。
∴BD＝CD。故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DCA。
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC。
∴BF＝AC；DF＝AD。
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE。
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC。
∴CE＝AE=12AC。
又由（1），知BF＝AC，
∴CE=12AC=12BF；故③正确；
连接CG，

∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG
在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG。
∵CE＝AE，
∴AE＜BG。故④错误。
故选：C。
第二部分
11. a3，x6，1，4b2，−2，−0.25，2a2+ab−b2，−2x+1
12. 4
【解析】设多边形的边数为 n．
根据题意得 n−2⋅180∘=360∘，解得 n=4．
∴ 内角和与外角和相等的多边形的边数是 4．
13. 8
【解析】∵E 是 AC 的中点，
∴S△ACD=2S△ADE=4．
∵D 是 BC 的中点，
∴S△ABC=2S△ACD=8．
14. 98
【解析】∵xm=3，xn=2，
∴x2m−3n=x2m÷x3n=xm2÷xn3=9÷8=98．
15. 10∘
【解析】等边三角形的内角的度数是 60∘，正方形的内角度数是 90∘，正五边形的内角的度数是：15×5−2×180∘=108∘，
则 ∠3=360∘−60∘−90∘−108∘−∠1−∠2=10∘．
16. 2 或 3
【解析】当 BD=PC 时，△BPD 与 △CQP 全等，
∵ 点 D 为 AB 的中点，
∴BD=12AB=6 cm，
∵BD=PC，
∴BP=8−6=2cm，
∵ 点 P 在线段 BC 上以 2 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，
∴ 运动时间时 1 s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP=CQ=2 cm，
∴x=2÷1=2；
当 BD=CQ 时，△BDP≌△QCP，
∵BD=6 cm，PB=PC，
∴QC=6 cm，
∵BC=8 cm，
∴BP=4 cm，
∴ 运动时间为 4÷2=2s，
∴x=6÷2=3m/s．
第三部分
17. x2x−1−xx2+x−1=x3−x2−x3−x2+x=−2x2+x=x−2x+1.
当 x=−12 时，
原式=−12×−2×−12+1=−1.
18. ∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠PCO=∠PDO=90∘，
在 Rt△POC 和 Rt△POD 中，
PO=PO,OC=OD,
∴Rt△POC≌Rt△PODHL，
∴∠1=∠2．
19. （1）如图所示，△ABʹCʹ 即为所求；
（2）如图所示，连接 BCʹ，交 y 轴于点 P，则 PB+PC 的值最小．
20. （1） 如图所示，BD 即为所求作的图形．
（2） 如图，作 DE⊥AB 于点 E．
∵∠C=90∘，
∴DC⊥BC，
∵BD 平分 ∠CBA，
∴DC=DE，
∵∠A=30∘，AD=10，
∴DE=12AD=5，
∴CD=5．
答：CD 的长度为 5．
21. （1） 如图①：
垂直平分
【解析】∵ 将 △ABC 沿着一条直线折叠后，使点 A 与点 C 重合，
∴AN=NC，∠ANM=∠CNM=90∘．
∴ 直线 l 是线段 AC 的垂直平分线．
（2） ∵ 将 △ABC 沿着一条直线折叠后，使点 A 与点 C 重合，
∴AM=CM，
∵△CMB 的周长是 21 cm，AB=14 cm，
∴21=CM+BM+BC=AM+BM+CB=AB+BC=14+BC，
∴BC=7 cm．
22. ∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∵ 锐角 △ABC 的两条高 BD，CE 相交于点 O，
∴∠BEC=∠BDC=90∘．
又 ∵∠BOE=∠COD，
∴∠EBO=∠DCO．
∴∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．
∴△ABC 是等腰三角形．
23. （1） ∵∠AOB=60∘，∠PNO=60∘，
∴∠OPN=60∘，
∴∠PON=∠PNO=∠OPN，
∴△PON 是等边三角形．
（2） 作 PH⊥MN 于 H，如图．
∵PM=PN，
∴MH=NH=12MN=1．
在 Rt△POH 中，
∵∠POH=60∘，
∴∠OPH=30∘．
∴OH=12OP=12×12=6．
∴OM=OH−MH=6−1=5．
24. （1） 点 B 是线段 AP 的强弱点，理由是：
如图 2 中，
在 Rt△PAB 中，∠APB=90∘，∠A=30∘，
∴AB=2PB．
∴ABBP=2．
∴ 点 B 是线段 AP 的强弱点．
（2） 如图 3 中，
∵B 是线段 AC 的强弱点（BA>BC），
∴AB=2BC，
Rt△ACB 中，∠A=30∘，∠ABC=60∘，
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30∘=∠A，
∴AD=BD，
Rt△BCD 中，BD=2CD，
∴DADC=2，
∴ 点 D 是线段 AC 上强弱点．
25. （1） ∵AB=AC=2，DC=2，
∴AB=DC，
∵∠B=∠C=50∘，∠ADE=50∘，
∴∠BDA+∠CDE=130∘，∠CED+∠CDE=130∘，
∴∠BDA=∠CED，
∴△ABD≌△DCEAAS．
（2） 可以．有以下三种可能：
①由（1）得：△ABD≌△DCE，得 AD=DE．
则有 ∠DAE=∠DEA=65∘，
∴∠BDA=∠CED=65∘+50∘=115∘；
②由（1）得 ∠BDA=∠CED，
∵ 点 D 在线段 BC 上运动（点 D 不与 B，C 重合），
∴AD≠AE；
③当 EA=ED 时，∠EAD=∠ADE=50∘，
∴∠BDA=∠CED=50∘+50∘=100∘．
26. （1） 如图 1．
（2） 如图 2，作 ∠ABDʹ=∠ABD，BDʹ=BD，连接 CDʹ，ADʹ．
∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠ABC=45∘，
∵∠DBC=30∘，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=15∘，
∵AB=AB，∠ABDʹ=∠ABD，BDʹ=BD，
∴△ABD≌△ABDʹSAS，
∴∠ABD=∠ABDʹ=15∘，∠ADB=∠ADʹB，
∴∠DʹBC=∠ABDʹ+∠ABC=60∘，
∵BD=BDʹ，BD=BC，
∴BDʹ=BC，
∴△DʹBC 是等边三角形，
∴DʹB=DʹC，∠BDʹC=60∘，
∵AB=AC，ADʹ=ADʹ，
∴△ADʹB≌△ADʹC，
∴∠ADʹB=∠ADʹC，
∴∠ADʹB=12∠BDʹC=30∘，
∴∠ADB=30∘．
（3） 第一种情况：当 60∘<α≤120∘ 时，
如图 3，作 ∠ABDʹ=∠ABD，BDʹ=BD，连接 CDʹ，ADʹ．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=180∘−α2=90∘−α2，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=90∘−α2−β，
同（1）可证 △ABD≌△ABDʹ，
∴∠ABD=∠ABDʹ=90∘−α2−β，BD=BDʹ，∠ADB=∠ADʹB，
∴∠DʹBC=∠ABDʹ+∠ABC=90∘−α2=180∘−α+β，
∵α+β=120∘，
∴∠DʹBC=60∘，
以下同（1）可求得 ∠ADB=30∘；
第二种情况：当 0∘<α<60∘ 时，
如图 4，作 ∠ABDʹ=∠ABD，BDʹ=BD，连接 CDʹ，ADʹ．
同理可得：∠ABC=180∘−α2，
∴∠ABD=∠DBC−∠ABC=β−90∘−α2，
同（1）可证 △ABD≌△ABDʹ，
∴∠ABD=∠ABDʹ=β−90∘−α2，BD=BDʹ，∠ADB=∠ADʹB，
∴∠DʹBC=∠ABC−∠ABDʹ=90∘−α2，
∴DʹB=DʹC，∠BDʹC=60∘．
同（1）可证 △ADʹB≌△ADʹC，
∴∠ADʹB=∠ADʹC，
∵∠ADʹB+∠ADʹC+∠BDʹC=360∘，
∴∠ADB=∠ADʹB=150∘．