2019-2020学年福建省厦门市思明区松柏中学九上期中数学试卷

这是一份2019-2020学年福建省厦门市思明区松柏中学九上期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 关于 x 的方程 m+1x2+2mx−3=0 是一元二次方程，则 m 的取值是
A. 任意实数B. m≠1C. m≠−1D. m>−1

2. 点 P2,−5 关于原点对称点的坐标是
A. −5,−2B. 2,5C. −2,5D. −5,2

3. 如果将抛物线 y=x2+2 向下平移 1 个单位，那么所得新抛物线的表达式是
A. y=x−12+2B. y=x+12+2
C. y=x2+1D. y=x2+3

4. 如图所示，在 ⊙O 中，AB=AC，∠A=30∘，则 ∠B=
A. 150∘B. 75∘C. 60∘D. 15∘

5. 平面上一点 P 与 ⊙O 的点的距离的最小值是 2，最大值是 8，则 ⊙O 的直径是
A. 6 或 10B. 3 或 5C. 6D. 5

6. 如图，已知线段 OA 交 ⊙O 于点 B，且 OB=AB，点 P 是 ⊙O 上的一个动点，那么 ∠OAP 的最大值是
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

7. 如图，△ODC 是由 △OAB 绕点 O 顺时针旋转 31∘ 后得到的图形，若点 D 恰好落在 AB 上，且 ∠AOC 的度数为 100∘，则 ∠DOB 的度数是
A. 34∘B. 36∘C. 38∘D. 40∘

8. 下列说法：
①平分弦的直径垂直于弦；
②三点确定一个圆；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④垂直于半径的直线是圆的切线；
⑤三角形的内心到三条边的距离相等．
其中不正确的有 个．
A. 1B. 2C. 3D. 4

9. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点坐标为 −1,0，其部分图象如图所示，下列结论：
① 4ac② 3a+c>0；
③方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=−1，x2=3；
④当 y>3 时，x 的取值范围是 0≤x<2；
⑤当 x<0 时，y 随 x 增大而增大．
其中结论正确的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

10. 如图，边长为 2a 的等边 △ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连接 MB，将线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60∘ 得到 BN，连接 HN．则在点 M 运动过程中，线段 HN 长度的最小值是
A. 12aB. aC. 32aD. 3a

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 已知关于 x 的方程 x2−3x+m=0 的一个根是 1，则 m= ．

12. 如图，∠BOD=140∘，则 ∠BCD 度数为 ．

13. 某一抛物线顶点在 y 轴上，且函数有最小值，则具有这样性质的抛物线表达式可能为 （只写一个）．

14. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 144 人患了流感．假设每轮传染中，平均一个人传染了 x 个人，依题意可列方程，得 ．

15. 在等边 △ABC 中，AB=5，点 D 是 AB 上的定点，点 P 是 BC 上的动点，DP 绕点 D 逆时针旋转 60∘ 恰好落在 AC 上，已知 BD=2，则此时 DP= ．

16. 如图，以扇形 OAB 的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为 2,0，若抛物线 y=12x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，则实数 k 的取值范围是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x2−2x−5=0．

18. 已知抛物线经过点 0,3，1,0，2,5 三点，求此抛物线解析式．

19. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−2x−m=0 有两个不相等的实数根，且 n+2m=4，求 n 的取值范围．

20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BD 平分 ∠ABC．求作 ⊙O，使得点 O 在边 AB 上，且 ⊙O 经过 B，D 两点；并证明 AC 与 ⊙O 相切．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

21. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=50∘，P 是 BC 边上一点，将 △ABP 绕点 A 逆时针旋转 50∘，点 P 旋转后的对应点为点 Pʹ．
（1）画出旋转后的三角形；
（2）连接 PPʹ，若 ∠BAP=20∘，求 ∠PPʹC 的度数．

22. 如图，在 ⊙O 中，AB=AC，∠ACB=60∘．
（1）求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC；
（2）若点 D 是 AB 的中点，求证：四边形 OADB 是菱形．

23. 定义：方程 cx2+bx+a=0 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的倒方程．
（1）已知 x=2 是 x2+2x+c=0 的倒方程的解，求 c 的值；
（2）若一元二次方程 ax2−2x+c=0 无解，求证：它的倒方程也一定无解；
（3）一元二次方程 ax2−2x+c=0a≠c 与它的倒方程只有一个公共解，它的倒方程只有一个解，求 a 和 c 的值．

24. 已知 ⊙O 中，弦 AB=AC，∠BAC=120∘．
（1）如图①，若 AB=3，求 ⊙O 的半径．
（2）如图②，点 P 是 ∠BAC 所对弧上一动点，连接 PB，PA，PC，试请判断 PA，PB，PC 之间的数量关系并说明理由．

25. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A1,0．
（1）当 b=2，c=−3 时，求二次函数的解析式及二次函数最小值；
（2）二次函数的图象经过点 Bm,e，C3−m,e 且对任意实数 x，函数值 y 都不小于 14a−12．
①求此时二次函数的解析式；
②若次函数与 y 轴交于点 D，在对称轴上存在一点 P，使得 PA+PD 有最小值，求点 P 坐标及 PA+PD 的最小值．
答案
第一部分
1. C【解析】由题有 m+1≠0，m≠−1．
2. C【解析】根据中心对称的性质，可知：点 P2,−5 关于原点对称的点的坐标为：−2,5．
3. C【解析】∵ 抛物线 y=x2+2 向下平移 1 个单位，
∴ 抛物线的解析式为 y=x2+2−1，即 y=x2+1．
4. B【解析】∵ 在 ⊙O 中，AB=AC，
∴AB=AC，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴∠B=∠C；
又 ∠A=30∘，
∴∠B=180∘−30∘2=75∘（三角形内角和定理）．
5. A
【解析】当点 P 在圆内时，
∵ 点 P 与 ⊙O 的点的距离的最小值是 2，最大值是 8，
∴ 圆的直径为 10；
当点 P 在圆外时，
∵ 点 P 与 ⊙O 的点的距离的最小值是 2，最大值是 8，
∴ 圆的直径为 6．
6. A【解析】如图，当点 P 运动到点 Pʹ，即 APʹ 与 ⊙O 相切时，∠OAP 最大．连接 OPʹ，
则 APʹ⊥OPʹ，即 △AOPʹ 是直角三角形．
∵OB=AB，OB=OPʹ，
∴OA=2OPʹ．
∴sin∠OAPʹ=OPʹOA=12，
∴∠OAPʹ=30∘，即 ∠OAP 的最大值是 =30∘．
7. C【解析】由题意得，∠AOD=31∘，∠BOC=31∘，又 ∠AOC=100∘，
∴∠DOB=100∘−31∘−31∘=38∘．
8. D【解析】①中被平分的弦是直径时，不一定垂直，故错误；
②不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，故错误；
③应强调在同圆或等圆中，否则错误；
④中垂直于半径，还必须经过半径的外端的直线才是圆的切线，故错误；
⑤三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，所以到三条边的距离相等，故正确．
综上所述，①，②，③，④错误．
9. C【解析】∵ 抛物线与 x 轴有 2 个交点，
∴b2−4ac>0，
∴ ①正确；
∵x=−b2a=1，即 b=−2a，
而 x=−1 时，y=0，即 a−b+c=0，
∴a+2a+c=0，
∴ ②错误；
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
而点 −1,0 关于直线 x=1 的对称点的坐标为 3,0，
∴ 方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=−1，x2=3，
∴ ③正确；
根据对称性，由图象知，当 03，
∴ ④错误；
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴ 当 x<1 时，y 随 x 增大而增大，
∴ ⑤正确．
10. A
【解析】如图，取 BC 的中点 G，连接 MG．
∵ 旋转角为 60∘，
∴∠MBH+∠HBN=60∘．
又 ∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60∘，
∴∠HBN=∠GBM．
∵CH 是等边 △ABC 的对称轴，
∴HB=12AB．
∴HB=BG．
又 ∵MB 旋转到 BN，
∴BM=BN．
在 △MBG 和 △NBH 中，
BG=BH,∠MBG=∠NBH,MB=NB,
∴△MBG≌△NBHSAS．
∴MG=NH．
根据垂线段最短，MG⊥CH 时，MG 最短，即 HN 最短．
此时
∵∠BCH=12×60∘=30∘，CG=12AB=12×2a=a，
∴MG=12CG=12×a=a2．
∴HN=a2．
第二部分
11. 2
【解析】∵ 关于 x 的方程 x2−3x+m=0 的一个根是 1，
∴1−3×1+m=0，解得 m=2．
12. 110∘
【解析】∵∠BOD=140∘，
∴∠A=12∠BOD=70∘，
∴∠BCD=180∘−∠A=110∘．
13. y=x2+1
【解析】∵ 抛物线顶点在 y 轴上，函数有最小值，
∴ 二次函数可以为 y=x2+1（答案不唯一）．
14. 1+x2=144
【解析】设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，
依题意得 1+x+x1+x=144，即 1+x2=144．
15. 7
【解析】如图，连接 PPʹ，过点 D 作 DE⊥BC，
∵DP 绕点 D 逆时针旋转 60∘，
∴DP=DPʹ，∠PDPʹ=60∘，
∴△DPʹP 是等边三角形，
∴DP=PPʹ，∠DPPʹ=60∘，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60∘，
∵∠BPPʹ=∠C+∠PPʹC=∠BPD+∠DPPʹ，
∴∠PPʹC=∠BPD，且 DP=PPʹ，∠B=∠C，
∴△BDP≌△CPPʹAAS，
∴BD=CP=2，
∴BP=3，
∵∠B=60∘，BD=2，DE⊥BC，
∴BE=1，DE=3BE=3，
∴PE=2，
∴DP=DE2+PE2=3+4=7．
16. −2【解析】由图可知 ∠AOB=45∘，
∴ 直线 OA 的解析式为 y=x．
联立 y=x,y=12x2+k, 消掉 y 得 x2−2x+2k=0．
由 Δ=−22−4×1×2k=0 解得 k=12．
∴ 当 k=12 时，抛物线与 OA 有一个交点，此交点的横坐标为 1．
∵ 点 B 的坐标为 2,0，
∴OA=2．
∴ 点 A 的坐标为 2,2．
∴ 交点在线段 AO 上．
当抛物线经过点 B2,0 时，0=12×4+k，解得 k=−2．
∴ 要使抛物线 y=12x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，实数 k 的取值范围是 −2第三部分
17.
x2−2x+1=6.
那么
x−12=6.
即
x−1=±6.
则
x1=1+6,x2=1−6.
18. 将 0,3，1,0，2,5 三点代入二次函数 y=ax2+bx+c 得：c=3,a+b+c=0,4a+2b+c=5,
解得 a=4,b=−7,c=3.
则抛物线解析式为 y=4x2−7x+3．
19. 根据题意得 Δ=−22−4×−m>0，
解得 m>−1，即 m 的取值范围为 m>−1．
∵n+2m=4，
∴n=4−2m．
∴n=4−2m<6，即 n 的取值范围为 n<6．
20. 如图，⊙O 为所作．
证明：连接 OD，如图，
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠CBD=∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠ODA=∠ACB，
又 ∠ACB=90∘，
∴∠ODA=90∘，即 OD⊥AC，
∵ 点 D 是半径 OD 的外端点，
∴AC 与 ⊙O 相切．
21. （1） 旋转后的 △ACPʹ 如图所示．
（2） 如图，连接 PPʹ．
由旋转可得 ∠PAPʹ=∠BAC=50∘，AP=APʹ，△ABP≌△ACPʹ．
∴∠APPʹ=∠APʹP=65∘，∠APʹC=∠APB，
∵∠BAC=50∘，AB=AC，
∴∠B=65∘，
又 ∵∠BAP=20∘，
∴∠APB=95∘=∠APʹC，
∴∠PPʹC=∠APʹC−∠APʹP=95∘−65∘=30∘．
22. （1） ∵AB=AC，
∴AB=AC，△ABC 是等腰三角形，
又 ∠ACB=60∘，
∴△ABC 是等边三角形，AB=BC=CA，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC．
（2） 如图，连接 OD，
∵D 是 AB 的中点，
∴AD=BD，
∴∠AOD=∠BOD=12∠AOB=∠ACB=60∘，
又 OD=OA，OD=OB，
∴△OAD 和 △OBD 都是等边三角形，
∴OA=AD=OD，OB=BD=OD，
∴OA=AD=DB=BO，
∴ 四边形 OADB 是菱形．
23. （1） x2+2x+c=0 的倒方程为 cx2+2x+1=0，
把 x=2 代入 cx2+2x+1=0 得 4c+4+1=0，解得 c=−54．
（2） ∵ 一元二次方程 ax2−2x+c=0 无解，
∴Δ=−22−4ac<0，
∴ac>1．
一元二次方程 ax2−2x+c=0 的倒方程为 cx2−2x+a=0，
∵Δʹ=−22−4ca=4−4ac，而 ac>1，
∴Δʹ<0，
∴ 它的倒方程也一定无解．
（3） 一元二次方程 ax2−2x+c=0 的倒方程为 cx2−2x+a=0，而倒方程只有一个解，
∴c=0，则 −2x+a=0，解得 x=a2，
把 x=a2 代入 ax2−2x=0 得 a×a24−a=0，而 a≠c，
∴a=2 或 a=−2．
24. （1） 连接 OA，OB，OC，如图 1，
∵AB=AC，OA=OB=OC，
∴△OAB≌△OACSSS，
∴∠OAB=∠OAC，而 ∠BAC=120∘，
∴∠OAB=∠OAC=60∘，
∴△OAB 为等边三角形，
∴OA=AB=3，即 ⊙O 的半径为 3．
（2） PB+PC=3PA．理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=120∘，
∴ 把 △ACB 绕点 A 顺时针旋转 120∘ 得到 △ABQ，如图 2，
∴AQ=AP，BQ=PC，∠ABQ=∠C，∠QAP=120∘，
∵∠ABP+∠C=180∘，
∴∠ABP+∠ABQ=180∘，
∴ 点 P，B，Q 共线，
作 AH⊥PQ 于 H，如图 2，则 QH=PH，
∵∠APH=12180∘−120∘=30∘，
∴cs∠APH=PHPA=32，
∴PH=32PA，
∴PQ=2PH=3PA，
∴PB+PC=3PA．
25. （1） 将 b=2，c=−3 代入得：y=ax2+2x−3．
将点 A1,0 代入 y=ax2+2x−3，得 a+2−3=0，
∴a=1．
∴y=x2+2x−3，
∵y=x+12−4，
∴ 当 x=−1 时，y 最小值为 −4．
（2） ①由题意可知：对称轴 x=m+3−m2=32．
∴−b2a=32，
∴b=−3a，
又 ∵a+b+c=0，
∴c=2a，
∴y=ax2−3ax+2a．
顶点纵坐标为 4ac−b24a=−a24a，
∵ 函数值 y 不小于 14a−12，
∴a>0 且 −−a24a≥14a−12．
∴a2−2a+1≤0，
∴a−12≤0，
∵a−12≥0，
∴a−1=0，
∴a=1．
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−3x+2；
②如图所示：
求得 A 关于对称轴的对称点 Aʹ 的坐标，连接 AʹD 交抛物线的对称轴与点 P．
此时 PA+PD=AʹD，则 PA+PD 最小，
∵y=x2−3x+2=x−322−14，
∴ 对称轴为直线 x=32，
∴A 关于对称轴的对称点 Aʹ2,0，
由 y=x2−3x+2 可知 D0,2，
设直线 AʹD 的解析式为 y=kx+n，
∴2k+n=0,n=2, 解得 k=−1,n=2,
∴ 直线 AʹD 的解析式为 y=−x+2，
把 x=32 代入得 y=12，
∴P32,12，
∵AD=OD2+OAʹ2=22+22=22，
∴PA+PD 的最小值为 22．