2019_2020学年北京市昌平区八下期末数学试卷

这是一份2019_2020学年北京市昌平区八下期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列数学符号中，属于中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 函数 y=x−1+3 中自变量 x 的取值范围是
A. x>1B. x≥1C. x≤1D. x≠1

3. 如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是
A. 180∘B. 360∘C. 540∘D. 720∘

4. “健步走”越来越受到人们的喜爱．一个健步走小组将自己的活动场地定在奥林匹克公园（路线：森林公园—— 玲珑塔 —— 国家体育场——水立方），如图，假设在奥林匹克公园设计图上规定玲珑塔的坐标为 −1,0，森林公园的坐标为 −2,2，则终点水立方的坐标为
A. −2,−4B. −1,−4C. −2,4D. −4,−1

5. 手鼓是鼓中的一个大类别，是一种打击乐器．如图是我国某少数民族手鼓的轮廓图，其主视图是
A. B.
C. D.

6. 如图是甲、乙两名运动员正式比赛前的 5 次训练成绩的折线统计图，你认为成绩较稳定的是
A. 甲B. 乙
C. 甲、乙的成绩一样稳定D. 无法确定

7. 一幢 4 层楼房只有一个房间亮着灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的房间是
A. 1 号房间B. 2 号房间C. 3 号房间D. 4 号房间

8. 为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如下左图）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架 ABCD，并在 A 与 C，B 与 D 两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定．课上，李老师右手拿住木条 BC，用左手向右推动框架至 AB⊥BC（如下右图）．观察所得到的四边形，下列判断正确的是
A. ∠BCA=45∘B. BD 的长度变小
C. AC=BDD. AC⊥BD

9. 如图所示，已知 P，R 分别是四边形 ABCD 的边 BC，CD 上的点，E，F 分别是 PA，PR 的中点，点 P 在 BC 上从 B 向 C 移动，点 R 不动，那么 EF 的长
A. 逐渐增大B. 逐渐变小C. 不变D. 先增大，后变小

10. 如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 G，E，F 分别是边 AD，BC 的中点，AB=2，BC=4，一动点 P 从点 B 出发，沿着 B−A−D−C 的方向在矩形的边上运动，运动到点 C 停止．点 M 为图 1 中的某个定点，设点 P 运动的路程为 x，△BPM 的面积为 y，表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示．那么，点 M 的位置可能是图 1 中的
A. 点 CB. 点 EC. 点 FD. 点 G

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 北京市今年 5 月份最后六天的最高气温分别为 31，34，36，27，25，33（单位：∘C）．这组数据的极差是 ．

12. 已知两个相似三角形的相似比为 2:3，则这两个三角形的周长比为 ．

13. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，BC=7，∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E，则 DE= ．

14. 写出一个经过点 1,2 的函数表达式 ．

15. 如图，已知点 A0,4，B4,1，BC⊥x 轴于点 C，点 P 为线段 OC 上一点，且 PA⊥PB，则点 P 的坐标为 ．

16. 尺规作图：作一个角的平分线．
小涵是这样做的：
已知：∠MAN，如图 1 所示．
求作：射线 AD，使它平分 ∠MAN．
作法：（1）如图 2，以 A 为圆心，任意长为半径作弧，交 AM 于点 B，交 AN 于点 C；
（2）分别以 B，C 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于点 D；
（3）作射线 AD．
所以射线 AD 就是所求作的射线．
小涵是个喜欢动脑筋的孩子，他继续对图形进行探究：连接 BD，CD 和 BC，发现 BC 与 AD 的位置关系是 ，依据是 ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 已知：一次函数 y=3−mx+m−5．
（1）若一次函数的图象过原点，求实数 m 的值；
（2）当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数 m 的取值范围．

18. 如图，点 E，F 在平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上，且 AE=CF．求证：DE=BF．

19. 已知：如图，在 △ABC 中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB 于 E．求证：△ABD∽△CBE．

20. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=5，BC=12，D 是 BC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，求 DE 的长．

21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A−3,−1 和点 B0,2．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点 P 在 y 轴上，且 PB=12BO，直接写出点 P 的坐标．

22. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 平分 ∠BAD，CE∥AD 交 AB 于 E．如果点 E 是 AB 的中点，AC=4，EC=2.5，写出求四边形 ABCD 的面积的思路．

23. 为弘扬中华传统文化，了解学生整体数学阅读能力，某校组织全校 1000 名学生进行一次阅读理解大赛的初赛，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图：
分组/分频数频率50≤x<6060.1260≤x<70a0.2870≤x<80160.3280≤x<90100.2090≤x≤10040.08
（1）表中的 a= ；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整，并画出频数分布折线图；
（3）如果成绩达到 90 及 90 分以上者为优秀，可推荐参加决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x−1 与 y 轴交于点 A，与双曲线 y=kx 交于点 Bm,2．
（1）求点 B 的坐标及 k 的值；
（2）将直线 AB 平移后与 x 轴交于点 C，若 S△ABC=6，求点 C 的坐标．

25. 在《测量旗杆高度》的综合与实践活动课中，第一组的同学设计了如图测量方案，并根据测量结果填写了如图《数学活动报告》，请你补充完整．

26. 某班“数学兴趣小组”对函数 y=x+1x 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量 x 的取值范围是 ；
（2）下表是 y 与 x 的几组对应数值：
x⋯−3−2−1−12−131312123⋯y⋯−103−52−2−52−10310352252103⋯
在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）进一步探究发现：该函数在第一象限内的最低点的坐标是 1,2．观察函数图象，写出该函数的另一条性质；
（4）请你利用配方法证明：当 x>0 时，y=x+1x 的最小值为 2．（提示：当 x>0 时，x=x2，1x=1x2）

27. 2017 年 5 月 31 日，昌平区举办了首届初二年级学生“数学古文化阅读展示”活动，为表彰在本次活动中表现优秀的学生，老师决定在 6 月 1 日购买笔袋或彩色铅笔作为奖品．已知 1 个笔袋，2 筒彩色铅笔原价共需 44 元；2 个笔袋，3 筒彩色铅笔原价共需 73 元．
（1）每个笔袋，每筒彩色铅笔原价各多少元?
（2）时逢“儿童节”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：笔袋“九折”优惠；彩色铅笔不超过 10 筒不优惠，超出 10 筒的部分“八折”优惠．若买 x 个笔袋需要 y1 元，买 x 筒彩色铅笔需要 y2 元．请用含 x 的代数式表示 y1，y2；
（3）若在（2）的条件下购买同一种奖品 95 件，请你分析买哪种奖品省钱．

28. （1）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB 于点 D．
①如果 AD=4，BD=9，那么 CD= ；
②如果以 CD 的长为边长作一个正方形，其面积为 s1，以 BD，AD 的长为邻边长作一个矩形，其面积为 s2，则 s1 s2（填“>”、“=”或“<”）．
（2）基于上述思考，小泽进行了如下探究：
①如图 2，点 C 在线段 AB 上，正方形 FGBC，ACDE 和 EDMN，其面积比为 1:4:4，连接 AF，AM，求证 AF⊥AM；
②如图 3，点 C 在线段 AB 上，点 D 是线段 CF 的黄金分割点，正方形 ACDE 和矩形 CBGF 的面积相等，连接 AF 交 ED 于点 M，连接 BF 交 ED 延长线于点 N，当 CF=a 时，直接写出线段 MN 的长为 ．

29. 如图 1，点 Aa,b 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 到坐标轴的垂线段 AB，AC 与坐标轴围成矩形 OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点 A 称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”．
（1）在点 P1,2，Q2,−2，N12,−1 中，是“垂点”的点为 ；
（2）点 M−4,m 是第三象限的“垂点”，直接写出 m 的值 ；
（3）如果“垂点矩形”的面积是 163，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标 ；
（4）如图 2，平面直角坐标系的原点 O 是正方形 DEFG 的对角线的交点，当正方形 DEFG 的边上存在“垂点”时，GE 的最小值为 ．
答案
第一部分
1. B
2. B
3. C
4. A
5. C
6. A
7. B
8. C
9. C
10. D
第二部分
11. 11
12. 2:3
13. 3
14. y=x+1（答案不唯一）
15. 2,0
16. 垂直，四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直等
第三部分
17. （1） ∵ 一次函数图象过原点，
∴3−m≠0,m−5=0.
解得：m=5．
（2） ∵ 一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴3−m<0,m−5<0.
∴318. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC．
∴∠DAE=∠BCF．
又 ∵AE=CF．
∴△ADE≌△BCFSAS．
∴DE=BF．
19. 在 △ABC 中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90∘．
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
20. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=5，BC=12，
∴AB=AC2+BC2=52+122=13．
∵ 点 D 是线段 BC 中点，
∴BD=12BC=12×12=6．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90∘=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC．
∴DEAC=BDBA 即 DE5=613．
解得，DE=3013．
21. （1） ∵ 一次函数的图象经过点 A−3,−1 和点 B0,2，
∴−1=−3k+b,b=2.
解得：k=1,b=2.
∴ 一次函数的表达式为 y=x+2．
（2） P10,1，P20,3．
22. ① AD∥CE，AE∥CD⇒ 四边形 AECD 为平行四边形．
② AC 平分 ∠BAD，AD∥CE⇒AE=CE．
由①②得，四边形 AECD 是菱形．
③由 ∠ACE=∠EAC，∠ECB=∠B 和 △ABC 内角和 180∘⇒△ABC 是直角三角形．
④由菱形 AECD 和 E 为中点 ⇒S△AEC=S△ACD=S△BEC=3．
∴ 四边形 ABCD 的面积为 9．
23. （1） 14
（2） 频数分布直方图、折线图如图．
（3） 1000×4÷50=80（人）．
24. （1） 把 Bm,2 代入 y=x−1 中得，m=3．
则 B3,2．
∵B3,2 在双曲线 y=kx 的图象上，
∴k=6．
（2） ∵ 直线 y=x−1 与 y 轴交于点 A，
∴A0,−1．
设直线 y=x−1 与 x 轴交于点 D，
则 D1,0．
∵S△ABC=S△BCD+S△ACD=6，
∴S△ABC=12CD∣yB∣+12CD∣yA∣=6，
即 12CD×2+12CD×1=6．
解得，CD=4．
∵D1,0，
∴C1−3,0，C25,0．
25. （1）如图所示．
（2）如图，由题意知，AB=1.6 m，BC=2.4 m，EF=20 m，
∵ 太阳光线是平行的，
∴AC∥DF．
∴∠ACB=∠DFE．
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC=∠DEF=90∘．
∴△ABC∽△DEF．
∴ABDE=BCEF，1.6DE=2.420．
∴DE=403．
（3）答：旗杆的高度大约为 13.3 m．
26. （1） x≠0
（2） 画出的函数图象如图所示：
（3） 答案不唯一，如：x>1 时，y 随 x 增大而增大；0 （4） ∵ 当 x>0 时，x=x2，1x=1x2 且 x⋅1x=1，
∴x+1x=x2+1x2=x2−2+1x2+2=x−1x2+2.
∵ x−1x2≥0，
∴ x−1x2+2≥2，
∴ x+1x≥2，即当 x>0 时，y=x+1x 的最小值为 2．
27. （1） 设每个笔袋原价 x 元，每筒彩色铅笔原价 y 元，根据题意，得：
x+2y=44,2x+3y=73.
解得：
x=14,y=15.
所以每个笔袋原价 14 元，每筒彩色铅笔原价 15 元．
（2） y1=14×0.9x=12.6x．
当不超过 10 筒时：y2=15x；
当超过 10 筒时：y2=12x+30．
（3） 方法 1：
因为 95>10，
所以将 x=95 分别代入 y1=12.6x 和 y2=12x+30 中，得 y1>y2．
所以买彩色铅笔省钱．
【解析】方法 2：
当 y1当 y1=y2 时，有 12.6x=12x+30，解得 x=50，因此当购买同一种奖品的数量为 50 件时，两者费用一样．
当 y1>y2 时，有 12.6x>12x+30，解得 x>50，因此当购买同一种奖品的数量大于 50 件时，买彩色铅笔省钱．
因为奖品的数量为 95 件，95>50，
所以买彩色铅笔省钱．
28. （1） ① 6；
② =
（2） ①如图 2，连接 AF，AM．
∵ 正方形 BCFG，ACDE 和 EDMN 的面积比为 1:4:4，
∴FC:CD:DM=1:2:2．
设每份为 k，则 FC=k，CD=2k，DM=2k．
∵ 四边形 BCFG，ACDE 是正方形，
∴CD=AC=2k，∠ACF=∠ACM=90∘．
∵FCAC=k2k=12，
∵ACCM=ACCD+DM=2k2k+2k=12，
∴FCAC=ACCM．
∵∠ACF=∠ACM=90∘，
∴△AFC∽△MAC．
∴∠FAC=∠AMC．
∵∠ACM=90∘，
∴∠CAM+∠AMC=90∘．
∴∠FAC+∠CAM=90∘，即 ∠FAM=90∘．
∴AF⊥AM．
② MN=3−52a
29. （1） Q
（2） −43
（3） −4,43，−43,4
（4） 8