2018年南京市鼓楼区中考二模数学试卷

这是一份2018年南京市鼓楼区中考二模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 计算 18+12÷−6 的结果是
A. −5B. 5C. 16D. 20

2. 计算 −a23 的结果是
A. a5B. a6C. −a5D. −a6

3. 面积为 15 m2 的正方形，它的边长介于
A. 2 m 与 3 m 之间B. 3 m 与 4 m 之间
C. 4 m 与 5 m 之间D. 5 m 与 6 m 之间

4. 一个几何体的三个视图如图所示，这个几何体是
A. 圆柱B. 球C. 圆锥D. 正方体

5. 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 上的点，且 DE∥BC，BE，CD 相交于点 O，若 △DOE 的面积与 △COB 的面积的比为 4:25，则 AD:AB 等于
A. 2:3B. 3:2C. 2:5D. 4:25

6. 在二次函数 y=ax2+bx+c 中，x 与 y 的部分对应值如表所示：
x⋯−1013⋯y⋯−3131⋯
则下列说法：
①图象开口向下；
②图象的顶点坐标为 1,3；
③当 x=4 时，y 的值为 −3；
④ −1 是方程 ax2+bx+c+3=0 的一个根．
其中正确的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共10小题；共50分）
7. −2 的绝对值是 ；8 的立方根是 ．

8. 又到了柳絮飘飞的季节，这些白色飞絮犹如漫天飞雪，纷纷扬扬．据研究，柳絮纤维的直径约为 0.0000105 m，用科学记数法表示 0.0000105 是 ．

9. 某射击小组进行射击比赛，甲选手 10 次射击成绩（单位：环）分别为 9，7，10，6，9，8，9，6，7，10，这组数据的众数为 环．

10. 计算 12×12−24 的结果是 ．

11. 不等式组 x−1≤2x,5−x2>1 的解集是 ．

12. 已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2+3x+k=0 的两个根，若 x1=1，则 x2= ．

13. 如图，OC 是 ⊙O 的半径，AB 是弦，OC⊥AB，点 P 在 ⊙O 上，∠APC=23∘，则 ∠AOB= ∘．

14. 如图，A，B 两点的坐标分别为 5,0，1,3，点 C 是平面直角坐标系内一点．若以 O，A，B，C 四点为顶点的四边形是菱形，则点 C 的坐标为 ．

15. 反比例函数 y1=−3x，y2=kx 的图象如图所示，点 A 为 y1=−3x 的图象上任意一点，过点 A 作 x 轴的平行线交 y2=kx 的图象于点 C，交 y 轴于点 B．点 D 在 x 轴的正半轴上，AD∥OC，若四边形 CODA 的面积为 2，则 k 的值为 ．

16. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=3，点 M 是直线 BC 上一动点，当 ∠CAM+∠CBA=45∘ 时，BM 的长为 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 先化简，再求值：a2−b2ab÷1−ba．其中 a=2，b=−1．

18. （1）解方程组 x−y=5,2x+y=7;
（2）方程组 a+1−b3=5,2a+1+b3=7 的解是 ．

19. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E，F 是 AC 上两点，AE=CF，DF∥BE，DF=BE．
（1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
（2）当 AC 平分 ∠BAD 时，求证：AC⊥BD．

20. 为了弘扬中国传统文化，某校对全校学生进行了古诗词知识测试，将测试成绩分为一般、良好、优秀三个等级．从中随机抽取部分学生的测试成绩，绘制成如下两幅统计图，根据图中的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ，扇形统计图中阴影部分扇形的圆心角是 度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）根据本次抽样调查的结果，试估计该校 2000 名学生中测试成绩为良好和优秀的共有多少人．

21. 甲、乙、丙、丁四个人做“击鼓传花”游戏，游戏规则是：第一次由甲将花随机传给乙、丙、丁三人中的某一人，以后的每一次传花都是由接到花的人随机传给其他三人中的某一人．
（1）甲第一次传花时，恰好传给乙的概率是 ；
（2）求经过两次传花后，花恰好回到甲手中的概率；
（3）经过三次传花，花落在丙手上的概率记作 P1，落在丁手上的概率记作 P2，则 P1 P2．（填“>”、“<”或者“=”）

22. 书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用 1200 元购买若干本，按每本 10 元出售，很快售完．第二次购买时，每本书的进价比第一次提高了 20%，他用 1500 元所购买的数量比第一次多 10 本．
（1）求第一次购买的图书，每本进价多少元?
（2）第二次购买的图书，按每本 10 元售出 200 本时，出现滞销，剩下的图书降价后全部售出．要使这两次销售的总利润不低于 2100 元，每本至多降价多少元?利润=销售收入−进价

23. 如图，高楼顶部有一信号发射塔 FM，在矩形建筑物 ABCD 的 D，C 两点测得该塔顶端 F 的仰角分别为 45∘，64.5∘，矩形建筑物高度 DC 为 22 米．求该信号发射塔顶端到地面的距离 FG．（精确到 1 m）（参考数据：sin64.5∘≈0.90，cs64.5∘≈0.43，tan64.5∘≈2.1）

24. 已知二次函数 y=x2−m+2x+2m−1．
（1）求证：不论 m 取何值，该函数图象与 x 轴总有两个公共点；
（2）若该函数的图象与 y 轴交于点 0,3，
①求图象与 x 轴的交点坐标；
②当 0
25. 慢车和快车先后从甲地出发匀速驶向乙地，快车比慢车晚出发 0.5 小时，行驶一段时间后，快车途中休息，休息后继续按原速行驶，到达乙地后停止．慢车和快车离甲地的距离 y（千米）与慢车出发时 x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）图中点 F 表示的实际意义是： ；
（2）慢车速度是 千米/小时，快车速度是 千米/小时；
（3）①求慢车到达乙地比快车到达乙地晚了多少小时?
②求快车途中休息了多长时间?

26. 如图，以 AB 边为直径的 ⊙O 分别交 △ABC 的边 BC，AC 于点 D，E，D 是 BC 的中点，DF⊥AC，垂足为 F，CM 与 ⊙O 相切，切点为 M．
（1）求证：DF 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 DE，求证：△DEF∽△ABD；
（3）若 ∠MCA=∠BAC，AB=10，求 AD 的长（结果保留 π）．

27. 问题背景
如图①，矩形 ABCD 中，AB=43，AB（1）实践操作
用直尺和圆规在图①中的 AD 边上作出点 P（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）基础应用
求 ∠BKM 的度数和 MK 的长；
（3）思维探究
如图②，若点 E 是直线 MN 上的一个动点．连接 EB，在 EB 左侧作等边三角形 BEF，连接 MF．则 MF 的最小值是 ；
（4）思维拓展
如图③，若点 E 是射线 KM 上的一个动点．将 △BEK 沿 BE 翻折，得 △BET，延长 CB 至 Q，使 BQ=KE，连接 TQ．当 △BTQ 是直角三角形时，KE 的长为多少?请直接写出答案．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. B
4. A
5. C
6. C
第二部分
7. 2，2
8. 1.05×10−5
9. 9
10. −6
11. −1≤x<3
12. −4
13. 92
14. −4,3
15. −5
16. 135 或 175
第三部分
17. 原式=a2−b2ab÷a−ba=a−ba+bab⋅aa−b=a+bb,
当 a=2，b=−1 时，原式=−1．
18. （1）
x−y=5, ⋯⋯①2x+y=7, ⋯⋯②①+②
得
x=4,
将 x=4 代入 ② 得
x=−1.∴
原方程组的解为 x=4,y=−1.
（2） a=3,b=−1
19. （1） （法一）
∵DF∥BE，
∴∠AFD=∠CEB，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即 AF=CE．
在 △ADF 和 △CBE 中，
AF=CE,∠AFD=∠CEB,DF=BE,
∴△ADF≌△CBESAS．
∴AD=BC，∠DAF=∠BCE．
∴AD∥BC．
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．
【解析】（法二）连接 DE，BF．
∵DF∥BE，DF=BE，
∴ 四边形 DEBF 是平行四边形．
∴OD=OB，OE=OF．
∵AE=CF，OE=OF．
∴OA=OC．
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．
（2） ∵AC 平分 ∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD∥AB．
∴∠DCA=∠BAC．
∴∠DCA=∠DAC．
∴AD=DC．
∴ 平行四边形 ABCD 为菱形．
∴AC⊥BD．
20. （1） 150；108
（2） 良好的人数是：75（人），
条形统计图中：75，图形正确；
（3） 2000×50%+30%=1600．
【解析】（法二）75+45÷150×2000=1600．
答：该校 2000 名学生测试成绩为良好和优秀的人数共有 1600 人．
21. （1） 13
（2） 树状图如图：
完成两次传花后，结果一共有 9 种，每种结果都是等可能的，其中花恰好回到甲手中有 3 种，故两次传花后，花恰好回到甲手中的概率为 13．
（3） =
22. （1） 设第一次购买图书时，每本书进价为 x 元，
由题意，得：
1200x+100=15001+20%x.
解这个方程，得：
x=5.
经检验，x=5 是所列方程的解，且符合题意．
答：第一次购书该种图书时，每本书为 5 元．
（2） 设每本书降价 y 元．
1200x=12005=240，15001+20%x=12006=250．
由题意，得：
240×10+200×10+250−200×10−y−1200−1500≥2100.
解得：
y≤2.
答：每本书至多降价 2 元．
23. 如图，延长 AD 交 FG 于点 E．
在 Rt△FDE 中，∠DEF=90∘，tan45∘=FEDE，∴DE=FE．
在 Rt△FCG 中，∠FGC=90∘，tan64.5∘=FGCG，∴CG=FG2.1．
∵DE=CG，∴FE=FG2.1．
∴FG−22=FG2.1，
解得 FG=42 （米）．
答：该信号发射塔顶端到地面的距离 FG 为 42 米．
24. （1） ∵b2−4ac=m+22−4×2m−1=m−22+4>0，
∴ 不论 m 取何值，该函数图象与 x 轴总有两个公共点．
（2） ∵ 该函数的图象与 y 轴交于点 0,3，
∴ 把 x=0，y=3 代入表达式，解得：m=2，
∴y=x2−4x+3．
①令 y=0，得 x2−4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
∴ 图象与 x 轴的交点为 1,0，3,0．
② −1≤y<8
25. （1） 当慢车行驶 3.5 小时，快车追上慢车，这时它们离甲地距离为 280 千米
（2） 80；120
（3） ①设线段 OA 对应的函数表达式为 y=mx．
将 F3.5,280 代入 y=mx 中，3.5m=280，
∴m=80，
∴ 线段 OA 对应的函数表达式为 y=80x，
令 y=400，得 x=5，5−4.5=0.5，
∴ 慢车到达乙地比快车到达乙地晚了 0.5 小时．
②设线段 DE 对应的函数表达式为 y=kx+b．
将 F3.5,280，E4.5,400 代入 y=kx+b 中，
得 3.5k+b=280,4.5k+b=400. 解方程组，得 k=120,b=−140,
∴ 线段 DE 对应的函数表达式为 y=120x−140．
令 x=2，得 y=100．
快车的速度为 400−180÷4.5−2.5=120，100÷120=56（小时），
∴2−56−12=23（小时）（或 40 分钟），
∴ 快车途中休息了 23 小时（或 40 分钟）．
26. （1） 连接 OD，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∴AD⊥BC，
∵D 是 BC 的中点，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABC，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
（或 ∵O 为 AB 中点，D 为 BC 中点，
∴OD∥AC，）
∴∠DFC=∠ODF，
∵DF⊥AC，垂足为 F，
∴∠DFC=∠DFA=90∘=∠ODF，
∴OD⊥DF，
∵ 点 D 在 ⊙O 上，
∴DF 是 ⊙O 的切线．
（2）
∵ 四边形 ABDE 内接于 ⊙O，
∴∠AED+∠ABD=180∘，
∵∠AED+∠DEF=180∘，
∴∠DEF=∠ABD，
又 ∵∠DFE=∠ADB=90∘，
∴△DEF∽△ABD．
（3） 作 CG⊥AB 于点 G，连接 OM，

∵⊙O 与 CM 相切于点 M，
∴OM⊥CM，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠BAD=2∠CAD，
∵∠MCA=2∠BAD，
∴∠BAC=∠MCA，
∴CM∥AB，
∴CG=OM=OA=12AB=12AC=5，
在 Rt△ACG 中，
∵sin∠BAC=CGAC=12，
∴∠BAC=30∘，
∵OD∥AC，
∴∠AOD+∠BAC=180∘，
∴∠AOD=150∘，
∴AD 的长为 150⋅π⋅5180=25π6．
27. （1） 作 ∠ABK 的角平分线交 AD 于 P，或连 AK 作 AK 的垂直平分线交 AD 于 P 或过点 K 作 BK 的垂线交 AD 于 P．
（2） 方法一：
由题意知：MN 是矩形 ABCD 的对称轴，
∴AK=BK，
∴∠KMB=90∘，
由折叠可知：
BA=BK，
∴BA=BK=AK，
∴△BAK 是等边三角形，
∴∠ABK=60∘，
∴∠BKM=90∘−∠ABK=90∘−60∘=30∘，
∵BK=43，BM=23，∠KMB=90∘，
∴MK2=BK2−BM2=432−232=36，
∴MK=6．
【解析】方法二：
由折叠可知：
BK=2BM，
∵∠KMB=90∘，
∴sin∠BKM=BMBK=12，
∴∠BKM=30∘，
∵BK=43，BM=23，∠KMB=90∘，
∴MK2=BK2−BM2=432−232=36，
∴MK=6．
（3） 3
（4） 4，6，12，8．