2018年南京市六合区中考二模数学试卷

这是一份2018年南京市六合区中考二模数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 计算 4+6÷−2 的结果是
A. −5B. −1C. 1D. 5

2. 每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为 0.0000105 m，该数值用科学记数法表示为
A. 1.05×10−5B. 0.105×10−4C. 1.05×105D. 105×10−7

3. 计算 a5⋅−1a2 的结果是
A. −a3B. a3C. a7D. a10

4. 无理数 10 介于整数
A. 4 与 5 之间B. 3 与 4 之间C. 2 与 3 之间D. 1 与 2 之间

5. 二次函数 y=x2+2x−m2+1 的图象与直线 y=1 的公共点个数是
A. 0B. 1C. 2D. 1 或 2

6. 在如图直角坐标系内，四边形 AOBC 是边长为 2 的菱形，E 为边 OB 的中点，连接 AE 与对角线 OC 交于点 D，且 ∠BCO=∠EAO，则点 D 坐标为
A. 33,32B. 1,12C. 32,33D. 1,33

二、填空题（共10小题；共50分）
7. −2 的绝对值是 ，−2 的相反数是 ．

8. 若式子 1+1x+2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

9. 分解因式 3a2−3 的结果是 ．

10. 计算 8−13×6 的结果是 ．

11. 直线 y=12x 与双曲线 y=kx 在第一象限的交点为 a,1，则 k= ．

12. 已知方程 x2−mx−3m=0 的两根是 x1，x2，若 x1+x2=1，则 x1x2= ．

13. 如图，若正方形 EFGH 由正方形 ABCD 绕图中某点顺时针旋转 90∘ 得到，则旋转中心应该是 点．

14. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=2，AB=22，以点 A 为圆心，AD 为半径的圆与 BC 相切于点 E，交 AB 于点 F，则 DF 的长为 ．

15. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，四边形 OABC 是平行四边形，OD⊥AB 于点 E，交 ⊙O 于点 D，则 ∠BAD= ∘．

16. 如图，一个八边形的八个内角都是 135∘，连续六条边长依次为 6，3，6，4，4，3（如图所示），则这个八边形的周长为 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 解方程组 x+4y=−2,3x−2y=8.

18. 先化简，再求值：1+x1−x÷x−2x1−x，其中 x=3．

19. 为了传承优秀传统文化，市里组织了一次“汉字听写”大赛，我区有 1200 名初三学生参加区级初赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了 100 名学生的成绩（满分 50 分），整理得到如图的统计图表：请根据所提供的信息解答下列问题：
成绩分363738394041424344454647484950人数123367581591112864
成绩分组频数频率35≤x<3830.0338≤x<41a0.1241≤x<44200.2044≤x<47350.3547≤x≤5030b
（1）样本的中位数是 分；
（2）若按成绩分组情况绘制成扇形统计图，则表示 47≤x≤50 这组的扇形圆心角为 ∘；
（3）请补全频数分布直方图；
（4）请根据抽样统计结果，估计我区初赛中成绩不低于 41 分的学生有多少人?

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，连接 BE 并延长，交 AD 延长线于点 F，连接 BD，CF．
（1）求证：△CEB≌△DEF；
（2）若 AB=BF，试判断四边形 BCFD 的形状，并证明．

21. 有甲、乙两把不同的锁和A，B，C三把不同的钥匙．其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．
（1）随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是 ；
（2）随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好能都打开的概率

22. 某景区商店以 2 元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价 3 元，每天可以能卖出 500 件，而且定价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的 2.5 倍．
（1）当每个纪念品定价为 3.5 元时，商店每天能卖出 件；
（2）如果商店要实现每天 800 元的销售利润，那该如何定价?

23. 某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度为 y（米），操控无人机的时间为 x（分），y 与 x 之间的函数图象如图所示．
（1）无人机的速度为 米/分；
（2）求线段 BC 所表示的 y 与 x 之间函数表达式；
（3）无人机在 50 米上空持续飞行时间为 分．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，以边 BC 为直径作 ⊙O，交 AB 于 D，DE 是 ⊙O 的切线，过点 B 作 DE 的垂线，垂足为 E．
（1）求证 ∠ABC＝∠ABE；
（2）求 DE 的长．

25. 如图，坡度为 1:2 的斜坡 AP 的坡顶有一铁塔 BC，在坡底 P 处测得塔顶 B 的仰角为 53∘，在沿斜坡前进 55 米至 A 处，测得塔顶 B 的仰角为 63∘，已知 A，C 在同一水平面上．求铁塔 BC 的高度．（参考数据：sin63∘≈0.89，cs63∘≈0.45，tan63∘≈2，sin53∘≈0.8，cs53∘≈0.6，tan53∘≈43）

26. 定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．
（1）已知二次函数 y=−x−22+3，则它的“反簇二次函数”是 ；
（2）已知关于 x 的二次函数 y1=2x2−2mx＋m+1 和 y2=ax2+bx+c，其中 y1 的图象经过点 1,1．若 y1+y2 与 y1 互为“反簇二次函数”．求函数 y2 的表达式，并直接写出当 0≤x≤3 时，y2 的最小值．

27. （1）【重温旧知】圆内接四边形的内角具有特殊的性质．
如图①，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，若 AB=BD，∠ABD=50∘，则 ∠BCD= ∘．
（2）【提出问题】圆内接四边形的边会有特殊性质吗?
如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：AB⋅CD+BC⋅DA=AC⋅BD，请按他们的思路继续完成证明．
证明：如图③，作 ∠BAE=∠CAD，交 BD 于点 E．
∵∠BAE=∠CAD，∠ABD=∠ACD，
∴△ABE∽△ACD，
∴ABAC=BECD 即 AB⋅CD=AC⋅BE．
（3）【应用迁移】如图④，已知等边 △ABC 外接圆 ⊙O，点 P 为 BC 上一点，且 PB=2，PC=1，求 PA 的长．
（4）【解决问题】如图⑤，已知 △ABC（其中 ∠A，∠B，∠C 均小于 120∘），现要在 △ABC 内找一点 P，使点 P 到 A，B，C 的距离之和最小，请在图⑤中作出点 P．（尺规作图，保留作图痕迹）
答案
第一部分
1. C
2. A
3. B
4. B
5. C
6. D
第二部分
7. 2，2
8. −2
9. 3a−1a+1
10. 2
11. 2
12. −3
13. M
14. 32π
15. 15
16. 38−22
第三部分
17. ①+②×2 得：
7x=14.
得：
x=2.
把 x=2 代入 ① 得：
y=−1.∴
方程组的解为：
x=2,y=−1.
18. 1+x1−x÷x−x21−x−2x1−x=1+x1−x÷−x−x21−x=1+x1−x⋅1−x−x1+x=−1x.
当 x=3 时，原式=−33．
19. （1） 44.5
（2） 108
（3） 略．
（4） 1200×0.85=1020（人），
答：我区初赛中成绩不低于 41 分的学生有 1020 人．
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AF∥BC，
∴∠AFB=∠CBF，∠FDC=∠DCB，
∵ 点 E 是 CD 的中点，
∴BE=EF，
∴△CEB≌△DEF．
（2） 四边形 BCFD 是矩形，
∵△CEB≌△DEF，
∴CE=DE，
∵BE=EF，
∴ 四边形 BCFD 是平行四边形，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，
∵AB=BF，
∴BF=CD，
∴ 平行四边形 BCFD 为矩形．
21. （1） 13
（2）
可能出现的结果有 6 种，并且它们出现的可能性相等．
恰好打开这两把锁的概率是 16．
22. （1） 450
（2） 设实现每天 800 元利润的定价为 x 元/个，根据题意，得
x−2500−x−30.1×10=800.
整理得：
x2−10x+24=0.
解之得：
x1=4,x2=6.∵
物价局规定，售价不能超过批发价的 2.5 倍．即 2.5×2=5<6，
∴x2=6 不合题意，舍去，得 x=4．
答：应定价 4 元/个，才可获得 800 元的利润．
23. （1） 20
（2） 由速度为 20 米/分，得 C6,60，
设线段 BC 的表达式 y=kx+bk≠0，
由 B5,40，C6,60 得，40=5k+b,60=6k+b.
解得：k=20,b=−60.
∴ 线段 BC 的表达式为：y=20x−60．
（3） 4
24. （1） 连接 OD，
∵DE 是 ⊙O 的切线；
∴OD⊥DE，
∵BE⊥DE，
∴OD∥BE，
∴∠EBD=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABC，
∴∠ABC=∠ABE．
（2） 连接 CD，
在 Rt△ABC 中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵⊙O 的半径，
∴∠CDB=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACB=∠CDB，
∵∠B=∠B，
∴△BDC∽△BCA．
∴BDBC=BCAB，即 BD4=45，
∴BD=165，
∵∠ACB=∠DEB=90∘，∠ABC=∠ABE，
∴△DEB∽△ACB．
∴DEAC=BDAB，即 DE3=1655，
∴DE=4825．
25. 作 AD⊥PQ，垂足为 D，延长 BC 交 PQ 于 E，
在 Rt△APD 中 AP=55，坡度为 1:2，
得 AD=5，PD=10，
在矩形 ADEC 中，CE=AD=5，AC=DE，
设 BC 的高度为 x m，
在 Rt△ACB 中，tan63∘=BCAC，
∴AC=x2，
在 Rt△ACB 中，tan53∘=BEPE，
∴PE=x+543，
∴x+543−x2=10，
解得 x=25．
答：铁塔 BC 的高度约为 25 米．
26. （1） y=x−22+3
（2） ∵y1 的图象经过点 A1,1，
∴2−2m+m+2=2．
解得 m=2．
∴y1=2x2−4x+3=2x−12+1．
∴y1+y2=2x2−4x+3+ax2+bx+c=a+2x2+b−4x+c+3．
∵y1+y2 与 y1 为“反簇二次函数”，
∴y1+y2=−2x−12+1=−2x2+4x−1，
∴2+a=−2,b−4=4,c+3=−1. 解得：a=−4,b=8,c=−4.
∴ 函数 y2 的表达式为：y2=−4x2+8x−4．
当 0≤x≤3 时，y2 的最小值为 −16．
27. （1） 115
（2） 如图③，
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE，即 ∠BAC=∠DAE，
又 ∵∠ACB=∠ADB，
∴△ABC∽△AED，
∴BCDE=ACAD，即 AD⋅BC=AC⋅DE，
∴AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BE+AC⋅DE，
∴AB⋅CD+BC⋅DA=AC⋅BD．
（3） 由（2）可知 PB⋅AC+PC⋅AB=PA⋅BC，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∴PB+PC⋅BC=PA⋅BC，
∴PB+PC=PA，即 PA=2+1．
（4） 如图，以 BC 为边长在 △ABC 的外部作等边 △BCD，作出 △BCD 的外接圆，连接 AD，交圆于点 P，点 P 即为所求．