2018年南京市秦淮区中考一模数学试卷

这是一份2018年南京市秦淮区中考一模数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 计算 −32 的结果是
A. 3B. −3C. 9D. −9

2. 据某数据库统计，仅 2018 年第一个月，区块链行业融资额就达到 680000000 元．将 680000000 用科学记数法表示为
A. 0.68×109B. 6.8×107C. 6.8×108D. 6.8×109

3. 下列计算正确的是
A. a3+a2=a5B. a10÷a2=a5C. a23=a5D. a2⋅a3=a5

4. 某校航模兴趣小组共有 30 位同学，他们的年龄分布如下表：
由于表格污损，15 和 16 岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是
A. 平均数、中位数B. 众数、中位数C. 平均数、方差D. 中位数、方差

5. 将二次函数 y=−x2 的图象向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，所得图象的函数表达式为
A. y=−x−22+3B. y=−x−22−3
C. y=−x+22+3D. y=−x+22−3

6. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的顶点坐标分别为 A3.6,a，B2,2，Cb,3.4，D8,6，则 a+b 的值为
A. 8B. 9C. 10D. 11

二、填空题（共10小题；共50分）
7. −3 的相反数是 ；−3 的倒数是 ．

8. 若式子 x−1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

9. 计算 3×122 的结果是 ．

10. 方程 1x−2=3x 的解是 ．

11. 若关于 x 的一元二次方程的两个根 x1，x2 满足 x1+x2=3，x1⋅x2=2，则这个方程是 ．（写出一个符合要求的方程）

12. 将函数 y=x 的图象绕坐标原点 O 顺时针旋转 90∘，所得图象的函数表达式为 ．

13. 已知 ⊙O 的半径为 10 cm，弦 AB∥CD，AB=12 cm，CD=16 cm，则 AB 和 CD 的距离为 cm．

14. 在照明系统模拟控制电路实验中，研究人员发现光敏电阻值 R（单位：Ω）与光照度 E（单位：lx）之间成反比例函数关系，部分数据如下表所示，则光敏电阻值 R 与光照度 E 的函数表达式为 ．
光照度光敏电阻阻值R/Ω603020151210

15. 如图，在 △ABC 中，∠A=70∘，∠B=55∘，以 BC 为直径作 ⊙O，分别交 AB，AC 于点 E，F，则 EF 的度数为 ∘．

16. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，BE=13BC，连接 AE，作 BF⊥AE，分别与 AE，CD 交于点 K，F，G，H 分别在 AD，AE 上，且四边形 KFGH 是矩形，则 HGAB= ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 计算 1a−b−ba2−b2÷aa+b．

18. 解一元二次不等式 x2−4>0．
请按照下面的步骤，完成本题的解答．
解：x2−4>0 可化为 x+2x−2>0．
（1）依据“两数相乘，同号得正”，可得不等式组 ①x+2>0,x−2>0 或不等式组 ② ．
（2）解不等式组 ①，得 ．
（3）解不等式组 ②，得 ．
（4）一元二次不等式 x2−4>0 的解集为 ．

19. 已知关于 x 的一元二次方程 x−m2−2x−m=0（m 为常数）．
（1）求证：不论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程一个根为 3，求 m 的值．

20. 如图，平行四边形 ABCD 中，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，∠ABC 的平分线交 AD 于点 F，连接 EF．求证：四边形 ABEF 是菱形．

21. 中国的茶文化源远流长，根据制作方法和茶多酚氧化（发酵）程度的不同，可分为六大类：绿茶（不发酵）、白茶（轻微发酵）、黄茶（轻发酵）、青茶（半发酵）、 黑茶（后发酵）、红茶（全发酵）．春节将至，为款待亲朋好友，小叶去茶庄选购茶叶．茶庄有碧螺春、龙井两种绿茶，一种青茶——武夷岩茶及一种黄茶——银针出售．
（1）随机购买一种茶叶，是绿茶的概率为 ；
（2）随机购买两种茶叶，求一种是绿茶、一种是银针的概率．

22. 如图，甲、乙两人在一次射击比赛中击中靶的情况（击中靶中心“×”所在的圆面为 10 环，靶中各数字表示该数所在圆环被击中所得的环数），每人射击了 6 次．
（1）请选择适当的统计图描述甲、乙两人成绩；
（2）请你运用所学的统计知识做出分析，从两个不同角度评价甲、乙两人的打靶成绩．

23. 某商场在“双十一”促销活动中决定对购买空调的顾客实行现金返利．规定每购买一台空调，商场返利若干元．经调查，销售空调数量 y1（单位：台）与返利 x（单位：元）之间的函数表达式为 y1=x+800．每台空调的利润 y2（单位：元）与返利 x 的函数图象如图所示．
（1）求 y2 与 x 之间的函数表达式；
（2）每台空调返利多少元才能使销售空调的总利润最大?最大总利润是多少?

24. 一铁棒欲通过一个直角走廊．如图，是该铁棒紧挨着墙角 E 通过时的两个特殊位置：当铁棒位于 AB 位置时，它与墙面 OG 所成的角 ∠ABO=51∘18ʹ；当铁棒底端 B 向上滑动 1 m（即 BD=1 m）到达 CD 位置时，它与墙面 OG 所成的角 ∠CDO=60∘．求铁棒的长．（参考数据：sin51∘18ʹ≈0.780，cs51∘18ʹ≈0.625，tan51∘18ʹ≈1.248）

25. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，AD 是 △ABC 的角平分线，以 D 为圆心，DC 为半径作 ⊙D，交 AD 于点 E．
（1）判断直线 AB 与 ⊙D 的位置关系并证明
（2）若 AC=1，求 CE 的长．（答案保留根号和 π）

26. 开本指书刊幅面的规格大小．如图①，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到 2 开纸，再对折得到 4 开纸，以此类推可以得到 8 开纸、 16 开纸 ⋯⋯ 若这张矩形印刷用纸的短边长为 a．
（1）如图②，若将这张矩形印刷用纸 ABCD（AB>BC）进行折叠，使得 BC 与 AB 重合，点 C 落在点 F 处，得到折痕 BE；展开后，再次折叠该纸，使点 A 落在 E 处，此时折痕恰好经过点 B，得到折痕 BG，求 ABBC 的值．
（2）如图③，2 开纸 BCIH 和 4 开纸 AMNH 的对角线分别是 HC，HM．说明 HC⊥HM．
（3）将图①中的 2 开纸、 4 开纸、 8 开纸和 16 开纸按如图④所示的方式摆放，依次连接点 A，B，M，I，则四边形 ABMI 的面积是 ．（用含 a 的代数式表示）

27. 【数学概念】
若四边形 ABCD 的四条边满足 AB⋅CD=AD⋅BC，则称四边形 ABCD 是和谐四边形．
（1）【特例辨别】
下列四边形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，其中一定是和谐四边形的是 ．（填写所有符合要求的四边形的序号）
（2）【概念判定】
如图①，过 ⊙O 外一点 P 引圆的两条切线 PS，PT，切点分别为 A，C，过点 P 作一条射线 PM，分别交 ⊙O 于点 B，D，连接 AB，BC，CD，DA．求证：四边形 ABCD 是和谐四边形．
（3）【知识应用】
如图②，CD 是 ⊙O 的直径，和谐四边形 ABCD 内接于 ⊙O，且 BC=AD．请直接写出 AB 与 CD 的关系．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. D
4. B
5. A
6. D
第二部分
7. 3，−13
8. x≥1
9. 32
10. x=3
11. 答案不唯一，如 x2−3x+2=0
12. y=−x
13. 2 或 14
14. R=30E
15. 40
16. 71030
第三部分
17. 1a−b−ba2−b2÷aa+b=a+ba+ba−b−ba+ba−b÷aa+b=aa+ba−b⋅a+ba=1a−b.
18. （1） x+2<0,x−2<0.
（2） x＞2．
（3） x<−2．
（4） x>2 或 x<−2．
19. （1） 解法一：
原方程可化为 x−mx−m−2=0．
解这个方程，得 x1=m，x2=m+2．
所以不论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【解析】解法二：
原方程可化为 x2−2m+2x+m2+2m=0．
因为 a=1，b=−2m+2，c=m2+2m，
所以 b2−4ac=−2m+22−4m2+2m=4>0．
所以不论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2） 解法一：
当 x1=3 时，m=3．
当 x2=3 时，m=1．
所以 m 的值为 3 或 1．
【解析】解法二：
因为一个根为 3，将 x=3 代入 x−m2−2x−m=0 得 3−m2−23−m=0．
解这个方程，得 m1=3，m2=1．
所以 m 的值为 3 或 1．
20. ∵∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，
∴∠BAE=∠EAF．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠EAF=∠AEB．
∴∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
同理，AB=AF．
∴BE=AF．
∵AD∥BC，
∴ 四边形 ABEF 是平行四边形．
∵AB=BE，
∴ 平行四边形 ABEF 是菱形．
21. （1） 12
（2） 随机购买两种茶叶，所有可能出现的结果有：（碧螺春，龙井）、（碧螺春，武夷岩茶）、（碧螺春，银针）、（龙井，武夷岩茶）、（龙井，银针）、（武夷岩茶，银针），共有 6 种，它们出现的可能性相同．
所有的结果中，满足“一种是绿茶、一种是银针”（记为事件 A）的结果有 2 种，
所以 PA=26=13．
22. （1） 图略．
（2） 答案不唯一，
如从数据的集中程度——平均数看，
x甲=10+10+9+9+8+86=9（环）；
x乙=10+10+9+9+9+76=9（环）．
因为 x甲=x乙，所以两人成绩相当．
从数据的离散程度——方差看，
S甲2=10−92+10−92+9−92+9−92+8−92+8−926=23环2；
S乙2=10−92+10−92+9−92+9−92+9−92+7−926=1环2；
因为 S甲223. （1） 设 y2=kx+b．
根据题意，得 200k+b=160,b=200.
解得 k=−15,b=200.
所以 y2=−15x+200．
（2） 设该商场销售空调的总利润为 w 元．
根据题意，得 w=x+800−15x+200=−15x−1002+162000．
当 x=100 时，w 的值最大，最大值是 162000．
所以商场每台空调返利 100 元时，总利润最大，最大总利润为 162000 元．
24. 设铁棒的长为 x m．
在 Rt△AOB 中，cs∠ABO=OBAB，
∴OB=AB⋅cs∠ABO=x⋅cs60∘=12x．
在 Rt△COD 中，cs∠CDO=ODCD，
∴OD=CD⋅cs∠CDO=x⋅cs51∘18ʹ≈0.625x．
∵BD=OD−OB，
∴0.625x−12x=1．
解这个方程，得 x=8．
答：该铁棒的长为 8 m．
25. （1） AB 与 ⊙D 相切．
证明：过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F．
∵AD 是 Rt△ABC 的角平分线，∠C=90∘，
∴DF=DC，
即 d=r．
∴AB 与 ⊙D 相切．
（2） ∵∠C=90∘，AC=BC=1，
∴∠BAC=∠B=45∘，AB=2．
∵DF⊥AB，
∴∠BDF=∠B=45∘．
∴BF=DF．
∵AB，AC 分别与 ⊙D 相切，
∴AF=AC=1．
设 ⊙D 的半径为 r．
易得 BF=2−1，BD=1−r．
∴22−1=1−r．
∴r=2−1．
∵AD 是 Rt△ABC 的角平分线，∠BAC=45∘，
∴∠DAC=12∠BAC=22.5∘．
又 ∵∠C=90∘，
∴∠CDE=67.5∘．
∴lCE=π2−1×67.5180=32−3π8．
26. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠C=90∘．
∵ 第一次折叠使点 C 落在 AB 上的 F 处，并使折痕经过点 B，
∴∠CBE=∠FBE=45∘．
∴∠CBE=∠CEB=45∘．
∴BC=CE=a，BE=2a．
∵ 第二次折叠纸片，使点 A 落在 E 处，得到折痕 BG，
∴AB=BE=2a．
∴ABBC=2．
（2） 根据题意和（1）中的结论，有 AH=BH=22a，AM=12a．
∴AMBH=AHBC=22．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A=∠B=90∘．
∴△MAH∽△HBC．
∴∠AHM=∠BCH．
∵∠BCH+∠BHC=90∘．
∴∠AHM+∠BHC=90∘．
∴∠MHC=90∘．
∴HC⊥HM．
（3） 27232a2
27. （1） ③④
（2） 连接 CO 并延长，交 ⊙O 于点 E，连接 BE．
∵PT 是 ⊙O 的切线，切点为 C，
∴∠PCE=90∘．
∴∠PCB+∠ECB=90∘．
∵CE 是 ⊙O 的直径，
∴∠CBE=90∘．
∴∠BEC+∠ECB=90∘．
∴∠BEC=∠PCB．
又 ∵∠BEC=∠BDC，
∴∠PCB=∠BDC．
又 ∵∠BPC=∠CPD，
∴△PBC∽△PCD．
∴CBCD=PCPD．
同理，ABAD=PAPD．
∵PA，PC 为 ⊙O 的切线，
∴PA=PC．
∴CBCD=ABAD．
∴AB⋅CD=AD⋅BC．
∴ 四边形 ABCD 是和谐四边形．
（3） AB∥CD，CD=3AB．