2021年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷

这是一份2021年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）计算|﹣2×4×0.25|的结果是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
2．（2分）计算（ab3）2的结果是（　　）
A．2ab3 B．ab6 C．a2b5 D．a2b6
3．（2分）根据国家电影局发布的数据显示，2021年2月11日（除夕）至17日（正月初六），全国电影票房达7822000000元，刷新了春节档全国电影票房纪录，用科学记数法表示7822000000是（　　）
A．78.22×108 B．7.822×109
C．7.822×1010 D．0.7822×1010
4．（2分）已知A＝x2+a，B＝2x，若对于所有的实数，A的值始终比B的值大，则a的值可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（2分）数轴上A、B、C三点分别对应实数a、b、c，点A、C关于点B对称，若a＝，b＝4，则下列各数中，与c最接近的数是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
6．（2分）如图，把直径为60cm的圆形车轮（⊙O）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（　　）

A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为30πcm
B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为60πcm
C．当点P第一次到达距离地面15cm的高度时，圆心O运动的路径的长为7.5πcm
D．当点P第二次到达距离地面30cm的高度时，圆心O运动的路径的长为45πcm
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．（2分）4的平方根是　 　，27的立方根是　 　．
8．（2分）若分式的值为零，则x的值为　 　．
9．（2分）方程x2＝3x的解为：　 　．
10．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4），则k＝　 　．
11．（2分）计算的结果是　 　．
12．（2分）某校国旗护卫队有5名学生，身高（单位：cm）分别为173、174、174、174、175，则这5名学生身高的方差为　 　cm2．
13．（2分）如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠C﹣∠1＝　 　°．

14．（2分）如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若MN＝2，则BC＝　 　．

15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点（1，），且与x轴的夹角为30°，则直线l与坐标轴所围成的三角形的周长是　 　．

16．（2分）已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣3，﹣1，1时，所对应的y值只有一个小于0，那么m的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）解不等式＜1．
18．（7分）计算：．
19．（7分）某车间生产一种零件，该零件由甲乙两种配件组成，现有7名工人，每人每天可制作甲配件900个或者乙配件1200个．应怎样安排人力，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等？
20．（7分）如表是某地某个月中午12时的气温（单位：℃）的统计数据．
某地某个月中午12时的气温频数分布表
组别
气温分组
频数
1
12≤x＜16
1
2
16≤x＜20
5
3
20≤x＜24
6
4
24≤x＜28
8
5
28≤x＜32
10

方法指导
数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数，例如：第1小组12≤x＜16的组中值为＝14．根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权．
根据统计的数据，回答下列问题：
（1）该地该月中午12时的气温的中位数落在第　 　组内；
（2）求该地该月中午12时的平均气温．
21．（7分）一只不透明的袋子中装有1个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出2个球．
（1）若这个袋子中共有4个球，求摸出红球的概率；
（2）若这个袋子中共有n（n＞1且n为正整数）个球，则摸出红球的概率是　 　（用含n的代数式表示）．
22．（8分）已知关于x的方程mx2+（m﹣1）x﹣1＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）若该方程有两个实数根x1、x2，求x1+x2+x1x2的值．
23．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E与点O关于CD对称．
（1）连接CE、DE，求证：四边形CEDO是菱形；
（2）若AB＝2，∠AOB＝60°，求点E、O之间的距离．

24．（8分）如图，为测量直立在建筑物AB上的广告牌AC的高度，小莉在地面上D的处测得A的仰角为31°，然后她沿正对建筑物方向前进了10m到达E处，此时测试A、C的仰角分别为45°、52°，求广告牌AC的高度．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28．）

25．（8分）某宾馆有8位旅客要在当日上午10点前到达火车站，他们上午9点出发，唯一可以利用的交通工具只有一辆汽车，但这辆汽车连同司机在内最多能乘坐5人，司机需要分两批接送旅客，接送第一批旅客的同时，让其余旅客步行前往，汽车到达火车站后，立即返回接送第二批步行的旅客．在整个过程中，汽车行驶的速度始终不变，旅客上下车的时间忽略不计．设汽车从宾馆出发xh后，汽车和第二批旅客分别到达离宾馆y1km，y2km的地方，图中的折线OABC表示y1与x之间的函数关系，折线OBC表示y2与x之间的函数关系．
（1）宾馆与火车站相距　 　km，第二批旅客的步行速度是　 　km/h；
（2）解释图中点B的实际意义；
（3）第二批旅客能否在上午10点前到达火车站？如果能，请说明理由；如果不能，汽车在接到第二批旅客后至少提速多少才能保证不晚于10点到达？

26．（9分）如图①，△ABC的内切圆⊙与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，DO、EO、FO的延长线分别交⊙O于点G、H、I，过点G、H、I分别作AB、BC、AC的平行线，从△ABC上截得六边形JKMNPQ．通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹边和它们的对角的夹边称为六边形的对边．
（1）求证：六边形JKMNPQ的对角相等；
（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，如图②，连接OJ、OM、ON、OQ，他发现△DOM≌△GOQ、△DON≌△GOJ，于是猜想六边形JKMNPQ的对边也相等．请你证明他的发现与猜想．

27．（12分）【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：
如图①，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形ABCD和一个△CDE组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口是一个矩形形状的联动装置，顶点P、只能在边框AB上滑动，顶点M、N可在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可自动伸缩的金属杆，当金属杆MN上下移动时，其他金属杆也随之移动，图①、图②是通风口打开时的两种不同情况，试确定金属杆MN的位置，使通风口（矩形PQNM）面积最大．

设窗子的边框AB、AD分别为am，bm，窗子的高度（窗子的最高点到边框AB的距离）为cm．
【初步探究】
（1）若a＝2，b＝1，c＝2（即点E到AB的距离为2），MN与AB之间的距离为xm，通风口的面积为ym2．
①分别求出当0≤x≤1和1≤x≤2时y与x之间的函数表达式；
②金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【深入探究】
（2）若金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c需要满足的条件是　 　，通风口的最大面积是　 　m2．（用含a、b、c的代数式表示）
②用直尺和圆规在图③中作出通风口面积最大金属杆MN所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）若将窗子的上部分边框改为以AB的中点O为圆心的圆弧（CD）形状（如图④所示），其他条件不变，金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大．（直接写出答案，不必说明理由）


2021年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）计算|﹣2×4×0.25|的结果是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】利用有理数的乘法法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝|﹣2×4×|＝|﹣2|＝2．
故选：C．
2．（2分）计算（ab3）2的结果是（　　）
A．2ab3 B．ab6 C．a2b5 D．a2b6
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，可得答案．
【解答】解：原式＝a2b6，
故选：D．
3．（2分）根据国家电影局发布的数据显示，2021年2月11日（除夕）至17日（正月初六），全国电影票房达7822000000元，刷新了春节档全国电影票房纪录，用科学记数法表示7822000000是（　　）
A．78.22×108 B．7.822×109
C．7.822×1010 D．0.7822×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：7822000000＝7.822×109．
故选：B．
4．（2分）已知A＝x2+a，B＝2x，若对于所有的实数，A的值始终比B的值大，则a的值可能是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】本题只需根据题意列出一元二次不等式，解出不等式即可．
【解答】解：由题可得：∵A的值始终比B的值大，
∴有x2+a＞2x，
即x2﹣2x+a＞0，∀x∈R，
即y＝x2﹣2x+a的函数图像与x轴无交点，
∴△＝4﹣4a＜0，
∴a＞1．
故选：D．
5．（2分）数轴上A、B、C三点分别对应实数a、b、c，点A、C关于点B对称，若a＝，b＝4，则下列各数中，与c最接近的数是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【分析】先求得AB的长度，根据点A、C关于点B对称，即可得出BC的长，再用BC的长度加上4可得出点C所对应的实数．
【解答】解：∵A、B两点对应的实数是和4，
∴AB＝4﹣，
∵点A与点C关于点B对称，
∴BC＝4﹣，
∴点C所对应的实数是4+4﹣＝8﹣≈4．
故选：A．
6．（2分）如图，把直径为60cm的圆形车轮（⊙O）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（　　）

A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为30πcm
B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为60πcm
C．当点P第一次到达距离地面15cm的高度时，圆心O运动的路径的长为7.5πcm
D．当点P第二次到达距离地面30cm的高度时，圆心O运动的路径的长为45πcm
【分析】圆心O运动的路径等于圆上的点滚动的距离，利用弧长公式即可得到答案．
【解答】解：直径为60cm的圆，周长为60πcm，
A、当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为60π×＝30π（cm），故A不符合题意；
B、当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长即是圆的周长60πcm，故B不符合题意；
C、当点P第一次到达距离地面15cm的高度时，圆上的点滚动的距离是60°圆心角所对的弧长，即60π×＝10π（cm），故C符合题意；
D、当点P第二次到达距离地面30cm的高度时，圆上的点滚动的距离是270°圆心角所对的弧长，即60π×＝45π（cm），故D不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．（2分）4的平方根是　±2　，27的立方根是　3　．
【分析】利用平方根、立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：4的平方根是±2，27的立方根是3．
故答案为：±2，3．
8．（2分）若分式的值为零，则x的值为　1　．
【分析】分式的值为0的条件是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题．
【解答】解：，
则x﹣1＝0，x+1≠0，
解得x＝1．
故若分式的值为零，则x的值为1．
9．（2分）方程x2＝3x的解为：　x1＝0，x2＝3　．
【分析】首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．
【解答】解：移项得：x2﹣3x＝0，
即x（x﹣3）＝0，
于是得：x＝0或x﹣3＝0．
则方程x2＝3x的解为：x1＝0，x2＝3．
故答案是：x1＝0，x2＝3．
10．（2分）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4），则k＝　﹣4　．
【分析】坐标代入函数关系式即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4），
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
11．（2分）计算的结果是　　．
【分析】先分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝．
故答案为．
12．（2分）某校国旗护卫队有5名学生，身高（单位：cm）分别为173、174、174、174、175，则这5名学生身高的方差为　0.4　cm2．
【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数是：（173+174+174+174+175）＝174（cm），
则这5名学生身高的方差为×[（173﹣174）2+3×（174﹣174）2+（175﹣174）2]＝0.4（cm2）．
故答案为：0.4．
13．（2分）如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠C﹣∠1＝　54　°．

【分析】利用多边形的内角和定理可得∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠E＝＝108°，由BF⊥AB，可得∠CBF的度数，利用三角形的内角和定理可得∠1，易得结果．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠E＝＝108°，
∵BF⊥AB，
∴∠ABF＝90°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝108°﹣90°＝18°，
∴∠1＝180°﹣∠C﹣∠CBF＝180°﹣108°﹣18°＝54°，
∴∠C﹣∠1＝108°﹣54°＝54°，
故答案为：54．
14．（2分）如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若MN＝2，则BC＝　8　．

【分析】连接DE，由点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC得到DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理即可求得BC．
【解答】解：连接DE，
∵O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴DE＝BC，
∴BC＝2DE，
∵M、N分别是OD、OE的中点，
∴MN＝DE，
∴DE＝2MN，
∴BC＝4MN，
∵MN＝2，
∴BC＝8，
故答案为：8．

15．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点（1，），且与x轴的夹角为30°，则直线l与坐标轴所围成的三角形的周长是　4+4　．

【分析】先求得直线l的解析式，即可求得直线与坐标轴的交点坐标，解直角三角形求得AB，进而即可求得直线l与坐标轴所围成的三角形的周长．
【解答】解：∵直线经过点（1，），且与x轴的夹角为30°，
∴y＝﹣x+b，
∴＝﹣+b，
∴b＝，
∴直线l为：y＝﹣x+，
令x＝0，则y＝；令y＝0，则x＝4，
∴直线与坐标轴的交点为A（4，0），B（0，），
∴AB＝＝＝，
∴直线l与坐标轴所围成的三角形的周长＝4++＝4+4，
故答案为4+4．

16．（2分）已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣3，﹣1，1时，所对应的y值只有一个小于0，那么m的取值范围是　﹣4＜m＜2且m≠﹣2，m≠0　．
【分析】根据题意得到或，解不等式组即可求得．
【解答】解：由题意得或，
由解得0＜m＜2，由解得﹣4＜m＜0且m≠﹣2．
∴m的取值范围是﹣4＜m＜2且m≠﹣2，m≠0，
故答案为：﹣4＜m＜2且m≠﹣2，m≠0．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）解不等式＜1．
【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项即可．
【解答】解：去分母，得3（x+1）﹣2x＜6．
去括号，得3x+3﹣2x＜6．
移项，得3x﹣2x≤6﹣3．
合并同类项，得x＜3．
18．（7分）计算：．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝．
19．（7分）某车间生产一种零件，该零件由甲乙两种配件组成，现有7名工人，每人每天可制作甲配件900个或者乙配件1200个．应怎样安排人力，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等？
【分析】设安排x名工制作甲配件，安排（7﹣x）名工制作乙配件，由题意可得等量关系：每天制作的甲乙配件的个数相等，得出方程，求出即可．
【解答】解：设安排x名工制作甲配件，安排（7﹣x）名工制作乙配件，
900x＝1200（7﹣x），
解得：x＝4，
7﹣4＝3（名），
答：安排4名工制作甲配件，安排3名工制作乙配件，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等．
20．（7分）如表是某地某个月中午12时的气温（单位：℃）的统计数据．
某地某个月中午12时的气温频数分布表
组别
气温分组
频数
1
12≤x＜16
1
2
16≤x＜20
5
3
20≤x＜24
6
4
24≤x＜28
8
5
28≤x＜32
10

方法指导
数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数，例如：第1小组12≤x＜16的组中值为＝14．根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权．
根据统计的数据，回答下列问题：
（1）该地该月中午12时的气温的中位数落在第　4　组内；
（2）求该地该月中午12时的平均气温．
【分析】（1）根据中位数的定义计算即可求解；
（2）根据加权平均数的定义计算即可求解．
【解答】解：（1）该地该月中午12时的气温的中位数落在第4组内．
故答案为：4；
（2）（12+16）÷2＝14，
（16+20）÷2＝18，
（20+24）÷2＝22，
（24+28）÷2＝26，
（28+32）÷2＝30，
14×+18×+22×+30×＝24.8（℃）．
故该地该月中午12时的平均气温为24.8℃．
21．（7分）一只不透明的袋子中装有1个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出2个球．
（1）若这个袋子中共有4个球，求摸出红球的概率；
（2）若这个袋子中共有n（n＞1且n为正整数）个球，则摸出红球的概率是　　（用含n的代数式表示）．
【分析】（1）根据题意列出所有等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；
（2）直接根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）记袋中的3个白球分别为白1，白2，白3，从袋中随机摸出2个球，共有6种等可能的情况，
分别是（红，白1）（红，白2）（红，白3）（白1，白2）（白1，白3）（白2，白3），
满足摸出红球的结果有3种，因此摸出红球的概率是＝；

（2）这个袋子中共有n（n＞1且n为正整数）个球，则摸出红球的概率是．
故答案为：．
22．（8分）已知关于x的方程mx2+（m﹣1）x﹣1＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）若该方程有两个实数根x1、x2，求x1+x2+x1x2的值．
【分析】（1）分两种情况讨论．①当m＝0时，方程为x﹣1＝0求出方程的解x＝1；②当m≠0，则得到一个一元二次方程，求出方程的根的判别式△＝（m+1）2得出不论m为何实数，△≥0成立，即可得到答案；
（2）由根与系数的关系得出“x1+x2＝m+3，x1•x2＝m﹣4”，整体代入即可得出结论．
【解答】（1）证明：分两种情况讨论．
①当m＝0时，方程为﹣x﹣1＝0，
∴x＝﹣1，
∴方程有实数根；
②当m≠0，△＝（m﹣1）2﹣4m（﹣1）＝m2﹣2m+1+4m＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，
∴方程恒有实数根；
因此，不论m为何值，该方程总有实数根；
（2）解：∵x1，x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣，
∴x1+x2+x1x2＝﹣﹣＝﹣1．
23．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E与点O关于CD对称．
（1）连接CE、DE，求证：四边形CEDO是菱形；
（2）若AB＝2，∠AOB＝60°，求点E、O之间的距离．

【分析】（1）连接OE，根据点E与点O关于CD对称．可得CD垂直平分OE，可得DO＝DE＝CO＝CE，进而可以证明结论；
（2）关键矩形性质和∠AOB＝60°证明△ODC是等边三角形，进而可得点E、O之间的距离．
【解答】（1）证明：如图，连接OE交DC于点F，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OC＝AC，OD＝BD，
∴OC＝OD，
∵点E与点O关于CD对称．
∴CD垂直平分OE，
∴DO＝DE，CO＝CE，
∴DO＝DE＝CO＝CE，
∴四边形CEDO是菱形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等腰三角形，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∴∠DOE＝30°，
∴OD＝DC＝2，
∵CD垂直平分OE，
∴DF＝1，
∴OF＝
∴OE＝2OF＝2，
∴点E、O之间的距离为2．
24．（8分）如图，为测量直立在建筑物AB上的广告牌AC的高度，小莉在地面上D的处测得A的仰角为31°，然后她沿正对建筑物方向前进了10m到达E处，此时测试A、C的仰角分别为45°、52°，求广告牌AC的高度．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28．）

【分析】由锐角三角函数定义得BD≈AB，BE＝AB，再由BD﹣BE＝DE＝10m，得AB﹣AB＝10m，解得AB＝15m，则BE＝15m，然后由锐角三角函数定义求出BC的长，即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABD中，∠D＝31°，tanD＝＝tan31°≈0.6，
∴BD≈＝AB，
在Rt△ABE中，∠AEB＝45°，tan∠AEB＝＝tan45°＝1，
∴BE＝AB，
∵BD﹣BE＝DE＝10m，
∴AB﹣AB＝10m，
解得：AB＝15m，
∴BE＝15m，
在Rt△CBE中，∠CEB＝52°，tan∠CEB＝≈1.28，
∴BC≈1.28BE＝19.2（m），
∴AC＝BC﹣AB＝19.2﹣15＝4.2（m），
答：广告牌AC的高度为4.2m．
25．（8分）某宾馆有8位旅客要在当日上午10点前到达火车站，他们上午9点出发，唯一可以利用的交通工具只有一辆汽车，但这辆汽车连同司机在内最多能乘坐5人，司机需要分两批接送旅客，接送第一批旅客的同时，让其余旅客步行前往，汽车到达火车站后，立即返回接送第二批步行的旅客．在整个过程中，汽车行驶的速度始终不变，旅客上下车的时间忽略不计．设汽车从宾馆出发xh后，汽车和第二批旅客分别到达离宾馆y1km，y2km的地方，图中的折线OABC表示y1与x之间的函数关系，折线OBC表示y2与x之间的函数关系．
（1）宾馆与火车站相距　20　km，第二批旅客的步行速度是　5　km/h；
（2）解释图中点B的实际意义；
（3）第二批旅客能否在上午10点前到达火车站？如果能，请说明理由；如果不能，汽车在接到第二批旅客后至少提速多少才能保证不晚于10点到达？

【分析】（1）根据图象，结合题意解答即可；
（2）根据图象，结合题意解答即可；
（3）根据题意求出汽车的速度，进而判断第二批旅客能否在上午10点前到达火车站，再根据“路程÷时间＝速度”可得汽车的提速．
【解答】解：（1）根据题意可知宾馆与火车站相距20km，
第二批旅客的步行速度是：4÷0.8＝5（km/h），
故答案为：20；5；
（2）图中点B的实际意义为：汽车从宾馆出发后到达旅店4km处于第二批旅客相遇；
（3）汽车原来的速度为：（km/h），
∵，
∴第二批旅客不能在上午10点前到达火车站，
（km/h），
80﹣45＝35（km/h），
∴至少提速35km/h．
26．（9分）如图①，△ABC的内切圆⊙与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，DO、EO、FO的延长线分别交⊙O于点G、H、I，过点G、H、I分别作AB、BC、AC的平行线，从△ABC上截得六边形JKMNPQ．通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹边和它们的对角的夹边称为六边形的对边．
（1）求证：六边形JKMNPQ的对角相等；
（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，如图②，连接OJ、OM、ON、OQ，他发现△DOM≌△GOQ、△DON≌△GOJ，于是猜想六边形JKMNPQ的对边也相等．请你证明他的发现与猜想．

【分析】（1）由∠A+∠AJQ＝180°，∠A+∠ANP＝180°，可得∠AJQ＝∠ANP，同理可得∠BMK＝∠BQJ，∠CKM＝∠CPN，故六边形JKMNPQ的对角相等；
（2）证明△EQO≌△GQO可得∠EOQ＝∠GOQ＝∠EOG，同理∠DOM＝∠HOM＝∠DOH，从而可得∠DOM＝∠GOQ，△DOM≌△GOQ，同理△DON≌△GOJ，可得DM＝GQ，DN＝GJ，故MN＝JQ，同理JK＝NP，KM＝PQ，即可得到证明．
【解答】（1）证明：∵JQ∥AB，
∴∠A+∠AJQ＝180°，
∵NP∥AC，
∴∠A+∠ANP＝180°，
∴∠AJQ＝∠ANP，
同理可得：∠BMK＝∠BQJ，∠CKM＝∠CPN，
即六边形JKMNPQ的对角相等；
（2）∵⊙O与AB切于D，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO＝90°，
∵AB∥JQ，
∴∠ADO＝∠QGO＝90°，
∵⊙O与BC切于E，
∴OE⊥BC，
∴∠QEO＝90°，
∴∠QEO＝∠QGO＝90°，
又OQ＝OQ，OE＝OG，
∴Rt△EQO≌Rt△GQO（HL），
∴∠EOQ＝∠GOQ＝∠EOG，
同理∠DOM＝∠HOM＝∠DOH，
∵∠DOH＝∠EOG，
∴∠DOM＝∠GOQ，
∵OD＝OG，∠ODM＝∠OGQ，
∴△DOM≌△GOQ（ASA），
同理△DON≌△GOJ，
∴DM＝GQ，DN＝GJ，
∴DM+DN＝GQ+GJ，
即MN＝JQ，
同理JK＝NP，KM＝PQ，
即六边形JKMNPQ的对边相等．
27．（12分）【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：
如图①，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形ABCD和一个△CDE组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口是一个矩形形状的联动装置，顶点P、只能在边框AB上滑动，顶点M、N可在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可自动伸缩的金属杆，当金属杆MN上下移动时，其他金属杆也随之移动，图①、图②是通风口打开时的两种不同情况，试确定金属杆MN的位置，使通风口（矩形PQNM）面积最大．

设窗子的边框AB、AD分别为am，bm，窗子的高度（窗子的最高点到边框AB的距离）为cm．
【初步探究】
（1）若a＝2，b＝1，c＝2（即点E到AB的距离为2），MN与AB之间的距离为xm，通风口的面积为ym2．
①分别求出当0≤x≤1和1≤x≤2时y与x之间的函数表达式；
②金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【深入探究】
（2）若金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c需要满足的条件是　c＞2b　，通风口的最大面积是　　m2．（用含a、b、c的代数式表示）
②用直尺和圆规在图③中作出通风口面积最大金属杆MN所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）若将窗子的上部分边框改为以AB的中点O为圆心的圆弧（CD）形状（如图④所示），其他条件不变，金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大．（直接写出答案，不必说明理由）

【分析】（1）①过E作EF⊥AB，垂足为F，EF分别与CD、MN相交于点G、H，当0≤x≤1时，y＝2x；当1≤x≤2时，由四边形ABCD是矩形，可得四边形PQNM是矩形，再证明△EMN∽△EDC，运用相似三角形性质即可得出结论．
②根据①的结论进行分析计算即可；
（2）①在△ABC中有内接矩形，易证当MN为中位线时，矩形PQNM的面积最大，且最大面积为△ABC面积的一半；延长ED、EG交直线AB于F、G，则MN为△EFG的中位线时，矩形PQNM的面积最大；要想金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需△EFG与FG边平行的中位线在CD上方即可，作ES⊥FG于S交CD于J，证明△EDC∽△EFG，利用相似三角形性质即可得到结论；
②按要求尺规作图即可；
（3）画出图形，结合图形进行分析计算．
【解答】解：（1）①如图1，过E作EF⊥AB，垂足为F，EF分别与CD、MN相交于点G、H，
当0≤x≤1时，y＝2x，
当1≤x≤2时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2m，∠A＝∠ADC＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFG＝90°，
∴四边形ADGF是矩形，
∴AD＝GF＝1m，∠DGF＝90°，
∵四边形PQNM是矩形，
∴MN∥PQ，
∴∠EFA＝∠EHM＝90°，
由题意可知，EF＝2m，HF＝xm，
∴EG＝1m，EH＝（2﹣x） m，
∵MN∥PQ∥CD，
∴△EMN∽△EDC，
又EH、EG分别是△EMN、△EDC的对应高，
∴＝，即＝，
化简，得：MN＝（4﹣2x） m．
∴y＝x（4﹣2x）＝﹣2x2+4x．
②当0≤x≤1时，y＝2x，
因此，当x＝1时，y最大，最大值是2．
当1≤x≤2时，y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，
因此，当x＝1时，y最大，最大值是2．
综上所述，当x＝1时，y最大，最大值是2．
因此，金属杆MN移动到CD所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是2m2．
（2）①如图2，已知在△ABC中有内接矩形，其中M、N在AB、AC边上，P、Q在BC边上，
易证当MN为中位线时，矩形PQNM的面积最大，且最大面积为△ABC面积的一半，
即：•底•高，
在图②中，延长ED、EG交直线AB于F、G，
则MN为△EFG的中位线时，矩形PQNM的面积最大，
所以要想金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，
只需△EFG与FG边平行的中位线在CD上方即可，
即c＞2b，此时的最大，面积为△EFG的面积的一半．
作ES⊥FG于S交CD于J，
∵CD∥FG，
∴△EDC∽△EFG，
∴＝，即＝，
∴FG＝（m），
∴矩形PQNM面积的最大值＝△EFG面积的一半＝FG•ES＝（m2）．
故答案为：c＞2b；．
②如图4，线段MN即为所求．
（3）当0＜a≤2b （等同于b＜c≤b）时，金属杆MN移动到CD所在位置时，通风口面积最大；
当a＞2b（等同于c＞b）时，金属杆MN移动到与AB相距cm时，通风口面积最大．
易知当M在AD上时，y随x增大而增大，
当M在CD上时，如图5，
OP＝＝（m），
则y＝2MP•OP＝2x＝2＝2，
则当x2＜c2即b≤x＜c时，y随x增大而增大，
当x≥c时，y随x增大而减小.
∴当c≤b，即b＜c≤b时：当0＜x≤b时，y随x增大而增大；
当x＞b时，x＞c，
∴y随x增大而减小，
∴在0＜x＜c中，当x＝b时，y最大．
当c＞b，即c＞b时：当0＜x≤b时，y随x增大而增大：当b＜x＜c时，y随x增大而增大：当c≤x＜c时，y随x增大而减小，
∴在0＜x＜c中，当x＝c时，y最大．
∵∠A＝90°，
∴AD2+AO2＝DO2，
∴b2+（）2＝c2，
∴b＜c≤b等同于0＜a≤2b，c＞b等同于a＞2b．