2021年上海市黄浦区中考二模数学试卷

这是一份2021年上海市黄浦区中考二模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 绝对值小于 3 的整数有
A. 2 个B. 3 个C. 5 个D. 6 个

2. 化简：a23=
A. a5B. a6C. a8D. a9

3. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是
A. 圆B. 正六边形C. 菱形D. 等边三角形

4. 对数据：1，1，1，2，2，3，4，下列判断正确的是
A. 中位数和众数相等B. 中位数和平均数相等
C. 众数和平均数相等D. 中位数、众数和平均数都不相等

5. “利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数 y=1x2，其图象位于
A. 第一、二象限B. 第三、四象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限

6. 如图，正六边形 ABCDEF 中，记 AB=a，BC=b，则 a−b 是
A. CDB. DEC. EFD. FA

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：1+23= ．

8. 分解因式：x2−9= ．

9. 方程 2−1x=1 的解是 ．

10. 已知关于 x 的方程 x2−6x+k=0 有两个相等的实数根，那么 k 的值是 ．

11. 如果反比例函数 y=2−kx（k 为正整数），在每个象限内，当自变量 x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小，那么正整数 k 的值为 ．

12. 直线 y=2x+6 与两坐标轴所围成的三角形的面积是 ．

13. 掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 和 12，共 11 种可能，所以小明认为“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为 2”的概率是 111．你同意小明的观点吗?答： ，理由是： ．

14. 为了了解某区初中学生暑假中阅读课外读物的情况，小杰和小丽随机调查了该区内 60 名初中学生，并将调查数据整理成下面的条形图．如果该区共有初中学生 15000 人，那么估计该区在暑假中阅读了 4 本课外读物的初中学生有 人．

15. 如图，某水库水坝的坝高为 24 米，如果迎水坡 AB 的坡度为 1:0.75，那么该水库迎水坡 AB 的长度为 米．

16. 已知在 △ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，点 D 位于边 AB 上，过点 D 作边 BC 的平行线交边 AC 于点 E，过点 D 作边 AC 的平行线交边 BC 于点 F（如图），设 AD=x，四边形 CEDF 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数关系式是 ．（不必写定义域）

17. 在平面直角坐标系内，已知点 A3,4，如果圆 A 与两坐标轴有且只有 3 个公共点，那么圆 A 的半径长是 ．

18. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC．将 △ABD 沿对角线 BD 翻折，点 A 的对应点 E 恰好位于边 BC 上，且 BE:EC=3:2，则 ∠C 的余切值是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：π−30+45−3−4sin230∘−20．

20. 解方程组：x2+y2=5,x2−4y2=0.

21. 如图，AB 是圆 O 的直径，点 C，D 为圆 O 上的点，满足：AC=CD，AD 交 OC 于点 E．已知 OE=3，EC=2．
（1）求弦 AD 的长．
（2）请过点 C 作 AB 的平行线交弦 AD 于点 F，求线段 EF 的长．

22. 某款轿车每行驶 100 千米的耗油量 y 升与其行驶速度 x 千米/小时之间的函数关系图象如图所示，其中线段 AB 的表达式为 y=−125x+1325≤x≤100，点 C 的坐标为 140,14，即行驶速度为 140 千米/小时时该轿车每行驶 100 千米的耗油量是 14 升．
（1）求线段 BC 的表达式．
（2）如果从甲地到乙地全程为 260 千米，其中有 60 千米限速 50 千米/小时的省道和 200 千米限速 120 千米/小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油多少升?

23. 如图，CD 是直角 △ABC 斜边 AB 上的中线，点 E 位于边 AC 上，且 ∠ADE=∠B−∠A．
（1）求证：△CDE∽△ABC．
（2）当 DA:EA=6:1 时，求 △CDE 与 △ABC 的面积比．

24. 如果抛物线 C1:y=ax2+bx+c 与抛物线 C2:y=−ax2+dx+e 的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线 C2 是 C1 的“对顶”抛物线．
（1）求抛物线 y=x2−4x+7 的“对顶”抛物线的表达式．
（2）将抛物线 y=x2−4x+7 的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线 y=x2−4x+7 形成两个交点 M，N，记平移后两抛物线的顶点分别为 A，B，当四边形 AMBN 是正方形时，求正方形 AMBN 的面积．
（3）某同学在研究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线 C1 与 C2 的顶点位于 x 轴上，那么系数 b 与 d，c 与 e 之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．

25. 如图，AD 是 △ABC 的角平分线，过点 C 作 AD 的垂线交边 AB 于点 E，垂足为点 O，连接 DE．
（1）求证：DE=DC．
（2）当 ∠ACB=90∘，且 △BDE 与 △ABC 的面积比是为 1:3 时，求 CE:AD 的值．
（3）是否存在 △ABC 能使 CE 为 △ABC 边 AB 上的中线，且 CE=AD?如果能，请用 ∠CAB 的某个三角比的值来表示它此时的大小；如果不能，请说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】绝对值小于 3 的整数有 ±1，±2，0，一共 5 个．
2. B【解析】原式=a2×3=a6．
3. D
4. B【解析】对数据：1，1，1，2，2，3，4，
其中 1 有 3 个，多于其他数，则众数为 1；
平均数 =1+1+1+2+2+3+4÷7=14÷7=2；
总共 7 个数据，从小到大排列第 4 个数为 2，则中位数是 2，
所以平均数与中位数相等．
5. A
【解析】当 x=1 时，y=1，1,1 位于第一象限，
当 x=−1 时，y=1，−1,1 位于第二象限．
6. D【解析】向量相减的方向是从减数向量的终点指向被减向量的终点，前提是两个向量起始点相同．
记正六边形 ABCDEF 的中心为 O，
将 BC 移到 AO，AD 与 AB 有相同起始点，
AB−BC=AB−AO=OB，
∵OB=DC=FA，
∴a−b=FA．
第二部分
7. 3
【解析】1+23=1+8=9=3．
8. x+3x−3
【解析】x2−9=x+3x−3．
9. x=1
【解析】2−1x=1，
2−1x=1，
2x−1=x
x=1．
经检验 x=1 是原方程的解．
10. 9
【解析】关于 x 的方程 x2−6x+k=0 有两个相等的实数根，
Δ=b2−4ac=−62−4×1×k=0，
4k=36，
k=9．
11. 1
【解析】∵ 反比例数 y=2−kx 在每个象限内，当自变量 x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小，
∴2−k>0，
∴k<2，
∵k 为正整数，
∴k=1．
12. 9
【解析】根据题意可得，
直线 y=2x+6 与 x 轴的交点为 A−3,0，与 y 轴的交点为 B0,6，
根据三角形的面积公式得 S=12×∣OA∣×∣OB∣=12×3×6=9，
即直线 y=2x+6 与两坐标轴围成的三角形的面积为 9．
13. 不同意，掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为 2 的概率是 136
【解析】我不同意小明的观点，理由是掷两枚骰子，一共有 36 种等可能的结果，其中两者朝上面点数之和为 2 的只有 1 种等可能的结果，
∴“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为 2”的概率是 136．
14. 1500
【解析】由图可知，估计暑假中阅读了 4 本课外读物的初中学生有 15000×660=1500（人）．
15. 30
【解析】过 B 点作 BD 垂直于水平面交 AD 于点 D，
则 BD=24 米，
∵ 迎水坡 AB 的坡度为 1:0.75，
即在 Rt△ABD 中：
BDAD=10.75，
∴AD=0.75BD=0.75×24=18（米），
∴AB=AD2+BD2=182+242=324+576=900=30米.
16. y=−1225x2+125x
【解析】∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90∘，
∵DF∥AC，ED∥BC，
∴ 四边形 ECFD 为平行四边形，
∵∠ACB=90∘，
∴ 四边形 ECFD 为矩形，
∴∠DEC=90∘，
∴∠AED=90∘=∠ACB，
∵∠EAD=∠CAB，
∴△AED∽△ACB，
∴ADAB=EDCB=AEAC，
∴ED=45x，AE=35x，
∴EC=3−35x，
∴y=S矩形CEDF=EC×ED=3−35x×45x，
故 y 关于 x 的函数关系式是 y=−1225x2+125x．
17. 4 或 5
【解析】①如图，
当圆心在 3,4 且与 x 轴相切时，r=4，
此时 ⊙A 与坐标轴有且只有 3 个公共点；
②当圆心在 3,4 且经过原点时，r=5，
此时 ⊙A 与坐标轴有且只有 3 个公共点．
18. 24
【解析】如图，作 DH⊥BC 于点 H，
∵ 在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，
∴∠C=∠ABC，∠ADB=∠EBD，
由翻折性质得：△ABD≌△EBD，
∴AD=DE，AB=BE，
∴∠ABD=∠EBD=∠ADB=∠EDB，
∴ 四边形 ABED 为菱形，
又 ∵BE:CE=3:2，
设 BE=3x，CE=2x，
∴AB=DE=3x，
∵∠DEC=∠DBE+∠EDB=∠ABC=∠C，
∴DE=DC=3x，
则 EH=CH=x，
在 Rt△DCH 中，DH=DC2−CH2=9x2−x2=22x，
∴ctC=CHDH=x22x=24．
第三部分
19. 原式=1+45+32−4×122−25=1+25+23−1−25=23.
20.
x2+y2=5, ⋯⋯①x2−4y2=0. ⋯⋯②
由②得
x+2yx−2y=0.
当 x+2y=0，
x=−2y.
将 x=−2y 代入①得
−2y2+y2=5,5y2=5,y2=1,y=±1.
所以
x=−2,y=1或x=2,y=−1.
当 x−2y=0 时，
x=2y.
将 x=2y 代入①得
2y2+y2=5,5y2=5,y=±1.
所以
x=2,y=1或x=−2,y=−1.
所以原方程组的解为
x=−2,y=1或x=2,y=−1或x=2,y=1或x=−2,y=−1.
21. （1） 由 AC=CD，得 CO⊥AD，AE=DE，
在 △AOE 中，
∠AEO=90∘，OE=3，OA=OC=OE+CE=5，
得 AE=OA2−OE2=4，
所以 AD=AE+DE=8．
（2） 如图，
由 CF∥AB，
得 EFCE=AEOE，
则 EF=AE×CEOE=83．
22. （1） 由题，AB 段解析式 y=−125x+1325≤x≤100，
B 点横坐标 xB=100，代入 yB=9，
即 B 点坐标 100,9，
C 坐标 140,14．
设 BC 直线方程 y=kx+b，代入 B，C 坐标，
得 100k+b=9,140k+b=14,
解得 k=18,b=−72,
BC 表达式：y=18x−72100≤x≤140．
（2） 由题，此段路 260 km，其中 60 km 限速 50 km/h，200 km 限速 120 km/h，
在 AB 段 25≤x≤100，油耗随速度增加而降低，
因而 60 km 路程中，以 50 km/h 的速度耗油最少．
而在后 200 km，限速 120 km/h，
为了减少油耗，则只需在 25≤x≤120，寻找最小油耗，即 x=100，
所以限速 50 km/h，100 km 油耗 y=−125×50+13=11，
60 km 油耗 11×60100=335（升），
100 km/h 时，100 km 油耗 y=18×100−72=9，
200 km 油耗：9×200100=18（升），
综上，至少消耗 18+335=1235（升）．
23. （1） 在 Rt△ABC 中，CD 为斜边上的中线，且 AB 为斜边，
∴CD=12AB，D 为 AB 中点，
∵D 是 AB 中点，
∴DB=DA=12AB，
∴CD=DB=DA，
∴∠DCE=∠DCA=∠DAC=∠BAC，
∵∠ADE=∠B−∠A，
∴∠B=∠ADE+∠A，
又 ∵∠DEC=∠A+∠ADE，
∴∠DEC=∠B=∠CBA，
∴∠DEC=∠CBA，∠DCE=∠CAB，
∴△CDE∽△ACB．
（2） 设 AE=k，
∵DAEA=61，
∴DA=6EA=6k，
∵CD=DB=DA=12AB，DA=6k，
∴CD=6k，AB=26k，
设 CE=a，
∴AC=AE+EC=k+a，
由（1）知：△CDE∽△ACB，
∴CDAC=CEAB，
代入得：6kk+a=a26k，
∴ak+a=ak+a2=6k⋅26k=12k2，
∴a2+ak−12k2=a−3ka+4k=0，
∵a>0，k>0，
∴a=3k，
∴△CDE 和 △ACB 的相似比为 CDAC=6kk+a=6kk+3k=6k4k=64，
∴△CDE 和 △ACB 的面积比为 642=616=38．
24. （1） 由题意，其对顶公式为 y=−x2+dx+e，
又原函数的顶点为 2,3，
∴d2=2,−4+2d+e=3, 得 d=4,e=−1,
∴y=−x2+4x−1．
（2） 结合（1），令移动后的表达式为 y=−x2+4x+n，
则新顶点 B 为 2,n+4，
又 A2,3，
∴AB=n+4−3=n+1，
若 ABMN 为正方形，则其对角线相等，因此有 MN=n+1，且对称轴为 2，
则 M2−n+12,3+n+12，N2+n+12,3+n+12，
将 M 的横坐标代入原方程，可求得 3+n+12=n+124+3，
即 n+12=1或0，n=1或−1（不合题意），
∴n=1，
此时对角线长为 2，因此面积为 12⋅22=2．
（3） 由顶点公式 −b2a,4ac−b24a 可知，对于对顶抛物线有 −b2a=d2a⇒b+d=0,4ac−b24a=−4ae−d2−4a=0⇒4ac+e=b2−d2,
综上 b+d=c+e=0．
25. （1） 因为 AD 是角平分线，
所以 ∠CAO=∠EAO，
又因为 CE⊥AD，
所以 ∠COA=∠EOA=90∘，
又 AO=AO，
所以 △AOC≌△AOE，
所以 AC=AE．
在 △ACD 和 △AED 中，
AC=AE,∠CAD=∠OAD,AD=AD,
所以 △ACD≌△AEDSAS，
所以 DE=DC．
（2） 由 △BDE 与 △ABC 的面积比为 1:3，
又 △ACD≌△AED，
得 △BDE，△ACD 与 △AED 的面积均相等，
于是有 BE=AE=AC，
又 ∠ACB=90∘，
所以 ∠ABC=30∘，∠BAC=60∘，
则 △ACE 为等边三角形，即 CE=AC．
于是在 △ACD 中，∠ACD=90∘，∠CAD=12∠CAB=30∘，
所以 ACAD=32，即 CEAD=32．
（3） 存在这样的三角形，
作 EF∥AD 交 BC 于点 F，
则 ODEF=COCE=12，EFAD=BEBA=12，
又 AD=CE，
令 AD=CE=8k，
则 OE=OC=4k，OD=2k，OA=6k．
在 △AOC 中，AC=OC2+OA2=213k，
则 AE=213k，
作 CH⊥AE 于点 H，
易知 △CEH∽△ACO，
得 CH=8k×313=241313k，
EH=8k×213=161313k，
所以 AH=213k−161313k=101313k，
于是在 Rt△ACH 中，tan∠CAB=CHAH=125．