2018年北京市通州区中考一模数学试卷

这是一份2018年北京市通州区中考一模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图是我国南海地区图，图中的点分别代表三亚市，永兴岛，黄岩岛，渚碧礁，弹丸礁和曾母暗沙．该地区图上两个点之间距离最短的是
A. 三亚——永兴岛B. 永兴岛——黄岩岛
C. 黄岩岛——弹丸礁D. 渚碧礁——曾母暗沙

2. 通州区大运河森林公园占地面积 10700 亩，是北京规模最大的滨河森林公园．将 10700 用科学记数法表示为
A. 10.7×104B. 1.07×105C. 1.7×104D. 1.07×104

3. 下列是我国四座城市的地铁标志图，其中是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 妈妈为女儿做了一个正方体礼品盒（如图），六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“祝”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是
A. B.
C. D.

5. 实数 a，b 在数轴上的点的位置如图所示，则下列不等关系正确的是
A. a+b>0B. a−b<0C. ab<0D. a2>b2

6. 下列关于统计与概率的知识说法正确的是
A. 武大靖在 2018 年平昌冬奥会短道速滑 500 米项目上获得金牌是必然事件
B. 检测 100 只灯泡的质量情况适宜采用抽样调查
C. 了解北京市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查
D. 甲组数据的方差是 0.16，乙组数据的方差是 0.24，说明甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数

7. 下面的统计图反映了我国最近十年间核电发电量的增长情况．
根据统计图提供的信息，下列推断合理的是
A. 2011 年我国的核电发电量占总发电量的比值约为 1.5%
B. 2006 年我国的总发电量约为 25000 亿千瓦时
C. 2013 年我国的核电发电量占总发电量的比值是 2006 年的 2 倍
D. 我国的核电发电量从 2008 年开始突破 1000 亿千瓦时

8. 如图 1，点 O 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒 1 个单位长度的速度在图 1 中给出的线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为 t 秒，机器人到点 A 的距离设为 y，得到函数图象如图 2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：
①该正六边形的边长为 1；
②当 t=3 时，机器人一定位于点 O；
③机器人一定经过点 D；
④机器人一定经过点 E．
其中正确的有
A. ①④B. ①③C. ①②③D. ②③④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 请你写出一个位于平面直角坐标系中第二象限内的点的坐标 ．

10. 如图是我区某一天内的气温变化图，结合该图给出的信息写出一个正确的结论： ．

11. 已知 a，b 为两个连续的整数，且 a<5
12. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇，行酒各得几何?意思是：今有美酒一斗的价格是 50 钱；普通酒一斗的价格是 10 钱．现在买两种酒 2 斗共付 30 钱，问买美酒，普通酒各多少?
设买美酒 x 斗，买普通酒 y 斗，则可列方程组为 ．

13. 将一副直角三角板如图放置，使含 30∘ 角的三角板的直角边和含 45∘ 角的三角板一条直角边在同一条直线上，则 ∠1 的度数为 ．

14. 已知 a2+1=3a，则代数式 a+1a 的值为 ．

15. 完全相同的 3 个小球上面分别标有数 −2，−1，1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是负数的概率是 ．

16. 尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：如图，直线 l 与直线 l 外一点 P．
求作：过点 P 与直线 l 平行的直线．
作法如下：
（1）在直线 l 上任取两点 A，B，连接 AP，BP；
（2）以点 B 为圆心，AP 长为半径作弧，以点 P 为圆心，AB 长为半径作弧；如图所示，两弧相交于点 M；
（3）过点 P，M 作直线；
（4）直线 PM 即为所求．
请回答：PM 平行于 l 的依据是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：13−1+13+20−27−2cs30∘．

18. 解不等式组 2x−2≥x−1,x3≤x+1, 并把它的解集表示在数轴上．

19. 已知如图，在 △ABC 中，∠B=45∘，点 D 是 BC 边的中点，DE⊥BC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 CE．
（1）求 ∠AEC 的度数；
（2）请你判断 AE，BE，AC 三条线段之间的等量关系，并证明你的结论．

20. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=ax 的图象交于点 A4,3，与 y 轴的负半轴交于点 B，连接 OA，且 OA=OB．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）过点 Pk,0 作平行于 y 轴的直线，交一次函数 y=2x+n 于点 M，交反比例函数 y=ax 的图象于点 N．若 NM=NP，求 n 的值．

21. 关于 x 的一元二次方程 x2+m−1x−2m+3=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）写出一个 m 的值，并求此时方程的根．

22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，DB⊥AB，点 E 是 BC 边的中点，过点 E 作 EF⊥CD，垂足为 F，交 AB 的延长线于点 G．
（1）求证：四边形 BDFG 是矩形；
（2）若 AE 平分 ∠BAD，求 tan∠BAE 的值．

23. 体育教师为了解本校九年级女生 1 分钟“仰卧起坐”体育测试项目的达标情况，从该校九年级 136 名女生中，随机抽取了 20 名女生，进行了 1 分钟仰卧起坐测试，获取数据如下：
收集数据：抽取 20 名女生的 1 分钟仰卧起坐测试成绩（个）如下：
3846425255435946253835455148574947535849
（1）整理、描述数据：请你按如下分组整理、描述样本数据，把下列表格补充完整：
范围25≤x≤2930≤x≤3435≤x≤3940≤x≤4445≤x≤4950≤x≤5455≤x≤59人数
（说明：每分钟仰卧起坐个数达到 49 个及以上时在中考体育测试中可以得到满分）
（2）分析数据：样本数据的平均数、中位数、满分率如表所示：
平均数中位数满分率%
得出结论：
① 估计该校九年级女生在中考体育测试中 1 分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数为 ；
② 该中学所在区县的九年级女生的 1 分钟“仰卧起坐”总体测试成绩如下：
平均数中位数满分率45.34951.2%
请你结合该校样本测试成绩和该区县的总体测试成绩，为该校九年级女生的 1 分钟“仰卧起坐”达标情况做一下评估，并提出相应建议．

24. 如图，已知 AB 为 ⊙O 的直径，AC 是 ⊙O 的弦，D 是弧 BC 的中点．过点 D 作 ⊙O 的切线，分别交 AC，AB 的延长线于点 E 和点 F，连接 CD，BD．
（1）求证：∠A=2∠BDF；
（2）若 AC=3，AB=5，求 CE 的长．

25. 如图，AB 为半圆 O 的直径，半径的长为 4 cm，点 C 为半圆上一动点，过点 C 作 CE⊥AB，垂足为点 E，点 D 为弧 AC 的中点，连接 DE．如果 DE=2OE，求线段 AE 的长．
小何根据学习函数的经验，将此问题转化为函数问题解决．
小何假设 AE 的长度为 x cm，线段 DE 的长度为 y cm，
（当点 C 与点 A 重合时，AE 长度为 0 cm），对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行探究．
下面是小何的探究过程，请补充完整．（说明：相关数据保留一位小数）
（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如表：
5.85.7
当 x=6 cm 时，请你在上图中帮助小何完成作图，并使用刻度尺度量出此时线段 DE 的长度，填写在表格空白处；
（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各组数对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象解决问题：当 DE=2OE 时，AE 的长度约为 cm．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 C 是二次函数 y=mx2+4mx+4m+1 的图象的顶点，一次函数 y=x+4 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B．
（1）请你求出点 A，B，C 的坐标；
（2）若二次函数 y=mx2+4mx+4m+1 与线段 AB 恰有一个公共点，求 m 的取值范围．

27. 如图，直线 l 是线段 MN 的垂直平分线，交线段 MN 于点 O，在 MN 下方的直线 l 上取一点 P，连接 PN，以线段 PN 为边，在 PN 上方作正方形 NPAB．射线 MA 交直线 l 于点 C，连接 BC．
（1）设 ∠ONP=α，求 ∠AMN 的度数；
（2）写出线段 AM，BC 之间的等量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中有不重合的两个点 Qx1,y1 与 Px2,y2，若 Q，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与 x 轴或 y 轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点 Q 与点 P 之间的“直距”，记做 DPQ，特别地，当 PQ 与某条坐标轴平行（或重合）时，线段 PQ 的长即为点 Q 与点 P 之间的“直距”．例如在如图中，点 P1,1，点 Q3,2，此时点 Q 与点 P 之间的“直距”DPQ=3．
（1）①已知 O 为坐标原点，点 A2,−1，B−2,0，则 DAO= ，DBO= ；
②点 C 在直线 y=−x+3 上，请你求出 DCO 的最小值；
（2）点 E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，点 F 是直线 y=2x+4 上一动点，请你直接写出点 E 与点 F 之间“直距”DEF 的最小值．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. D
4. D
5. C
6. B
7. B
8. C
第二部分
9. −2,1（答案不唯一）
10. 这一天的最高气温约是 26∘C（答案不唯一）
11. 9
12. x+y=2,50x+10y=30
13. 75∘
14. 3
15. 23
16. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线
第三部分
17. 原式=3+1−33−3=4−43.
18.
2x−2≥x−1, ⋯⋯①x3≤x+1, ⋯⋯②
解不等式 ①，得
x≥3.
解不等式 ②，得
x≥−32.∴
该不等式组的解集为
x≥3.
该不等式组的解集在数轴上表示如图：
19. （1） ∵ 点 D 是 BC 边中点，DE⊥BC，
∴DE 是 BC 的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴∠B=∠BCE，
∵∠B=45∘，
∴∠AEC=90∘．
（2） ∵∠AEC=90∘，
∴△AEC 是直角三角形，
∴ 由勾股定理，得 AE2+EC2=AC2，
∵ED 垂直平分 BC，
∴EB=EC，
∴AE2+EB2=AC2．
20. （1） 因为点 A 的坐标为 4,3，
所以 OA=5．
因为 OA=OB，
所以 OB=5．
因为点 B 在 y 轴的负半轴上，
所以点 B 的坐标为 0,−5．
将点 A4,3 代入反比例函数表达式 y=ax 中，
所以反比例函数的表达式为 y=12x．
将点 A4,3，B0,−5 代入 y=kx+b 中，得 k=2，b=−5．
所以一次函数 y=kx+b 的表达式为 y=2x−5．
（2） 由（1）知，k=2，则点 N 的坐标为 2,6，
因为 NP=NM，
所以 M12,0，M22,12，分别代入 y=2x+n 中，得 n=−4 或 n=8．
21. （1） Δ=m−12+4×2m+3=m2+6m+13=m+32+4．
∵m+32+4>0，
∴ 方程总有两个不相等的实数根．
（2） 当 m=−3 时，方程的两个实数根为 x1=1，x2=3．（答案不唯一）
22. （1） ∵BD⊥AB，EF⊥CD，
∴∠ABD=90∘，∠EFD=90∘，
根据题意，在平行四边形 ABCD 中，AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD=90∘，
∴BD∥GF，
∴ 四边形 BDFG 为平行四边形，
又 ∵∠BDC=90∘，
∴ 四边形 BDFG 为矩形．
（2） ∵AE 平分 ∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，
∵ 在 Rt△BCD 中，点 E 为 BC 边的中点，
∴BE=ED=EC，
又 ∵ 在平行四边形 ABCD 中，AB=CD，
∴△ECD 为等边三角形，∠C=60∘，
∴∠BAE=12∠BAD=30∘，
∴tan∠BAE=33．
23. （1）
范围25≤x≤2930≤x≤3435≤x≤3940≤x≤4445≤x≤4950≤x≤5455≤x≤59人数1032734
（2） ①61；
② 从平均数角度看，该校女生 1 分钟仰卧起坐的平均成绩高于区县水平，整体水平较好；从中位数角度看，该校成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平；该校测试成绩的满分率低于区县水平．
建议：该校在保持学校整体水平的同时，多关注接近满分的学生，提高满分成绩的人数．
24. （1） 连接 AD．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘．
∴∠ADO+∠ODB=90∘．
∵D 是 BC 的中点，
∴∠DAC=∠DAB．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠DAC．
∴OD∥AC．
∴∠BAC=∠BOD=2∠ODA．
∵EF 是 ⊙O 的切线，
∴OD⊥EF．
∴∠BDF+∠ODB=90∘．
∴∠BDF=∠ODA．
∴∠BAC=2∠BDF．
（2） 法一：
连接 BC 交 OD 于点 H．
∵BA 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘．
∵AC=3，AB=5，
∴BC=4．
∵OD∥AC，
∴∠ECB=∠CHD=∠ODE=90∘．
∴ 四边形 ECHD 是矩形．
∴EC=HD．
∵OD⊥BC，
∴CH=HB=2．
设 EC=HD=x，
∴OH=2.5−x．
在 Rt△OHB 中，OH2+HB2=OB2，即 2.5−x2+22=2.52，
解得 x1=1，x2=4（舍去）．
∴CE=1．
【解析】法二：易证 OH 是 △ABC 的中位线，
∴OH=12AC=1.5．
∴CE=HD=OD−OH=2.5−1.5=1．
25. （1） 5.1−5.5（准确值为 5.3）
（2） 图象略．
（3） 2.5/2.6 或 6.9/6.8
26. （1） y=mx2+4mx+4m+1=mx+22+1，
∴ 抛物线的顶点坐标为 C−2,1．
直线 y=x+4 与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为 A−4,0 和 B0,4．
（2） 把 x=−4 代入抛物线的表达式中得到 y=4m+1．
①当 m>0 时，y=4m+1>0．说明抛物线的对称轴左侧总与线段 AB 有交点，
∴ 只需要抛物线对称轴右侧与线段 AB 无交点即可，如图 1，
只需要当 x=0 时，抛物线的函数值 y=4m+1<4 即可，
∴m<34．
又 ∵m>0，
∴ 当 0②当 m<0 时，如图 2，
只需 y=4m+1≥0 即可，
解得 −14≤m<0．
综上，当 027. （1） 连接 PM，如图 1 所示．
因为 l 是线段 MN 的垂直平分线，
所以 PM=PN，
所以 ∠ONP=∠OMP．
因为四边形 APNB 是正方形，
所以 PA=PN，∠APN=90∘，
所以 PM=PA．
所以 ∠ONP=∠OMP=α，∠MOP=∠PON=90∘．
因为 ∠APC+∠CPN=90∘，∠CPN+∠ONP=90∘，
所以 ∠APC=∠ONP=α，
所以 ∠MPA=90∘−α−α=90∘−2α，
所以 ∠PAM=12180∘−∠MPA=45∘+α，
所以 ∠AMN=∠AMP−∠PMN=45∘．
（2） 方法一：连接 CN，AN，如图 2 所示，
可证 ∠CNB=∠ANM，BNCN=ANMN=22，
所以 △CBN∽△MAN．
所以 CBAM=CNMN=BNAN=22．
【解析】方法二：作 AE⊥MN，交直线 MN 于点 E，作 AG⊥l，交直线 l 于点 G，连接 EP，如图 3 所示．
在 △AGP 与 △OPN 中，
∠ONP=∠GPA,∠AGP=∠PON,PN=AP,
所以 △AGP≌△PONAAS，
所以 PO=EO=AG，
所以 EP=2OE=2AG=AC．
又因为 ∠APG=∠BAG，
所以 45∘−∠APG=45∘−∠BAG，
即 ∠EPA=∠CAB，
在 △ACB 与 △EPA 中，
EP=AC,∠EPA=∠CAB,AP=AB,
所以 △ACB≌△EPASAS．
所以 BC=AE，
所以 AM=2BC．
28. （1） ① 3；2
②根据题意，DCO 为定值，点 C 的轨迹是以点 O 为中心的正方形，当 DCO=3 时，该正方形与直线 y=−x+3 有交点，
∴DCO=3．
（2） DEF=2−52．