2018年北京市延庆县中考数学一模试卷

这是一份2018年北京市延庆县中考数学一模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）利用尺规作图，作△ABC边上的高AD，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥
3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞﹣1B．a•b＞0C．﹣b＜0＜﹣aD．|a|＞|b|
4．（2分）计算＝（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0有两个不等的整数根，m为整数，那么m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．0D．±1
6．（2分）已知正六边形ABCDEF，如图图形中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）如图的统计图反映了我国2013年到2017年国内生产总值情况．（以上数据摘自国家统计局《中华人民共和国2017年国民经济和社会发展统计公报》）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A．与2016年相比，2017年我国国内生产总值有所增长
B．2013﹣2016年，我国国内生产总值的增长率逐年降低
C．2013﹣2017年，我国国内生产总值的平均增长率约为6.7%
D．2016﹣2017年比2014﹣2015年我国国内生产总值增长的多
8．（2分）某游泳池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的A，B两边，同时朝着另一边游泳，他们游泳的时间为（秒），其中0≤t≤180，到A边距离为y（米），图中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y与t的对应关系．下面有四个推断：
①小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度；
②小明游泳的距离大于小林游泳的距离；
③小明游75米时小林游了90米游泳；
④小明与小林共相遇5次；
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．③④D．②④
二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）如图是一个正五边形，则∠1的度数是 ．
11．（2分）如果a2﹣a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）的值是 ．
12．（2分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，若AD＝1，BD＝3，则的值为 ．
13．（2分）2017年延庆区农业用水和居民家庭用水的总和为8亿立方米，其中居民家庭用水比农业用水的2倍还多0.5亿立方米．设农业用水为x亿立方米，居民家庭用水为y亿立方米．依题意，可列方程组为 ．
14．（2分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∠AOC＝42°，那么∠CDB的度数为 ．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程： ．
16．（2分）某农科所在相同条件下做玉米种子发芽实验，结果如下：
某位顾客购进这种玉米种子10千克，那么大约有 千克种子能发芽．
三、解答题（本题共68分，第17题-22题，每小题5分；第23-26题，每小题5分；第27题，第28题每小题各7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（5分）计算：3tan30°+|1﹣|+（2﹣π）0﹣（）﹣1．
18．（5分）解不等式组： 并写出它的所有整数解．
19．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E．
求证：AE＝DE．
20．（5分）已知：∠AOB及边OB上一点C．求作：∠OCD，使得∠OCD＝∠AOB．
要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；（说明：作出一个即可）
2．请你写出作图的依据．
21．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若AD＝3，DF＝1，求四边形DBEC面积．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第一象限交于点P（1，3），连接OP．
（1）求反比例函数y＝（m≠0）的表达式；
（2）若△AOB的面积是△POB的面积的2倍，求直线y＝kx+b的表达式．
23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，点E是的中点，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F．连接AE并延长交BF于点C．
（1）求证：AB＝BC；
（2）如果AB＝5，tan∠FAC＝，求FC的长．
24．（6分）从北京市环保局证实，为满足2022年冬奥会对环境质量的要求，北京延庆正在对其周边的环境污染进行综合治理，率先在部分村镇进行“煤改电”改造．在治理的过程中，环保部门随机选取了永宁镇和千家店镇进行空气质量监测．过程如下，请补充完整．
收集数据：
从2016年12月初开始，连续一年对两镇的空气质量进行监测（将30天的空气污染指数（简称：API）的平均值作为每个月的空气污染指数，12个月的空气污染指数如下：
千家店镇：120 115 100 100 95 85 80 70 50 50 50 45
永宁 镇：110 90 105 80 90 85 90 60 90 45 70 60
整理、描述数据：
空气质量
按如表整理、描述这两镇空气污染指数的数据：
（说明：空气污染指数≤50时，空气质量为优；50＜空气污染指数≤100时，空气质量为良；100＜空气污染指数≤150时，空气质量为轻微污染．）
分析数据：
两镇的空气污染指数的平均数、中位数、众数如下表所示；
请将以上两个表格补充完整；
得出结论：可以推断出 镇这一年中环境状况比较好，理由为 ．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
25．（6分）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝6cm，设弦AP的长为xcm，△APO的面积为ycm2，（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整；
（1）通过取点、画图、测量、计算，得到了x与y的几组值，如下表：
那么m＝ ；（保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数图象．
（3）结合函数图象说明，当△APO的面积是4时，则AP的值约为 ．（保留一位小数）
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）求抛物线的对称轴及点A，B的坐标；
（2）点C（t，3）是抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）上一点，（点C在对称轴的右侧），过点C作x轴的垂线，垂足为点D．
①当CD＝AD时，求此时抛物线的表达式；
②当CD＞AD时，求t的取值范围．
27．（7分）如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．
（1）求证：∠FBC＝∠CDF．
（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段DF，BF，CG之间的数量关系并加以证明．
28．（7分）平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）与B（x2，y2），如果满足x1+x2＝0，y1﹣y2＝0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C（3，4）
（1）下列各点中， 与点C互为反等点；
D（﹣3，﹣4），E（3，4），F（﹣3，4）
（2）已知点G（﹣5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标xP的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．
2018年北京市延庆县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（2分）利用尺规作图，作△ABC边上的高AD，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】K2：三角形的角平分线、中线和高；N2：作图—基本作图．
【专题】1：常规题型．
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．
2．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥
【考点】U3：由三视图判断几何体．
【专题】1：常规题型；55F：投影与视图．
【分析】根据三视图易得此几何体为三棱柱．
【解答】解：根据几何体的三视图即可知道几何体是三棱柱．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体的应用，关键是能理解三视图的意义，培养了学生的观察图形的能力．
3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞﹣1B．a•b＞0C．﹣b＜0＜﹣aD．|a|＞|b|
【考点】15：绝对值；29：实数与数轴．
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用a，b在数轴上的位置，进而分别分析得出答案．
【解答】解：由a，b在数轴上的位置可得：
A、a＜﹣1，故此选项错误；
B、ab＜0，故此选项错误；
C、﹣b＜0＜﹣a，正确；
D、|a|＜|b|，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确利用a，b的位置分析是解题关键．
4．（2分）计算＝（ ）
A．B．C．D．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【专题】2A：规律型．
【分析】根据算式计算即可．
【解答】解：＝，
故选：C．
【点评】此题考查数字的变化问题，关键是根据算式计算．
5．（2分）关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0有两个不等的整数根，m为整数，那么m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．0D．±1
【考点】A1：一元二次方程的定义；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】523：一元二次方程及应用．
【分析】利用因式分解法求出方程的解，再根据方程有两个不相等的整数根结合m为整数，即可求出m的值，此题得解．
【解答】解：∵mx2﹣（m+1）x+1＝0，即（mx﹣1）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝，x2＝1．
∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0有两个不等的整数根，
∴m≠0，为整数，且≠1．
又∵m为整数，
∴m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及一元二次方程的定义，利用因式分解法求出方程的根是解题的关键．
6．（2分）已知正六边形ABCDEF，如图图形中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】P3：轴对称图形．
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确把握定义是解题关键．
7．（2分）如图的统计图反映了我国2013年到2017年国内生产总值情况．（以上数据摘自国家统计局《中华人民共和国2017年国民经济和社会发展统计公报》）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A．与2016年相比，2017年我国国内生产总值有所增长
B．2013﹣2016年，我国国内生产总值的增长率逐年降低
C．2013﹣2017年，我国国内生产总值的平均增长率约为6.7%
D．2016﹣2017年比2014﹣2015年我国国内生产总值增长的多
【考点】VC：条形统计图；VD：折线统计图．
【专题】542：统计的应用．
【分析】A、由6.9%＞0，可得出与2016年相比，2017年我国国内生产总值有所增长，结论A正确；
B、由7.8%＞7.3%＞6.9%＞6.7%，可得出2013﹣2016年，我国国内生产总值的增长率逐年降低，结论B正确；
C、根据五年的我国国内生产总值的增长率，求出其平均值，即可得出2013﹣2017年，我国国内生产总值的平均增长率约为7.12%，结论C错误；
D、由2016年的国内生产总值比2014年的国内生产总值多，且两年的我国国内生产总值的增长率相同，即可得出2016﹣2017年比2014﹣2015年我国国内生产总值增长的多，结论D正确．此题得解．
【解答】解：A、∵6.9%＞0，
∴与2016年相比，2017年我国国内生产总值有所增长，结论A正确；
B、∵7.8%＞7.3%＞6.9%＞6.7%，
∴2013﹣2016年，我国国内生产总值的增长率逐年降低，结论B正确；
C、∵＝7.12%，
∴2013﹣2017年，我国国内生产总值的平均增长率约为7.12%，结论C错误；
D、∵2016年的国内生产总值比2014年的国内生产总值多，且2016﹣2017年和2014﹣2015年我国国内生产总值的增长率相同，
∴2016﹣2017年比2014﹣2015年我国国内生产总值增长的多，结论D正确．
故选：C．
【点评】本题考查了折线统计图以及条形统计图，观察统计图逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
8．（2分）某游泳池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的A，B两边，同时朝着另一边游泳，他们游泳的时间为（秒），其中0≤t≤180，到A边距离为y（米），图中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y与t的对应关系．下面有四个推断：
①小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度；
②小明游泳的距离大于小林游泳的距离；
③小明游75米时小林游了90米游泳；
④小明与小林共相遇5次；
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．③④D．②④
【考点】FH：一次函数的应用．
【专题】533：一次函数及其应用．
【分析】利用图象信息，一一判断即可；
【解答】解：①错误．小明游泳的平均速度大于小林游泳的平均速度；
②正确．小明游泳的距离大于小林游泳的距离；
③错误，小明游75米时小林游了50米；
④正确．小明与小林共相遇5次；
故选：D．
【点评】本题考查函数图象的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 x≠3 ．
【考点】62：分式有意义的条件．
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用分式有意义的条件得出x﹣3≠0，进而得出答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，
则实数x的取值范围是：x≠3．
故答案为：x≠3．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
10．（2分）如图是一个正五边形，则∠1的度数是 72° ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】555：多边形与平行四边形．
【分析】多边形的外角和等于360度，除以5即可求解．
【解答】解：∠1的度数是360°÷5＝72°．
故答案为：72°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点．
11．（2分）如果a2﹣a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）的值是 1 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】11：计算题；513：分式．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，即a2﹣a＝1，
∴原式＝•＝•＝a（a﹣1）＝a2﹣a＝1，
故答案为：1
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，若AD＝1，BD＝3，则的值为 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】55：几何图形．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
故答案为：
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13．（2分）2017年延庆区农业用水和居民家庭用水的总和为8亿立方米，其中居民家庭用水比农业用水的2倍还多0.5亿立方米．设农业用水为x亿立方米，居民家庭用水为y亿立方米．依题意，可列方程组为 ．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用农业用水和居民家庭用水的总和为8亿立方米，居民家庭用水比农业用水的2倍还多0.5亿立方米，分别得出等式求出答案．
【解答】解：设农业用水为x亿立方米，居民家庭用水为y亿立方米．依题意，可列方程组为：
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
14．（2分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∠AOC＝42°，那么∠CDB的度数为 21° ．
【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
【专题】1：常规题型．
【分析】利用垂径定理求出＝，求出的度数是42°，的度数是42°，即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，
∴＝，
∵∠AOC＝42°，
∴的度数是42°，
∴的度数是42°，
∴∠CDB＝，
故答案为：21°．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，熟练应用定理进行推理是解题关键．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程： 平移，轴对称 ．
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移；R7：坐标与图形变化﹣旋转；RA：几何变换的类型．
【专题】46：几何变换．
【分析】根据平移的意义，轴对称的意义，可得答案．
【解答】解：△ABC向上平移4个单位，再沿y轴对折，得出△DEF，
故答案为：平移，轴对称．
【点评】本题考查了几何变换的类型，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；平移是物体沿某一直线方向移动一定的距离．
16．（2分）某农科所在相同条件下做玉米种子发芽实验，结果如下：
某位顾客购进这种玉米种子10千克，那么大约有 8.8 千克种子能发芽．
【考点】X9：模拟实验．
【专题】54：统计与概率．
【分析】根据某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.88左右，据此求出10kg种子中大约有多少kg种子是能发芽的即可．
【解答】解：∵大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.88左右，
∴10kg种子中能发芽的种子的质量是：
10×0.88
＝8.8（kg）
故答案为：8.8．
【点评】此题主要考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解答此题的关键是判断出：大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.88左右．
三、解答题（本题共68分，第17题-22题，每小题5分；第23-26题，每小题5分；第27题，第28题每小题各7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（5分）计算：3tan30°+|1﹣|+（2﹣π）0﹣（）﹣1．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】11：计算题．
【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、二次根式化简5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：3tan30°+|1﹣|+（2﹣π）0﹣（）﹣1．
＝3×+﹣1+1﹣3
＝+﹣1+1﹣3
＝2﹣3．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、二次根式等考点的运算．
18．（5分）解不等式组： 并写出它的所有整数解．
【考点】CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的整数解．
【专题】1：常规题型．
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出整数解即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥1，
∴不等式组的解集为1≤x＜4，
∴不等式组的整数解为1，2，3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
19．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E．
求证：AE＝DE．
【考点】JA：平行线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．
【专题】1：常规题型．
【分析】先利用角平分线得到∠BAD＝∠EAD，再有DE∥AB，得到∠BAD＝∠ADE，利用等量代换得到∠EAD＝∠ADE，根据“等角对等边”即可得到AE＝DE．
【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟记“等角对等边”．
20．（5分）已知：∠AOB及边OB上一点C．求作：∠OCD，使得∠OCD＝∠AOB．
要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；（说明：作出一个即可）
2．请你写出作图的依据．
【考点】N2：作图—基本作图．
【专题】13：作图题．
【分析】（1）以点C为顶点，作∠OCD＝∠COA，交AO于点D；
（2）作一个角等于已知角的依据为SSS．
【解答】解：（1）如图所示，∠OCD即为所求；
（2）作图的依据为SSS．
【点评】本题主要考查了基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
21．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC．
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若AD＝3，DF＝1，求四边形DBEC面积．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KP：直角三角形斜边上的中线；KX：三角形中位线定理；LA：菱形的判定与性质．
【专题】556：矩形 菱形 正方形．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形DBEC为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD＝BD，得证；
（2）由三角形中位线定理和勾股定理求得AB边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答．
【解答】（1）证明：∵CE∥DB，BE∥DC，
∴四边形DBEC为平行四边形．
又∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴CD＝BD＝AC，
∴平行四边形DBEC是菱形；
（2）∵点D，F分别是AC，AB的中点，AD＝3，DF＝1，
∴DF是△ABC的中位线，AC＝2AD＝6，S△BCD＝S△ABC
∴BC＝2DF＝2．
又∵∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝4．
∵平行四边形DBEC是菱形，
∴S四边形DBEC＝2S△BCD＝S△ABC＝AB•BC＝×4×2＝4．
【点评】考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理，熟练掌握相关的定理与性质即可解题，难度中等．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第一象限交于点P（1，3），连接OP．
（1）求反比例函数y＝（m≠0）的表达式；
（2）若△AOB的面积是△POB的面积的2倍，求直线y＝kx+b的表达式．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】1：常规题型．
【分析】（1）将P（1，3）代入y＝，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）过P作PE⊥y轴于E，则PE＝1．根据同底的两个三角形面积之比等于高之比可得OA＝2PE＝2，则A（2，0）或A（﹣2，0）．分两种情况进行讨论：①A点坐标为（2，0）；②A点坐标为（﹣2，0）．利用待定系数法分别求出直线AB的表达式．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点P（1，3），
∴m＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）过P作PE⊥y轴于E，则PE＝1．
∵△AOB的面积是△POB的面积的2倍，
∴OB•OA＝OB•PE×2，
∴OA＝2PE＝2，
∴A（2，0）或A（﹣2，0）．
①当A点坐标为（2，0）时，如图1．
将A（2，0）、P（1，3）代入y＝kx+b，
得，解得，
∴直线AB的表达式为y＝﹣3x+6；
②当A点坐标为（﹣2，0）时，如图2．
将A（﹣2，0）、P（1，3）代入y＝kx+b，
得，解得，
∴直线AB的表达式为y＝x+2．
综上可知，直线AB的表达式为y＝﹣3x+6或y＝x+2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求直线与双曲线的解析式，三角形的面积．得出OA＝2从而进行正确分类是解题的关键．
23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，点E是的中点，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F．连接AE并延长交BF于点C．
（1）求证：AB＝BC；
（2）如果AB＝5，tan∠FAC＝，求FC的长．
【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质；T7：解直角三角形．
【专题】14：证明题．
【分析】（1）先利用圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据根据等腰三角形的判定方法得到BA＝BC；
（2）利用切线的性质得到AF⊥AB，则根据等角的余角相等得到∠FAC＝∠ABE，则tan∠ABE＝∠FAC＝，在Rt△ABE中利用正切的定义计算出AC＝2，BE＝2作CH⊥AF于H，如图，接着证明Rt△ACH∽Rt△BAC，则利用相似比得到HC＝2，AH＝4，然后根据平行线分线段成比例定理计算出FH，最后根据勾股定理计算FC的长．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
而点E为AD弧的中点，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴BA＝BC；
（2）解：∵AF为切线，
∴AF⊥AB，
∵∠FAC+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABE＝90°，
∴∠FAC＝∠ABE，
∴tan∠ABE＝∠FAC＝，
在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，
设AE＝x，则BE＝2x，
∴AB＝x，即x＝5，解得x＝，
∴AC＝2AE＝2，BE＝2
作CH⊥AF于H，如图，
∵∠HAC＝∠ABE，
∴Rt△ACH∽Rt△BAC，
∴＝＝，即＝＝，
∴HC＝2，AH＝4，
∵HC∥AB，
∴＝，即＝，解得FH＝
在Rt△FHC中，FC＝＝．
【点评】本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
24．（6分）从北京市环保局证实，为满足2022年冬奥会对环境质量的要求，北京延庆正在对其周边的环境污染进行综合治理，率先在部分村镇进行“煤改电”改造．在治理的过程中，环保部门随机选取了永宁镇和千家店镇进行空气质量监测．过程如下，请补充完整．
收集数据：
从2016年12月初开始，连续一年对两镇的空气质量进行监测（将30天的空气污染指数（简称：API）的平均值作为每个月的空气污染指数，12个月的空气污染指数如下：
千家店镇：120 115 100 100 95 85 80 70 50 50 50 45
永宁 镇：110 90 105 80 90 85 90 60 90 45 70 60
整理、描述数据：
空气质量
按如表整理、描述这两镇空气污染指数的数据：
（说明：空气污染指数≤50时，空气质量为优；50＜空气污染指数≤100时，空气质量为良；100＜空气污染指数≤150时，空气质量为轻微污染．）
分析数据：
两镇的空气污染指数的平均数、中位数、众数如下表所示；
请将以上两个表格补充完整；
得出结论：可以推断出 千家店 镇这一年中环境状况比较好，理由为 千家店镇空气质量优的天数多于永宁镇，千家店镇的污染指数的平均数小于永宁镇或千家店镇空气污染指数的众数是50，属于空气质量优，而永宁镇空气污染指数的众数是90，属于轻微污染． ．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．
【专题】1：常规题型．
【分析】首先根据空气污染指数的数据及空气优、良和轻度污染的标准，对永宁镇进行分类并填空，根据众数和平均数的定义，计算出千家店镇的中位数和永宁镇的众数；根据表格的平均数、中位数、众数对两个镇的情况作出一个简单的判断即可．
【解答】解：永宁镇空气质量为优的天数是1天；空气质量为良的天数为9天；空气质量为轻微污染的天数为2天；
故答案为：1，9，2
千家店镇：120 115 100 100 95 85 80 70 50 50 50 45，
其中位于中间的两个数是85和80，所以其中位数为＝82.5；
永宁镇的数据中，90出现了三次最多，故其众数为90．
故答案为82.5，90．
千家店镇的环境状况较好．（理由不唯一）
例如：千家店镇空气质量优的天数多于永宁镇，千家店镇的污染指数的平均数小于永宁镇或千家店镇空气污染指数的众数是50，属于空气质量优，而永宁镇空气污染指数的众数是90，属于轻微污染等．
【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数的定义．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．
25．（6分）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝6cm，设弦AP的长为xcm，△APO的面积为ycm2，（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整；
（1）通过取点、画图、测量、计算，得到了x与y的几组值，如下表：
那么m＝ 4.5 ；（保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数图象．
（3）结合函数图象说明，当△APO的面积是4时，则AP的值约为 3.1或5.2 ．（保留一位小数）
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【分析】（1）作OC⊥AP，根据垂径定理得：AC＝AP＝x，再根据勾股定理可计算OC的长，然后根据三角形面积公式可得y与x的关系式，代入x＝4可得m的值；
（2）利用描点法画出图象即可；
（3）利用图象法即可解决问题；
【解答】解：（1）过O作OC⊥AP于C，则AC＝AP＝x，
在Rt△AOC中，OA＝3，
OC＝＝＝，
∴y＝AP•OC＝x＝x（0≤x≤6），
当x＝4时，m＝×4×＝＝2≈4.5
故答案为：4.5；
（2）如图所示：
（3）观察图象可知：当△APO的面积是4时，则AP的值约为3.1或5.2，
故答案为3.1或5.2．
【点评】本题考查动点问题函数图象，圆的有关知识，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）求抛物线的对称轴及点A，B的坐标；
（2）点C（t，3）是抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）上一点，（点C在对称轴的右侧），过点C作x轴的垂线，垂足为点D．
①当CD＝AD时，求此时抛物线的表达式；
②当CD＞AD时，求t的取值范围．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】15：综合题．
【分析】（1）令函数值为0得到ax2﹣4ax+3a＝0，然后解方程可得到A点和B点坐标；利用抛物线的对称轴方程确定抛物线的对称轴；
（2）①利用点C的坐标得到CD＝3，OA＝t，则AD＝t﹣1，根据题意得到t﹣1＝3，解方程求出t得到C（4，3），然后把C点坐标代入y＝ax2﹣4ax+3a中求出a即可得到抛物线解析式；
②利用CD＞AD得到3＞t﹣1，再利用点C在B点的右侧得到t＞3，从而可确定t的范围．
【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0，即x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2；
（2）①∵CD⊥x轴，
∴CD＝3，OA＝t，
∴AD＝t﹣1，
而CD＝AD，
∴t﹣1＝3，解得t＝4，
∴C（4，3），
把C（4，3）代入y＝ax2﹣4ax+3a得16a﹣16a+3a＝3，解得a＝1，
∴此时抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
②∵CD＞AD，
∴3＞t﹣1，
∴t＜4，
而点C在点B的右侧，
∴t＞3，
∴t的范围为3＜t＜4．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；理解坐标与图形性质．
27．（7分）如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．
（1）求证：∠FBC＝∠CDF．
（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段DF，BF，CG之间的数量关系并加以证明．
【考点】LO：四边形综合题．
【专题】15：综合题．
【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）①根据题意画出图形即可；
②结论：BF＝DF+CG．利用截长补短法，构造相似三角形解决问题即可；
【解答】（1）证明：如图1中，设CD交BF于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCO＝90°，
∵BF⊥DE，
∴∠OFD＝∠OCB＝90°，
∴∠FBC+∠COB＝90°，∠CDF+∠DOF＝90°，
∵∠DOF＝∠BOC，
∴∠FBC＝∠CDF．
（2）解：①如图2中，
②结论：BF＝DF+CG．
理由：在线段FB上截取FM，使得FM＝FD．
∵∠BDC＝∠MDF＝45°，
∴∠BDM＝∠CDF，
∵＝＝，
∴△BDM∽△CDF，
∴＝＝，∠DBM＝∠DCF，
∴BM＝CF，
∴∠CFE＝∠FCD+∠CDF＝∠DBM+∠BDM＝∠DMF＝45°，
∴∠EFG＝∠EFC＝45°，
∴∠CFG＝90°，
∵CF＝FG，
∴CG＝CF，
∴BM＝CG，
∴BF＝BM+FM＝CG+DF．
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（7分）平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）与B（x2，y2），如果满足x1+x2＝0，y1﹣y2＝0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C（3，4）
（1）下列各点中， 点F 与点C互为反等点；
D（﹣3，﹣4），E（3，4），F（﹣3，4）
（2）已知点G（﹣5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标xP的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．
【考点】MR：圆的综合题．
【专题】1：常规题型．
【分析】（1）根据互为反等点的意义，得结论；
（2）因为点P、Q是线段CG上的互反等点，根据（1）的结论，可确定点P的横坐标xP的取值范围；
（3）根据圆与线段CG相离、相切、相交情况及互为反等点的定义，讨论得出圆的半径的取值范围．
【解答】解：（1）因为3+（﹣3）＝0，4﹣4＝0
所以点（﹣3，4）与点（3，4）互为相反等点．
故答案为：点F．
（2）由于点C与点F互为反等点．
又因为点P，Q是线段CG上的反等点，
所以点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xP≤3，且xp≠0．
（3）如图所示，当
⊙O与CG相离时，此时⊙O与线段CG没有互为反等点；
当⊙O与CG相切时，此时r＝4，⊙O与线段CG没有互为反等点；
⊙O与CG相交于点C时，此时r＝＝5．⊙O与线段CG有互为反等点；
当r＞4，时，⊙O与线段CG有一个交点或者没有交点，
所以没有互为反等点．
综上当4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点．
【点评】本题考查了新定义与圆．解决本题的关键是弄清楚互为反等量的意义．空气质量为优
空气质量为良
空气质量为轻微污染
千家店镇
4
6
2
永宁 镇



城镇
平均数
中位数
众数
千家店
80

50
永 宁
81.3
87.5

x/cm
0.5
1
2
3
3.5
4
5
5.5
5.8
y/cm2
0.8
1.5
2.8
3.9
4.2
m
4.2
3.3
2.3
空气质量为优
空气质量为良
空气质量为轻微污染
千家店镇
4
6
2
永宁 镇
1
9
2
城镇
平均数
中位数
众数
千家店
80
82.5
50
永 宁
81.3
87.5
90
x/cm
0.5
1
2
3
3.5
4
5
5.5
5.8
y/cm2
0.8
1.5
2.8
3.9
4.2
m
4.2
3.3
2.3