2023年北京市通州区中考一模数学试卷

这是一份2023年北京市通州区中考一模数学试卷，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列图形：（1）线段；（2）角；（3）等边三角形；（4）平行四边形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
2．2023年1月国家统计局网站数据显示，2022年全国居民人均消费支出24538元，将24538月科学记数法表示（ ）
A．B．C．D．
3．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．正七边形的外角和是（ ）
A．900°B．700°C．360°D．180°
5．如图，是某一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ）
A．五棱锥B．四棱锥C．四棱柱D．三棱柱
6．点M，N在数轴上的位置如图所示，点M，N表示的有理数为a，b．如果，那么下列描述数轴原点的位置说法正确的是（ ）
A．原点O在点M左侧B．原点O在点N的右侧
C．原点O在点M、N之间，且D．原点O在点M、N之间，且
7．如图1，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．小凯转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字．图2，是小凯记录下的实验结果情况，那么小凯记录的实验是（ ）
A．转动转盘后，出现偶数B．转动转盘后，出现能被3整除的数
C．转动转盘后，出现比6大的数D．转动转盘后，出现能被5整除的数
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形是一个矩形，小球P从点出发沿直线向点B运动，到达点B时被第一次反弹．每当小球P沿直线运动碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P第次碰到矩形的边时，小球P所在位置的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．若代数式有意义，那么x的取值范围是__________．
10．分解因式：_____．
11．已知n为整数，且，则n等于__________．
12．方程的解是__________．
13．由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值R（始终保持），发现通过滑动变阻器的电流I与滑动变阻器的电阻R成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过，则滑动变阻器阻值的范围是__________．
14．为探究浸种处理对花生种子萌发率的影响，九年级的生物小组同学取1000粒花生种子完成实验．同学们将1000粒花生种子平均分成五组，获得如下花生种子萌发量数据．如表格．
在温度25℃的条件下，将5000粒种子浸种24小时，萌发量大致为__________粒．
15．在中，，将一个直角尺的直角顶点O与边上的中点D重合，并绕点D旋转，分别交于点E、F，如果四边形恰巧是正方形，则的长度为__________．
16．某学校带领150名学生到农场参加植树劳动，学校同时租用A，B，C三种型号客车去农场，其中A，B，C三种型号客车载客量分别为40人、30人、10人，租金分别为700元、500元、200元．为了节省资金，学校要求每辆车必须满载，并将学生一次性送到农场植树，请你写出一种满足要求的租车方案__________，满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是__________元．
三、解答题
17．计算：
18．解不等式组
19．先化简，再求值：已知，求的值．
20．如图，在四边形中，，E为的中点，请你用无刻度的直尺在图中画的边上的高线，小蕊的画法如下．请你按照小蕊的画法完成画图，并填写证明的依据．
21．已知在中，，点D，E分别是边中点，连接，延长到点F，使得，连接．
(1)求证：四边形是菱形
(2)如果，且，求的长．
22．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
(1)求m的值及的表达式；
(2)一次函数的图象为，且三条直线不能围成三角形，直接写出所有满足条件的n的值．
23．北极海冰是地球系统的重要组成部分，其变化可作为全球气候变化的重要指示器，为了应对全球气候问题，科学家运用卫星遥感技术对北极海冰覆盖面积的变化情况进行监测，根据对多年的数据进行整理、描述和分析，形成了如下信息：
a.1961-2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化的频数分布直方图如下所示：（数据分成8组：）
b．1961-2020年间北极海冰年最低覆盖面积的数据在这一组的是：
，，，，，，，，，，
(1)写出1961-2020年间北极海冰年最低覆盖面积的中位数是__________（平方千米）；
(2)北极海冰最低覆盖面积出现了大面积的缩减是__________年．
(3)请参考反映1961—2020年间北极海冰年最低覆盖面积变化的折线图，解决以下问题：
①记北极地区1961-1990年北极海冰年最低覆盖面积的方差为，1991-2020年北极海冰年最低覆盖面积的方差为．请直接判断__________的大小关系（填写“>”“<”或“=”）；
②根据2000年以后北极海冰年最低覆盖面积的相关数据，推断全球气候发生了怎样的变化？在你的生活中应采取哪些措施应对这一变化？
24．如图，是圆内接三角形，过圆心O作，连接，过点C作，交的延长线于点D，．
(1)求证：是的切线；
(2)如果，求半径的长度．
25．如图，是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口C离地面垂直高度为1.5米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线．
(1)灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点B，此时，喷水口C喷出的水流垂直高度与水平距离的几组数据如下表，
结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程的长度．
(2)为了全面灌溉，喷水口C可以喷出不同射程的水流，喷水口C喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表达式，此水流最大射程米，求此水流距离地面的最大高度．
26．在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上．
(1)当时，求b的值；
(2)当，求b的取值范围．
27．直线是线段的垂直平分线，垂足为点O，点C是直线上一点，连接．以为斜边作等腰直角，连接．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2所示，点E是直线上一点，且，连接，延长至点F，使得，连接．根据题意补全图2，写出线段之间的关系，并证明．
28．在中，，给出如下定义：作直线分别交边于点，，点关于直线的对称点为，则称为等腰直角关于直线的“直角对称点”．（点可与点重合，点可与点重合）
(1)在平面直角坐标系中，点，直线，为等腰直角关于直线的“直角对称点”．
①当时，写出点的坐标__________；
②连接，求长度的取值范围；
(2)的半径为，点是上一点，以点为直角顶点作等腰直角，其中，直线与分别交于、两点，同时为等腰直角关于直线的“直角对称点”，连接．当点在上运动时，直接写出长度的最大值与最小值．
组别处理
花生种子萌发量（单位：粒）
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
浸种24小时、25℃
186
180
180
176
178
画法：①连接，
②连接，交于点F，
③连接，交于点P
④作射线，交于点H，
∴即为所求的边上的高线
证明：
∵，E为的中点，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．___________________________．
∴点F是中点．____________________________．
∴是的中线
∴是的中线
∵
∴是边上的高线．______________________________．
水平距离x/米
0
0.5
1
2
3
4
竖直高度y/米
1.5
1.71875
1.875
2
1.875
1.5
参考答案：
1．A
【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，逐一进行判断即可．
【详解】解：线段既是轴对称图形又是中心对称图形；角是轴对称图形不是中心对称图形；等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形；平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形；故既是轴对称图形又是中心对称图形的是（1）；
故选A．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键．
2．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解： ．
故选：C．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．A
【分析】根据一幅三角板各个角的度数，结合三角形的内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查了角的和差运算．熟记一幅三角板中各个角的度数是解题的关键．
4．C
【分析】由多边形外角和为可得答案．
【详解】解：∵多边形的外角和为：，
∴正七边形的外角和是，
故选C．
【点睛】本题考查的是正多边形的外角和问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键．
5．D
【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：D．
【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
6．D
【分析】由可知，原点在之间，根据， ，进行判断即可．
【详解】解：∵点M，N表示的有理数为a，b ，，
∴异号，
∴原点O在点M、N之间，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数．熟练掌握两个有理数的乘积小于0，两数异号，以及绝对值的意义，是解题的关键．
7．B
【分析】根据图2可知，试验的概率为，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图2可知，当转动次数为600次时，频率为，故该事件的概率约为．
A、转动转盘后，出现偶数的概率为，不符合题意；
B、转动转盘后，出现能被3整除的数，转盘中共有10个数字，其中能被整除的数字为，共3个，概率为，符合题意；
C、转动转盘后，出现比6大的数，转盘中共有10个数字，其中比6大的数字为共4个，概率为，不符合题意；
D、转动转盘后，出现能被5整除的数，转盘中共有10个数字，其中能被整除的数字为，共2个，概率为，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．熟练掌握利用频率估计概率的方法，是解题的关键．
8．A
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用100除以6，根据商的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴当小球P第次碰到矩形的边时，小球P所在位置的坐标为．
故选：A．
【点睛】此题考查了坐标的变化规律，找到小球位置变化规律是解题的关键．
9．
【分析】要使分式有意义，分式的分母不能为0．依此可得，求解即可．
【详解】分式有意义，则，所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得x的值即可．
10．
【分析】先提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11．
【分析】根据，即可直接求出整数n．
【详解】∵n为整数，且，而
∴
故答案为：
【点睛】此题考查二次根式的取值范围，解题关键是找出二次根式临近的整数来判断二次根式的取值范围．
12．
【分析】先去分母变为整式方程，然后解整式方程，得出x的值，最后检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
解整式方程得：，
经检验是原方程的解，
所以方程的解为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤准确计算，注意解分式方程要进行检验．
13．
【分析】根据反比例函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：由图象可知，随着的增大而减小，当时，，
∴若使得通过滑动变阻器的电流不超过，则滑动变阻器阻值的范围是；
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
14．4500
【分析】分别求出5个小组的萌发率，求出平均萌发率，再进行计算即可．
【详解】解：第1组的花生种子的萌发率为：，
第2组的花生种子的萌发率为：，
第3组的花生种子的萌发率为：，
第4组的花生种子的萌发率为：，
第5组的花生种子的萌发率为：，
∴花生种子的萌芽率的平均值为：，
∴在温度25℃的条件下，将5000粒种子浸种24小时，萌发量大致为；
故答案为：4500；
【点睛】本题考查利用样本估计总体．正确的求出萌芽率，是解题的关键．
15．2
【分析】由四边形是正方形得到，由，得到是等腰直角三角形，求出，由直角三角形的性质得到，在中，求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，四边形是正方形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
∵D是边上的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：2
【点睛】此题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
16． 租用A型号客车1辆，B型号客车3辆，C型号客车2辆（答案不唯一） 2600
【分析】设租用A，B，C三种型号客车分别为辆，根据题意列出方程进行求解即可．
【详解】解：设租用A，B，C三种型号客车分别为辆，由题意，得：
，
∵均为正整数，
∴或或或或，
∴可以租用A型号客车1辆，B型号客车3辆，C型号客车2辆（答案不唯一）；
当租用A型号客车1辆，B型号客车1辆，C型号客车8辆时，花费的费用为：元；
当租用A型号客车1辆，B型号客车2辆，C型号客车5辆时，花费的费用为：元；
当租用A型号客车1辆，B型号客车3辆，C型号客车2辆时，花费的费用为：元；
当租用A型号客车2辆，B型号客车1辆，C型号客车4辆时，花费的费用为：元；
当租用A型号客车2辆，B型号客车2辆，C型号客车1辆时，花费的费用为：元；
故最低租车费用为：元；
故答案为：租用A型号客车1辆，B型号客车3辆，C型号客车2辆（答案不唯一）；2600．
【点睛】本题考查三元一次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
17．
【分析】，，，然后混合运算求解即可．
【详解】
．
【点睛】此题考查特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是．
18．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
19．8
【分析】先利用完全平方公式与平方差公式以及单项式乘以多项式进行乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再由可得，整体代入求值即可．
【详解】解：
∵
∴
∴
【点睛】本题考查的是整式的乘法运算中的化简求值，熟练的利用乘法公式进行化简，再整体代入求值是解本题的关键．
20．见解析
【分析】先根据题意画图，然后根据已知条件填写依据即可．
【详解】
∵，E为的中点，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴点F是中点．（平行四边形对角线互相平分），
∴是的中线，
∴是的中线，
∵，
∴是边上的高线．（等腰三角形底边上的中线也是底边上的高）．
【点睛】此题考查平行四边形的性质与判断和等腰三角形的性质，解题关键是根据已知条件灵活使用平行四边形的性质和判定．
21．(1)见解析
(2)的长为10
【分析】（1）先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据三角线中位线的性质证明，进而得出，即可证明四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质可得，再利用三角函数、勾股定理解即可．
【详解】（1）证明：点E是边中点，
，
又，
四边形是平行四边形
在中，点D，E分别是边中点，
，，
，
，．
四边形是菱形；
（2）解：由（1）知，四边形是菱形，
，
，
，
，
在中，，
，
解得或（舍），
的长为10．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，利用三角函数、勾股定理解直角三角形等，解题的关键是掌握菱形的判定方法及性质，牢记三角函数的定义．
22．(1)，
(2)或或
【分析】（1）将点代入，求出的值，再利用待定系数法求出的表达式即可；
（2）分过点，，，三种情况求出的值即可．
【详解】（1）解：∵与交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的表达式为：；
（2）解：∵三条直线不能围成三角形，
①当过点时，三条直线交于一点，满足题意，
此时：，解得：；
②当时，满足题意，此时；
③当时，满足题意，此时；
综上：或或．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)①；②见解析
【分析】（1）根据中位数的定义即可求解；
（2）根据折线统计图，找到北极海冰最低覆盖面积变化较大的年份即可求解；
（3）①根据折线统计图，比较波动范围，即可判断方差的大小；
②根据题意结合生活，写出理由以及应对方法即可求解．
【详解】（1）解：∵，
，，，，，，，，，，
共60个数据，中位数为第30个，第31个数据的平均数，即
故答案为：．
（2）解：根据折线统计题意可知北极海冰最低覆盖面积出现了大面积的缩减是年，
故答案为：．
（3）①根据折线统计图可知年北极海冰年最低覆盖面积的波动范围在（平方千米），年北极海冰年最低覆盖面积的波大范围在，
∴，
故答案为：．
②根据折线统计图可知，2000年以后北极海冰年最低覆盖面积整体趋势是逐渐变小，可知全球气候变暖，导致北极海冰融化，
在生活中注意节能减排，绿色出行，保护环境（答案不唯一，合理即可）
【点睛】本题考查了求中位数，折线统计图，方差的意义，从统计图表获取信息是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)半径的长度为
【分析】（1）根据，可得出，根据平行线的性质可得，即可得出是的切线；
（2）根据圆周角定理可得，得出，即可证明，根据相似三角形的性质，结合可求出的长，根据勾股定理即可得答案．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）由（1）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴由勾股定理得，
解得：（负值舍去），
∴半径的长度为．
【点睛】本题考查平行线的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质及勾股定理，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；有两个角对应相等的两个三角形相似；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
25．(1)，水流最大射程的长度为米
(2)水流距离地面的最大高度为2米
【分析】（1）设出抛物线的解析式，待定系数法求出解析式，令，求出水流最大射程即可．
（2）根据题意，抛物线过点，待定系数法求出解析式，即可得出结果．
【详解】（1）解：由表格可知，抛物线过点，
根据抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为直线，
结合表格可得：抛物线的顶点坐标为：，
设抛物线的解析式为：，把代入，得：
，解得：，
∴；
当时，，
解得：或（舍掉）；
∴水流最大射程的长度为米；
（2）解：由题意，得：抛物线过点，
∴，解得：，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∴水流距离地面的最大高度为2米．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键．
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的对称性，以及对称轴的公式，进行求解即可；
（2）分和两种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：点在二次函数的图象上，当时，和关于对称轴对称，
则：抛物线的对称轴为直线：，
∴；
（2）解：∵，，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；
∵时，，
∴抛物线过点，
当时，，即；
∵，
①当时，，如图：
∵，，
∴，
解得：；
②当时，此时对称轴在轴的左侧，点离抛物线的对称轴近，
∴，不满足题意；
综上：．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质．熟练掌握抛物线的对称性，以及二次函数的性质，是解题的关键．
27．(1)
(2)见解析；，
【分析】（1）先证明全等三角形，得到等角，然后直接计算角度即可；
（2）先按要求画图，然后证明两组全等三角形，即可得到边相等且平行的关系．
【详解】（1）∵直线是线段的垂直平分线，垂足为点O，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，连接，
与（1）同理可得：，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的性质，解题关键是通过已知条件判定全等三角形，得到边和角的关系．
28．(1)①；②
(2)的最小值为，最大值为
【分析】（1）①根据题意得出直线与轴分别交于点，，进而得出四边形是正方形，即可求得的坐标；
②过定点，根据为等腰直角关于直线的“直角对称点”，得出在为圆心，为半径的圆上运动，根据圆外一点到圆上的距离求得范围即可求解；
（2）根据（1）②可得点在以为圆心长为半径的圆上运动，当取得最大值时，最大，画出图形，根据图形即可求解．
【详解】（1）解：①当时，
当时，，当时，，则直线与轴分别交于点，，如图所示，
∴，则是等腰直角三角形，
∵为等腰直角关于直线的“直角对称点”．
∴，
即，
∴四边形是菱形
又，
∴四边形是正方形
∴，
②解：∵过定点，
∵为等腰直角关于直线的“直角对称点”．
∴，
∴在为圆心，为半径的圆上运动，
连接，
∴ ，
则，
∴，
（2）解：以点为直角顶点作等腰直角，其中，则到线段的距离为，
∵点是上一点，则，
由（1）②可知, 点在以为圆心长为半径的圆上运动，
∴当取得最大值时，最大，
∵，则三点共线时，取得最大值，此时，
∵与关于，即对称，则当在轴时，取得最大值，
如图所示，此时轴，
∴
∴，
同理可得在轴时，取得最小值，此时,
∴
综上所述，的最小值为，最大值为
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，正方形的性质与判定，点到圆上一点的距离，勾股定理，坐标与图形，旋转的性质，轴对称的性质，理解新定义是解题的关键．