2018年北京市东城区中考二模数学试卷

这是一份2018年北京市东城区中考二模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等 11 省市，面积约 2050000 平方公里，约占全国面积的 21%．将 2050000 用科学记数法表示应为
A. 205 万B. 205×104C. 2.05×106D. 2.05×107

2. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=3x+1 的图象经过
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限

3. 在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能是多边形的是
A. 圆锥B. 圆柱C. 球D. 正方体

4. 七年级 1 班甲、乙两个小组的 14 名同学身高（单位：厘米）如表：
甲组158159160160160161169乙组158159160161161163165
以下叙述错误的是
A. 甲组同学身高的众数是 160B. 乙组同学身高的中位数是 161
C. 甲组同学身高的平均数是 161D. 两组相比，乙组同学身高的方差大

5. 在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P3,4 在 ⊙O 内，则 ⊙O 的半径 r 的取值范围是
A. 04C. 05

6. 如果 3a2+5a−1=0，那么代数式 5a3a+2−3a+23a−2 的值是
A. 6B. 2C. −2D. −6

7. 在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线 AD 平分 ∠BAC 的是
A. 图 2B. 图 1 与图 2C. 图 1 与图 3D. 图 2 与图 3

8. 有一圆形苗圃如图 1 所示，中间有两条交叉过道 AB，CD，它们为苗圃 eO 的直径，且 AB⊥CD．入口 K 位于 AD 中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进．设该园丁行进的时间为 x，与入口 K 的距离为 y，表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则该园丁行进的路线可能是
A. A→O→DB. C→A→O→B
C. D→O→CD. O→D→B→C

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若分式 xx2+2 的值为正，则实数 x 的取值范围是 ．

10. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到 x 轴的距离为 1，到 y 轴的距离为 2．写出一个符合条件的点 P 的坐标 ．

11. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，BC=8．⊙O 是 △ABC 的外接圆，其半径为 5．若点 A 在优弧 BC 上，则 tan∠ABC 的值为 ．

12. 抛物线 y=mx2+2mx+1（m 为非零实数）的顶点坐标为 ．

13. 自 2008 年 9 月南水北调中线京石段应急供水工程通水以来，截至 2018 年 5 月 8 日 5 时 52 分，北京市累计接收河北四库来水和丹江口水库来水达 50 亿立方米．已知丹江口水库来水量比河北四库来水量的 2 倍多 1.82 亿立方米，求河北四库来水量．设河北四库来水量为 x 亿立方米，依题意，可列一元一次方程为 ．

14. 每年农历五月初五为端午节，中国民间历来有端午节吃粽子、赛龙舟的习俗．某班同学为了更好地了解某社区居民对鲜肉粽、豆沙粽、小枣粽、蛋黄粽的喜爱情况，对该社区居民进行了随机抽样调查，并将调查情况绘制成如图两幅统计图（尚不完整）．分析图中信息，本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为 ；若该社区有 10000 人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为 ．

15. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，P 分别在 x 轴、 y 轴上，∠APO=30∘．先将线段 PA 沿 y 轴翻折得到线段 PB，再将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 30∘ 得到线段 PC，连接 BC．若点 A 的坐标为 −1,0，则线段 BC 的长为 ．

16. 阅读下列材料：
数学课上老师布置一道作图题：
已知：直线 l 和 l 外一点 P，
求作：过点 P 的直线 m，使得 m∥l．
小东的作法如下：
作法：如图，
（1）在直线 l 上任取点 A，连接 PA；
（2）以点 A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段 PA 于点 B，直线 l 于点 C；
（3）以点 P 为圆心，AB 长为半径作弧 DQ，交线段 PA 于点 D；
（4）以点 D 为圆心，BC 长为半径作弧，交弧 DQ 于点 E，作直线 PE．
所以直线 PE 就是所求作的直线 m．
老师说：“小东的作法是正确的．”
请回答：小东的作图依据是 .

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：−3−2sin60∘+−23+12．

18. 解不等式 1−2−x>43x−2，并把它的解集表示在数轴上．

19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）当 AC=8，BC=6 时，求 DE 的长．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 kx2−6x+1=0 有两个不相等的实数根．
（1）求实数 k 的取值范围；
（2）写出满足条件的 k 的最大整数值，并求此时方程的根．

21. 如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=α，点 E 在对角线 BD 上．将线段 CE 绕点 C 顺时针旋转 α，得到 CF，连接 DF．
（1）求证：BE=DF；
（2）连接 AC，若 EB=EC，求证：AC⊥CF．

22. 已知函数 y=1x 的图象与函数 y=kxk≠0 的图象交于点 Pm,n．
（1）若 m=2n，求 k 的值和点 P 的坐标；
（2）当 m≤n 时，结合函数图象，直接写出实数 k 的取值范围．

23. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，直线 BM⊥AB 于点 B．点 C 在 ⊙O 上，分别连接 BC，AC，且 AC 的延长线交 BM 于点 D．CF 为 ⊙O 的切线交 BM 于点 F．
（1）求证：CF=DF；
（2）连接 OF．若 AB=10，BC=6，求线段 OF 的长．

24. 十八大报告首次提出建设生态文明，建设美丽中国．十九大报告再次明确，到 2035 年美丽中国目标基本实现．森林是人类生存发展的重要生态保障，提高森林的数量和质量对生态文明建设非常关键．截止到 2013 年，我国已经进行了八次森林资源清查，其中全国和北京的森林面积和森林覆盖率情况如下：
表 1 全国森林面积和森林覆盖率
清查次数一二三四五六七八 1976年1981年1988年1993年1998年2003年2008年2013年森林面积万公顷森林覆盖率12.7%12%12.98%13.92%16.55%18.21%20.36%21.63%
表 2 北京森林面积和森林覆盖率
（以上数据来源于中国林业网）
请根据以上信息解答下列问题：
（1）从第 次清查开始，北京的森林覆盖率超过全国的森林覆盖率；
（2）补全以下北京森林覆盖率折线统计图，并在图中标明相应数据；
（3）第八次清查的全国森林面积 20768.73（万公顷）记为 a，全国森林覆盖率 21.63% 记为 b，到 2018 年第九次森林资源清查时，如果全国森林覆盖率达到 27.15%，那么全国森林面积可以达到 万公顷（用含 a 和 b 的式子表示）．

25. 小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为 4 平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）．
小强根据他学习函数的经验做了如下的探究．下面是小强的探究过程，请补充完整：
（1）建立函数模型：
设矩形小花园的一边长为 x 米，篱笆长为 y 米．则 y 关于 x 的函数表达式为 ；
（2）列表（相关数据保留一位小数）：
根据函数的表达式，得到了 x 与 y 的几组值，如表：
（3）描点、画函数图象：
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；
（4）观察分析、得出结论：
根据以上信息可得，当 x= 时，y 有最小值．由此，小强确定篱笆长至少为 米．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx−3a≠0 经过点 A−1,0 和点 B4,5．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求直线 AB 关于 x 轴的对称直线的表达式；
（3）点 P 是 x 轴上的动点，过点 P 作垂直于 x 轴的直线 l，直线 l 与该抛物线交于点 M，与直线 AB 交于点 N．当 PM
27. 如图所示，点 P 位于等边 △ABC 的内部，且 ∠ACP=∠CBP．
（1）∠BPC 的度数为 ∘；
（2）延长 BP 至点 D，使得 PD=PC，连接 AD，CD．
①依题意，补全图形；
②证明：AD+CD=BD；
（3）在（2）的条件下，若 BD 的长为 2，求四边形 ABCD 的面积．

28. 研究发现，抛物线 y=14x2 上的点到点 F0,1 的距离与到直线 l:y=−1 的距离相等．如图 1 所示，若点 P 是抛物线 y=14x2 上任意一点，PH⊥l 于点 H，则 PF=PH．基于上述发现，对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M，记点 M 到点 P 的距离与点 P 到点 F 的距离之和的最小值为 d，称 d 为点 M 关于抛物线 y=14x2 的关联距离；当 2≤d≤4 时，称点 M 为抛物线 y=14x2 的关联点．
（1）在点 M12,0，M21,2，M34,5，M40,−4 中，抛物线 y=14x2 的关联点是 ；
（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，点 At,1，点 Ct+1,3．
①若 t=4，点 M 在矩形 ABCD 上，求点 M 关于抛物线 y=14x2 的关联距离 d 的取值范围；
②若矩形 ABCD 上的所有点都是抛物线 y=14x2 的关联点，则 t 的取值范围是 ．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. C
4. D
5. D
6. A
7. C
8. B
第二部分
9. x>0
10. 2,1，2,−1，−2,1，−2,−1
11. 2
12. −1,1−m
13. x+2x+1.82=50
14. 120，3000
15. 22
16. 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线；内错角相等两直线平行
第三部分
17. 原式=3−2×32−8+23=3−5.
18. 移项，得
13x−2<1.
去分母，得
x−2<3.
移项，得
x<5.∴
不等式组的解集为
x<5.
19. （1） ∵DE 垂直平分 AB，
∴∠AED=90∘．
∴∠AED=∠C．
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
（2） Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵DE 平分 AB，
∴AE=5．
∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC．
∴DE6=58．
∴DE=154．
20. （1） 依题意，得 k≠0,Δ=−62−4k>0,
解得 k<9 且 k≠0．
（2） ∵k 是小于 9 的最大整数，
∴k=8．
此时的方程为 8x2−6x+1=0．
解得 x1=12，x2=14．
21. （1） 因为四边形 ABCD 是菱形，
所以 BC=DC，∠BAD=∠BCD=α．
因为 ∠ECF=α，
所以 ∠BCD=∠ECF．
所以 ∠BCE=∠DCF．
因为线段 CF 由线段 CE 绕点 C 顺时针旋转得到，
所以 CE=CF．
在 △BEC 和 △DFC 中，
BC=DC,∠BCE=∠DCF,CE=CF,
所以 △BEC≌△DFCSAS．
所以 BE=DF．
（2） 因为四边形 ABCD 是菱形，
所以 ∠ACB=∠ACD，AC⊥BD．
所以 ∠ACB+∠EBC=90∘．
因为 EB=EC，
所以 ∠EBC=∠BCE．
由（1）可知，
因为 ∠EBC=∠DCF，
所以 ∠DCF+∠ACD=∠EBC+∠ACB=90∘，
所以 ∠ACF=90∘，
所以 AC⊥CF．
22. （1） k=12，P2,22 或 P−2,−22．
（2） k≥1．
23. （1） ∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘．
∴∠DCB=90∘．
∴∠CDB+∠FBC=90∘．
∵AB 是 ⊙O 的直径，MB⊥AB，
∴MB 是 ⊙O 的切线．
∵CF 是 ⊙O 的切线，
∴FC=FB．
∴∠FCB=∠FBC．
∵∠FCB+∠DCF=90∘，
∴∠CDB=∠DCF．
∴CF=DF．
（2） 由（1）可知，△ABC 是直角三角形，在 Rt△ABC 中，AB=10，BC=6，
根据勾股定理求得 AC=8．
在 Rt△ABC 和 Rt△ADB 中，
∠A=∠A,∠ACB=∠ABD,
∴Rt△ABC∽Rt△ADB
∴ABAD=ACAB
∴10AD=810．
∴AD=252．
由（1）知，
∵CF=DF，CF=BF，
∴DF=BF．
∵AO=BO，
∴OF 是 △ADB 的中位线．
∴OF=12AD=254．
24. （1） 四
（2） 如图：
（3） 543a2000b
25. （1） y=2x+4x
（2） 8；10
（3） 如图．
（4） 2；8
26. （1） 把点 −1,0 和 4,5 分别代入 y=ax2+bx−3a≠0，
得 0=a−b−3,5=16a+4b−3,
解得 a=1，b=−2．
∴ 抛物线的表达式为 y=x2−2x−3．
（2） 设点 B4,5 关于 x 轴的对称点为 Bʹ，
则点 Bʹ 的坐标为 4,−5．
∴ 直线 AB 关于 x 轴的对称直线为直线 ABʹ．
设直线 ABʹ 的表达式为 y=mx+n，
把点 −1,0 和 4,−5 分别代入 y=mx+n，
得 0=−m+n,−5=4m+n,
解得 m=−1，n=−1．
∴ 直线 ABʹ 的表达式为 y=−x−1．
即直线 AB 关于 x 轴的对称直线的表达式为 y=−x−1．
（3） 如图，直线 ABʹ 与抛物线 y=x2−2x−3 交于点 C．
设直线 l 与直线 ABʹ 的交点为 Nʹ，
则 PNʹ=PN．
∵PM ∴PM ∴ 点 M 在线段 NNʹ 上（不含端点）．
∴ 点 M 在抛物线 y=x2−2x−3 夹在点 C 与点 B 之间的部分上．
联立 y=x2−2x−3 与 y=−x−1，
可求得点 C 的横坐标为 2．
又点 B 的横坐标为 4，
∴ 点 P 的横坐标 xP 的取值范围为 227. （1） 120
（2） ①如图 1 所示．
②在等边 △ABC 中，∠ACB=60∘，
∴∠ACP+∠BCP=60∘，
∵∠ACP=∠CBP，
∴∠CBP+∠BCP=60∘，
∴∠BPC=180∘−∠CBP+∠BCP=120∘，
∴∠CPD=180∘−∠BPC=60∘，
∵PD=PC，
∴△CDP 为等边三角形，
∵∠ACD+∠ACP=∠ACP+∠BCP=60∘，
∴∠ACD=∠BCP，
在 △ACD 和 △BCP 中，
AC=BC,∠ACD=∠BCP,CD=CP,
∴△ACD≌△BCPSAS，
∴AD=BP，
∴AD+CD=BP+PD=BD．
（3） 如图 2，作 BM⊥AD 于点 M，BN⊥DC 延长线于点 N．
∵∠ADB=∠ADC−∠PDC=60∘，
∴∠ADB=∠CDB=60∘，
∴BM=BN=32BD=3，
又由（2）得，AD+CD=BD=2，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12AD⋅BM+12CD⋅BN=32AD+CD=32×2=3.
28. （1） M1，M2
（2） ①当 t=4 时，A4,1，B5,1，C5,3，D4,3，
此时矩形 ABCD 上的所有点都在抛物线 y=14x2 的下方，
∴d=MF，
∴AF≤d≤CF，
∵AF=4，CF=29，
∴4≤d≤29．
② −23≤t≤23−1