2018年东莞市中堂镇六校中考二模数学试卷

这是一份2018年东莞市中堂镇六校中考二模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −15 的倒数是
A. −5B. 15C. −15D. 5

2. 如图图形是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 一组数据 5，7，8，10，12，12，44 的众数和中位数分别是
A. 44 和 10B. 12 和 10C. 10 和 12D. 12 和 11

4. a2=1，b 是 2 的相反数，则 a+b 的值为
A. −3B. −1C. −1 或 −3D. 1 或 −3

5. 下列说法中正确的是
A. 8 的立方根是 ±2
B. 8 是一个最简二次根式
C. 函数 y=1x−1 的自变量 x 的取值范围是 x>1
D. 在平面直角坐标系中，点 P2,3 与点 Q−2,3 关于 y 轴对称

6. 计算 a23+a2⋅a3−a2÷a−3，结果是
A. 2a5−aB. 2a5−1aC. a5D. a6

7. 一元一次不等式组 2x+2>0,x+1≤3 的解集在数轴上表示为
A. B.
C. D.

8. 如图，直线 a，b 被直线 c 所截，若 a∥b，∠1=40∘，∠2=70∘，则 ∠3=
A. 70∘B. 100∘C. 110∘D. 120∘

9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC=1．将 Rt△ABC 绕点 A 逆时针旋转 30∘ 后得到 Rt△ADE，点 B 经过的路径为 BD，则图中阴影部分的面积是
A. π6B. π3C. π2−12D. 12

10. 如图，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，OM∥AB 交 AD 于点 M，若 OM=3，BC=10，则 OB 的长为
A. 5B. 4C. 342D. 34

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 光的速度大约是 300000000 米/秒，将 300000000 用科学记数法表示为 ．

12. 若正 n 边形的一个外角为 45∘，则 n= ．

13. 分解因式：an2−2mna+am2= ．

14. 若等腰三角形的周长为 10 cm，其中一边长为 2 cm，则该等腰三角形的底边长为 ．

15. 在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有 5 个黄球，4 个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为 13，则随机摸出一个红球的概率为 ．

16. 如图，反比例函数 y=xkk≠0,x>0 的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点 D．若矩形 OABC 的面积为 8，则 k 的值为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：81−20180−∣−5∣+12−2

18. 化简：3x+1−x+1÷x2+4x+4x+1．

19. 有三张正面分别标有数字 −3，1，3 的不透明卡片，它们除数字外都相同，现将它们背面朝上，洗匀后从三张卡片中随机地抽取一张，放回卡片洗匀后，再从三张卡片中随机地抽取一张．
（1）试用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率；
（2）求两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=5，BC=8．
（1）作 ∠ABC 的角平分线交线段 AD 于点 E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）：
（2）在（1）的条件下，求 ED 的长．

21. 如图，四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，O 是 AC 的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6．
（1）求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
（2）若 AC⊥BD，求平行四边形 ABCD 的面积．

22. 威丽商场销售A，B两种商品，售出 1 件A种商品和 4 件B种商品所得利润为 600 元；售出 3 件A种商品和 5 件B种商品所得利润为 1100 元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
（2）由于需求量大，A，B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A，B两种商品共 34 件．如果将这 34 件商品全部售完后所得利润不低于 4000 元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品?

23. 如图 1，抛物线 y=−x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A−1,0，B5,0 两点，点 P 为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求 ∠PAB 的正弦值；
（3）如图 2，四边形 MCDN 为矩形，顶点 C，D 在 x 轴上，M，N 在 x 轴上方的抛物线上，若 MC=8，求线段 MN 的长度．

24. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，∠BAC 的平分线交 ⊙O 于点 D，连接 BD，CD．过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P．
（1）求证：PD 是 ⊙O 的切线；
（2）求证：△PBD∽△DCA；
（3）当 AB=6，AC=8 时，求线段 PB 的长．

25. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，tanB=34，BC=12 cm，点 N 从点 C 出发沿 CB 方向以 1 cm/s 的速度运动，点 N 到达点 B 时停止运动，以 CN 为边在 BC 的上方作正方形 CNGH，正方形 CNGH 的边 NG 所在直线与线段 AB 交于点 Q，设运动时间为 ts．
（1）当 t 为何值时，QN 的长为 6 cm?
（2）连接 CQ，当 t 为何值时，△CQB 是等腰三角形?
（3）设正方形 CNGH 与 Rt△ABC 重叠部分的图形的面积为 S．求出 S 关于 t 的函数关系式并写出自变量 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. C【解析】A．不是中心对称图形，故此选项错误；
B．不是中心对称图形，故此选项错误；
C．是中心对称图形，故此选项正确；
D．不是中心对称图形，故此选项错误．
3. B【解析】在所列 7 个数据中 12 出现次数最多，
所以众数为 12，
中位数为 10．
4. C【解析】∵a2=1，b 是 2 的相反数，
∴a=±1，b=−2，
①当 a=−1，b=−2 时，a+b=−3；
②当 a=1，b=−2 时，a+b=−1．
5. D
【解析】A．8 的立方根是 2，故A不符合题意；
B．8 不是最简二次根式，故B不符合题意；
C．函数 y=1x−1 的自变量 x 的取值范围是 x≠1，故C不符合题意；
D．在平面直角坐标系中，点 P2,3 与点 Q−2,3 关于 y 轴对称，故D符合题意．
6. D
7. A
8. C【解析】∵a∥b，∠1=40∘，
∴∠4=∠1=40∘，
∴∠3=∠2+∠4=70∘+40∘=110∘．
9. A
10. D
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠D=90∘，
∵ 点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，OM∥AB，
∴OM 是 △ADC 的中位线，
∵OM=3，
∴DC=6，
∵AD=BC=10，
∴AC=AD2+CD2=234，
∴BO=12AC=34．
第二部分
11. 3×108
12. 8
13. an−m2
【解析】原式=an2−2mn+m2=an−m2.
14. 2 cm
【解析】若 2 cm 为等腰三角形的腰长，则底边长为 10−2−2=6cm，2+2<6，不符合三角形的三边关系；
若 2 cm 为等腰三角形的底边，则腰长为 10−2÷2=4cm，此时三角形的三边长分别为 2 cm，4 cm，4 cm，符合三角形的三边关系．
15. 14
【解析】∵ 在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有 5 个黄球，4 个蓝球，随机摸出一个蓝球的概率是 13，
设红球有 x 个，
∴45+4+x=13，解得：x=3，
∴ 随机摸出一个红球的概率是：35+4+3=14．
16. 2
【解析】过 D 作 DE⊥OA 于 E，
设 Dm,km，
∴OE=m，DE=km，
∵ 点 D 是矩形 OABC 的对角线 AC 的中点，
∴OA=2m，OC=2km，
∵ 矩形 OABC 的面积为 8，
∴OA⋅OC=2m⋅2km=8，
∴k=2．
第三部分
17. 原式=9−1−5+22=7.
18. 原式=3x+1−x2−1x+1⋅x+1x+22=2+x2−xx+1⋅x+1x+22=2−xx+2.
19. （1） 画树状图如图：
由树状图可知，共有 9 种等可能的结果，其中数字之积为负数的有 4 种结果，
∴ 两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率为 49．
（2） 在（1）中所列 9 种等可能的结果中，数字之和为非负数的有 6 种，
∴ 两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率为 69=23．
20. （1） 如图所示，BE 为所求．
（2） ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC=8，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=5，
∴DE=AD−AE=3．
21. （1） ∵O 是 AC 的中点，
∴OA=OC，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
在 △AOD 和 △COB 中，
∠ADO=∠CBO,∠AOD=∠COB,OA=OC,
∴△AOD≌△COB，
∴OD=OB，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，AC⊥BD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=24．
22. （1） 设每件A种商品售出后所得利润为 x 元，每件B种商品售出后所得利润为 y 元．
由题意，得
x+4y=600,3x+5y=1100.
解得：
x=200,y=100.
答：每件A种商品售出后所得利润为 200 元，每件B种商品售出后所得利润为 100 元．
（2） 设购进A种商品 a 件，则购进B种商品 34−a 件．
由题意，得
200a+10034−a≥4000.
解得：
a≥6.
答：威丽商场至少需购进 6 件A种商品．
23. （1） 把 A−1,0，B5,0 两点分别代入 y=−x2+bx+c 得：−1−b+c=0,−25+5b+c=0,
解之得：b=4,c=5,
∴ 抛物线的解析式为：y=−x2+4x+5．
（2） ∵y=−x2+4x+5=−x−22+9，
∴P2,9，
如图 1，
过点 P 作 PQ⊥x 轴，连接 AP，
则 AQ=3，PQ=9，
∴AP=32+92=310，
∴sin∠PAB=9310=31010．
（3） 当 y=8 时，−x2+4x+5=8，
解之得：x1=1，x2=3，
∴M1,8，N3,8，
∴MN=3−1=2．
24. （1） ∵ 圆心 O 在 BC 上，
∴BC 是 ⊙O 的直径，
∴∠BAC=90∘．
连接 OD．
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠BAC=2∠DAC．
∵∠DOC=2∠DAC，
∴∠DOC=∠BAC=90∘．
即 OD⊥BC．
∵PD∥BC，
∴OD⊥PD．
又 OD 是 ⊙O 的半径，
∴PD 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵PD∥BC．
∴∠P=∠ABC．又 ∠ABC=∠ADC，
∴∠P=∠ADC．
∵∠PBD+∠ABD=180∘，∠ACD+∠ABD=180∘，
∴∠PBD=∠ACD．
∴△PBD∽△DCA．
（3） ∵△ABC 是直角三角形，
∴BC2=AB2+AC2=62+82=100.
∴BC=10．
由（1）可得，OD 垂直平分 BC，
∴DB=DC．
∵BC 是 ⊙O 的直径，
∴∠BDC=90∘．
在 Rt△DBC 中，DB2+DC2=BC2，即 2DC2=BC2=100．
∴DC=DB=52．
∵△PBD∽△DCA，
∴PBDC=BDCA．
即 PB=DC⋅BDAC=52⋅528=254．
25. （1） 在 Rt△BQN 中，
∵tan∠ABC=34，NQ=6 cm，
∴QNBN=6BN=34，
∴BN=8 cm，
∴CN=12−8=4cm，
∴t=4÷1=4（秒）．
（2） 连接 CQ．
①当 BQ=BC=12 cm 时，
由（1）知 QNBN=34，
∴ 设 QN=3x cm，BN=4x cm，
由勾股定理知：QN2+BN2=BQ2，
即 3x2+4x2=122，解得 x=125，
∴BN=485 cm，
∴CN=12−485=125cm，
∴t=125÷1=125（秒）；
②当 CQ=CB=12 cm 时，
设 QN=3x cm，BN=4x cm，则 CN=12−4xcm，
由 CN2+QN2=CQ2 可得 12−4x2+3x2=144，
解得：x1=0，x2=9625，
当 x=0 时，CN=12=0，不能构成三角形，舍去；
当 x=9625 时，CN=−8425，舍去；
③当 QC=BQ 时，
∵QN⊥BC，
∴CN=BN=6 cm，
∴t=6÷1=6（秒）．
答：当 t=125或6 时，△QCB 为等腰三角形．
（3） ①当 G 在 AB 上时，GN=CN=t cm，
∴t12−t=34，
∴t=367，
如图 1，当 0 ∴S=t2，
∴ 当 0②若点 H 在 AC 上时，即 367 S=S正方形CNGH−S△QGM，
∵NQ=34NB=3412−t=9−34t，
∴GQ=GN−NQ=74t−9，
∵HG∥BC，
∴∠GMQ=∠ABC，
∴GQMG=34，
∴MG=73t−12，
∴S=t2−1274t−973t−12=2524t2+21t−54，
∴ 当 367③当 9 S=S△ABC−S△BQN=12×12×9−12×3412−t2=−38t2+9t．