2018年无锡市锡山区天一中学中考一模数学试卷

这是一份2018年无锡市锡山区天一中学中考一模数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知 ∣a−1∣+7+b=0，则 a+b=
A. −8B. −6C. 6D. 8

2. 估计 6+1 的值在
A. 2 到 3 之间B. 3 到 4 之间C. 4 到 5 之间D. 5 到 6 之间

3. 下列计算正确的是
A. 2a⋅3a=6aB. −a32=a6
C. 6a÷2a=3aD. −2a3=−6a3

4. 在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

5. 一个圆锥的高为 33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是
A. 9πB. 18πC. 27πD. 39π

6. 将二次函数 y=x2 的图象向下平移 1 个单位，则平移后的二次函数的解析式为
A. y=x2−1B. y=x2+1C. y=x−12D. y=x+12

7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是
A. B.
C. D.

8. 一次数学测试后，随机抽取九年级某班 5 名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是
A. 极差是 20B. 中位数是 91C. 众数是 98D. 平均数是 91

9. 如图，矩形 ABCD，由四块小矩形拼成（四块小矩形放置是既不重叠，也没有空隙），其中 ②③ 两块矩形全等，如果要求出 ①④ 两块矩形的周长之和，则只要知道
A. 矩形 ABCD 的周长B. 矩形 ② 的周长
C. AB 的长D. BC 的长

10. 如图，将一块等腰 Rt△ABC 的直角顶点 C 放在 ⊙O 上，绕点 C 旋转三角形，使边 AC 经过圆心 O，某一时刻，斜边 AB 在 ⊙O 上截得的线段 DE=2 cm，且 BC=7 cm，则 OC 的长为
A. 3 cmB. 207 cmC. 10 cmD. 22 cm

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 一个多边形的每一个外角为 30∘，那么这个多边形的边数是 ．

12. 在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为 800 万人，其中 65 岁及以上人口占 9.2%，则该市 65 岁及以上人口用科学记数法表示约为 ．

13. 使根式 3−x 有意义的 x 的取值范围是 ．

14. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=60∘，将 △ABC 绕着点 A 顺时针旋转 40∘ 后得到 △ADE，则 ∠BAE= ．

15. 因式分解：a2x−y−4b2x−y= ．

16. 如图，点 A 是双曲线 y=−3x 在第二象限分支上的一个动点，连接 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为底作等腰 △ABC，且 ∠ACB=120∘，随着点 A 的运动，点 C 的位置也不断变化，但点 C 始终在双曲线 y=kx 上运动，则 k= ．

17. 如图，在直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴上，点 A 的坐标为 −1,0，∠ABO=30∘，线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发，沿 △OBA 的边按 O→B→A→O 运动一周，同时另一端点 Q 随之在 x 轴的非负半轴上运动，如果 PQ=3，那么当点 P 运动一周时，点 Q 运动的总路程为 ．

18. 在 △ABC 中，∠ABC<20∘，三边长分别为 a，b，c，将 △ABC 沿直线 BA 翻折，得到 △ABC1；然后将 △ABC1 沿直线 BC1 翻折，得到 △A1BC1；再将 △A1BC1 沿直线 A1B 翻折，得到 △A1BC2；⋯，翻折 4 次后，得到图形 A2BCAC1A1C2 的周长为 a+c+5b，则翻折 11 次后，所得图形的周长为 （结果用含有 a，b，c 的式子表示）．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. （1）计算：23−2−27+6tan30∘−∣3−2∣；
（2）先化简，再求值：1−1x÷x2−2x+1x，其中 x=2．

20. 解方程与不等式组：
（1）解方程：12x=2x+3；
（2）解不等式组：x+2≥1,2x+3−3>3x.

21. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）识图：如图（1），损矩形 ABCD，∠ABC=∠ADC=90∘，则该损矩形的直径线段为 ．
（2）探究：在上述损矩形 ABCD 内，是否存在点 O，使得 A，B，C，D 四个点都在以 O 为圆心的同一圆上?如果有，请指出点 O 的具体位置；若不存在，请说明理由．
（3）实践：已知如图三条线段 a，b，c，求作相邻三边长顺次为 a，b，c 的损矩形 ABCD（尺规作图，保留作图痕迹）．

22. 小王同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区 450 户居民的生活用水情况，他从中随机调查了 50 户居民的月均用水量（单位：t）并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．
月均用水量单位:t频数百分比2≤x<324%3≤x<41224%4≤x<5__________5≤x<61020%6≤x<7_____12%7≤x<836%8≤x<924%
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）如果家庭月均用水量“大于或等于 4 t 且小于 7 t”为中等用水量家庭，请你估计小王所居住的小区中等用水量家庭大约有多少户?
（3）从月均用水量在 2≤x<3，8≤x<9 这两个范围内的样本家庭中任意抽取 2 个，请用列举法（画树状图或列表）求抽取出的 2 个家庭来自不同范围的概率．

23. 如图所示，AB 是 ⊙O 的直径，AD 与 ⊙O 相切于点 A，DE 与 ⊙O 相切于点 E，点 C 为 DE 延长线上一点，且 CE=CB．
（1）求证：BC 为 ⊙O 的切线；
（2）若 AB=4，AD=1，求线段 CE 的长．

24. 随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递 0.6 万件，那么该公司现有的 21 名快递投递业务员能否完成今年 4 月份的快递投递任务?如果不能，请问至少需要增加几名业务员?

25. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公楼顶端 A 测得旗杆顶端 E 的俯角 α 是 45∘，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米，梯坎坡长 BC 是 12 米，梯坎坡度 i=1:3，求大楼 AB 的高度是多少?（精确到 0.1 米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）

26. 如图 1，等边 △ABC 的边长为 4 cm，动点 D 从点 B 出发，沿射线 BC 方向移动，以 AD 为边作等边 △ADE．
（1）在点 D 运动的过程中，点 E 能否移动至直线 AB 上?若能，求出此时 BD 的长；若不能，请说明理由；
（2）如图 2，在点 D 从点 B 开始移动至点 C 的过程中，以等边 △ADE 的边 AD，DE 为边作平行四边形 ADEF．
①平行四边形 ADEF 的面积是否存在最小值?若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
②若点 M，N，P 分别为 AE，AD，DE 上动点，直接写出 MN+MP 的最小值．

27. 如图①，Rt△ABC 中，∠B=90∘，∠CAB=30∘，它的顶点 A 的坐标为 10,0，顶点 B 的坐标为 5,53，AB=10，点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C 的方向匀速运动，同时点 Q 从点 D0,2 出发，沿 y 轴正方向以相同速度运动，当点 P 到达点 C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒．
（1）当点 P 在 AB 上运动时，△OPQ 的面积 S（平方单位）与时间 t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），则点 P 的运动速度为 ；
（2）求（1）中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式及面积 S 的最大值及 S 取最大值时点 P 的坐标；
（3）如果点 P，Q 保持（1）中的速度不变，那么点 P 沿 AB 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间 t 的增大而增大；沿着 BC 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间 t 的增大而减小，当点 P 沿这两边运动时，使 ∠OPQ=90∘ 的点 P 有 个．

28. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx−2 与 x 轴交于点 A−1,0，B4,0 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线交 y 轴于点 E0,2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图 2，过点 A 作 BE 的平行线交抛物线于另一点 D，点 P 是抛物线上位于线段 AD 下方的一个动点，连接 PA，EA，ED，PD，求四边形 EAPD 面积的最大值；
（3）如图 3，连接 AC，将 △AOC 绕点 O 逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为 △AʹOCʹ，在旋转过程中，直线 OCʹ 与直线 BE 交于点 Q，若 △BOQ 为等腰三角形，请直接写出点 Q 的坐标．
答案
第一部分
1. B
2. B
3. B
4. C【解析】由位似图形中，对应点的连线必过位似中心（即相交于一点）可知，上述四个选项所涉及的图形中，只有第三个不是位似图形，其余三个都是．
5. B
6. A
7. D
8. D【解析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，将该组数据按顺序排列，得出中位数是 91，众数是 98，平均数是 91+78+98+85+98÷5=90，极差是 98−78=20，由此看出，D是错误的．
9. D【解析】设 BC 的长为 x，AB 的长为 y，矩形 ② 的长为 a，宽为 b，
由题意可得，①④ 两块矩形的周长之和是：
x−b×2+2a+2b+2x−a=2x−2b+2a+2b+2x−2a=4x.
10. A
【解析】过 O 点作 OM⊥AB，
∴ME=DM=1 cm，
设 MO=h，CO=DO=x，
∵△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠MAO=45∘，
∴AO=2h，
∵AO=7‐x，
∴2h=7−x，
在 Rt△DMO 中，h2=x2‐1，
∴2x2‐2=49‐14x+x2，
解得：x=−17（舍去）或 x=3．
第二部分
11. 12
12. 7.36×105 人
【解析】800万×9.2%=736000=7.36×105 人．
13. x≤3
14. 100∘
【解析】∵△ABC 绕着点 A 顺时针旋转 40∘ 后得到 △ADE，
∴∠CAE=40∘，
∵∠BAC=60∘，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60∘+40∘=100∘．
15. x−ya+2ba−2b
【解析】原式=x−ya2−4b2=x−ya2−2b2=x−ya+2ba−2b.
16. 1
【解析】连接 CO，过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，
∵ 连接 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为底作等腰 △ABC，且 ∠ACB=120∘，
∴CO⊥AB，∠CAB=30∘，
则 ∠AOD+∠COE=90∘．
∵∠DAO+∠AOD=90∘，
∴∠DAO=∠COE，
又 ∵∠ADO=∠CEO=90∘，
∴△AOD∽△OCE，
∴ADEO=ODCE=OAOC=tan60∘=3，
∴S△AODS△EOC=32=3，
∵ 点 A 是双曲线 y=−3x 在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD=12×∣−3∣=32，
∴S△OCE=13×32=12，即 12∣k∣=12，
∴k=±1，
又 ∵k>0，
∴k=1．
17. 4
【解析】在 Rt△AOB 中，∵∠ABO=30∘，AO=1，
∴AB=2，BO=22−12=3，
①当点 P 从 O→B 时，如图1、图2所示，
点 Q 运动的路程为 3．
②当点 P 从 B→C 时，如图3所示，
这时 QC⊥AB，则 ∠ACQ=90∘．
∵∠ABO=30∘，
∴∠BAO=60∘．
∴∠OQD=90∘−60∘=30∘．
∴cs30∘=CQAQ，
∴AQ=CQcs30∘=2，
∴OQ=2−1=1．
则点 Q 运动的路程为 QO=1．
③当点 P 从 C→A 时，如图3所示，
点 Q 运动的路程为 QQʹ=2−3．
④当点 P 从 A→O 时，点 Q 运动的路程为 AO=1．
∴ 点 Q 运动的总路程为：3+1+2−3+1=4．
18. 2a+12b
【解析】如图 2，
翻折 4 次时，左侧边长为 c，如图 2，翻折 5 次，左侧边长为 a，
所以翻折 4 次后，如图 1，
由折叠得：AC=AC1=A1C1=A1C2=A2C2=b，
所以图形 A2BCAC1A1C2 的周长为：a+c+5b，
因为 ∠ABC<20∘，
所以 9+1×20∘=200∘<360∘，翻折 9 次后，所得图形的周长为：2a+10b．
第三部分
19. （1） 原式=94−33+23−2+3=14.
（2） 原式=x−1x⋅xx−12=1x−1,
当 x=2 时，
原式=2+1．
20. （1） 去分母得：
x+3=4x.
解得：
x=1.
经检验 x=1 是分式方程的解．
（2）
x+2≥1, ⋯⋯①2x+3−3>3x. ⋯⋯②
解 ① 得：
x≥−1.
解 ② 得：
x<3.
则不等式组的解集是：
−1≤x<3.
21. （1） AC
【解析】由定义知，线段 AC 是该损矩形的直径；
（2） ∵∠ADC=∠ABC=90∘，
∴∠ADC+∠ABC=180∘，
∴A，B，C，D 四点共圆，
∴ 在损矩形 ABCD 内存在点 O，
使得 A，B，C，D 四个点都在以 O 为圆心的同一个圆上，
∵∠ABC=90∘，
∴AC 是 ⊙O 的直径，
∴O 是线段 AC 的中点．
（3） 如图所示，AB=a，AD=b，BC=c，四边形 ABCD 即为所求．
22. （1） 调查的总数是：2÷4%=50（户），
则 6≤x<7 部分调查的户数是：50×12%=6（户），
则 4≤x<5 的户数是：50−2−12−10−6−3−2=15（户），
所占的百分比是：1550×100%=30%．
补全的频数分布表和频数分布直方图如图所示：
月均用水量单位:t频数百分比2≤x<324%3≤x<41224%4≤x<51530%5≤x<61020%6≤x<7612%7≤x<836%8≤x<924%
（2） 中等用水量家庭大约有 450×30%+20%+12%=279（户）；
（3） 在 2≤x<3 范围的两户用 a，b 表示，8≤x<9 这两个范围内的两户用 1，2 表示．
由树状图可知共有 12 种等可能的情况，其中满足条件的情况共有 8 种．
则抽取出的 2 个家庭来自不同范围的概率是：812=23．
23. （1） 连接 OE，OC，如图所示：
∵DE 与 ⊙O 相切于点 E，
∴∠OEC=90∘，
在 △OBC 和 △OEC 中，
∵OB=OE,CB=CE,OC=OC,
∴△OBC≌△OECSSS，
∴∠OBC=∠OEC=90∘，
∴BC 为 ⊙O 的切线．
（2） 过点 D 作 DF⊥BC 于 F，如图所示．
设 CE=x，
∵CE，CB 为 ⊙O 切线，
∴CB=CE=x，
∵DE，DA 为 ⊙O 切线，
∴DE=DA=1，
∴DC=x+1，
∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90∘，
∴ 四边形 ADFB 为矩形，
∴DF=AB=4，BF=AD=1，
∴FC=x−1，
Rt△CDF 中，根据勾股定理得：x+12−x−12=16，解得：x=4，
∴CE=4．
24. （1） 设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 x，
由题意，得，
10×1+x2=12.1,
解得：
x1=10%,x2=−210%.
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 10%．
（2） 4 月：12.1×1.1=13.31 （万件）．
21×0.6=12.6<13.31，
∴ 该公司现有的 21 名快递投递业务员不能完成今年 4 月份的快递投递任务．
∵22<13.310.6<23，
∴ 至少还需增加 2 名业务员．
25. 延长 AB 交 DC 于 H，作 EG⊥AB 于 G，如图所示：
则 GH=DE=15 米，EG=DH，
∵ 梯坎坡度 i=1:3，
∴BH:CH=1:3．
设 BH=x 米，则 CH=3x 米，
在 Rt△BCH 中，BC=12 米，
由勾股定理得：x2+3x2=122，
解得：x=6，
∴BH=6 米，CH=63 米，
∴BG=GH−BH=15−6=9（米），EG=DH=CH+CD=63+20（米），
∵∠α=45∘，
∴∠EAG=90∘−45∘=45∘．
∴△AEG 是等腰直角三角形，
∴AG=EG=63+20（米），
∴AB=AG+BG=63+20+9≈39.4（米）．
故大楼 AB 的高度大约是 39.4 米．
26. （1） 不存在．
理由：如图 1 所示：
∵△ABC 和 △ADE 均为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠EAD=60∘．
∵∠ACB=∠CAD+∠ADC=60∘，
∴∠CAD<60∘，
又 ∵∠BAC=∠EAD=60∘，
∴∠CAD+∠BAC+∠EAD<180∘．
∴ 点 E 不能移动到直线 AB 上．
（2） ①存在：在图 2 中，当 AD⊥BC 时 △ADE 的面积最小．
在 Rt△ADB 中，AD=AB⋅sin60∘=4×32=23．
∴△ADE 的面积为 12AD⋅AD⋅sin60∘=12×23×23×32=33，
∵ 四边形 ADEF 为平行四边形，AE 为对角线，
∴ 平行四边形 ADEF 的面积是 △ADE 面积的 2 倍．
∴ 平行四边形 ADEF 的面积的最小值为 2×33=63；
②如图 3 所示：作点 P 关于 AE 的对称点 P1，
当点 N，M，P 在一条直线上，且 NP⊥AD 时，MN+MP 有最小值，
过点 A 作 AG∥NP1，
∵AN∥GP1，AG∥NP1，
∴ 四边形 ANP1G 为平行四边形．
∴NP1=AG=AF⋅sin60∘=23×32=3．
即 MN+MP 的最小值为 3．
27. （1） 2 个单位/秒
【解析】由图形可知，当点 P 运动了 5 秒时，它到达点 B，此时 AB=10，
因此点 P 的运动速度为 10÷5=2 个单位/秒，
点 P 的运动速度为 2 个单位/秒．
（2） 如图①，过 P 作 PM⊥x 轴，
∵ 点 P 的运动速度为 2 个单位/秒，
∴t 秒钟走的路程为 2t，即 AP=2t，
∵ 顶点 B 的坐标为 5,53，AB=10，
∴sin∠BAO=5310=32，
∴∠BAO=60∘，
∴∠APM=30∘，
∴AM=t，
又 OA=10，
∴OM=10−t，即为 △OPQ 中 OQ 边上的高，
而 DQ=2t，OD=2，
可得 OQ=2t+2，
∴P10−t,t0≤t≤5，
∵S=12OQ⋅OM=122t+210−t=−t−922+1214,
∴ 当 t=92 时，S 有最大值为 1214，此时 P112,932．
（3） 2
【解析】当点 P 沿这两边运动时，∠OPQ=90∘ 的点 P 有 2 个．
①当点 P 与点 A 重合时，∠OPQ<90∘，
当点 P 运动到与点 B 重合时，OQ 的长是 12 单位长度，
作 ∠OPM=90∘ 交 y 轴于点 M，作 PH⊥y 轴于点 H，
由 △OPH∽△OPM 得：OM=2033≈11.5，
所以 OQ>OM，从而 ∠OPQ>90∘，
所以当点 P 在 AB 边上运动时，∠OPQ=90∘ 的点 P 有 1 个．
②同理当点 P 在 BC 边上运动时，可算得，OQ=12+1033≈17.8，
而构成直角时交 y 轴于 0,3533，3533≈20.2>17.8，
所以 ∠OCQ<90∘，
从而 ∠OPQ=90∘ 的点 P 也有 1 个，
所以当点 P 沿这两边运动时，∠OPQ=90∘ 的点 P 有 2 个．
28. （1） ∵A−1,0，B4,0 在抛物线 y=ax2+bx−2 上，
∴a−b−2=0,16a+4b−2=0,
解得 a=12,b=−32.
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2−32x−2．
（2） 过点 P 作 PG⊥x 轴交 AD 于点 G，
∵B4,0，E0,2，
∴ 直线 BE 的解析式为 y=−12x+2，
∵AD∥BE，设直线 AD 的解析式为 y=−12x+b．代入 A−1,0，可得 b=−12．
∴ 直线 AD 的解析式为 y=−12x−12．
设 Gm,−12m−12，则 Pm,12m2−32m−2，
则 PG=−12m−12−12m2−32m−2=−12m−12+2，
∴ 当 x=1 时，PG 的值最大，最大值为 2，
由 y=12x2−32x−2,y=−12x−12, 解得 x=−1,y=0 或 x=3,y=−2.
∴D3,−2，
∴S△ADP最大值=12×PG×∣xD−xA∣=12×2×4=4，S△ADB=12×5×2=5，
∵AD∥BE，
∴S△ADE=S△ADB=5，
∴S四边形APDE最大=S△ADP最大+S△ADB=4+5=9．
（3） 点 Q 坐标为 −125,165 或 4−855,455 或 2,1 或 4+855,−455．
【解析】①如图 3−1 中，
当 OQ=OB 时，作 OT⊥BE 于 T．
∵OB=4，OE=2，
∴BE=25，OT=OE⋅OBBE=825=455．
∴BT=TQ=855，
∴BQ=1655，
可得 Q−125,165；
②如图 3−2 中，当 BO=BQ1 时，Q14−855,455，
当 OQ2=BQ2 时，Q22,1，
当 BO=BQ3 时，Q34+855,−455．
综上所述，满足条件点点 Q 坐标为 −125,165 或 4−855,455 或 2,1 或 4+855,−455．