2018年广东省佛山市南海区狮山镇中考一模数学试卷

这是一份2018年广东省佛山市南海区狮山镇中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −3 的绝对值是
A. 3B. 13C. −13D. −3

2. 肥皂泡的泡壁厚度大约是 0.00000071 米，数字 0.00000071 用科学记数法表示为
A. 7.1×107B. 0.71×10−6C. 7.1×10−7D. 71×10−8

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 下列运算正确的是
A. x3+x5=x8B. x3⋅x2=x6
C. −x5÷−x2=x3D. x24=x8

5. 下列说法正确的是
A. “打开电视，正在播天气预报”是必然事件
B. 甲组和乙组数据的平均值相同，其中 s甲2=0.6，s乙2=0.5，，则乙组数据比甲组数据稳定
C. “掷一枚硬币正面朝上的概率是 12 表示每抛硬币 2 次就有 1 次正面朝上
D. 一组数据 2，4，5，5，3，6 的众数和中位数都是 4

6. 把不等式组 2x+3>1,3x+4≥5x 的解集表示在数轴上如图，正确的是
A. B.
C. D.

7. 在平面直角坐标系中，将点 P1,4 向左平移 3 个单位长度得到点 Q，则点 Q 所在的象限是
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

8. 如图，∠1=∠2，∠3=30∘，则 ∠4 等于
A. 120∘B. 130∘C. 145∘D. 150∘

9. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，反比例函数 y=ax 与正比例函数 y=bx 在同一坐标系内的大致图象是
A. B.
C. D.

10. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BCD=90∘，BC=2AD，F，E 分别是 AB，BC 的中点，则下列结论不一定正确的是
A. △ABC 是等腰三角形B. 四边形 EFAM 是菱形
C. S△BEF=12S△ACDD. DE 平分 ∠CDF

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：ab2−9a= ．

12. 代数式 1x−1 有意义，则 x 的取值范围是 ．

13. 如果一个正多边形每一个内角都等于 144∘，那么这个正多边形的边数是 ．

14. 如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 AD 上一点，AE=12ED，CE 与 BD 相交于点 F，BD=10，那么 DF= ．

15. 如图，直线 y=−33x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，把 △AOB 绕点 A 顺时针旋转后得到 △AOʹBʹ，其中 ABʹ⊥x 轴，则线段 AB 扫过的面积为 ．

16. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AB=10，点 C 在 ⊙O 上，∠CAB=30∘，D 为 BC 的中点，P 是直径 AB 上一动点，则 PC+PD 的最小值为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：2018−π0+8−2cs45∘−−12−1．

18. 先化简 x2−2x+1x2−1÷x−1x+1−x+1，然后从 −3
19. 如图，已知矩形 ABCDAB（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；
①以点 A 为圆心，以 AD 的长为半径画弧交边 BC 于点 E，连接 AE；
②作 ∠DAE 的平分线交 CD 于点 F；
③连接 EF；
（2）在（1）作出的图形中，求证：∠FEC=∠EAB．

20. 小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间 t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A:030），根据图中信息，解答下列问题：
（1）这项被调查的总人数是多少人?
（2）试求表示 A 组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；
（3）如果小明想从 D 组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．

21. 某文教店老板到批发市场选购 A，B 两种品牌的绘图工具套装，每套 A 品牌套装进价比 B 品牌每套套装进价多 2.5 元，已知用 200 元购进 A 种套装的数量是用 75 元购进 B 种套装数量的 2 倍．
（1）求 A，B 两种品牌套装每套进价分别为多少元?
（2）若 A 品牌套装每套售价为 13 元，B 品牌套装每套售价为 9.5 元，店老板决定，购进 B 品牌的数量比购进 A 品牌的数量的 2 倍还多 4 套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过 120 元，则最少购进 A 品牌工具套装多少套?

22. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 E，F，P 分别是 OB，OC，AD 的中点，分别连接 EP，EF，PF，EP 与 AC 相交于点 G，且 AC=2AB．
（1）求证：△APG≌△FEG；
（2）求证：△PEF 为等腰三角形．

23. 如图，已知反比例函数 y1=k1x 和一次函数 y2=k2x+b 的图象相交于点 A，C 两点，其中点 A 的横坐标为 −2，点 C 的纵坐标为 −1，过点 A 作 AB⊥x轴 于点 B，△AOB 的面积为 2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）根据图象直接回答：当 x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值．
（3）若 A 点关于 x 轴的对称点 Aʹ 在二次函数 y3=−x2+mx+n 的图象上，请判断二次函数 y4=x2+mx−n−3 与 x 轴的交点个数，并说明理由．

24. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，C 是圆上一点，∠BAC 的平分线交 ⊙O 于点 D，过 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E，如图①．
（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AB=5，AC=3，求 BD 的长；
（3）如图②，若 F 是 OA 的中点，FG⊥OA 交直线 DE 于点 G，若 FG=194，tan∠BAD=34，求 ⊙O 的半径．

25. 已知如图：在等边 △ABC 中，AB=6 cm，AD⊥BC 于点 D 动点 F 从点 B 出发，沿 BC 方向以 1 cm/s 的速度向点 D 运动，同时，动点 P 也从点 B 出发，沿 BA 方向以 3 cm/s 的速度向点 A 运动，过点 P 作 PE∥BC 与边 AC 交于点 E，与 AD 交于点 G，连接 ED，PF，设运动时间为 ts0（1）当 t 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形?
（2）设四边形 PEDF 面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值；
（3）连接 PD，E，当 t 为何值时，PD⊥EF?
答案
第一部分
1. A【解析】−3 的绝对值是 3．
2. C【解析】数字 0.00000071 用科学记数法表示为 7.1×10−7，
故选：C．
3. D【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
4. D【解析】A、 x3+x5，无法计算，故此选项错误；
B、 x3⋅x2=x5，故此选项错误；
C、 −x5÷−x2=−x3，故此选项错误；
D、 x24=x8，故此选项正确；
故选：D．
5. B
【解析】A．“打开电视，正在播天气预报”是随机事件，故本选项错误；
B．因为 s甲2=0.6，s乙2=0.5，所以乙组数据比甲组数据稳定，故本选项正确；
C．“掷一枚硬币正面朝上的概率是 12”表示每抛硬币 2 次可能有 1 次正面朝上，故本选项错误；
D．一组数据 2，4，5，5，3，6 的众数是 5，中位数是 4.5，故本选项错误．
6. B【解析】解不等式 2x+3>1，得：x>−1，
解不等式 3x+4≥5x，得：x≤2，
则不等式组的解集为 −1故选：B．
7. B【解析】平移后点 Q 的坐标为 1−3,4，即 Q−2,4，
∴ 点 Q 所在的象限是第二象限．
8. D【解析】∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠5=∠3=30∘，
∴∠4=180∘−∠5=150∘，
故选：D．
9. B【解析】∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口方向向下，
∴a<0，
对称轴在 y 轴的左边，
∴x=−b2a<0，
∴b<0，
∴ 反比例函数 y=ax 的图象在第二四象限，
正比例函数 y=bx 的图象在第二四象限．
故选：B．
10. D
【解析】连接 AE，如图所示．
∵E 为 BC 的中点，
∴BE=CE=12BC，又 BC=2AD，
∴AD=BE=EC，又 AD∥BC，
∴ 四边形 ABED 为平行四边形，四边形 AECD 为平行四边形，
又 ∵∠DCB=90∘，
∴ 四边形 AECD 为矩形，
∴∠AEC=90∘，即 AE⊥BC，
∴AE 垂直平分 BC，
∴AB=AC，即 △ABC 为等腰三角形，故选项A不合题意；
∵E 为 BC 的中点，F 为 AB 的中点，
∴EF 为 △ABC 的中位线，
∴EF∥AC，EF=12AC，
又 ∵ 四边形 ABED 为平行四边形，
∴AF∥ME，
∴ 四边形 AFEM 为平行四边形，
又 ∵AF=12AB=12AC=EF，
∴ 四边形 AFEM 为菱形，故选项B不合题意；
过 F 作 FN⊥BC 于 N 点，可得 FN∥AE，
又 ∵F 为 AB 的中点，
∴N 为 BE 的中点，
∴FN 为 △ABE 的中位线，
∴FN=12AE，
又 ∵AE=DC，BE=AD，
∴S△BEF=12S△ACD，故选项C不合题意；
DE 不一定平分 ∠CDF，故选项D符合题意．
第二部分
11. ab+3b−3
【解析】原式=ab2−9=ab+3b−3.
12. x>1
【解析】由题意得：x−1>0，解得：x>1．
13. 10
【解析】设正多边形的边数为 n，
由题意得，n−2⋅180∘n=144∘，
解得 n=10．
14. 4
【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
而 AE=12ED，
∴DE=23AD，
∴DE=23BC，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴DFBF=DEBC=23，
∴BF=32DF，
而 BF+DF=10，
∴32DF+DF=10，
∴DF=4．
故答案为 4．
15. 8π3
【解析】令 y=0，则 −33x+2=0，解得 x=23．
令 x=0，则 y=2．
∴ 点 A23,0，B0,2，
∴OA=23，OB=2，
∵tan∠OAB=OBOA=223=33，
∴∠OAB=30∘．
由勾股定理得，AB=OA2+OB2=4，
∵ABʹ⊥x 轴，
∴∠OABʹ=90∘，
∴ 旋转角 ∠BABʹ=60∘，
∴AB 扫过的面积 =60⋅π×16360=8π3．
16. 52
【解析】作出 D 关于 AB 的对称点 Dʹ，连接 OC，ODʹ，CDʹ．
又 ∵ 点 C 在 ⊙O 上，∠CAB=30∘，D 为 BC 的中点，即 BD=BDʹ，
∴∠BADʹ=12∠CAB=15∘．
∴∠CADʹ=45∘．
∴∠CODʹ=90∘，则 △CODʹ 是等腰直角三角形．
∵OC=ODʹ=12AB=5，
∴CDʹ=52+52=52．
第三部分
17. 原式=1+22−2×22−−2=3+2．
18. 原式=x−12x+1x−1÷x−1x+1−x2−1x+1=x−1x+1÷−x2+xx+1=x−1x+1⋅x+1−xx−1=−1x.
∵−3 ∴ 整数 x=−2，
当 x=−2 时，原式=12．
19. （1） 如图所示，EF 即为所求．
（2） 由作图知，AD=AE，∠DAF=∠EAF，
又 AF=AF，
∴△ADF≌△AEFSAS，
∴∠AEF=∠D=90∘，
又 ∠AEF+∠FEC=∠B+∠BAE，
∴∠FEC=∠EAB．
20. （1） 调查的总人数是：19÷38%=50（人）；
（2） A 组所占圆心角的度数是：360∘×1550=108∘；
C 组的人数有：50−15−19−4=12（人），
补全条形图如图所示：
（3） 画树状图，共有 12 个可能的结果，
恰好选中甲的结果有 6 个，
∴P（恰好选中甲）=612=12．
21. （1） 设 B 种品牌套装每套进价为 x 元，则 A 种品牌套装每套进价为 x+2.5 元．
根据题意得：
200x+2.5=2×75x.
解得：
x=7.5.
经检验，x=7.5 为分式方程的解．
∴x+2.5=10．
答：A 种品牌套装每套进价为 10 元，B 种品牌套装每套进价为 7.5 元．
（2） 设购进 A 品牌工具套装 a 套，则购进 B 品牌工具套装 2a+4 套．
根据题意得：
13−10a+9.5−7.52a+4>120.
解得：
a>16.∵a
为正整数，
∴a 取最小值 17．
答：最少购进 A 品牌工具套装 17 套．
22. （1） ∵E，F 分别是 OB，OC 的中点，
∴EF∥BC，EF=12BC，
∵P 是 AD 的中点，
∴AP=12AD，
在平行四边形 ABCD 中，AD=BC，AD∥BC，
∴AP=EF，AP∥EF，
∴∠APG=∠GEF，∠PAG=∠GFE，
在 △APG 和 △FEG 中，
∠APG=∠GEF,AP=EF,∠PAG=∠GFE,
∴△APG≌△FEG．
（2） 连接 AE．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AC=2OA=2OC，
∵AC=2AB，
∴OA=AB，
∵E 为 OB 中点，
∴AE⊥BD（三线合一定理），
∴∠AED=90∘，
∵P 为 AD 中点，
∴AD=2EP（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵BC=AD，
∴BC=2EP，
∵E，F 分别是 OB，OC 中点，
∴BC=2EF，
∴EP=EF．
23. （1） ∵S△AOB=2，
∴k1=4，
∵y1=k1x 的图象位于第二、四象限，
∴k1=−4，
∴y1=−4x，
∴A−2,2，C4,−1，
由题意得：−2k2+b=2,4k2+b=−1, 解得 k2=−12,b=1;
∴y2=−12x+1．
（2） 观察图象得：当 x<−2 或 0y1；
（3） 由题意得 Aʹ−2,−2 在 y3=−x2+mx+n 的图象上，
∴−−22−2m+n=−2，
∴n=2m+2，
在 y4=x2+mx−n−3 中，令 y4=0，得 x2+mx−n−3=0，
∴Δ=m2−4×1×−n−3=m2+4n+12=m2+42m+2+12=m+42+4.
∵m+42≥0，
∴m+42+4>0，即 Δ>0，
∴ 关于 x 的一元二次方程 x2+mx−n−3=0 有两个不相等的实数根，即二次函数 y4=x2+mx−n−3 的图象与 x 轴有两个交点．
24. （1） 如图①中，连接 OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE，
∴OD∥AE，
∴∠ODE+∠AED=180∘，
∵∠AED=90∘，
∴∠ODE=90∘，
∴OD⊥DE，
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（2） 如图①中，连接 BC，交 OD 于点 N，
∵AB 是直径，
∴∠BCA=90∘，
∵AB=5，AC=3，
∴BC=4，
∵OD∥AE，O 是 AB 的中点，
∴ON∥AC，且 ON=12AC，
∴∠ONB=90∘，且 ON=32，则 BN=2，ND=1，
∴BD=BN2+ND2=5．
（3） 如图②中，设 FG 与 AD 交于点 H，
根据题意，设 AB=5x，AD=4x，则 AF=54x，
FH=AF⋅tan∠BAD=54x⋅34=1516x，AH=AFcs∠BAD=54x45=2516x，
HD=AD−AH=4x−2516x=3916x，
由（1）可知，∠HDG+∠ODA=90∘，
在 Rt△HFA 中，∠FAH+∠FHA=90∘，
∵∠OAD=∠ODA，∠FHA=∠DHG，
∴∠DHG=∠HDG，
∴GH=GD，过点 G 作 GM⊥HD，交 HD 于点 M，
∴MH=MD，
∴HM=12HD=12×3916x=3932x，
∵∠FAH+∠AHF=90∘，∠MHG+∠HGM=90∘，
∴∠FAH=∠HGM，
在 Rt△HGM 中，HG=HMsin∠HGM=3932x35=6532x，
∵FH+GH=194，
∴1516x+6532x=194，解得 x=85，
∴ 此圆的半径为 52×85=4．
25. （1） 由题意得：PB=3t，BF=t，则 AP=6−3t，
∵ 四边形 PEDF 是平行四边形，
∴PE∥DF，PE=DF，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B=∠C=60∘，
∴∠APE=∠AEP=60∘，
∴△APE 是等边三角形，
∴PE=AP=6−3t，
∵AD⊥BC，
∴BD=12×6=3，
∴DF=3−t，
∴3−t=6−3t，2t=3，t=32．
（2） 如图 1，过 P 作 PH⊥BC 于 H．
∵AB=6，BD=3，
∴AD=33，
∵∠B=60∘，
∴sin60∘=PHPB，
∴PH=32×3t=33t2，
∴S=S△ABC−S△APE−S△PBF−S△EDC=12×6×33−126−3t326−3t−12t⋅33t2−12×3×33t2=93−346−3t2−33t24−93t4=−33t2+2734t;
S=−33t2+2734t=−33t−982+243364．
∵−33<0，
∴ 当 t=98 时，S 有最大值 243364．
（3） 如图 2．
由（1）得：EH=332t，
∵PD⊥EF，
∴∠FOD=90∘，
∴∠OFD+∠ODF=90∘，
∵∠ODF+∠PDG=90∘，
∴∠PDG=∠OFD，
∴tan∠PDG=tan∠OFD=EHFH=PGDG，
∴33t26−t−32t=6−3t233t2，
∴2t2+11t−12=0，解得：t1=−11+2174，t2=−11−2174（舍）．
则当 t=−11+2174 时，PD⊥EF．