2019年广东省佛山市南海区狮山镇中考三模数学试卷

这是一份2019年广东省佛山市南海区狮山镇中考三模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −2 的相反数是
A. 2B. −2C. 12D. −12

2. 下列运算正确的是
A. 2x+3y=5xyB. 5x2⋅x3=5x5C. 4x8÷2x2=2x4D. −x32=x5

3. 如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是
A. B.
C. D.

4. 已知地球上海洋面积约为 316000000 km2，数据 316000000 用科学记数法可表示为
A. 3.16×109B. 3.16×107C. 3.16×108D. 3.16×106

5. 汉代数学家赵爽在注解（周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边分别是 2 和 3．现随机向该图形内掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内（非阴影区域）的概率为
A. 1B. 1213C. 112D. 113

6. “凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了 210 本图书，如果设该组共有 x 名同学，那么依题意，可列出的方程是
A. xx+1=210B. xx−1=210
C. 2xx−1=210D. 12xx−1=210

7. 如图，一次函数 y1=ax+b 和反比例函数 y2=kx 的图象相交于 A，B 两点，则使 y1>y2 成立的 x 取值范围是
A. −2C. x<−2 或 x>4D. −24

8. 如图，⊙O 的直径为 10 cm，弦 AB 为 8 cm，P 是弦 AB 上一点且不与点 A，B 重合．若 OP 的长为整数，则符合条件的点 P 有
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

9. 对于二次函数 y=2x−22+1，下列说法中正确的是
A. 图象的开口向下
B. 函数的最大值为 1
C. 图象的对称轴为直线 x=−2
D. 当 x<2 时 y 随 x 的增大而减小

10. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，AE⊥BD，垂足为 F，则 cs∠BDE 的值是
A. 223B. 14C. 13D. 24

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 因式分解：9a3b−ab= ．

12. 如图，已知 AE∥BD，∠1=130∘，∠2=28∘，则 ∠C 的度数为 ．

13. 若不等式组 a−x>0,x+1>0 无解，则 a 的取值范围是 ．

14. 如图，把三角形纸片 ABC 折叠，使 C 的对应点 E 在 AB 上，点 B 的对应点 D 在 BC 上，折痕分别为 AD，FG，若 ∠CAB=30∘，∠C=135∘，DF=43，则 AC 的长为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 计算：3−20+13−1+4cs30∘−4−12．

16. 先化简，再求值：x−2+8xx−2÷x+22x−4，其中 x=−12．

17. 如图，△ABC 三个顶点坐标分别为 A1,2，B3,6，C4,3，x 轴上两点坐标分别为 E−4,0，F4,0，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）求 △ABC 的面积；
（2）平移 △ABC 至 △A1B1C1，使得 A1E+C1F 值最小，画出 △A1B1C1 位置；
（3）以点 O 为位似中心，在网格中画出 △A2B2C2，使 △A2B2C2 与 △ABC 位似．且 △A2B2C2 与 △ABC 的位似比为 2:1，并直接写出点 B2 的坐标．

18. 化简求值：222−1+232−1+242−1+…+2202−1．

19. 如图，为了测量某建筑物 CD 的高度，先在地面上用测角仪自 A 处测得建筑物顶部的仰角是 30∘，然后在水平地面上向建筑物前进了 40 m，此时自 B 处测得建筑物顶部的仰角是 45∘．已知测角仪的高度是 1.5 m，请你计算出该建筑物的高度．（结果精确到 1 m）（参考数据：3≈1.732，2≈1.414）

20. 如图，⊙O 是四边形 ABCD 的外接圆．AC，BD 是四边形 ABCD 的对角线，BD 经过圆心 O，点 E 在 BD 的延长线上，BA 与 CD 的延长线交于点 F，DF 平分 ∠ADE．
（1）求证：AC=BC；
（2）若 AB=AF，求 ∠F 的度数；
（3）若 CDAC=12，⊙O 半径为 5，求 DF 的长．

21. 为了庆祝中华人民共和国成立 70 周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的 40 名选手的成绩（满分为 100 分，得分为正整数且无满分，最低为 75 分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
分数段频数频率74.5∼∼∼∼94.514n94.5∼99.540.1
（1）表中 m= ，n= ；
（2）请在图中补全频数直方图；
（3）甲同学的比赛成绩是 40 位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 分数段内；
（4）选拔赛中，成绩在 94.5 分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定 2 名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

22. 我国为了实现到 2020 年达到全面小康社会的目标，近几年加大了扶贫工作的力度，合肥市某知名企业为了帮助某小型企业脱贫，投产一种书包，每个书包制造成本为 18 元，试销过程中发现，每月销售量 y（万个）与销售单价 x（元）之间的关系可以近似看作一次函数 y=kx+b，据统计当售价定为 30 元/个时，每月销售 40 万个，当售价定为 35 元/个时，每月销售 30 万个．
（1）请求出 k 、 b 的值．
（2）写出每月的利润 w（万元）与销售单价 x（元）之间的函数解析式．
（3）该小型企业在经营中，每月销售单价始终保持在 25
23. 在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=8，点 E 是边 AD 上一点，EM⊥EC 交 AB 于点 M，点 N 在射线 MB 上，且 AE 是 AM 和 AN 的比例中项．
（1）如图 1，求证：∠ANE=∠DCE；
（2）如图 2，当点 N 在线段 MB 之间，连接 AC，且 AC 与 NE 互相垂直，求 MN 的长；
（3）连接 AC，如果 △AEC 与以点 E，M，N 为顶点所组成的三角形相似，求 DE 的长．
答案
第一部分
1. A【解析】根据相反数的定义，−2 的相反数是 2．
2. B【解析】A．不是同类项，不能合并，选项错误；
B．正确；
C．4x8÷2x2=2x6，选项错误；
D．−x32=x6，选项错误．
3. B【解析】从左面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：B．
4. C【解析】316000000 用科学记数法可表示为 3.16×108．
5. D
【解析】∵ 两直角边分别是 2 和 3，
∴ 斜边即大正方形的边长为 13，小正方形边长为 1，
∴S大正方形=13，S小正方形=1，
∴ 飞镖落在小正方形内（非阴影区域）的概率为 113；
故选：D．
6. B【解析】由题意得，xx−1=210．
7. B【解析】观察函数图象可发现：当 x<−2 或 0 ∴ 使 y1>y2 成立的 x 取值范围是 x<−2 或 08. B【解析】连接 OA，作 OC⊥AB 于 C，
则 AC=12AB=4，
由勾股定理得，OC=OA2−AC2=3，
则 3OP<5，
OP=3 有一种情况，OP=4 有两种情况，
则符合条件的点 P 有 3 个．
9. D【解析】二次函数 y=2x−22+1，a=2>0，
∴ 该函数的图象开口向上，故选项A错误，
函数的最小值是 y=1，故选项B错误，
图象的对称轴是直线 x=2，故选项C错误，
当 x<2 时 y 随 x 的增大而减小，故选项D正确．
10. A
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∵ 点 E 是边 BC 的中点，
∴ BE=CE=12BC=12AD，
∵ AB=CD，BE=CE，∠ABC=∠DCB=90∘，
∴ △ABE≌△DCESAS，
∴ AE=DE，
∵ AD∥BC，
∴ △ADF∽△EBF，
∴ AFEF=ADBE=2，
∴ AF=2EF，
∴ AE=3EF=DE，
∴ DF=DE2−EF2=22EF，
∴ cs∠BDE=DFDE=22EF3EF=223，
故选：A．
第二部分
11. ab3a+13a−1
【解析】原式=ab9a2−1=ab3a+13a−1．
12. 22∘
【解析】∵AE∥BD，∠1=130∘，∠2=28∘，
∴∠CBD=∠1=130∘，∠CDB=∠2=28∘，
∴∠C=180∘−∠CBD−∠CDB=180∘−130∘−28∘=22∘．
13. a≤−1
【解析】a−x>0⋯⋯①,x+1>0⋯⋯②,
由 ① 得，x−1，
∵ 不等式组无解，
∴a≤−1
故答案为：a≤−1．
14. 23+6
【解析】如图，作 DH⊥AB 于 H，在 AH 上取一点 M，使得 AM=DM，连接 DM．
∵∠CAB=30∘，∠C=135∘，
∴∠B=180∘−30∘−135∘=15∘，
∵FB=FD，
∴∠FDB=∠B=15∘，
∴∠DFH=15∘+15∘=30∘，
∵∠DHF=90∘，DF=43，
∴DH=12DF=23，
∵∠ACD=∠AED=135∘，
∴∠DEH=45∘，
∴DH=EH=23，
∵∠DAM=∠DAC=15∘，MA=MD，
∴∠MAD=∠MDA=15∘，
∴∠DMH=30∘，
∴DM=AM=2DH=43，MH=3DH=6，
∴AH=43+6，
∴AC=AE=AH−EH=43+6−23=23+6．
第三部分
15. 3−20+13−1+4cs30∘−4−12=1+3+4×32−4−23=4+23−4+23=43.
16. 原式=x2−4x+4x−2+8xx−2⋅2x−2x+2=x+22x−2⋅2x−2x+2=2x+2=2x+4,
当 x=−12 时，
原式=2×−12+4=−1+4=3.
17. （1） △ABC 的面积 =3×4−12×3×1−12×3×1−12×2×4=7．
（2）
设左右平移 m 个单位，上下平移 n 个单位，
则 A11+m,2+n，C14+m,3+n，
∴A1E=m+52+n+22，C1F=m2+3+m2，
∴A1E+C1F=m+52+n+22+m2+3+m2，
可以看成点 m,n 到 −5,−2 的距离与 m,n 到 0,−3 距离和最小，
由三角形两边之和大于第三边，只有当点 m,n 在 −5,−2，0,−3 两点为端点的线段上时最小，A1E+C1F 都有最小值 26．
（3） 图中 △A2B2C2 即为所求三角形．
B2−6,−12．B26,12．
18. 原式=21×3+22×4+23×5+24×6+…+218×20+219×20=1−13+12−14+13−15+14−16+…+118−120+119−120=1+12−110=75.
19. 设 CE 的长为 x m．
在 Rt△CBE 中，
∵∠CBE=45∘，
∴∠BCD=45∘，
∴CE=BE=x m，
∴AE=AB+BE=40+xm．
在 Rt△ACE 中，
∵∠CAE=30∘，
∴tan30∘=CEAE 即 33=xx+40，
解得 x=203+20≈20×1.732+20=54.64m．
∴CD=CE+ED=54.65+1.5=56.15≈56m.
答：该建筑物的高度约为 56 m．
20. （1） ∵DF 平分 ∠ADE，
∴∠EDF=∠ADF，
∵∠EDF=∠ABC，∠BAC=∠BDC，∠EDF=∠BDC，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC．
（2） ∵BD 是 ⊙O 的直径，
∴AD⊥BF，
∵AF=AB，
∴DF=DB，
∴∠FDA=∠BDA，
∴∠ADB=∠CAB=∠ACB，
∴△ACB 是等边三角形，
∴∠ADB=∠ACB=60∘，
∴∠ABD=90∘−60∘=30∘，
∴∠F=∠ABD=30∘．
（3） ∵CDAC=12，
∴CDBC=12，
设 CD=k，BC=2k，
∴BD=CD2+BC2=5k=10，
∴k=25，
∴CD=25，BC=AC=45，
∵∠ADF=∠BAC，
∴∠FAC=∠ADC，
∵∠ACF=∠DCA，
∴△ACF∽△DCA，
∴CDAC=ACCF，
∴CF=85，
∴DF=CF−CD=65．
21. （1） 8；0.35
【解析】m=40×0.2=8，n=14÷40=0.35．
（2） 补全图形如下：
（3） 84.5∼89.5
【解析】由于 40 个数据的中位数是第 20，21 个数据的平均数，而第 20，21 个数据均落在 84.5∼89.5，
所以测他的成绩落在分数段 84.5∼89.5 内．
（4） 选手有 4 人，2 名是男生，2 名是女生．
恰好是一名男生和一名女生的概率为 812=23．
22. （1） 由题意得：
30k+b=40,35k+b=30.
解得
k=−2,b=100.
答：k 的值为 −2，b 的值为 100．
（2） 由题意得 w=x−18−2x+100=−2x2+136x−1800，
答：函数解析式为：w=−2x2+136x−1800．
（3） ∵w=−2x2+136x−1800=−2x−342+512，
∴ 当 x=34 时，w 取最大值，最大值为 512，
当 x<34 时，w 随着 x 的增大而增大；
当 x>34 时，w 随着 x 的增大而减小．
∵ 当 x=25 时，w=−2×252+136×25−1800=350；
当 x=36 时，w=−2×362+136×36−1800=504．
综上，w 的范围为 350答：该小型企业每月获得利润 w（万元）的范围是 35023. （1） ∵AE 是 AM 和 AN 的比例中项，
∴AMAE=AEAN，
∵∠A=∠A，
∴△AME∽△AEN，
∴∠AEM=∠ANE，
∵∠D=90∘，
∴∠DCE+∠DEC=90∘，
∵EM⊥BC，
∴∠AEM+∠DEC=90∘，
∴∠AEM=∠DCE，
∴∠ANE=∠DCE．
（2） ∵AC 与 NE 互相垂直，
∴∠EAC+∠AEN=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠ANE+∠AEN=90∘，
∴∠ANE=∠EAC，
由（1）得 ∠ANE=∠DCE，
∴∠DCE=∠EAC，
∴tan∠DCE=tan∠DAC，
∴DEDC=DCAD，
∵DC=AB=6，AD=8，
∴DE=92，
∴AE=8−92=72，
由（1）得 ∠AEM=∠DCE，
∴tan∠AEM=tan∠DCE，
∴AMAE=DEDC，
∴AM=218，
∵AMAE=AEAN，
∴AN=143，
∴MN=4924．
（3） ∵∠NME=∠MAE+∠AEM，∠AEC=∠D+∠DCE，
又 ∠MAE=∠D=90∘，由（1）得 ∠AEM=∠DCE，
∴∠AEC=∠NME，
当 △AEC 与以点 E，M，N 为顶点所组成的三角形相似时，
① ∠ENM=∠EAC，如图 2，
∴∠ANE=∠EAC，
由（2）得：DE=92；
② ∠ENM=∠ECA，如图 3，过点 E 作 EH⊥AC，垂足为点 H，
由（1）得 ∠ANE=∠DCE，
∴∠ECA=∠DCE，
∴HE=DE，
又 tan∠HAE=HEAH=DCAD=68，
设 DE=3x，则 HE=3x，AH=4x，AE=5x，
又 AE+DE=AD，
∴5x+3x=8，解得 x=1，
∴DE=3x=3．
综上所述，DE 的长分别为 92 或 3．