2018年山东省青岛市即墨市中考一模数学试卷

这是一份2018年山东省青岛市即墨市中考一模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. −π0 的绝对值是
A. −πB. πC. −1D. 1

2. 青岛“最美地铁线”——连接崂山和即墨的地铁 11 号线，在今年 4 月份开通，地铁 11 号线全长约 58 千米，58 千米用科学记数法可表示为
A. 0.58×105 mB. 5.8×104 mC. 58×104 mD. 5.8×105 m

3. 如图是我国几家银行的标志，其中即是轴对称图形又是中心对称图形的有
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

4. “微信发红包”是最近兴起的一种娱乐方式，为了了解所在单位员工春节期间使用微信发红包的情况，小明随机调查了 16 名同事平均每个红包发的钱数，结果如表：
平均每个红包发的钱数元25101520发红包的人数25522
则此次调查中平均每个红包发的钱数的众数为
A. 2 元B. 5 元C. 10 元D. 5 元和 10 元

5. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，∠CBA=25∘，则 ∠D 的度数为
A. 25∘B. 50∘C. 65∘D. 75∘

6. 小明家离学校 2000 米，小明平时从家到学校需要用 x 分钟，今天起床晚，怕迟到，走路速度比平时快 5 米/分钟，结果比平时少用了 2 分钟到达学校，则根据题意可列方程
A. 2000x−2−2000x=5B. 2000x+2−2000x=5
C. 2000x−2000x−2=5D. 2000x−2000x+2=5

7. 如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 △ABC 相似的是
A. B.
C. D.

8. 如图，抛物线 y1=ax2+bx+ca≠0，其顶点坐标为 A−1,3，抛物线与 x 轴的一个交点为 B−3,0，直线 y2=mx+nm≠0 与抛物线交于 A，B 两点，下列结论：① 2a−b=0；② abc>0；③方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根；④抛物线与 x 轴的另一个交点是 1,0；⑤当 −3A. 5B. 4C. 3D. 2

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 计算：2x7y3÷6x6y3= ．

10. 3.12 日植树节，老师想从甲、乙、丙、丁 4 名同学中挑选 2 名同学代表班级去参加学校组织的植树活动，恰好选中甲和乙去参加的概率是 ．

11. 如图是反比例函数 y=mx 与反比例函数 y=nx（m>n 且 mn≠0）在第一象限的图象，直线 AB∥x轴，并分别交两条曲线于 A，B 两点，若 m−n=2，则 △AOB 的面积是 ．

12. 如图，若菱形 ABCD 的周长为 20，对角线 AC=5．E 为 BC 边上的中点，则 AE 的长为 ．

13. 将抛物线 y=x2+x+1 的图象向上平移一个单位，向右平移两个单位后，直线 y=2x+b 恰好经过平移后的抛物线的顶点，则 b 的值是 ．

14. 求 1+2+22+23+⋯+22007 的值，可令 s=1+2+22+23+⋯+22007，则 2s=2+22+23+24+⋯+22018，因此 2s−s=22018−1，即 s=22018−1，仿照以上推理，计算出 1+3+32+33+⋯+32018 的值为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：四边形 ABCD．
求作：点 P，使 PC∥AB，且点 P 到点 A 和点 B 的距离相等．
结论：

16. （1）化简：a−b2a÷1−ba；
（2）解不等式组：3x−12−2x+13≤6,2x+1<3x−1.

17. 在一个不透明的袋子里装有 4 个小球，分别标有数字 1，2，3，4；这些小球除所标数字不同外，其余完全相同，甲乙两人每次同时从袋中各随机摸出一个小球，记下球上的数字，并计算它们的积．
（1）请用画树状图或列表的方法，求两数积是 8 的概率；
（2）甲乙两人想用这种方式做游戏，他们规定，当两数之积是偶数时，甲得 1 分；当两数之积是奇数时，乙得 3 分，你认为这个游戏公平吗?请说明理由，若你认为不公平，请修改得分规则，使游戏公平．

18. 为了了解学生的课外学习负担，即墨区某中学数学兴趣小组决定对本校学生每天的课外学习情况进行调查，他们随机抽取本校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，列表如下：
等级ABCD每天课外学习时间tt<11≤t<1.51.5≤t<2t≥2
根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生?其中学习时间在B等级的学生有多少人?
（2）将条形统计图补充完整；
（3）表示D等级的扇形圆心角的度数是多少?
（4）该校共有 2000 名学生，每天课外学习时间在 2 小时以内的学生有多少人?

19. 2014 年，“即墨古城”在即墨区破土重建，2016 年建成，现已成为青岛北部一个重要的旅游景点，为了衡量古城“潮海”门的高度，在数学课外实践活动中，小明分别在如图所示的 A，B 两点处，利用测角仪对“潮海”门的最高点 C 进行了测量，测得 ∠A=30∘，∠B=45∘，若 AB=22 米，求“潮海”门的最高点 C 到地面的高度为多少米?（结果精确到 1 米，参考数据：3≈1.732）

20. 为开展体育大课间活动，某学校需要购买篮球与足球若干个，已知购买 3 个篮球和 2 个足球需求共需要 575 元，购买 4 个篮球和 3 个足球共需要 785 元．
（1）购买一个篮球，一个足球各需多少元?
（2）若体育老师带了 8000 元去购买这种篮球与足球共 80 个，由于数量较多，店主给出篮球与足球一律打八折的优惠价，那么他最多能购买多少个篮球?同时买了多少个足球?

21. 如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，CD 上，且 BE=BF，BD 和 EF 交于点 O，延长 BD 至点 H，使得 BO=HO，并连接 HE，HF．
（1）求证：AE=CF；
（2）试判断四边形 BEHF 是什么特殊的四边形，并说明理由．

22. 图中是抛物线拱桥，P 处有一照明灯，点 P 到水面 OA 的距离为 32 m，从 O，A 两处观测 P 处，仰角分别为 α，β，且 tanα=12，tanβ=32，以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，已知抛物线方程为 y=ax2+bx．
（1）求抛物线方程，并求抛物线上的最高点到水面的距离；
（2）水面上升 1 m，水面宽多少（2 取 1.41，结果精确到 0.1 m）?

23. 阅读下列材料：
情形展示：
情形一：如图 1，在 △ABC 中，沿等腰三角形 ABC 的顶角 ∠BAC 的平分线 AB1 折叠，若点 B 与点 C 重合，则称 ∠BAC 是 △ABC 的“好角”，如图 2，在 △ABC 中，先沿 ∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分，再将余下部分沿 ∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，若点 B1 与点 C 重合，则称 ∠BAC 是 △ABC 的“好角”．
情形二：如图 3，在 △ABC 中，先沿 ∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分，再将余下部分沿 ∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重复部分，⋯，重复折叠 n 次，最终若点 Bn−1 与点 C 重合，则称 ∠BAC 是 △ABC 的“好角”．
探究发现：（不妨设 ∠B≥∠C）
（1）如图 1，若 ∠BAC 是 △ABC 的“好角”，则 ∠B 与 ∠C 的数量关系是： ．
（2）如图 2，若 ∠BAC 是 △ABC 的“好角”，则 ∠B 与 ∠C 的数量关系是： ．
（3）如图 3，若 ∠BAC 是 △ABC 的“好角”，则 ∠B 与 ∠C 的数量关系是： ．
（4）应用提升：
如果一个三角形的三个角分别为 15∘，60∘，105∘，我们发现 60∘ 和 105∘ 的两个角都是此三角形的“好角”；如果有一个三角形，它的三个角均是此三角形的“好角”，且已知最小的角是 12∘，求另外两个角的度数．

24. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=42，∠B=45∘，动点 M 从点 B 出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动，动点 N 同时从点 C 出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动．设运动的时间为 t 秒（0（1）求 BC 的长．
（2）当 MN∥AB 时，求 t 的值．
（3）设 △MNC 的面积为 S△MNC，试确定 S△MNC 与 t 的函数关系式．
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 S△MNC:S四边形ABCD=12:65?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】−π0=1，则它的绝对值是 1．
2. B【解析】58千米=5.8×104 m．
3. A【解析】中国银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
中国工商银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
中国人民银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
中国农业银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
中国建设银行标志：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
4. D【解析】观察发现平均每个红包发的钱数为 5 元和 10 元的人数都为 5 人，最多，故众数为 5 元和 10 元．
5. C
【解析】∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠CBA=25∘，
∴∠CAB=90∘−∠CBA=65∘，
∴∠D=∠CAB=65∘．
6. A【解析】设小明平时从家到学校需要用 x 分钟，则实际从家到学校用 x−2 分钟，
根据题意，得 2000x−2−2000x=5．
7. C【解析】根据题意得：AB=32+12=10，AC=2，BC=2，
∴AC:BC:AB=2:2:10=1:2:5，
A、三边之比为 1:5:22，图中的三角形（阴影部分）与 △ABC 不相似；
B、三边之比为 2:5:3，图中的三角形（阴影部分）与 △ABC 不相似；
C、三边之比为 1:2:5，图中的三角形（阴影部分）与 △ABC 相似；
D、三边之比为 2:5:13，图中的三角形（阴影部分）与 △ABC 不相似．
8. A【解析】由抛物线对称轴为直线 x=−b2a=−1 可知 b=2a，则①正确；
由图象，a，b 同号，c>0，则 abc>0，则②正确；
方程 ax2+bx+c=3 的根可以看做是抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=3 的交点横坐标，
由抛物线顶点为 −1,3，则直线 y=3 过抛物线顶点，
∴ 方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根，故③正确；
由抛物线对称轴为直线 x=−1，与 x 轴的一个交点 −3,0，
则由对称性可知抛物线与 x 轴的另一个交点为 1,0，则④正确；
∵A−1,3，B−3,0，直线 y2=mx+n 与抛物线交于 A，B 两点，
∴ 当 −3第二部分
9. 43x15
【解析】2x7y3÷6x6y3=43x15．
10. 16
【解析】画树形图得：
由树状图知共有 12 种等可能结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的有 2 种结果，
∴ 恰好选中甲和乙去参加的概率是 212=16．
11. 1
【解析】如图，设直线 AB 与 y 轴交于点 C，
则直线 AB⊥y轴．
∵ 反比例函数 y=mx 的图象过点 B，反比例函数 y=nx（m>n 且 mn≠0）的图象过点 A，
∴S△BOC=12m，S△AOC=12n，
∴S△AOB=S△BOC−S△AOC=12m−12n=12m−n=12×2=1.
12. 532
【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，周长为 20，
∴AB=BC=5，
∵AC=5，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC 是等边三角形，
∵BE=EC，
∴AE⊥BC，
∴AE=AB⋅sin60∘=532．
13. −54
【解析】∵y=x2+x+1=x+122+34，
∴ 抛物线 y=x2+x+1 的顶点坐标是 −12,34．
将顶点坐标 −12,34 向上平移一个单位，向右平移两个单位后得到新抛物线的顶点坐标是 32,74．
将 32,74 代入 y=2x+b，得 74=2×32+b，
解得 b=−54．
14. 32019−12
【解析】令 S=1+3+32+33+⋯+32018，
则 3S=3+32+33+⋯+32019，
因此 3S−S=32019−1，即 S=32019−12．
第三部分
15. 如图，点 P 即为所求．
16. （1） 原式=a2−b2a÷a−ba=a+ba−ba⋅aa−b=a+b;
（2）
3x−12−2x+13≤6, ⋯⋯①2x+1<3x−1. ⋯⋯②
由 ① 得：
x≤8.2.
由 ② 得：
x>4.
则不等式组的解集为
417. （1） 画树状图得：
∵ 共有 12 种等可能的结果，两次摸出的小球的数字积是 8 的有 2 种情况，
∴ 两数积是 8 的概率为 212=16．
（2） 两数之积是偶数的有 10 种情况，两数之积是奇数的有 2 种情况，
∴P两数之积是偶数=1012=56，P两数之积是奇数=212=16，
∵56×1≠16×3，
∴ 此游戏不公平．
修改规则为：当两数之积是偶数时，甲得 1 分；当两数之积是奇数时，乙得 5 分．
18. （1） 本次抽样调查共抽取学生 40÷20%=200（名），其中学习时间在B等级的学生有 200−40+40+20=100（名）．
（2） 补全图形如下：
（3） 表示D等级的扇形圆心角的度数是 360∘×20200=36∘．
（4） 估计每天课外学习时间在 2 小时以内的学生有 2000×40+100+40200=1800（名）．
19. 如图，过点 C 作 CD⊥AB，交 AB 延长线于点 D．
在 Rt△ACD 中，设 CD=x 米，
∴AD=xtan30∘=3x 米．
在 Rt△BCD 中，CD=x 米，
∴BD=x 米，
∴3x−x=22，
解得：x=223−1≈30，
则“潮海”门的最高点 C 到地面的高度为 30 米．
20. （1） 设购买一个篮球需要 x 元，购买一个足球需要 y 元，列方程得：
3x+2y=575,4x+3y=785.
解得：
x=155,y=55.
答：购买一个篮球需要 155 元，购买一个足球需要 55 元．
（2） 设购买了 a 个篮球，则购买了 80−a 个足球．列不等式得：
155×0.8a+55×0.8×80−a≤8000.
解得
a≤56.∴a
最多可以购买 56 个篮球，
80−56=24（个），
∴ 这所学校最多可以购买 56 个篮球，同时购买 24 个足球．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠C=90∘，
在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中，
AB=BC,BE=BF,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴AE=FC．
（2） 四边形 BEHF 是菱形．
理由：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BDF=45∘，∠ADC=90∘，AD=DC．
又 ∵AE=FC，
∴DE=DF，
∴△DEF 为等腰直角三角形，
∴∠DFE=45∘，
∴∠DOF=90∘，即 OB⊥EF，
又 ∵EB=BF，
∴OE=OF．
∵OE=OF，OB=OH，OB⊥EF，
∴ 四边形 BEHF 是菱形．
22. （1） 过点 P 作 PH⊥OA 交 OA 于 H，如图 1．
在 Rt△OHP 中，
∵tanα=PHOH，PH=32 m，
∴OH=3 m，
在 Rt△AHP 中，
∵tanβ=PHAH，PH=32 m，
∴AH=1 m，
∴OA=4 m，
∴ 点 P 的坐标为 3,32，点 A 的坐标为 4,0，
把 A4,0，P3,32 代入 y=ax2+bx 中，
得 16a+4b=0,9a+3b=32, 解得 a=−12,b=2.
∴ 抛物线的方程为 y=−12x2+2x，
顶点坐标为 2,−2，
∴ 抛物线上的最高点到水面的距离为 2 m．
（2） 若水面上升 1 m 后到达 BC 位置，如图 2，
过点 O0,0，A4,0 的抛物线的解析式可设为 y=axx−4，
∵P3,32 在抛物线 y=axx−4 上，
∴3a3−4=32，
解得 a=−12，
∴ 抛物线的解析式为 y=−12xx−4．
当 y=1 时，−12xx−4=1，
解得 x1=2+2，x2=2−2，
∴BC=2+2−2−2=22≈2.8 m．
故水面宽约为 2.8 m．
23. （1） ∠B=∠C
【解析】如图 1 中，
∵∠BAC 是 △ABC 的“好角”，
∴∠B 与 ∠C 重合，
∴∠B=∠C．
（2） ∠B=2∠C
【解析】如图 2 中，
∵ 沿 ∠BAC 的平分线 AB1 折叠，
∴∠B=∠AA1B1；
又 ∵ 将余下部分沿 ∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点 C 重合，
∴∠A1B1C=∠C；
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），
∴∠B=2∠C．
（3） ∠B=n∠C
【解析】根据上面结论可知：
当 1 次折叠时，∠BAC 是“好角”，则有 ∠B=∠C；
当 2 次折叠时，∠BAC 是“好角”，则有 ∠B=2∠C；
当 3 次折叠时，∠BAC 是“好角”，则有 ∠B=3∠C；
⋯
当 n 次折叠时，∠BAC 是“好角”，则有 ∠B=n∠C．
（4） ∵12∘ 的最小角是 △ABC 的好角，
根据好角定义，则可设另两角分别为 12m∘，12mn∘（其中 m，n 都是正整数）．
由题意，得 12m+12mn+12=180，
∴mn+1=14．
∵m，n 都是正整数，
∴m 与 n+1 是 14 的整数因子，
因此有：m=1，n+1=14；或 m=2，n+1=7，
∴m=1，n=13；或 m=2，n=6．
当 m=1，n=13 时，12m=12∘，12mn=156∘；
当 m=2，n=6 时，12m=24∘，12mn=144∘．
∴ 该三角形的另外两个角的度数分别为：12∘，156∘ 或 24∘，144∘．
24. （1） 如图①，过点 A，D 分别作 AK⊥BC 交 BC 于 K，DH⊥BC 交 BC 于 H，
则四边形 ADHK 是矩形．
∴KH=AD=3．
在 Rt△ABK 中，AK=AB⋅sin45∘=42⋅22=4，BK=AB⋅cs45∘=42⋅22=4．
在 Rt△CDH 中，由勾股定理得，HC=52−42=3．
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．
（2） 如图②，过 D 作 DG∥AB 交 BC 于 G 点，
则四边形 ADGB 是平行四边形．
∴BG=AD=3，AB∥DG．
∴GC=10−3=7．
由题意知，当 M，N 运动到 t 秒时，CN=t，CM=10−2t．
∵MN∥AB，
∴DG∥MN，
∴∠NMC=∠DGC．
又 ∵∠C=∠C，
∴△MNC∽△GDC．
∴CNCD=CMCG，即 t5=10−2t7．
解得，t=5017．
（3） 如图③，当 0过点 N 作 NG⊥BC 交 BC 于点 G，过点 D 作 DF⊥BC 交 BC 于点 F，如图所示，
∴△NGC∽△DFC，
∴CNCD=NGDF，即 t5=NG4；
∴NG=4t5；
∴S△MNC=12MC⋅NG=12⋅10−2t⋅4t5=−45t2+4t．
（4） 存在这样的 t，其值为 1 或 52．
理由如下：
∵S四边形ABCD=AD+BC2⋅AK=3+102×4=26，
S△MNC:S四边形ABCD=12:65，
∴S△MNC=4.8，
把 S△MNC=4.8 代入 S△MNC=−45t2+4t 得到：−45t2+4t=4.8．
解得 t1=52，t2=1，
综上所述，符合条件的 t 的值为：t=1 或 t=52．