2018年青岛市中考模拟数学试卷

这是一份2018年青岛市中考模拟数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图所示，数轴上点 A 所表示的数的绝对值为
A. 2B. −2C. ±2D. 以上均不对

2. 根据习近平总书记在“一带一路”国际合作高峰论坛开幕式上的演讲，中国将在未来 3 年向参与“一带一路”建设的发展中国家和国际组织提供 60000000000 元人民币援助，建设更多民生项目，其中数据 60000000000 用科学记数法表示为
A. 0.6×1010B. 0.6×1011C. 6×1010D. 6×1011

3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 计算 a2b3⋅b2a 的结果是
A. a5b5B. a4b5C. ab5D. a5b6

5. 如图，网格纸上正方形小格的边长为 1．图中线段 AB 和点 P 绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段 AʹBʹ 和点 Pʹ，则点 Pʹ 所在的单位正方形区域是
A. 1 区B. 2 区C. 3 区D. 4 区

6. 某校美术社团为练习素描，他们第一次用 120 元买了若干本资料，第二次用 240 元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠 4 元，结果比上次多买了 20 本，求第一次买了多少本资料?若设第一次买了 x 本资料，列方程正确的是
A. 240x−20−120x=4B. 240x+20−120x=4
C. 120x−240x−20=4D. 120x−240x+20=4

7. 如图，矩形 ABCD 的边 AB=1，BE 平分 ∠ABC，交 AD 于点 E，若点 E 是 AD 的中点，以点 B 为圆心，BE 为半径画弧，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积是
A. 2−π4B. 32−π4C. 2−π8D. 32−π8

8. 如图，反比例函数 y=kxx<0 与一次函数 y=x+4 的图象交于 A，B 两点的横坐标分别为 −3，−1．则关于 x 的不等式 kxA. x<−3B. −3C. −1
二、填空题（共6小题；共30分）
9. 计算 27−613 的结果是 ．

10. 某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为 4 个等级：A，B，C，D，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图．该年级共有 700 人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为 人．

11. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，DA=DC，∠CBE=50∘，则 ∠DAC 的大小为 ．

12. 甲、乙两动点分别从线段 AB 的两端点同时出发，甲从点 A 出发，向终点 B 运动，乙从点 B 出发，向终点 A 运动．已知线段 AB 长为 90 cm，甲的速度为 2.5 cm/s．设运动时间为 xs，甲、乙两点之间的距离为 ycm，y 与 x 的函数图象如图所示，则图中线段 DE 所表示的函数关系式为 （并写出自变量取值范围）．

13. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，E 是 BC 的中点，AE⊥BD 于点 F，则 CF 的长是 ．

14. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 如图，已知 △ABC，∠B=40∘．在图中作出 △ABC 的内切圆 O，并标出 ⊙O 与边 AB，BC，AC 的切点 D，E，F．

16. （1）计算：a+2−3a−4a−2÷a2−6a+9a−2；
（2）已知关于 x 的一元二次方程 x2−6x+m+4=0 有两个实数根 x1，x2．求 m 的取值范围．

17. 若 n 是一个两位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，则称 n 为“两位递增数”（如 13，35，56 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字 1，2，3，4，5，6 构成的所有的“两位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次．
（1）写出所有个位数字是 5 的“两位递增数”；
（2）请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被 10 整除的概率．

18. 如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口 C 测得教学楼顶部 D 的仰角为 18∘，教学楼底部 B 的俯角为 20∘，量得实验楼与教学楼之间的距离 AB=30 m．
（1）求 ∠BCD 的度数．
（2）求教学楼的高 BD．（结果精确到 0.1 m，参考数据：tan20∘≈0.36，tan18∘≈0.32）

19. 一次学科测验，学生得分均为整数，满分 10 分，成绩达到 6 分以上为合格．成绩达到 9 分为优秀．这次测验中甲乙两组学生成绩分布的条形统计图如下：
（1）请补充完成下面的成绩统计分析表：
平均分方差中位数合格率优秀率甲组%16.7%乙组1.383.3%8.3%
（2）甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要高于甲组．请你给出三条支持乙组学生观点的理由．

20. 江南农场收割小麦，已知 1 台大型收割机和 3 台小型收割机 1 小时可以收割小麦 1.4 公顷，2 台大型收割机和 5 台小型收割机 1 小时可以收割小麦 2.5 公顷．
（1）每台大型收割机和每台小型收割机 1 小时收割小麦各多少公顷?
（2）大型收割机每小时费用为 300 元，小型收割机每小时费用为 200 元，两种型号的收割机一共有 10 台，要求 2 小时完成 8 公顷小麦的收割任务，且总费用不超过 5400 元，有几种方案?请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．

21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，边 AB 的垂直平分线交 AD 于点 E，交 CB 的延长线于点 F，连接 AF，BE．
（1）求证：△AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形 AFBE 的形状，并说明理由．

22. 随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为 2 米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 米处达到最高，水柱落地处离池中心 3 米．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度是多少?

23. 探索 n×n 的正方形钉子板上（n 是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：
当 n=2 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有 1 与 2，所以不同长度值的线段只有 2 种，若用 S 表示不同长度值的线段种数，则 S=2；
当 n=3 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有 1，2，2，5，22 五种，比 n=2 时增加了 3 种，即 S=2+3=5．
（1）观察图形，填写下表：
钉子数nS值2×223×32+34×42+3+ 5×5
（2）写出 n−1×n−1 和 n×n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表述均可）
（3）对 n×n 的钉子板，写出用 n 表示 S 的代数式．

24. 在直角坐标系中，过原点 O 及点 A8,0，C0,6 作矩形 OABC，连接 OB，点 D 为 OB 的中点，点 E 是线段 AB 上的动点，连接 DE，作 DF⊥DE，交 OA 于点 F，连接 EF．已知点 E 从 A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 AB 上移动，设移动时间为 t 秒．
（1）如图 1，当 t=3 时，求 DF 的长．
（2）如图 2，当点 E 在线段 AB 上移动的过程中，∠DEF 的大小是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 tan∠DEF 的值．
（3）连接 AD，当 AD 将 △DEF 分成的两部分的面积之比为 1：2 时，求相应的 t 的值．
答案
第一部分
1. A【解析】由数轴可得，点 A 表示的数是 −2，
∵∣−2∣=2，
∴ 数轴上点 A 所表示的数的绝对值为 2．
2. C
3. C
4. A【解析】原式=a6b3⋅b2a=a5b5．
5. D
【解析】如图，连接 AAʹ，BBʹ，分别作 AAʹ，BBʹ 的中垂线，两直线的交点即为旋转中心．
由图可知，线段 AB 和点 P 绕着同一个该点逆时针旋转 90∘，
∴ 点 P 逆时针旋转 90∘ 后所得对应点 Pʹ 落在 4 区．
6. D
7. B
8. B【解析】观察图象可知，当 −3 ∴ 关于 x 的不等式 kx第二部分
9. 3
10. 56
【解析】∵ 总人数为 14÷28%=50（人），
∴ 估计该年级足球测试成绩为D等的人数为 700×450=56（人）．
11. 65∘
12. y=4.5x−9020≤x≤36
【解析】∵902.5=36s，观察图象可知乙的运动时间为 45 s，
∴ 乙的速度 =9045=2cm/s，相遇时间 =902.5+2=20s，
∴ 图中线段 DE 所表示的函数关系式：y=2.5+2x−20=4.5x−9020≤x≤36．
13. 2
【解析】方法 1 、
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABE=∠BAD=90∘，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB=90∘，
∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90∘，
∴∠BAE=∠ADB，
∴△ABE∽△DAB，
∴ADBA=ABBE，
∵E 是 BC 的中点，
∴AD=2BE，
∴2BE2=AB2=2，
∴BE=1，
∴BC=2，
∴AE=AB2+BE2=3，BD=BC2+CD2=6，
∴BF=AB⋅BEAE=63，
过 F 作 FG⊥BC 于 G，如图 1，
∴FG∥CD，
∴△BFG∽△BDC，
∴FGCD=BFBD=BGBC，
∴FG=23，BG=23，
∴CG=43，
∴CF=FG2+CG2=2．
方法 2 、
如图 2，过点 C 作 CG⊥BD，
∵AE⊥BD，
∴∠BFE=∠CGD=90∘，
∴EF∥CG，
∵ 点 E 是 BC 中点，
∴BF=FG，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=CD=2，AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDG，
在 △ABF 和 △CDG 中，
∠ABF=∠CDG,∠AFB=∠CGD,AB=CD,
∴△ABF≌△CDG，
∴DG=BF=FG，
∴CF=CD=2．
14. 12
【解析】设俯视图的正方形的边长为 a．
∵ 其俯视图为正方形，正方形的对角线长为 22，
∴a2+a2=222，
解得 a2=4，
∴ 这个长方体的体积为 4×3=12．
第三部分
15. 如图，
⊙O 即为所求．
16. （1） 原式=a2−4a−2−3a−4a−2÷a−32a−2=a2−3aa−2×a−2a−32=aa−3a−2×a−2a−32=aa−3.
（2） ∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−6x+m+4=0 有两个实数根 x1，x2．
∴Δ=−62−4×1×m+4≥0，
解得：m≤5．
∴m 的取值范围是 m≤5．
17. （1） 根据题意所有个位数字是 5 的“两位递增数”是 15，25，35，45 这 4 个．
（2） 画树状图为：
共有 15 种等可能的结果数，其中个位数字与十位数字之积能被 10 整除的结果数为 3，
所以个位数字与十位数字之积能被 10 整除的概率 =315=15．
18. （1） 过点 C 作 CE⊥BD，如图所示，
则有 ∠DCE=18∘，∠BCE=20∘，
∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18∘+20∘=38∘．
（2） 由题意得：CE=AB=30 m，
在 Rt△CBE 中，BE=CE⋅tan20∘≈10.80（m），
在 Rt△CDE 中，DE=CD⋅tan18∘≈9.60（m），
∴ 教学楼的高 BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4（m），
答：教学楼的高约为 20.4 m．
19. （1）
平均分方差中位数合格率优秀率甲组%16.7%乙组71.3783.3%8.3%
（2） ①因为乙组学生的平均成绩高于甲组学生的平均成绩，所以乙组学生的成绩好于甲组；
②因为甲乙两组学生成绩的平均分相差不大，而乙组学生的方差低于甲组学生的方差，说明乙组学生成绩的波动性比甲组小，所以乙组学生的成绩好于甲组；
③因为乙组 7 分（含 7 分）以上人数多于甲组 7 分（含 7 分）以上人数，所以乙组学生的成绩好于甲组．
（答案不唯一）
20. （1） 设每台大型收割机 1 小时收割小麦 x 公顷，每台小型收割机 1 小时收割小麦 y 公顷，根据题意得：
x+3y=1.4,2x+5y=2.5,
解得：
x=0.5,y=0.3.
答：每台大型收割机 1 小时收割小麦 0.5 公顷，每台小型收割机 1 小时收割小麦 0.3 公顷．
（2） 设大型收割机有 m 台，总费用为 w 元，则小型收割机有 10−m 台，根据题意得：w=300×2m+200×210−m=200m+4000．
∵ 2 小时完成 8 公顷小麦的收割任务，且总费用不超过 5400 元，
∴ 2×0.5m+2×0.310−m≥8,200m+4000≤5400, 解得：5≤m≤7，
∴ 有三种不同方案．
∵ w=200m+4000 中，200>0，
∴ w 值随 m 值的增大而增大，
∴ 当 m=5 时，总费用取最小值，最小值为 5000 元．
答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各 5 台时，总费用最低，最低费用为 5000 元．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG=∠BFG，
∵EF 垂直平分 AB，
∴AG=BG，
在 △AGE 和 △BGF 中，
∠AEG=∠BFG,∠AGE=∠BGF,AG=BG,
∴△AGE≌△BGF．
（2） 四边形 AFBE 是菱形，理由如下：
∵△AGE≌△BGF，
∴AE=BF，
∵AD∥BC，
∴ 四边形 AFBE 是平行四边形，
又 ∵EF⊥AB，
∴ 四边形 AFBE 是菱形．
22. （1） 如图所示，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为 x 轴，水管所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为 y=ax−12+h，
代入 0,2 和 3,0 得：4a+h=0,a+h=2,
解得：a=−23,h=83,
∴ 抛物线的解析式为：y=−23x−12+83；
即 y=−23x2+43x+20≤x≤3．
（2） y=−23x2+43x+20≤x≤3，
当 x=1 时，y=83，
答：水柱的最大高度为 83 米．
23. （1） 4；2+3+4+5（或 14）
（2） 类似以下答案均给满分：
（i）n×n 的钉子板比 n−1×n−1 的钉子板中不同长度的线段种数增加了 n 种；
（ii）分别用 a，b 表示 n×n 与 n−1×n−1 的钉子板中不同长度的线段种数，则 a=b+n．
（3） S=2+3+4+⋯+n=n+22×n−1=n2+n−22．
24. （1） 当 t=3 时，点 E 为 AB 的中点，
∵A8,0，C0,6，
∴OA=8，OC=6，
∵ 点 D 为 OB 的中点，
∴DE∥OA，DE=12OA=4，
∵ 四边形 OABC 是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90∘，
又 ∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90∘，
∴ 四边形 DFAE 是矩形，
∴DF=AE=3；
（2） ∠DEF 的大小不变；理由如下：
作 DM⊥OA 于 M，DN⊥AB 于 N，如图 2 所示．
∵ 四边形 OABC 是矩形，
∴OA⊥AB，
∴ 四边形 DMAN 是矩形，
∴∠MDN=90∘，DM∥AB，DN∥OA，
∴BDDO=BNNA，DOBD=OMMA，
∴ 点 D 为 OB 的中点，
∴M，N 分别是 OA，AB 的中点，
∴DM=12AB=3，DN=12OA=4，
∵∠EDF=90∘，
∴∠FDM=∠EDN，
又 ∵∠DMF=∠DNE=90∘，
∴△DMF∽△DNE ，
∴DFDE=DMDN=34，
∵∠EDF=90∘，
∴tan∠DEF=DFDE=34；
（3） 作 DM⊥OA 于 M，DN⊥AB 于 N．
若 AD 将 △DEF 的面积分成 1：2 的两部分，
设 AD 交 EF 于点 G，则点 G 为 EF 的三等分点；
① 当点 E 到达中点之前时，如图 3 所示，NE=3−t，
由 △DMF∽△DNE 得：MF=343−t，
∴AF=4+MF=−34t+254，
∵ 点 G 为 EF 的三等分点，
∴G3t+7112,23t，
设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，
把 A8,0，D4,3 代入得：
8k+b=0,4k+b=3.
解得：
k=−34,b=6.∴
直线 AD 的解析式为 y=−34x+6 ，
把 G3t+7112,23t 代入得：
t=7541.②
当点 E 越过中点之后，如图 4 所示，
NE=t−3，
由 △DMF∽△DNE 得：MF=34t−3，
∴AF=4−MF=−34t+254，
∵ 点 G 为 EF 的三等分点，
∴G3t+236,13t，
代入直线 AD 的解析式 y=−34x+6 得：t=7517；
综上所述，当 AD 将 △DEF 分成的两部分的面积之比为 1：2 时，t 的值为 7541 或 7517．