2018年青岛市市北区中考二模数学试卷

这是一份2018年青岛市市北区中考二模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. −2 的绝对值是
A. 22B. −2C. 2D. −22

2. 如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 青岛“最美地铁线”——连接崂山和即墨的地铁 11 号线，在今年 4 月份开通，地铁 11 号线全长约 58 千米，58 千米用科学记数法可表示为
A. 0.58×105 mB. 5.8×104 mC. 58×104 mD. 5.8×105 m

4. 图中所示几何体的左视图是
A. B.
C. D.

5. 如图，双曲线 y=mx 与直线 y=kx+b 交于点 M，N，并且点 M 的坐标为 1,3，点 N 的纵坐标为 −1．根据图象信息可得关于 x 不等式 mxA. x<−3B. −3C. −31

6. 如图，过矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 作 EF⊥AC，交 BC 边于点 E，交 AD 边于点 F，分别连接 AE，CF，若 AB=23，∠DCF=30∘，则 EF 的长为
A. 4B. 6C. 3D. 23

7. 如图，某数学兴趣小组将边长为 5 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形 BAD 的面积为
A. 255πB. 253πC. 25D. 20

8. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=−bx+b2−4ac 与反比例函数 y=a−b+cx 在同一坐标系内的图象大致为
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 计算：3−2+−20−∣−4∣= ．

10. 3.12 日植树节，老师想从甲、乙、丙、丁 4 名同学中挑选 2 名同学代表班级去参加学校组织的植树活动，恰好选中甲和乙去参加的概率是 ．

11. 如图，将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90∘ 得到线段 AʹBʹ，那么 A−2,5 的对应点 Aʹ 的坐标是 ．

12. 如图 AB，AC 是 ⊙O 的两条弦，∠A=32∘，过点 C 的切线与 OB 的延长线交于点 D，则 ∠D 的度数为 ．

13. 小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的扇形统计图．请你估计该市这一年（365 天）大约共有 天达到优和良．

14. 如图所示是一种棱长分别为 3 cm，4 cm，5 cm 的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体，如果用 3 块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 cm2，如果用 4 块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 cm2，如果用 12 块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 cm2．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 如图，已知线段 a，h．求作：△ABC，使 AB=AC，BC=a，高 AD=h（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．

16. （1）化简：2aa2−4÷a22−a；
（2）若二次函数 y=x2+c−1x−c 的图象与横轴有唯一交点，求 c 的值．

17. 如图，把可以自由转动的圆形转盘A，B分别分成 3 等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字．小明和小颖两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针两区域的数字均为奇数，则小明胜；若指针两区域的数字均为偶数，则小颖胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．这个游戏规则对双方公平吗?请说明理由．

18. 图 1 是某城市三月份 1 至 8 日的日最高气温随时间变化的折线统计图，小刚根据图 1 将数据统计整理后制成了图 2．根据图中信息，解答下列问题：
（1）将图 2 补充完整；
（2）这 8 天的日最高气温的中位数是 ∘C；
（3）计算这 8 天的日最高气温的平均数．

19. 甲、乙两地相距 1400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h．已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8 倍．求特快列车的平均速度．

20. 在一次综合实践课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中 AB 表示窗户，且 AB=2 米，BCD 表示直角遮阳蓬，已知当地一年中正午时刻太阳光与水平线 CD 的最小夹角 ∠PDN=18.6∘，最大夹角 ∠MDN=64.5∘．
请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳篷中 CD 的长是多少米?（结果精确到 0.1）
（参考数据：sin18.6∘≈0.32，tan18.6∘≈0.34，sin64.5∘≈0.90，tan64.5∘≈2.1）

21. 已知：如图，在平行四边形中，点 E 在 BC 边上，连接 AE．O 为 AE 中点，连接 BO 并延长交 AD 于 F．
（1）求证：△AOF≌△EOB；
（2）判断当 AE 平分 ∠BAD 时，四边形 ABEF 是什么特殊四边形，并证明你的结论．

22. 为了响应国家提出由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为 18 元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量 y（万个）与销售单价 x（元/个）之间的部分数据如表：
销售单价x元/件⋯20253035⋯每月销售量y万件⋯60504030⋯
（1）试判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）设每月的利润为 w（万元），求 w 与 x 之间的函数关系式；
（3）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（产品利润率不得高于 50%）请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大?并求出最大利润．

23. 如图 1，在四边形 ADBC 中，∠ACB=∠ADB=90∘，AD=BD，探究线段 AC，BC，CD 之间的数量关系．
小芳同学探究此问题的思路是：将 △ABC 绕点 D 逆时针旋转 90∘ 到 △AED 处，点 B，C 分别落在点 A，E 处（如图 2），易证点 C，A，E 在同一条直线上，并且 △CDE 是等腰直角三角形，所以 CE=2CD，从而得出结论：AC+BC=2CD．
（1）【理解与应用】
（1）在图 1 中，若 AC=2，BC=22，则 CD= ．
（2）如图 3，AB 是 ⊙O 的直径，点 C，D 在 ⊙O 上，AD=BD，若 AB=13，BC=12，求 CD 的长．请帮助小亮完成解题过程：
解：由 AB 是直径，可得 ，
由 AD=BD，可得 ，
由小芳的思路可得：CD= ，
∵AB=13，BC=12，
∴ ，
∴CD= ．
（2）【综合与拓展】
如图 4，∠ACB=∠ADB=90∘，AD=BD，若 AC=m，BC=nm
24. 如图，菱形 ABCD 的边长为 20 cm，∠ABC=120∘，对角线 AC，BD 相交于点 O，动点 P 从点 A 出发，以 4 cm/s 的速度，沿 A→B 的路线向点 B 运动；过点 P 作 PQ∥BD，与 AC 相交于点 Q，设运动时间为 t 秒，0（1）设四边形 PQCB 的面积为 S，求 S 与 t 的关系式；
（2）若点 Q 关于 O 的对称点为 M，过点 P 且垂直于 AB 的直线 l 交菱形 ABCD 的边 AD（或 CD）于点 N，当 t 为何值时，点 P，M，N 在一直线上?
（3）直线 PN 与 AC 相交于 H 点，连接 PM，NM，是否存在某一时刻 t，使得直线 PN 平分四边形 APMN 的面积?若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】−2 的绝对值是 2．
2. B【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误．
3. B【解析】58千米=5.8×104 m．
4. D【解析】左视图可得一个矩形，中间有一条看不到的线，用虚线表示，故D正确．
5. D
【解析】∵M1,3 在反比例函数图象上，
∴m=1×3=3，
∴ 反比例函数解析式为：y=3x，
∵N 也在反比例函数图象上，点 N 的纵坐标为 −1，
∴x=−3，
∴N−3,−1，
∴ 关于 x 不等式 mx1．
6. A【解析】∵ 矩形对边 AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵O 是 AC 的中点，
∴AO=CO，
在 △AOF 和 △COE 中，
∠FAO=∠ECO,AO=CO,∠AOF=∠COE,
∴△AOF≌△COE，
∴OE=OF，
又 ∵EF⊥AC，
∴ 四边形 AECF 是菱形，
∵∠DCF=30∘，
∴∠ECF=90∘−30∘=60∘，
∴△CEF 是等边三角形，
∴EF=CF，
∵AB=23，
∴CD=AB=23，
∵∠DCF=30∘，
∴CF=23÷32=4，
∴EF=4．
7. C【解析】由题意 DB=CD+BC=10，S扇形BAD=12⋅BD⋅AB=12×10×5=25．
8. B【解析】如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向向上，则 a>0．
对称轴在 y 轴的右侧，则 a，b 异号，
∴b<0，故 −b>0．
又 ∵ 抛物线与 x 轴有 2 个交点，
∴b2−4ac>0，
∴ 直线 y=−bx+b2−4ac 经过第一、二、三象限．
当 x=−1 时，y>0，即 a−b+c>0，
∴ 双曲线 y=a−b+cx 经过第一、三象限．
综上所述，符合条件的图象是B选项．
第二部分
9. −269
【解析】3−2+−20−∣−4∣=19+1−4=−269.
10. 16
【解析】画树形图得：
由树状图知共有 12 种等可能结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的有 2 种结果，
∴ 恰好选中甲和乙去参加的概率是 212=16．
11. Aʹ5,2
【解析】∵ 线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90∘ 得到线段 AʹBʹ，
∴△ABO≌△AʹBʹO，∠AOAʹ=90∘，
∴AO=AʹO．
作 AC⊥y 轴交 y 轴于点 C，AʹCʹ⊥x 轴交 x 轴于点 Cʹ，如图所示，
∴∠ACO=∠AʹCʹO=90∘．
∵∠COCʹ=90∘，
∴∠AOAʹ−∠COAʹ=∠COCʹ−∠COAʹ，
∴∠AOC=∠AʹOCʹ．
在 △ACO 和 △AʹCʹO 中，
∠ACO=∠AʹCʹO,∠AOC=∠AʹOCʹ,AO=AʹO,
∴△ACO≌△AʹCʹO，
∴AC=AʹCʹ，CO=CʹO．
∵A−2,5，
∴AC=2，CO=5，
∴AʹCʹ=2，OCʹ=5，
∴Aʹ5,2．
12. 26∘
【解析】如图，连接 OC，
由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=64∘，
∵CD 是 ⊙O 的切线，
∴∠OCD=90∘，
∴∠D=90∘−∠BOC=26∘．
13. 292
【解析】∵ 被抽查的总天数为 32÷64%=50（天），
∴ 估计该市这一年（365 天）达到优和良的天数大约为 365×8+3250=292（天）．
14. 202，258，484
【解析】用 3 块来搭成的大长方体长 3×3=9cm，宽 4 cm，高 5 cm，
S表面积=9×4+9×5+4×5×2=36+45+20×2=101×2=202cm2.
答：如果用 3 块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 202 cm2．
用 4 块来搭成的大长方体长 4×2=8cm，宽 3×2=6cm，高 5 cm，
S表面积=9×6+9×5+6×5×2=54+45+30×2=129×2=258cm2.
答：如果用 4 块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 258 cm2．
用 12 块来搭成的大长方体长 3×3=9cm，宽 4×2=8cm，高 5×2=10cm，
S表面积=9×8+9×10+8×10×2=72+90+80×2=242×2=484cm2.
答：如果用 12 块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是 484 cm2．
第三部分
15. 如图，△ABC 为所作，点 D 在 BC 的中点处．
16. （1） 原式=2aa+2a−2×2−aa2=−2aa+2.
（2） ∵ 二次函数 y=x2+c−1x−c 的图象与横轴有唯一交点，
∴Δ=c−12−4×1×−c=c+12=0，解得：c=−1，
∴c 的值为 −1．
17. 这个游戏规则对双方公平，
画树状图如图所示：
共 9 种情况，其中均为偶数的有 2 种结果，均为奇数的情况数有 2 种，
∴ 小明获胜的概率为 29 、小颖获胜的概率为 29，
∵29=29，
∴ 这个游戏规则对双方公平．
18. （1） 如图所示：
（2） 2.5
【解析】∵ 这 8 天的气温从高到低排列为：4，3，3，3，2，2，1，1，
∴ 中位数应该是第 4 个数和第 5 个数的平均数：2+3÷2=2.5．
（3） 1×2+2×2+3×3+4×1÷8=2.375∘C．
8 天气温的平均数是 2.375．
19. 设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，由题意得
1400x−9=14002.8x.
解得：
x=100.
经检验 x=100 是原分式方程的解．
答：特快列车的平均行驶速度为 100 km/h．
20. 设 CD=x 米，
在 Rt△BCD 中，∠BCD=90∘，∠CDB=∠PDN=18.6∘，CB=CD×tan18.6∘≈0.34x 米，
在 Rt△ACD 中，∠ACD=90∘，∠CDA=∠MDN=64.5∘，AC=CD×tan64.5∘≈2.1x 米，
∵AB=2 米，AB=AC−BC，
∴2.1x−0.34x=2，
解得：x≈1.1，
即遮阳篷中 CD 的长约为 1.1 米．
21. （1） ∵O 为 AE 中点，
∴AO=EO，
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB=∠CBF，
在 △AOF 和 △EOB 中，
∠AFO=∠EBO,∠AOF=∠EOB,AO=EO,
∴△AOF≌△EOB．
（2） 四边形 ABEF 是平行四边形．
理由如下：
∵△AOF≌△EOB，
∴FO=BO，
而 AO=EO，
∴ 四边形 ABEF 是平行四边形．
22. （1） 设销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为：y=kx+b，
把 20,60，30,40 代入 y=kx+b 得 20k+b=60,30k+b=40,
解得：k=−2,b=100,
∴ 每月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为：y=−2x+100．
（2） 由题意得，
w=yx−18=−2x+100x−18=−2x2+136x−1800.
（3） ∵ 销售利润率不能高于 50%，则 x≤1+50%×18=27，
∵w=−2x2+136x−1800=−2x−342+512，
∴ 图象开口向下，对称轴左侧 w 随 x 的增大而增大，
∴x=27 时，w 最大为：414 万元．
当销售单价为 27 元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为 414 万元．
23. （1） 3；∠ADB=∠ACB=90∘；AD=BD；22AC+BC；AC=5；1722
【解析】（1）由题意知：AC+BC=2CD，
∴2+22=2CD，
∴CD=3．
（2）如图 3，连接 AC，BD，AD，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90∘，
∵AD=BD，
∴AD=BD，
∵AB=13，BC=12，
∴ 由勾股定理得：AC=5，
由图 1 得：AC+BC=2CD，5+12=2CD，
∴CD=1722．
（2） 2n−m2
【解析】解法一：以 AB 为直径作 ⊙O，连接 DO 并延长交 ⊙O 于点 D1，连接 D1A，D1B，D1C，CD，如图 4，
由（2）得：AC+BC=2D1C，
∴D1C=2m+n2，
∵D1D 是 ⊙O 的直径，
∴∠D1CD=90∘，
∵AC=m，BC=n，
∴ 由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，
∴D1D2=AB2=m2+n2，
∵D1C2+DC2=D1D2，
∴CD2=m2+n2−m+n22=m−n22，
∵m ∴CD=2n−m2．
解法二：如图 5，
∵∠ACB=∠ADB=90∘，
∴A，B，C，D 在以 AB 为直径的圆上，
∴∠DAC=∠DBC，
将 △BCD 绕点 D，逆时针旋转 90∘ 到 △AED 处，点 B，C 分别落在点 A，E 处，
∴△BCD≌△AED，
∴CD=ED，∠BDC=∠ADE，
∴∠BDC−∠ADC=∠ADE−∠ADC，即 ∠ADB=∠CDE=90∘，
∴△CDE 是等腰直角三角形，
∴CE=2CD，
∵AC=m，BC=n=AE，
∴CE=n−m，
∴CD=2n−m2．
24. （1） 如图 1，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60∘，AC⊥BD，
∴∠OAB=30∘，
∵AB=20 cm，
∴OB=10 cm，AO=103 cm，
由题意得：AP=4t cm，
∴PQ=2t cm，AQ=23t cm，
∴S=S△ABC−S△APQ=12AC⋅OB−12PQ⋅AQ=12×10×203−12×2t×23t=−23t2+10030 （2） 如图 2，
在 Rt△APM 中，AP=4t cm，
∵ 点 Q 关于 O 的对称点为 M，
∴OM=OQ，
设 PM=x cm，则 AM=2x cm，
∴AP=3x=4t cm，
x=4t3，
∴AM=2PM=8t3 cm，
∵AM=AO+OM，
∴8t3=103+103−23t，
t=307 s；
答：当 t 为 307 秒时，点 P，M，N 在一直线上．
（3） 存在，
如图 3，
∵ 直线 PN 平分四边形 APMN 的面积，
∴S△APN=S△PMN，
过点 M 作 MG⊥PN 交 PN 于点 G，
∴12PN⋅AP=12PN⋅MG，
∴MG=AP，
易得 △APH≌△MGH，
∴AH=HM=83t cm，
∵AM=AO+OM，
同理可知：OM=OQ=103−23t，163t=103=103−23t，t=3011 s．
答：当 t 为 3011 秒时，使得直线 PN 平分四边形 APMN 的面积．