2018年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷

这是一份2018年辽宁省沈阳市和平区中考数学一模试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列算式中，运算结果为负数的是
A. −1B. −23
C. −1×−2D. −32

2. 南海是我国固有领海，它的面积约为 360 万平方千米，360 用科学记数法可表示为
A. 3.6×102B. 3.6×103C. 36×102D. 36×103

3. 如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，则下列说法正确的是
A. 左视图面积最大B. 俯视图面积最小
C. 左视图面积和主视图面积相等D. 俯视图面积和主视图面积相等

4. 平面直角坐标系中，P−2,1 关于直线 x=1 的对称点 Pʹ 的坐标是
A. 2,1B. 4,1C. −2,−1D. −2,−3

5. 下列说法中，正确的是
A. 任意两个矩形都相似B. 任意两个菱形都相似
C. 相似图形一定是位似图形D. 位似图形一定是相似图形

6. 下列说法正确的是
A. 若甲组数据的方差 S甲2=0.39，乙组数据的方差 S乙2=0.25，则甲组数据比乙组数据大
B. 从 1，2，3，4，5 中随机抽取一个数，是偶数的可能性比较大
C. 数据 2，3，3，4，5 的众数是 3
D. 若某种游戏活动的中奖率是 30%，则参加这种活动 10 次必有 3 次中奖

7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是
A. sinA=32B. tanA=12C. csB=32D. tanB=3

8. 抛物线 y=x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，得到新的抛物线解析式是
A. y=x+12+3B. y=x+12−3
C. y=x−12−3D. y=x−12+3

9. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD，AC 于点 E，O，连接 CE，则 CE 的长为
A. 3B. 3.5C. 2.5D. 2.8

10. 某市为治理污水，需要铺设一段全长 3000 m 的污水排放管道，为了尽量减少施工队对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的施工效率比原计划增加 25%，结果提前 30 天完成这一任务，求原计划每天铺设多长管道．若设原计划每天铺设 x 米，则根据题意所列方程正确的是
A. 30001+25%x−3000x=30B. 3000x−30001+25%x=30
C. 30001+25%x+3000x=30D. 3000x+30001+25%x=30

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：x2−4y2= ．

12. 一组数据 1，2，x，0 的平均数是 0，那这组数据的中位数是 ．

13. 一个扇形的半径长为 5，且圆心角为 60∘，则此扇形的弧长为 ．

14. 三角形的每条边的长都是方程 x2−7x+10=0 的根，则三角形的周长是 ．

15. 某旅行社组团去外地旅游，30 人起组团，每人单价 800 元．旅行社对超过 30 人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低 10 元．当一个旅行团的人数是 人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．

16. 如图，点 E 在正方形 ABCD 边 BC 上，连接 AE，以 AE 为边作平行四边形 AEFG，使 FG 经过点 D，若正方形 ABCD 的边长是 5 cm，则平行四边形 AEFG 的面积是 cm2．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：122−8+1−2+2sin45∘．

18. 在一个不透明的盒子中放有四张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为 2，2−1，2+1，1．（卡片除了实数不同外，其余均相同．）
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是有理数的概率；
（2）将卡片揺匀后先随机抽出一张，再从剩下的卡片中随机抽出一张，然后将抽取的两张卡片上的实数相乘，请你用列表法或树状图（树形图）法，求抽取的两张卡片上的实数之积为整数的概率．

19. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD>CD，将四边形 ABCD 沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在 AD 上的点 F 处，折痕 DE 交 BC 于点 E，连接 EF．求证：四边形 CDFE 是菱形．

20. 为了了解学生对体育活动的喜爱情况，某校对参加足球、篮球、乒乓球、羽毛球这四个课外活动小组的人员分布情况进行抽样调査，并根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下面问题．
（1）此次共调査了 名同学，扇形统计图中的篮球部分所占的圆心角的度数是 ；
（2）直接将条形统计图补充完整；
（3）如果该校共有 1000 名学生参加这四个课外活动小组，而每名教师最多只能辅导本组的 20 名学生，请通过计算确定学校需要为乒乓球课外活动小组至少准备多少名教师?

21. 如图所示，已知反比例函数 y=k13x 的图象与一次函数 y=k2x+m 的图象交于 A−1,a，B13,−3 两点，连接 AO．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）请直接写出使一次函数大于反比例函数值的 x 的取值范围；
（3）设点 C 在 y 轴上，当以 A，O，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点 C 的坐标．

22. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC 为弦，D 为 AC 的中点，AC，BD 相交于点 E．AP 交 BD 的延长线于点 P．∠PAC=2∠CBD．
（1）求证：AP 是 ⊙O 的切线；
（2）若 PD=3，AE=5，求 △APE 的面积．

23. 如图，平面直角坐标系中，直线 y=−3x+3 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 B，C．点 A 在第一象限，且 AC⊥y 轴于点 C，AC=3，连接 OA 交 BC 于点 H，连接 AB，点 P 从点 C 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 CB 匀速运动，设运动时间为 t 秒．
（1）填空：OB= ，OP+AP 的最小值是 ．
（2）当点 P 运动到 BC 中点时，求 OP+AP 的值；
（3）当 OP+AP=4 时，直接写出 t 的值．

24. [探究证明]
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图1，矩形 ABCD 中，EF⊥GH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，H．求证：EFGH=ADBC；
（2）[结论应用]
如图2，在满足（1）的条件下，又 AM⊥BN，点 M，N 分别在边 BC，CD 上．若 EFGH=1115，则 BNAM 的值为 ．
（3）[联系拓展]
如图3，四边形 ABCD 中，∠ABC=90∘，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点 M，N 分别在边 BC，AB 上，求 DNAM 的值．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=−13x2+x+283 与 x 轴交于点 A 和点 D（点 A 在点 D 左侧），点 C 和点 B 在 y 轴正半轴上，且 OC=OA，OB=OD，将线段 OB，OD 分别绕点 O 逆时针旋转 α∘0<α<90 得到 OBʹ，ODʹ，点 B，D 的对应点分别是 Bʹ，Dʹ．
（1）点 A 的坐标是 ，点 D 的坐标是 ；
（2）判断 ABʹ 与 CDʹ 的关系，并说明理由；
（3）直线 CDʹ 与 x 轴相交于点 N，当 tan∠BʹAN=2 时，点 N 的坐标是 ；
（4）连接 BD，点 Q 在 BD 上，且 2BQ=5DQ，点 P 是抛物线上的一点，直线 PQ 交 x 轴于点 K，设 △BPQ 的面积为 S1，△DKQ 的面积为 S2，当 S1:S1=15:2 时，直接写出满足条件的点 P 的纵坐标．
答案
第一部分
1. B【解析】A、 −1=1，此选项错误；
B、 −23=−8，此选项正确；
C、 −1×−2=2，此选项错误；
D、 −32=9，此选项错误．
2. A【解析】将 360 用科学记数法表示为：3.6×102．
3. D【解析】观察图形可知，几何体的主视图由 4 个正方形组成，俯视图由 4 个正方形组成，左视图由 3 个正方形组成，所以左视图的面积最小，俯视图面积和主视图面积相等．
4. B【解析】∵P−2,1，
∴ 点 P 到直线 x=1 的距离为 1−−2=3，
∴ 点 P 关于直线 x=1 的对称点 Pʹ 到直线 x=1 的距离为 3，
∴ 点 Pʹ 的横坐标为 3+1=4，
∴ 对称点 Pʹ 的坐标为 4,1．
5. D
【解析】A、错误．四个角相等，但是边不一定成比例；
B、错误．四条边成比例，但是角不一定相等；
C、错误．相似图形不一定是位似图形；
D、正确．位似图形，一定相似．
6. C【解析】A．若甲组数据的方差 S甲2=0.39，乙组数据的方差 S乙2=0.25，则甲组数据比乙组数据波动性大，故本选项错误；
B．从 1，2，3，4，5 中随机抽取一个数，是奇数的可能性比较大，故此选项错误；
C．数据 2，3，3，4，5 的众数是 3，故此选项正确；
D．若某种游戏活动的中奖率是 30%，则参加这种活动 10 次不一定有 3 次中奖，故此选项错误．
7. D
8. D【解析】由“左加右减”的原则可知，抛物线 y=x2 向右平移 1 个单位所得抛物线的解析式为：y=x−12；
由“上加下减”的原则可知，抛物线 y=x−12 向上平移 3 个单位所得抛物线的解析式为：y=x−12+3．
9. C【解析】设 CE 的长为 x，因为 EO 垂直平分 AC，所以 AE=CE=x，所以 ED=4−x，在 Rt△CED 中，由勾股定理得 CD2+ED2=CE2，22+4−x2=x2，解得 x=2.5．
10. B
【解析】由题意可得，3000x−30001+25%x=30．
第二部分
11. x+2yx−2y
【解析】x2−4y2=x+2yx−2y．
12. 0.5
【解析】∵ 数据 1，2，x，0 的平均数是 0，
∴1+2+x+0÷4=0，
解得：x=−3，
把这组数据从小到大排列为：−3，0，1，2，
则这组数据的中位数是 0+1÷2=0.5．
13. 53π
14. 12 或 6 或 15
【解析】方程 x2−7x+10=0，
分解因式得：x−2x−5=0，
解得：x1=2，x2=5，
三角形三边长可以为 2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5，
则周长为 12 或 6 或 15．
15. 55
【解析】设一个旅行团的人数是 x 人，设营业额为 y 元，
根据题意可得：
y=x800−10x−30=−10x2+1100x=−10x2−110x=−10x−552+30250,
故当一个旅行团的人数是 55 人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．
16. 25
【解析】如图，过 D 点作 DP 垂直 AE 于点 P．
∵S正方形ABCD=AB×AD，S平行四边形AEFG=AE×DP=ABcs∠BAE×AD×cs∠ADP，∠BAE=∠ADP，
∴S平行四边形AEFG=AB×AD，
∴S平行四边形AEFG=S正方形ABCD=5×5=25cm2．
第三部分
17. 原式=14−22+2−1+2×22=14−22+2−1+2=−34.
18. （1） 12．
【解析】四张卡片上有理数有 1，2 共 2 张，则 P卡片上的实数是有理数=12．
（2） 列表如下：
由表格可知，共有 12 种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中积为整数的结果有 4 种，
∴P两张卡片上实数之积为整数=412=13．
19. 根据折叠的性质可得：CD=DF，∠FDE=∠CDE，CE=FE，
因为 AD∥BC，
所以 ∠FDE=∠CED，
所以 ∠CDE=∠CED，
所以 CD=CE，
所以 CD=FD=FE=CE，
所以四边形 CDFE 为菱形．
20. （1） 200；36∘
【解析】此次调查的学生人数为 90÷45%=200（名），
扇形统计图中的篮球部分所占的圆心角的度数是 360∘×20200=36∘．
（2） 由 200−20−30−90=60（名）为参加羽毛球项目的学生数，
∴ 补全的条形图如图所示．
（3） ∵ 乒乓球组：30÷200×1000÷20=7.5，
∴ 至少需要准备 8 名教师．
21. （1） ∵ 反比例函数 y=k13x 的图象经过 B13,−3，
∴k1=3×13×−3=−3，
∵ 反比例函数 y=k13x 的图象经过 A−1,a，
∴a=1，
由直线 y2=k2x+m 过点 A，B 得：−k2+m=1,13k2+m=−3, 解得 k2=−3,m=−2.
∴ 反比例函数关系式为 y=−1x，一次函数关系式为 y=−3x−2；
（2） 由图象可知：一次函数大于反比例函数值的 x 的取值范围为 x<−1 或 0 （3） 点 C 的坐标为：0,−2 或 0,2 或 0,2 或 0,1．
【解析】由题意可得：OA=12+−12=2，
如图，
线段 OA 的垂直平分线与 y 轴的交点，有 1 个，点 C 的坐标为：0,1；
以点 A 为圆心，AO 长为半径的圆与 y 轴异于 O 点的交点，有 1 个，点 C 的坐标为：0,2；
以点 O 为圆心，OA 长为半径的圆与 y 轴的交点，有 2 个，点 C 的坐标为：0,−2 或 0,2．
故点 C 在 y 轴上，且与点 A，O 构成等腰三角形，
点 C 的坐标为：0,−2 或 0,2 或 0,2 或 0,1．
22. （1） ∵D 为 AC 中点，
∴∠CBA=2∠CBD，
∵AB 为直径，
∴∠CAB+∠CBA=90∘，
∴∠CAB+2∠CBD=90∘，
即 ∠PAC+∠CAB=90∘，
∴PA⊥AB，
∴AB 为 ⊙O 切线．
（2） 如图，连接 AD，
∵∠DAC=∠CBD，
∴∠PAC=2∠DAC，
∴∠PAD=∠CAD，
∴△PAE 是等腰三角形．
∵PD=3，PE=6，AE=5，
∴AD=4，
∴S△APE=12AD⋅PE=12．
23. （1） 1；23
【解析】因为直线 y=−3x+3 与 x 轴、 y 轴分别相交于点 B，C，
令 x=0，则 y=3，
所以 C0,3，
令 y=0，则 −3x+3=0，
所以 x=1，
所以 B1,0，
所以 OB=1，
因为 AC⊥y 轴于点 C，AC=3，
所以 A3,3，
当点 P 在直线 OA 上时，OP+AP 最小，最小值为 32+32=23．
（2） 如图，过点 P 作 PD⊥AC 于点 D，PE⊥OC 于 E，
因为点 P 是 BC 的中点，且 B1,0，C0,3，
所以 P12,32，
所以 D12,3，PE=12，PD=32，
所以 AD=52，OE=32．
所以 OP+AP=OE2+PE2+PD2+AD2=1+7．
（3） t=6±134．
【解析】因为点 P 是射线 CB 上的点，
设 Pm,−3m+3，
因为 C0,3，
所以 CP=2m=t，
所以 AP=m−22+3m2，OP=m2+3m−12，
因为 OP+AP=4，
所以 m2+3m−12+m−32+3m2=4，
所以 4m2−6m+3+4m2−6m+9=4，
所以 4m2−6m+3=4−4m2−6m+9．
两边平方得，4m2−6m+3=16+4m2−6m+9−84m2−6m+9，
化简得，44m2−6m+9=11，
两边平方整理得，64m2−96m+23=0，
所以 m1=6+138，m2=6−138．
所以 t=2m=6±134．
24. （1） 作 FM⊥AB，HN⊥AD，垂足分别为 M，N．
∴ ∠EMF=∠HNG=90∘．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠A=∠B=∠D=90∘，
∴ 四边形 ADFM 是矩形，
∴ AD=FM，
同理可证：AB=NH．
∵ ∠1=90∘，∠A+∠3+∠1+∠4=360∘，
∴ ∠3+∠4=180∘．
又 ∵ ∠2+∠3=180∘，
∴ ∠2=∠4．
∴ △FEM∽△HGN．
∴ FEGH=FMHN．
∴ EFGH=ADAB．
（2） 1115．
（3） 解法一：过点 D 作 AB 的平行线交 BC 的延长线于点 E，
作 AF⊥AB 交直线 DE 于点 F．
∵ ∠BAF=∠B=∠E=90∘，
∴ 四边形 ABEF 是矩形．
连接 AC，由已知条件得 △ADC≌△ABC．
∴ ∠ADC=∠ABC=90∘，
∴ ∠1+∠2=90∘．
又 ∵ ∠2+∠3=90∘，
∴ ∠1=∠3．
∴ △ADF∽△DCE．
∴ DEAF=DCAD=510=12．
设 DE=x，则 AF=2x，DF=10−x，
在 Rt△ADF 中，AF2+DF2=AD2，
即 2x2+10−x2=100，
解得 x1=4，x2=0（舍去），
∴ AF=2x=8．
DNAM=AFAB=810=45．
【解析】解法二：四路及评分点：
①补全矩形 ABEF；
②连接 AC，BD，AC 垂直平分 BD；
③ AC=55；
④ BD=45；
⑤ DNAM=BDAC=4555=45．
25. （1） −4,0；7,0
【解析】当 y=0 时，−13x2+x+283=0，解得：x1=7，x2=−4，
∵ 点 A 在点 D 左侧，
∴A−4,0，D7,0．
（2） ABʹ=CDʹ 且 ABʹ⊥CDʹ，
理由是：如图 1，
由旋转得：OD=ODʹ，OB=OBʹ，∠DODʹ=∠BOBʹ，
∵OB=OD，OA=OC，
∴OBʹ=ODʹ，
∵∠DOB=∠AOC，
∴∠CODʹ=∠AOBʹ，
在 △AOBʹ 和 △CODʹ 中，
OBʹ=ODʹ,∠AOBʹ=∠CODʹ,AO=CO,
∴△AOBʹ≌△CODʹ，
∴ABʹ=CDʹ，∠ABʹO=∠CDʹO，
延长 DʹC 交 OBʹ 于 H，交 ABʹ 于 G，
∵∠BOD=∠BʹODʹ=90∘，∠OHC=∠GHBʹ，
∴∠BʹGH=∠BʹODʹ=90∘，
∴ABʹ⊥CDʹ．
（3） 8,0 或 −8,0
【解析】如图 2，
∵A−4,0，
∴OA=4，
∵tan∠BʹAN=2，即 OMOA=2，
∴MO=8，
∴M0,8 或 M0,−8，
易得 △AOM≌△CON，
∴ON=OM，
∴N8,0 或 N−8,0．
（4） P 点纵坐标为 8 或 −4．
【解析】如图 3，点 P 在 x 轴上方时，过点 P 作 PM⊥BD 于 M，过 K 作 KN⊥BD 于点 N，过 P 作 PI⊥x 轴于点 I，过 Q 作 QH⊥PI 于 H，
∵BQ:DQ=5:2，
∴Q5,2，
∵S△BPQ:S△KDQ=15:2，
∴12BQ⋅PM12DQ⋅KN=152，
∴BQDQ⋅PMKN=52⋅PMKN=152，可得 PM:KN=3:1，
∵PM∥KN，
∴△PMQ∽△KNQ，
∴PMKN=PQKQ=3，
同理得：PH:HI=3:1，
∵HI=2，
∴PH=6，
∴P 点纵坐标为 8；
如图 4，点 P 在 x 轴下方时，过点 P 作 PM⊥BD 于 M，过 K 作 KN⊥BD 于点 N，过 P 作 PI⊥x 轴于点 I，过 Q 作 QH⊥PI，交 PI 的延长线于 H，
同理得：Q5,2，PM:KN=PQ:KQ=PH:HI=3:1，
∵HI=2，
∴PI=4，
∴P 点纵坐标为 −4．
综上，P 点纵坐标为 8 或 −4．