四川省乐山市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理科）试卷 Word版含解析

这是一份四川省乐山市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理科）试卷 Word版含解析，共20页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每题5分，满分60分）.
1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（　　）
A．频率就是概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
2．复数的虚部是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
3．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）+lnx（e为自然对数的底数），则f'（e）等于（　　）
A． B．e C．﹣ D．﹣e
4．某班有8名优秀学生，其中男生有5人，女生有3人．现从中选3人参加一次答辩比赛，要求选出的3人中，既有男生又有女生，则不同的选法共有（　　）
A．45种 B．56种 C．90种 D．120种
5．执行如图程序后输出的结果是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2
6．为了调查学生的课外阅读情况，小王从高一年级两个班中的92人中抽取30人了解情况，若用系统抽样的方法，则抽样的间隔和随机剔除的个数分别为（　　）
A．3，2 B．2，3 C．2，30 D．30，2
7．在抛掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪C（C是B的对立事件）发生的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点N在AC上，点M在A1D上，且A1M＝，MN∥面AA1B1B，则MN的长为（　　）

A． B． C．2 D．
9．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北：二七同道，为火居南：三八为朋，为木居东：四九为友，为金居西：五十同途，为土居中现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（　　）

A． B． C． D．
10．函数f（x）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（　　）

A．f'（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）
B．f'（2）＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）
C．f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）
D．f（3）﹣f（2）＜f'（2）＜f'（3）
11．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，则两人能会面的概率是（　　）
A． B． C． D．
12．已知函数，曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1•x2的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．的展开式中的中间一项是 　 　．
14．甲、乙两名篮球运动员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和为 　 　．

15．已知复数z＝（t﹣1）+（t+1）i（i为虚数单位，t∈R），则|z|的最小值为 　 　．
16．已知函数f（x）＝若x2＞x1且f（x1）＝f（x2），则x1﹣x2的最大值是　 　．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
17．已知函数f（x）＝﹣x3+bx+c在x＝﹣2处取得极值﹣10．
（1）求b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
18．某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过ω立方米的部分按4元/立方米收费，超出ω立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000名居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图．
（1）如果ω为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，ω至少定为多少？
（2）假如同组中的每一个数据用该组区间的右端点值替代．当ω＝3时，估计该市居民该月的人均水费为多少？

19．设函数f（x）＝．
（1）若f（x）在（2，+∞）上存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）当0＜a＜2时，f（x）在区间[1，4]上的最大值为，求f（x）在该区间上的最小值．
20．某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善．据统计，该校2014年到2020年所招的学生高考成绩不低于600分的人数y与对应年份代号x的数据如表：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号x
1
2
3
4
5
6
7
不低于600分的人数y（单位：人）
29
33
36
44
48
52
59
（1）若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2021年该校所招的学生高考成绩不低于600分的人数；
（2）今有A、B、C、D四位同学报考该校，已知A、B、C被录取的概率均为，D被录取的概率为，且每位同学是否被录取相互不受影响，用X表示此4人中被录取的人数，求X的分布列与数学期望．
参考公式：，．参考数据：，．
21．如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，O为AB中点，平面POC⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，PA＝PB＝BC＝AB＝2，AD＝3．
（1）求证：平面PAB⊥面ABCD；
（2）求二面角O﹣PD﹣C的余弦值．

22．已知函数f（x）＝（x﹣2）ex+a（a∈R）．
（1）试确定函数f（x）的零点个数；
（2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．


参考答案
一、选择题（共12小题，每题5分，满分60分）.
1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（　　）
A．频率就是概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．概率是随机的，在试验前不能确定
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
解：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，
一般来说，随机事件A在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数就是事件A的概率．
∴随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．
故选：D．
2．复数的虚部是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
解：∵＝，
∴复数的虚部是．
故选：B．
3．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）+lnx（e为自然对数的底数），则f'（e）等于（　　）
A． B．e C．﹣ D．﹣e
解：根据题意，f（x）＝2xf'（e）+lnx，
其导数f′（x）＝2f'（e）+，
令x＝e，可得f′（e）＝2f'（e）+，
变形可得f′（e）＝﹣，
故选：C．
4．某班有8名优秀学生，其中男生有5人，女生有3人．现从中选3人参加一次答辩比赛，要求选出的3人中，既有男生又有女生，则不同的选法共有（　　）
A．45种 B．56种 C．90种 D．120种
解：根据题意，分2种情况讨论：
①选出的3人中有2男1女，有＝30种选法，
②选出的3人中有1男2女，有＝15种选法，
则有30+15＝45种选法；
故选：A．
5．执行如图程序后输出的结果是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2
解：模拟程序语言的运行过程，如下：
n＝5，s＝0
满足条件s＜14，执行循环体，s＝5，n＝4
满足条件s＜14，执行循环体，s＝9，n＝3
满足条件s＜14，执行循环体，s＝12，n＝2
满足条件s＜14，执行循环体，s＝14，n＝1
此时，不满足条件s＜14，退出循环，输出n的值为1．
故选：C．
6．为了调查学生的课外阅读情况，小王从高一年级两个班中的92人中抽取30人了解情况，若用系统抽样的方法，则抽样的间隔和随机剔除的个数分别为（　　）
A．3，2 B．2，3 C．2，30 D．30，2
解：因为92÷30不是整数，
所以必须先剔除部分个体，即剔除2个个体即可，
然后将90个数据分为30组，故抽样的间隔为2．
故选：A．
7．在抛掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪C（C是B的对立事件）发生的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：由题意，事件C表示“向上的面大于等于4的点出现”，即C＝{4，5，6}，
A＝{2，4}，故A∪C＝{2，4，5，6}，
故事件A∪C发生的概率为＝，
故选：D．
8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点N在AC上，点M在A1D上，且A1M＝，MN∥面AA1B1B，则MN的长为（　　）

A． B． C．2 D．
解：如图，在△A1AD中，作ME∥AD，交AA1于点E，在△ABC中，作NF∥BC，交AB于点F，连接EF，
∵正方体的棱长为2，
∴AC＝A1D＝2，
∵A1M＝，
∴由＝＝，可得＝＝，可得A1E＝1，可得AE＝EM＝1，
∵MN∥面AA1B1B，面MNEF∩面AA1B1B＝EF，
∵MN∥EF，
又EM∥AD∥FN，
∴四边形EMNF是平行四边形，可得NF＝EM＝1，
∴由，可得，可得AF＝1，
∴EF＝＝＝，
∴MN＝EF＝．
故选：A．

9．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北：二七同道，为火居南：三八为朋，为木居东：四九为友，为金居西：五十同途，为土居中现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（　　）

A． B． C． D．
解：现从这十个数中随机抽取4个数，
基本事件总数n＝，
能成为两组包含的基本事件个数m＝，
则能成为两组的概率是p＝＝．
故选：C．
10．函数f（x）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（　　）

A．f'（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）
B．f'（2）＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）
C．f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）
D．f（3）﹣f（2）＜f'（2）＜f'（3）
解：由图可得，0＜f′（2）＜f′（3）．
设A（2，f（2）），B（3，f（3）），则f（3）﹣f（2）＝，
即为直线AB的斜率．
由图可知，直线AB的斜率大于f′（2）小于f′（3），
即f'（2）＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）．
故选：B．
11．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，则两人能会面的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：设甲、乙从6时起分别经过x分钟和y分钟到达会面地点，
则，若两人能够会面，则需，
在如图所示的直角坐标系下，（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，
而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示：
由几何概型的概率公式得：P（A）＝＝＝＝，
所以，两人能会面的概率是，
故选：D．

12．已知函数，曲线y＝f（x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2）使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1•x2的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：由题意，可得f′（x1）＝f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2），即，
化简得：，即，
解得，当且仅当x1＝x2时取等号，则对∀k∈（0，+∞）恒成立．
记g（k）＝，k∈（0，+∞），
g′（k）＝，
令g′（k）＝0，得k＝1，且当k＞1，g′（k）＞0，则g（k）单调递增，
k＜1，g′（k）＜0，则g（k）单调递减，
故当k＝1时，g（k）取最大值为g（1）＝，
故，
故选：D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．的展开式中的中间一项是 　﹣20　．
解：由于的展开式共有7项，故中的中间一项是第四项，
即 T4＝•（﹣3）3••x0＝﹣20，
故答案为：﹣20．
14．甲、乙两名篮球运动员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和为 　52　．

解：由已知中的茎叶图可得：
甲、乙两人这几场比赛得分的中位数分别为：24和28，
甲、乙两人这几场比赛得分的中位数的和为：24+28＝52．
故答案是：52．
15．已知复数z＝（t﹣1）+（t+1）i（i为虚数单位，t∈R），则|z|的最小值为 　　．
解：∵z＝（t﹣1）+（t+1）i，
∴，
当t2＝0时，|z|取得最小值．
故答案为：．
16．已知函数f（x）＝若x2＞x1且f（x1）＝f（x2），则x1﹣x2的最大值是　3ln3﹣8　．
解：令lnx＝2，解得x＝e2；令lnx＝0，解得x＝1．如图：

结合函数图象可知若要满足f（x1）＝f（x2），且x2＞x1，
则，且.，解得x1＝3lnx2﹣5．
则x1﹣x2＝3lnx2﹣x2，
令g（x）＝3lnx﹣x﹣5，x∈[1，e2），
则，令g'（x）＝0，解得x＝3，
故g（x）在区间（1，3）上单调递增，在区间（3，e2）上单调递减，
则g（x）在x＝3时取最大值g（3）＝3ln3﹣8，
即x1﹣x2的最大值为3ln3﹣8．
故答案为：3ln3﹣8．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
17．已知函数f（x）＝﹣x3+bx+c在x＝﹣2处取得极值﹣10．
（1）求b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．
解：（1）由题知f'（x）＝﹣3x2+b，
∴f'（﹣2）＝0，即﹣3×（﹣2）2+b＝0．
∴b＝12．
又∵f（﹣2）＝﹣10，
即﹣（﹣2）3+（﹣2）×12+c＝﹣10．
∴c＝6．
（2）由（1）知f（x）＝﹣x3+12x+6．
∴f'（x）＝﹣3x2+12＝﹣3（x+2）（x﹣2）．
令f'（x）＞0，可得﹣2＜x＜2；令f'（x）＜0，可得x＜﹣2或x＞2，
∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递减，在（﹣2，2）上单调递增．
18．某市居民用水拟实行阶梯水价．每人月用水量中不超过ω立方米的部分按4元/立方米收费，超出ω立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000名居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图．
（1）如果ω为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，ω至少定为多少？
（2）假如同组中的每一个数据用该组区间的右端点值替代．当ω＝3时，估计该市居民该月的人均水费为多少？

解：（1）由用水量的频率直方图可知：
该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3]内的频率依次是0，05，0.1，0.15，0.25，0.3，
∴该月用水量不超过3立方米的居民占：0.05+0.1+0.15+0.25+0.3＝85%．
而用水量不超过2立方米的居民占：0.05+0.1+0.15＝30%．
∵ω是正数，
∴为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，ω就定为3．
（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
[2，4]
（4，6]
（6，8]
（8，10]
（10，12]
（12，17]
（17，22]
（22，27]
频率
0.05
0.1
0.15
0.25
0.3
0.05
0.05
0.05
根据题意，该市居民该月的人均水费估价为：4×0.05+6×0.1+8×0.15+10×0.25+12×0.3+17×0.05+22×0.05+27×0.05＝11.4（元）．
答：该市居民该月的人均水费为11.4（元）．
19．设函数f（x）＝．
（1）若f（x）在（2，+∞）上存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）当0＜a＜2时，f（x）在区间[1，4]上的最大值为，求f（x）在该区间上的最小值．
【解答】
解：（1）f'（x）＝x2﹣x﹣2a．
若f（x）在（2，+∞）上有单调递减区间，
则f'（x）＝x2﹣x﹣2a＜0在（2，+∞）上有解．
即2a＞x2﹣x在（2，+∞）上有解．
令，
易知g（x）＞g（2）＝2，
∴2a＞2，
∴a＞1，即a∈（1，+∞）．
（2）令f'（x）＝0得两根，，
∴f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．
当0＜a＜2时，x1＜1＜x2＜4，
∴f（x）在[1，4]上的最小值为f（x2），
又∵．
即f（4）＞f（1）．
∴f（x）在[1，4]上的最大值为．
则，∴a＝1．
则．
∴f（x）在[1，4]上最小值为．
20．某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善．据统计，该校2014年到2020年所招的学生高考成绩不低于600分的人数y与对应年份代号x的数据如表：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号x
1
2
3
4
5
6
7
不低于600分的人数y（单位：人）
29
33
36
44
48
52
59
（1）若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2021年该校所招的学生高考成绩不低于600分的人数；
（2）今有A、B、C、D四位同学报考该校，已知A、B、C被录取的概率均为，D被录取的概率为，且每位同学是否被录取相互不受影响，用X表示此4人中被录取的人数，求X的分布列与数学期望．
参考公式：，．参考数据：，．
解：（1）＝（1+2+3+4+5+6+7）＝4，
＝（29+33+36+44+48+52+59）＝43，
．
＝9+4+1+0+1+4+9＝28，
∴＝＝5，＝43﹣5×4＝23．
∴回归直线方程为，
∴该高校2021年所招的学生高考成绩不低于600分的人数预测值为：
＝5×8+23＝63人；
（2）用X表示此4人中被录取的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X＝0）＝（）3＝，
P（X＝1）＝+（）3＝，
P（X＝2）＝+＝，
P（X＝3）＝+＝，
P（X＝4）＝＝，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P





数学期望E（X）＝＝．
21．如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，O为AB中点，平面POC⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，PA＝PB＝BC＝AB＝2，AD＝3．
（1）求证：平面PAB⊥面ABCD；
（2）求二面角O﹣PD﹣C的余弦值．

【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，BC＝AB＝2，AD＝3．
∴OC＝，OD＝，CD＝，
∵OD2＝OC2+DC2＝10，
∴OC⊥CD，即CD⊥平面POC，
∴CD⊥PO．
∵PA＝PB＝AB，O为AB中点，
∴PO⊥AB，
∴PO⊥底面ABCD，
∵PO⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥面ABCD…
（2）解：过点C作CM⊥OD于点M，过点M作MN⊥PD于点N，连接CN．
则由于PO⊥平面OCD，PO⊂平面POD，所以平面POD⊥平面OCD，
∵CM⊂平面OCD，平面POD∩平面OCD＝OD，∴CM⊥平面POD，∴CM⊥PD，
∵MN⊥PD，MN∩CM＝M，∴PD⊥平面MCN，∴PD⊥NC，
即∠MNC是二面角O﹣PD﹣C的平面角．
在Rt△OCD中，CM＝＝，
在Rt△PCD中，CN＝＝，
所以MN＝，所以二面角O﹣PD﹣C的余弦值为．…

22．已知函数f（x）＝（x﹣2）ex+a（a∈R）．
（1）试确定函数f（x）的零点个数；
（2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．
解：（1）由f（x）＝0得a＝（2﹣x）ex，
令g（x）＝（2﹣x）ex，
函数的零点个数即是直线y＝a与曲线g（x）＝（2﹣x）ex的图象的交点个数，
因为g'（x）＝﹣ex+（2﹣x）ex＝（1﹣x）ex，
由g'（x）＞0得x＜1，所以g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，
同理可得g（x）在（1，+∞）上单调递减，
当x＝1时，函数g（x）由最大值，g（x）max＝g（1）＝e，
又当x＜2时，g（x）＞0，g（2）＝0，
当x＞2时，g（x）＜0，作出函数g（x）的大致图象，

当a＞e时，函数f（x）没有零点，
当a＝e或a＜0时，函数f（x）只有一个零点，
当0＜a＜e时，函数f（x）有两个零点．
（2）证明：函数的零点即直线y＝a与曲线g（x）＝（2﹣x）ex的图象的交点的横坐标，
由（1）知0＜a＜e，不妨设x1＜1＜x2，得2﹣x2＜1，
因为g（x）＝（2﹣x）ex在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）＝﹣g（x）+a在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
要证x1+x2＜2，只需证x1＜2﹣x2，
故只需证f（x1）＞f（2﹣x2），又f（x1）＝0，
故只需证f（2﹣x2）＜0，
由a＝g（x2）得＝，
构造函数h（x）＝﹣xe2﹣x﹣（x﹣2）ex，
则h'（x）＝（1﹣x）（ex﹣e2﹣x），
当x＞1时，ex＞e2﹣x，h'（x）＜0，
故函数h（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以当x＞1时，h（x）＜h（1）＝0，
即当x2＞1时，f（2﹣x2）＜0，即x1+x2＜2．