2022-2023学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年四川省乐山市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列变量间的关系，不是相关关系的是(    )

A. 一块农田的水稻产量与施肥之间的关系 B. 正方形的面积与边长之间的关系
C. 商品销售收入与其广告费支出之间的关系 D. 人体内的脂肪含量与年龄之间的关系

3.  函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  小李打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，他只记得第一位是，，中的一个字母，第二位是，，，中的一个数字，则小李输入一次密码能成功开机的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某地为了解中学生的日均睡眠时间单位：，随机选择了位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图，如图所示，且从左到右的第个，第个，第个，第个小长方形的面积依次构成公差为的等差数列，又第四小组的频数是，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在一次实验中，测得的四组数值分别是，，，，则与之间的回归直线方程可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  函数在区间的最大值和最小值分别为(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

8.  如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的，分别为，，则输出的(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点则满足的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  设函数，在区间内随机抽取两个实数分别记为，，则恒成立的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在一次月考中，高二年级个班的数学平均分如茎叶图所示，这组数字的中位数和平均数分别为，，则 ______ ．

14.  展开式中的系数为______ ．

15.  已知正边长为，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为______ ．

16.  已知正实数，，满足，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数．
求在点处的切线方程；
求函数的单调区间．

18.  本小题分
某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近七个月内的市场占用有率进行了统计，结果如表所示：

用相关系数说明市场占有率与月份代码之间的关系是否可用线性回归模型拟合？结果保留两位小数
求关于的线性回归方程，并预测该公司月份的市场占有率．
参考依据：．
参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．

19.  本小题分
已知函数．
求的极值；
求方程的解的个数．

20.  本小题分
为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了名学生，调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图若本次数学成绩在分及以上视为优秀，将一个星期有天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于天视为“不经常整理”已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占．

求图中的值；
根据图、图中的数据，补全上方列联表，判断能否有的把握认为学生数学成绩优秀与经常整理数学错题有关？
在全市“经常整理错题”的中学生中随机抽取名学生，记数学成绩优秀的人数为，求的分布列和数学期望．
附：

21.  本小题分
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，分别为，的中点．
求证：平面；
再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的平面角的余弦值．
条件：平面；
条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．

22.  本小题分
已知函数和有相同的最小值．
求；
若直线与和的图象共有四个不同的交点，试探究：从左到右四个交点横坐标之间的等量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项，水稻产量与施肥之间没有明确的等量关系，是相关关系，故A错误；
选项，正方形的面积与边长之间有着明确的等量关系，不是相关关系，故B正确；
选项，商品销售收入与其广告费支出之间没有明确的等量关系，故C错误；
选项，人体内的脂肪含量与年龄之间没有明确的等量关系，故D错误．
故选：．
由相关关系概念可得答案．
本题考查变量间的相关关系等基础知识，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由函数的图象可知：
当时，单调递增，
，，，
随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，
．
故选：．
由函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，判断的增减性，从而求解．
本题考查导数的几何意义，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：从，，中取一个字母，再从，，，中取一个数字的所有情况有：
，，，，，，，，，，，，共种情况，
所以小李输入一次密码能成功开机的概率是．
故选：．
列出从，，中取一个字母，再从，，，中取一个数字的所有情况，然后利用古典事件的概率公式可求得结果．
本题考查的知识要点：古典概型，列举法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题：从左到右的第个、第个、第个、第个小长方形的面积依次相差，
设第一组频率为，则，
解得，
所以第四小组的频率是，
所以，
解得，
故选：．
根据从左到右的第个、第个、第个、第个小长方形的面积依次相差，计算出第组的频率，根据频率和频数的关系即可求得．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
则样本点的中心为，
分别代入四个选项，可知与之间的回归直线方程可能是或．
又由已知可得与正相关，得与之间的回归直线方程可能是．
故选：．
由样本数据可得样本中心坐标，利用回归直线方程恒过样本中心点，可得结论．
本题考查回归直线方程，明确回归直线方程恒过样本中心点是关键，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
则所求最大值为，最小值为．
故选：．
对函数求导，判断其在区间上的单调性，即可求得最值．
本题考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：按照程序框图运行程序，输入，，
满足，且，，继续运行；
满足，不满足，，继续运行；
满足，不满足，，继续运行；
满足，不满足，，继续运行；
满足，且，，继续运行；
不满足，输出．
故选：．
按照程序框图运行程序，直到不满足时输出结果即可．
本题考查程序框图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，设正方体棱长为，与所成角为，
则，不满足，故A错误；
对于，如图，作出空间直角坐标系，

设正方体棱长为，则，，，，
，，
，不满足，故B错误；
对于，如图，作出空间直角坐标系，

设正方体棱长为，则，，，，
，，
，满足，故C正确；
对于，如图，作出空间直角坐标系，

设正方体棱长为，则，，，，
，，
，不满足，故D错误．
故选：．
对于，设正方体棱长为，与所成角为，求出，不满足；对于，，，作出空间直角坐标系，设正方体棱长为，利用向量法进行判断，即可．
本题考查空间中线与线的位置关系，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直的方法是解题的关键，考查空间立体感和运算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，求导得，
依题意，不等式在上有解，而，
当且仅当时取等号，则，
所以实数的取值范围是．
故选：．
求出函数的导数，利用函数单调性与导数的关系，列出不等式即可求解作答．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由函数，
当且仅当时，取“”，所以，
又由恒成立就转化为成立，
因为若，，所以等价于，
如图所示，

由面积比几何概型，概率为．
故选：．
化简得到，得到，结合题意转化为成立，得到，利用面积比的几何概型，即可求解．
本题主要考查了基本不等式的应用，考查了几何概型的概率公式，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由，
又由，
设，，可得，所以在上为增函数，
所以，所以当时，恒成立，所以，
令，可得，
所以函数在为增函数，且，
所以当时，可得，即恒成立，
令，可得，整理得恒成立，
所以，可得，可得，即，
所以．
故选：．
由对函数的运算性质，化简得到，结合函数的单调性，求得，再由不等式，得到，即可求解．
本题主要考查对数值的大小比较，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意：平均数为，中位数为，
所以．
故答案为：．
分别计算出两组数据的中位数和平均数即可得出选项．
本题主要考查了平均数和中位数的计算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：二项式的展开式为，
所以展开式中的系数为．
故答案为：．
求得二项式的展开式为，根据题意，分别令和，代入计算，即可求解．
本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，

取中点，连接，，则，，
分别取与的外心，分别过，作平面 与平面的垂线，相交于，则为四面体的球心，
由，

正方形的边长为，则，
四面体的外接球的半径，
球的表面积为．
故答案为：．
由题意画出图形，取中点，连接，，分别取与的外心作平面与平面的垂线，相交于，则为四面体的球心，再利用勾股定理求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．
本题考查三棱锥及其外接球等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：．
令，则．
设，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，结合，则．
即．
令，
则在上单调递增，在上单调递减，则．
故答案为：．
原不等式可化为：，令，结合，可得，后利用导数可得答案．
本题考查导数的综合应用，指对同构思想，化归转化思想，属难题．
 

17.【答案】解：因为，
所以，
所以时，，．
所以在点处的切线方程为：，即．
令，解得或，
令，解得，
所以在和上单调递增，在单调递减，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 

【解析】求出函数的导数，根据导数的几何意义就可求得答案．
令，即可求得函数的单调递增区间，令，求得函数的单调递减区间．
本题考查导数的综合应用，解题中注意导数的几何意义的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：因为，，，
所以，
易知两变量之间具有较强的线性相关关系，
故市场占有率与月份代码之间的关系可用线性回归模型拟合．
易知，
易知，
所以，
则关于的线性回归方程为，
当时，，
则预测该公司月份的市场占有率为． 

【解析】由题意，根据题中所给的相关系数公式，结合相关系数的性质进行运算求解判断即可；
根据题中所给的公式进行求解即可．
本题主要考查线性回归方程的应用，考查了逻辑推理和运算能力．
 

19.【答案】解：，，
令，解得．
当时，，当时，；
在单调递减，在单调递增．
当时，有极小值，无极大值．
无限趋近于时，无限趋近于，作出图象如下：

当时，方程无解；
当或时，方程有一个解；
当时，方程有两个解． 

【解析】先求解导数，再判断单调性，结合单调性可得极值；
根据单调性和图象的变化趋势，结合图象可得答案．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
 

20.【答案】解：已知，
解得；
已知数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，不经常整理错题的是人，
经常整理错题且成绩优秀的有人，
列联表如下：

则，
所以有的把握认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联；
易知在“经常整理错题”抽到数学成绩优秀的学生概率为．
其中的所有取值为，，
此时，，，
则的分布列为：

所以． 

【解析】由题意，根据频率分布直方图中各矩形面积之和为，列出等式即可求解；
补全列联表，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；
由得抽到数学成绩优秀的学生概率为，得到的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列和期望以及独立性检验，考查了逻辑推理和运算能力．
 

21.【答案】解：证明：取的中点为，连接，，
三棱柱，
四边形为平行四边形，
，，

．
又平面，平面，
平面．
，分别为，中点，
．
又平面，平面，
平面．
，，平面，
平面平面．
又平面，
平面．
选条件，
平面，
．
又侧面为正方形，
．
，
平面．
选条件，
在中，，
．

．
又侧面为正方形，
．
，
平面．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则；
；
设平面的法向量为，

令，得，即．
，
设平面的法向量为，
，
令，得，即平面的法向量为．

．
即二面角的平面角的余弦值为． 

【解析】先证明线面平行，再利用面面平行的判定可证结论；
无论选择哪个条件都能得到侧棱与底面垂直，然后利用空间向量可求答案．
本题考查线面平行的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为，所以．
若，则，此时无最小值，故．
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故．
因为的定义域为，而．
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故．
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为，
综上，；
由知，，故，，
且在上为减函数，在上为增函数，
在上为减函数，在上为增函数，且，
所以直线与和的图象有四个不同的交点，存在以下两种情况：
第一种情况，如图：

设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，，
直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，．
由图可知且．
且．
．
同理，且．
．
，，
又，即：．
．
．
第二种情况，如图：

设直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，，
直线与的图象交点横坐标从左到右依次为，．
由图可知，，且，，
且．
．
同理，且．
．
，，
又，即：．
．
．
综上所述，若直线与和的图象共有四个不同的交点，从左到右四个交点横坐标之间的等量关系为：． 

【解析】根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求，注意分类讨论．
根据可得，，结合大致图象分两种情况进行分析探究即可．
本题考查导数的综合应用，函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系，属难题．