2019年上海市杨浦区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2019年上海市杨浦区中考一模数学试卷（期末），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列四条线段能成比例线段的是
A. 1，1，2，3B. 1，2，3，4C. 2，2，3，3D. 2，3，4，5

2. 如果 a:b=3:2，且 b 是 a，c 的比例中项，那么 b:c 等于
A. 4:3B. 3:4C. 2:3D. 3:2

3. 如果 △ABC 中，∠C=90∘，sinA=12，那么下列等式不正确的是
A. csA=22B. ctA=3C. sinB=32D. tanB=3

4. 下列关于向量的运算中，正确的是
A. a−b=b−aB. −2a−b=−2a+2b
C. a+−a=0D. 0+a=a

5. 如果二次函数中函数值 y 与自变量 x 之间的部分对应值如表所示：
x⋯−1201212⋯y⋯−34321463⋯
那么这个二次函数的图象的对称轴是直线
A. x=0B. x=12C. x=34D. x=1

6. 如果以 a，b，c 为三边的三角形和以 4，5，6 为三边的三角形相似，那么 a 与 b 的比值不可能为
A. 23B. 34C. 45D. 56

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 xx−y=53，那么 xy= ．

8. 等边三角形的中位线与高之比为 ．

9. 如果两个相似三角形的面积比为 4:9，较小三角形的周长为 4，那么这两个三角形的周长和为 ．

10. 在 △ABC 中，AB=3，AC=5，BC=6，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 AD=1，如果 △ABC∽△ADE，那么 AE= ．

11. 在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=8，如果点 G 为重心，那么 ∠GCB 的余切值为 ．

12. 如果开口向下的抛物线 y=ax2+5x+4−a2a≠0 过原点，那么 a 的值是 ．

13. 如果抛物线 y=−2x2+bx+c 的对称轴在 y 轴的左侧，那么 b 0（填入“<”或“>”）．

14. 已知点 Ax1,y1，Bx2,y2 在抛物线 y=x2+2x+m 上，如果 0”）．

15. 如图，AG∥BC，如果 AF:FB=3:5，BC:CD=3:2，那么 AE:EC= ．

16. 如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为 18 cm，宽为 30 cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为 A 点，斜坡的起点为 C 点，准备设计斜坡 BC 的坡度 i=1:5，则 AC 的长度是 cm．

17. 如果抛物线 C1 的顶点在抛物线 C2 上时，抛物线 C2 的顶点也在抛物线 C1 上，此时我们称抛物线 C1 与 C2 是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线 y=2x2 是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是 （只需写出一个）．

18. Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=2，将此三角形绕点 A 旋转，当点 B 落在直线 BC 上的点 D 处时，点 C 落在点 E 处，此时点 E 到直线 BC 的距离为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 如图，已知平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，点 E 为边 AD 的中点，CE 交 BD 于点 G．
（1）求 OGDG 的值；
（2）如果设 AB=a，BC=b，试用 a，b 表示 GO．

20. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象过点 1,−2 和 −1,0 和 0,−32．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少 5 点）．

21. 如图，AD 是 △ABC 的中线，tanB=15，csC=22，AC=2．求：
（1）BC 的长；
（2）∠ADC 的正弦值．

22. 某学生为测量一棵大树 AH 及其树叶部分 AB 的高度，将测角仪放在 F 处测得大树顶端 A 的仰角为 30∘，放在 G 处测得大树顶端 A 的仰角为 60∘，树叶部分下端 B 的仰角为 45∘，已知点 F 、 G 与大树底部 H 共线，点 F，G 相距 15 米，测角仪高度为 1.5 米．求该树的高度 AH 和树叶部分的高度 AB．

23. 已知：如图，在 △ABC 中，点 D 在边 AB 上，点 E 在线段 CD 上，且 ∠ACD=∠B=∠BAE．
（1）求证：ADBC=DEAC；
（2）当点 E 为 CD 中点时，求证：AE2CE2=ABAD．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 与 y 轴交于点 C0,2，它的顶点为 D1,m，且 tan∠COD=13．
（1）求 m 的值及抛物线的表达式；
（2）将此抛物线向上平移后与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，且 OA=OB．若点 A 是由原抛物线上的点 E 平移所得，求点 E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点 P 是抛物线对称轴上的一点（位于 x 轴上方），且 ∠APB=45∘．求 P 点的坐标．

25. 已知：梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，AB=6，DF⊥DC 分别交射线 AB 、射线 CB 于点 E，F．
（1）当点 E 为边 AB 的中点时（如图 1），求 BC 的长；
（2）当点 E 在边 AB 上时（如图 2），连接 CE，试问：∠DCE 的大小是否确定?若确定，请求出 ∠DCE 的正切值；若不确定，则设 AE=x，∠DCE 的正切值为 y，请求出 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）当 △AEF 的面积为 3 时，求 △DCE 的面积．
答案
第一部分
1. C【解析】A、 1:2≠1:3，则 a:b≠c:d，即 a，b，c，d 不成比例；
B、 1:3≠2:4，则 a:b≠c:d．故 a，b，d，c 不成比例；
C、 2:2=3:3，即 b:a=c:d，故 b，a，c，d 成比例；
D、 2:4≠3:5，则 a:b≠c:d，即 a，b，c，d 不成比例．
2. D【解析】∵a:b=3:2，b 是 a 和 c 的比例中项，即 a:b=b:c，
∴b:c=3:2．
3. A【解析】设 BC=1，
∵△ABC 中，∠C=90∘，sinA=12，
∴AB=2，AC=3，
∴csA=32，故A选项错误；
ctA=3，故B选项正确；
sinB=32，故C选项正确；
tanB=3，故D选项正确．
4. B【解析】A、 a−b=−b+a，故本选项错误．
B、 −2a−b=−2a+2b，故本选项正确．
C、 a+−a=0，故本选项错误．
D、 0+a=a，故本选项错误．
5. D
【解析】∵x=0，x=2 时的函数值都是 3 相等，
∴ 此函数图象的对称轴为直线 x=0+22=1．
6. B【解析】∵ 以 a，b，c 为三边的三角形和以 4，5，6 为三边的三角形相似，
∴a:b=4:5或5:6或2:3．
第二部分
7. 52
【解析】xx−y=53，
x−yx=35，
1−yx=35，
yx=25，
xy=52．
8. 1:3
【解析】设等边三角形的边长为 2a，则中位线长为 a，高线的长为 2a2−a2=3a，
所以等边三角形的中位线与高之比为 a:3a=1:3．
9. 10
【解析】设较大三角形的周长为 x，
∵ 两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为 4:9，
∴ 两个相似三角形的周长比为 2:3，
∴4x=23，
解得，x=6，
∴ 这两个三角形的周长和 =4+6=10．
10. 53
【解析】∵△ABC∽△ADE，
∴ADAB=AEAC，即 13=AE5，
解得，AE=53．
11. 4
【解析】作 AD⊥BC 于 D，则点 G 在 AD 上，连接 GC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=12BC=4，
由勾股定理得，AD=AC2−CD2=3，
∵G 为 △ABC 的重心，
∴DG=13AD=1，
∴ct∠GCB=CDDG=4．
12. −2
【解析】∵ 抛物线 y=ax2+5x+4−a2a≠0 过原点，且开口向下，
∴a<0,4−a2=0,
解得：a=−2．
13. <
【解析】由对称轴可知：x=b4<0，
∴b<0．
14. <
【解析】抛物线的对称轴为直线 x=−22=−1，
当 x>−1 时，y 随 x 的增大而增大，
∵0 ∴y115. 3:2
【解析】∵AG∥BC，
∴△AGF∽△BDF，
∴AGBD=AFFB=35，
设 AG=3k，BD=5k，
∵BCCD=32，
∴CDBD=25，
∴CD=2k，
∵AG∥CD，
∴△AGE∽△CDE，
∴AECE=AGCD=3k2k=32．
16. 270
【解析】由题意得，BH⊥AC，
则 BH=18×4=72，
∵ 斜坡 BC 的坡度 i=1:5，
∴CH=72×5=360，
∴AC=360−30×3=270cm．
17. y=−2x−12+2（答案不唯一）
【解析】由抛物线 y=2x2 可知顶点为 0,0，
设“互为关联”的抛物线为 y=ax−m2+2m2，
代入 0,0 求得 a=−2，
∴“互为关联”的抛物线为 y=−2x−m2+2m2．
18. 2413
【解析】如图，过 B 作 BG⊥AD 于 G，
∵ 将 △ABC 绕点 A 旋转得到 △ADE，
∴AD=AB，DE=BC，∠ADE=∠ABC，
∵Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=2，
∴AB=AD=AC2+BC2=13，
∴BD=2BC=4，∠ABC=∠ACB，
∵S△ABD=12AD⋅BD=12AC⋅BG，
∴BG=121313，
过 E 作 EH⊥BD 交 BD 的延长线于 H，
∵∠BAG=180∘−∠ABC−∠ADB，∠EDH=180∘−∠ADB−∠ADE，
∴∠BAG=∠EDH，
∵∠AGB=∠DHE=90∘，
∴△ABG∽△DEH，
∴ABDE=BGEH，
∴132=121313EH，
∴EH=2413，
∴ 点 E 到直线 BC 的距离为：2413．
第三部分
19. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，OD=OB，
∵AE=DE，
∴BC=2DE，
∵DE∥BC，
∴△DEG∽△BCG，
∴DGGB=DEBC=12，
设 DG=k，GB=2k，则 BD=3k，OB=OD=1.5k，
∴OG=0.5k，
∴OGDG=0.5kk=12．
（2） ∵BD=BA+AD=b−a，
∵OG=16BD，
∴GO=−16b−a=16a−16b．
20. （1） 根据题意得 a+b+c=−2,a−b+c=0,c=−32,
解得 a=12,b=−1,c=−32,
∴ 此二次函数的解析式为 y=12x2−x−32．
（2） y=12x2−x−32=12x−12−2，则抛物线的对称轴为直线 x=1，顶点坐标为 1,−2，
当 y=0 时，12x2−x−32=0，解得 x1=−1，x2=3，则抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 3,0；
如图：
21. （1） 如图，作 AH⊥BC 于 H．
在 Rt△ACH 中，
∵csC=22=CHAC，AC=2，
∴CH=1，AH=AC2−CH2=1，
在 Rt△ABH 中，
∵tanB=AHBH=15，
∴BH=5，
∴BC=BH+CH=6．
（2） ∵BD=CD，
∴CD=3，DH=2，AD=AD2+DH2=5，
在 Rt△ADH 中，sin∠ADH=AHAD=55．
∴∠ADC 的正弦值为 55．
22. 由题意可得，∠AEC=30∘，∠ADC=60∘，∠BDC=45∘，CH=DG=EF=1.5 米，FG=ED=15 米，
∵∠ADC=∠AED+∠EAD，
∴∠EAD=30∘，
∴∠EAD=∠AED，
∴ED=AD，
∴AD=15 米，
∵∠ADC=60∘，∠ACD=90∘，
∴∠DAC=30∘，
∴DC=152 米，AC=1532 米，
∴AH=AC+CH=1532+32=153+32 米，
∵∠BDC=45∘，∠BCD=90∘，
∴∠DBC=45∘，
∴∠BDC=∠DBC，
∴BC=CD=152 米，
∴AB=AC−BC=1532−152=153−152 米，
即 AH=153+32 米，AB=153−152 米．
23. （1） ∵∠ACD=∠B=∠BAE，∠BAC=∠BAE+∠CAE，∠AED=∠ACD+∠CAE，
∴∠AED=∠BAC，
∵∠DAE=∠B，
∴△AED∽△BAC，
∴ADBC=DEAC．
（2） ∵∠ADE=∠CDA，∠DAE=∠ACD，
∴△DAE∽△DCA，
∴AEAC=DEAD，
∵DE=EC，
∴AECE=ACAD，
∴AE2CE2−AC2AD2，
∵∠DAC=∠BAC，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC2=AD⋅AB，
∴AE2EC2=AD⋅ABAD2=ABAD．
24. （1） 顶点为 D1,m，且 tan∠COD=13，则 m=3，
则抛物线的表达式为：y=ax−12+3，
即：a+3=2，解得：a=−1，
故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+2．
（2） 抛物线向上平移 n 个单位，则函数表达式为：y=−x2+2x+2+n，
令 y=0，则 x=1+n+3，令 x=0，则 y=2+n，
∵OA=OB，
∴1+n+3=2+n，
解得：n=1或−2（舍去 −2），
则点 A 的坐标为 3,0，
故点 E3,−1．
（3） 过点 B，A 分别作 x 轴、 y 轴的平行线交于点 G，
∵OA=OB=3，则过点 G 作圆 G，圆与 x，y 轴均相切，
∵∠BPA=45∘=12∠BOA，
故点 P 在圆 G 上，
过点 P 作 PF⊥x轴 交 BG 于点 E，交 x 轴于点 F，
则四边形 AGEF 为边长为 3 的正方形，
则：PF=EF+PE=3+PG2−EG2=3+9−4=3+5．
25. （1） 如图 1 中，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠ABC=∠A=90∘，
∵AE=EB=3，AD=3，
∴AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=∠BEF=∠F=45∘，
∴EF=DE=32，FB=3，
∵DF⊥DC，
∴∠FDC=90∘，
∴∠C=∠F=45∘，
∴DF=DC=62，
∴CF=2DC=12，
∴BC=CF−BF=12−3=9．
（2） 结论：∠DCE 的大小是定值．
理由：如图 2 中，连接 BD．取 EC 的中点 O，连接 OD，OB．
∵∠EBC=∠EDC=90∘，EO=OC，
∴OD=OE=OC=OB，
∴E，B，C，D 四点共圆，
∴∠DCE=∠ABD，
∵ 在 Rt△ADE 中，tan∠ABD=ADBD=12，
∴∠ABD 的大小是定值，
∴∠DCE 的大小是定值，
∴tan∠DCE=12．
（3） 如图 3 中，连接 AF．
设 AE=x，FB=y，EB=m，
∵S△AEF=12⋅AE⋅FB=3，
∴xy=6，
∵AD∥FB，
∴AEEB=ADFB，
∴xm=3y，
∴xy=3m，
∴6=3m，
∴m=2，
∴EB=2，AE=4，
在 Rt△AED 中，DE=32+42=5，
在 Rt△DEC 中，
∵tan∠DCE=DEDC=12，
∴DC=10，
∴S△DEC=12⋅DE⋅DC=12×5×10=25．
当点 E 在 AB 的延长线上时，
同法可得 AE=8，DE=32+82=73，
∴CD=2DE=273，
∴S△DEC=12⋅DE⋅DC=573．
综上所述，△DEC 的面积为 25 或 73．