2018年长春市朝阳区中考一模数学试卷

这是一份2018年长春市朝阳区中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 在 0，−2，−2，1 这四个数中，最小的数是
A. 0B. −2C. −2D. 1

2. 据国家统计局统计，我国 2017 年全年的棉花总产量约为 5490000 吨．将 5490000 这个数用科学记数法表示为
A. 5.49×106B. 54.9×106C. 5.49×107D. 0.549×107

3. 如图，用 6 个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是
A. B.
C. D.

4. a6 可以表示为
A. 6aB. a2⋅a3C. a32D. a12÷a2

5. 小明拿 40 元钱购买雪糕和矿泉水，已知每瓶矿泉水 2 元，每支雪糕 1.5 元，他买了 5 瓶矿泉水，x 支雪糕，则所列关于 x 的不等式正确的是
A. 2x+1.5×5<40B. 2x+1.5×5≤40
C. 2×5+1.5x≥40D. 2×5+1.5x≤40

6. 等腰直角三角尺与直尺按如图位置摆放，且三角尺的直角顶点在直尺的一边上．若 ∠1=35∘，则 ∠2 的度数是
A. 95∘B. 100∘C. 105∘D. 110∘

7. 如图，直线 l 是 ⊙O 的切线，点 A 为切点，B 为直线 l 上一点，连接 OB 交 ⊙O 于点 C，D 是优弧 AC 上一点，连接 AD，CD．若 ∠ABO=40∘．则 ∠D 的大小是
A. 50∘B. 40∘C. 35∘D. 25∘

8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边 OA 在 x 轴的正半轴上，OC 在 y 轴的正半轴上，一次函数 y=kx+bk≠0 的图象经过点 A，且与边 BC 有交点．若正方形的边长为 2，则 k 的值不可能是
A. −2B. −32C. −1D. −12

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 函数 y=2018x−1 的自变量 x 的取值范围是 ．

10. 一元二次方程 x2−3x+1=0 的根的判别式的值是 ．

11. 如图，AD∥BE∥CF，直线 l1，l2 与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和点 D，E，F．若 AB=4.5，BC=3，EF=2，则 DE 的长度是 ．

12. 如图，在 △ABC 中，∠B=70∘．将 △ABC 绕着点 A 顺时针旋转一定角度得到 △ABʹCʹ，使点 B 的对应点 Bʹ 恰好落在边 BC 上．若 AC⊥BʹCʹ，则 ∠Cʹ 的大小是 度．

13. 如图，正方形 ABCD 内接于 ⊙O，Rt△OEF 的直角顶点与圆心 O 重合．若 AB=2，则图中阴影部分图形的面积和为 （结果保留 π）．

14. 如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形 ABC 的顶点 A 在 y 轴上，底边 AB∥x 轴，顶点 B，C 在函数 y=kxx>0 的图象上．若 AC=5，点 A 的纵坐标为 1，则 k 的值为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. 先化简，再求值：a−12−2aa−1+2a+12a−1，其中 a=5．

16. 在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为 1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．

17. 某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少 4 元，且用 30 元买这种本子的数量与用 50 元买这种笔的数量相同，求这种笔的单价．

18. 为了打通抚松到万良的最近公路，在一座小山的底部打通隧道．甲、乙两施工队按如图所示进行施工，甲施工队沿 AC 方向开山修路，乙施工队在这座小山的另一边 E 处沿射线 CA 方向同时施工，从 AC 上的一点 B 取 ∠ABD=155∘，经测得 BD=1200 m，∠D=65∘，求开挖点 E 与点 B 之间的距离（结果精确到 1 m）．【参考数据：sin65∘≈0.906，cs65∘≈0.423，tan65∘≈2.145．】

19. 为了传承中华优秀传统文化，某校组织八年级学生参加了“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分．为了更好地了解大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，绘制如图所示的不完整的条形统计图．
汉字听写大赛成绩分数段统计表
分数段频数50≤x<60260≤x<70670≤x<80980≤x<901890≤x≤10015
（1）补全条形统计图．
（2）这次抽取的学生成绩的中位数在 的分数段中；这次抽取的学生成绩在 60≤x<70 的分数段的人数占抽取人数的百分比是 ．
（3）若该校八年级一共有学生 350 名，成绩在 90 分以上（含 90 分）为“优”，则八年级参加这次比赛的学生中成绩“优”等的约有多少名?

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，以点 A 为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边 AD，AB 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，以大于 12MN 长为半径画圆弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交边 CD 于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F．求证：四边形 ADEF 是菱形．

21. 某社区准备进行“为了地球，远离白色污染”的宣传活动，需要制定宣传单，选择社区附近的甲、乙两家印刷社印刷，他们各自制作这种宣传单的费用 y（元）与宣传单数量 x（张）之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题．
（1）求甲印刷社制作这种宣传单每张的价格；
（2）当 x>500 时，求乙印刷社所需的费用 y 与 x 之间的函数关系式；
（3）如果该社区在制作这种宣传单时，第一次印刷了 800 张宣传单，第二次印刷了 1200 张宣传单，直接写出该社区两次印刷这种宣传单共花费的最少钱数．

22. 【感知】如图①，△ABC 是等边三角形，CM 是外角 ∠ACD 的平分线，E 是边 BC 中点，在 CM 上截取 CF=BE，连接 AE，EF，AF．易证：△AEF 是等边三角形（不需要证明）．
（1）【探究】如图②，△ABC 是等边三角形，CM 是外角 ∠ACD 的平分线，E 是边 BC 上一点（不与点 B，C 重合），在 CM 上截取 CF=BE，连接 AE，EF，AF．求证：△AEF 是等边三角形．
（2）【应用】将图②中的“E 是边 BC 上一点”改为“E 是 BC 延长线上一点”，其他条件不变．当四边形 ACEF 是轴对称图形，且 AB=2 时，请借助备用图，直接写出四边形 ACEF 的周长．

23. 如图，BD 是平行四边形 ABCD 的对角线，AB⊥BD，BD=8 cm，AD=10 cm，动点 P 从点 D 出发，以 5 cm/s 的速度沿 DA 运动到终点 A，同时动点 Q 从点 B 出发，沿折线 BD−DC 运动到终点 C，在 BD，DC 上分别以 8 cm/s，6 cm/s 的速度运动．过点 Q 作 QM⊥AB，交射线 AB 于点 M，连接 PQ，以 PQ 与 QM 为边作平行四边形 PQMN．设点 P 的运动时间为 tst>0，平行四边形 PQMN 与平行四边形 ABCD 重叠部分图形的面积为 Scm2．
（1）AP= cm（同含 t 的代数式表示）．
（2）当点 N 落在边 AB 上时，求 t 的值．
（3）求 S 与 t 之间的函数关系式．
（4）连接 NQ，当 NQ 与 △ABD 的一边平行时，直接写出 t 的值．

24. 定义：在平面直角坐标系中，过抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 与 y 轴的交点作 y 轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线．例如：抛物线 y=x2+1 的伴随直线为直线 y=1．抛物线 y=−12x2+mx+n 的伴随直线 l 与该抛物线交于点 A，D（点 A 在 y 轴上），该抛物线与 x 轴的交点为 B−1,0 和 C（点 C 在点 B 的右侧）．
（1）若直线 l 的解析式是 y=2，求该抛物线对应的函数关系式．
（2）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示）．
（3）设抛物线 y=−12x2+mx+n 的顶点为 M，作 OA 的垂直平分线 EF，交 OA 于点 E，交该抛物线的对称轴于点 F．
①当 △ADF 是等腰直角三角形时，求点 M 的坐标．
②将直线 EF 沿直线 l 翻折得到直线 GH，当点 M 到直线 GH 的距离等于点 C 到直线 EF 的距离时，直接写出 m 的值．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. D【解析】从上边看第一列是一个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是两个小正方形．
4. C【解析】A、 6a 表示 6×a，此选项不符合题意；
B、 a2⋅a3=a5，此选项不符合题意；
C、 a32=a6，此选项符合题意；
D、 a12÷a2=a10，此选项不符合题意．
5. D
6. B
7. D【解析】∵AB 是 ⊙O 的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90∘，
∵∠ABO=40∘，
∴∠AOB=90∘−40∘=50∘，
∴∠D=12∠AOB=25∘．
8. D
第二部分
9. x≠1
【解析】根据题意得 x−1≠0，解得：x≠1．
10. 5
【解析】∵a=1，b=−3，c=1，
∴Δ=b2−4ac=−32−4×1×1=5．
11. 3
【解析】∵AD∥BE∥CF，
∴ABBC=DEEF，
即：4.53=DE2，
∴DE=3．
12. 50
13. 14π−12
14. 4
【解析】如图所示，过 C 作 CD⊥x 轴，过 B 作 BE⊥x 轴于 E，
∵AB∥x 轴，点 A 的纵坐标为 1，
∴ 点 B 的纵坐标为 1，
设点 B 的坐标为 k,1，则点 C 的坐标为 12k,2，
∴AF=12k，CF=2−1=1，
又 ∵AC=5，∠AFC=90∘，
∴12k2+12=52，
解得 k1=4，k2=−4，
又 ∵k>0，
∴k=4．
第三部分
15. 原式=a2−2a+1−2a2+2a+4a2−1=3a2,
当 a=5 时，
原式=3×5=15.
16. 画出如图树状图：
∴P两次抽取的卡片上数字之和为偶数=59．
【解析】根据题意，列表如下：
∴P两次抽取的卡片上数字之和为偶数=59．
17. 设这种笔单价为 x 元．
由题意，得
30x−4=50x.
解得
x=10.
经检验 x=10 是原方程的解，且符合题意．
答：这种笔的单价是 10 元．
18. ∵∠ABD=155∘，∠D=65∘，
∴∠AED=155∘−65∘=90∘．
在 Rt△BDE 中，sin65∘=BEBD，
∴BE=BD⋅sin65∘≈1200×0.906=1087.2m≈1087m．
答：开挖点 E 离点 B 的距离为 1087 m．
19. （1） 补全条形图如图所示．
（2） 80≤x<90；12%
【解析】∵ 被调查的总人数为 2+6+9+18+15=50（名），第 25，26 个数据均落在 80≤x<90 这个分数段中，
∴ 这次抽取的学生成绩的中位数在 80≤x<90 的分数段中，
这次抽取的学生成绩在 60≤x<70 的分数段的人数占抽取人数的百分比是 650×100%=12%．
（3） 350×1550=105（名）．
答：八年级参加这次比赛的学生中成绩为“优”等的约有 105 名．
20. 由作法得 AE 平分 ∠BAD，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴DE∥AF，∠AED=∠BAE,
∵EF∥BC，
∴AD∥EF，
∴ 四边形 ADEF 是平行四边形，
∵AE 平分 ∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE．
∴∠AED=∠DAE．
∴AD=AE，
∴ 四边形 ADEF 是菱形．
21. （1） 75÷500=0.15（元）．
答：甲印刷社制作此种宣传单每张 0.15 元．
（2） 当 x>500 时，设乙印刷社所需的费用 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b．
∵150÷0.15=1000，
∴ 直线 y=kx+b 经过点 1000,150．
由题意，得 500k+b=100,1000k+b=150.
解得 k=0.1,b=50.
∴y=0.1x+50．
（3） 该社区印制两次这种宣传单共花费最少为 290 元．
22. （1） 因为 △ABC 是等边三角形，
所以 AB=AC，∠B=∠ACB=60∘．
所以 ∠ACD=120∘．
因为 CM 是外角 ∠ACD 的平分线，
所以 ∠ACF=12∠ACD=60∘．
所以 ∠B=∠ACF=60∘．
因为 CF=BE，
所以 △ABE≌△ACF．
所以 AE=AF，∠BAE=∠CAF．
因为 ∠BAC=60∘，
所以 ∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC．
所以 ∠EAF=60∘．
所以 △AEF 是等边三角形．
（2） 43+4．
23. （1） 10−5t
【解析】由题意得：PD=t cm，
∵AD=10 cm，
∴AP=10−5tcm．
（2） 如图 1，点 N 落在边 AB 上，
则 AP=10−2tcm，PN=BQ=8t cm，
∵PN∥BD，
∴△APN∽△ADB，
∴PNBD=APAD，
∴8t8=10−5t10，4510−5t=8t，
∴t=23，经检验，t=23 是原方程的解，并且满足题意．
（3） 分三种情况：
①当 0则 PE=3t cm，S=BQ⋅BE=3t⋅8t=24t2；
②当 23则 BG=3t cm，
∵sinA=PGAP=810，
∴PG=45AP=4510−5tcm，
∴S=12PG+MQ⋅BG=12×4510−5t+8t×3t=6t2+12t；
③当 1则 PG=4510−5t=8−4tcm，MQ=8，MG=BG+MB=6t−1+3t=9t−6cm，
∵tan∠HBM=tanA=HMBM=86，
∴HM=43BM=43DQ=436t−6=8t−8cm，
∴S=S梯形PQMG−S△HBM=12PG+QM⋅MG−12BM⋅HM=129t−68−4t+8−126t−6⋅8t−8=−42t2+132t−72.
综上所述 S=24t2,0 （4） t 的值为 25 或 12 或 2．
【解析】①当 NQ∥AD 时，如图 5，
∴∠DPQ=∠PQN=∠QNB，
在 △DPQ 和 △QNB 中，
∠DPQ=∠QNB,PQ=BN,∠PQD=∠NBQ,
∴△DPQ≌△QNB，
∴DQ=BQ=12×8=4cm，即 8t=4，解得 t=12；
②当 NQ∥AB 时，如图 6，延长 PN 交 AB 于 G，
则 PG⊥AB，则 PG=8−4tcm，
∵PN=BQ=8t cm，
∴8t+8t=8−4t，解得：t=25；
③如图 7，
当 Q 与 C 重合，P 与 A 重合时，t=2，
此时，CM=AN=8 cm，B 是 AM 的中点，NC 在直线 BC 上，
∴NQ∥AD．
综上所述，t 的值为 25 或 12 或 2．
24. （1） 由题意得 A 的坐标为 0,2，
∵ 抛物线经过点 B−1,0，
∴n=2,−12×−12+m×−1+n=0.
解得 m=32,n=2.
∴ 该抛物线的对应的函数关系式为 y=−12x2+32x+2．
（2） ∵ 抛物线经过点 B−1,0，
∴−12×−12+m×−1+n=0．
∴n=m+12．
将该抛物线配方，得 y=−12x−m2+12m2+m+12，
∴ 对称轴是直线 x=m．
∴ 点 D 的坐标为 2m,m+12．
（3） ①当 m>0，且 ∠AFD=90∘ 时，则 △ADF 是等腰直角三角形．
∴AD=2AE．
∴2m=m+12．
∴m=12．
∴ 当 m=12 时，y=12×122+12+12=98．
∴ 点 M 的坐标为 12,98．
当 −12 ∴AD=2AE．
∴−2m=m+12．
∴m=−16．
∴ 当 m=−16 时，y=12×−162+−16+12=2572．
∴ 点 M 的坐标为 −16,2572．
当 −1AE．此时 △ADF 不是等腰直角三角形．
综上所述，点 M 的坐标为或 12,98 或 −16,2572．
② m=0 或 m=1+2 或 m=1−2．
【解析】②如图，
由（2）知，n=m+12，y=−12x−m2+12m2+m+12，
∴Mm,12m2+m+12，
∴ 抛物线 y=−12x2+mx+n 的伴随直线的解析式为：y=m+12，
∵EF 是 OA 的垂直平分线，
∴ 直线 EF:y=12m+14，
∴ 点 C 到直线 EF 的距离为 12m+14，
∵ 将直线 EF 沿直线 l 翻折得到直线 GH，
∴ 直线 GH:y=m+12+12m+14=32m+34，
∵Mm,12m2+m+12，
∴ 点 M 到直线 GH 的距离为 12m2+m+12−32m+34=12m2−12m−14，
∵ 点 M 到直线 GH 的距离等于点 C 到直线 EF 的距离，
∴12m2−12m−14=12m+14，
解得：m1=m2=0，m3=1+2，m4=1−2，
∴m=0 或 m=1+2 或 m=1−2．