2018年北京市丰台区中考一模数学试卷

这是一份2018年北京市丰台区中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图所示，△ABC 中 AB 边上的高线是
A. 线段 AGB. 线段 BDC. 线段 BED. 线段 CF

2. 如果代数式 x−4 有意义，那么实数 x 的取值范围是
A. x≥0B. x≠4C. x≥4D. x>4

3. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是
A. 正三棱柱B. 正三棱锥C. 圆柱D. 圆锥

4. 实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果 ab=c，那么实数 c 在数轴上的对应点的位置可能是
A. B.
C. D.

5. 如图，直线 a∥b，直线 c 与直线 a，b 分别交于点 A，点 B，AC⊥AB 于点 A，交直线 b 于点 C．如果 ∠1=34∘，那么 ∠2 的度数为
A. 34∘B. 56∘C. 66∘D. 146∘

6. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为 2,1，如果将线段 OA 绕点 O 逆时针方向旋转 90∘，那么点 A 的对应点的坐标为
A. −1,2B. −2,1C. 1,−2D. 2,−1

7. 太阳能是来自太阳的辐射能量．对于地球上的人类来说，太阳能是对环境无任何污染的可再生能源，因此许多国家都在大力发展太阳能．如图是 2013∼2017 年我国光伏发电装机容量统计图．根据统计图提供的信息，判断下列说法不合理的是
A. 截至 2017 年底，我国光伏发电累计装机容量为 13078 万千瓦
B. 2013∼2017 年，我国光伏发电新增装机容量逐年增加
C. 2013∼2017 年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为 2500 万千瓦
D. 2017 年我国光伏发电新增装机容量大约占当年累计装机容量的 40%

8. 如图 1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距 8 cm 的 A，B 两点同时开始沿线段 AB 运动，运动过程中甲光斑与点 A 的距离 S1cm 与时间 ts 的函数关系图象如图 2，乙光斑与点 B 的距离 S2cm 与时间 ts 的函数关系图象如图 3，已知甲光斑全程的平均速度为 1.5 cm/s，且两图象中 △P1O1Q1≌P2Q2O2，下列叙述正确的是
A. 甲光斑从点 A 到点 B 的运动速度是从点 B 到点 A 的运动速度的 4 倍
B. 乙光斑从点 A 到点 B 的运动速度小于 1.5 cm/s
C. 甲乙两光斑全程的平均速度一样
D. 甲乙两光斑在运动过程中共相遇 3 次

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 在某一时刻，测得身高为 1.8 m 的小明的影长为 3 m，同时测得一建筑物的影长为 10 m，那么这个建筑物的高度为 m．

10. 写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点 1,1；②在第一象限内函数 y 随自变量 x 的增大而减少，则这个函数的表达式为 ．

11. 在数学家吴文俊主编的《“九章算术”与刘徽》一书中，小宇同学看到一道有趣的数学问题：古代数学家刘徽使用“出入相补”原理，即割补法，把筝形转化为与之面积相等的矩形，从而得到“筝形的面积等于其对角线乘积之半”．（说明：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形）请根据如图完成这个数学问题的证明过程．
证明：S筝形ABCD=S△AOB+S△AOD+S△COB+S△COD，
易知，S△AOD=S△BEA，S△COD=S△BFC．
由等量代换可得：
S筝形ABCD=S△AOB+ +S△COB+ =S矩形EFCA=AE⋅AC=12⋅ .

12. 如果代数式 m2+2m=1，那么 m2+4m+4m÷m+2m2 的值为 ．

13. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E．如果 ∠A=15∘，弦 CD=4，那么 AB 的长是 ．

14. 营养学家在初中学生中做了一项实验研究：甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外，每人还增加 600 ml 牛奶．一年后营养学家统计发现：乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多 2.01 cm，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均身高的增长值的 75% 少 0.34 cm．设甲、乙两组同学平均身高的增长值分别为 x cm，y cm，依题意，可列方程组为 ．

15. “明天的降水概率为 80%”的含义有以下四种不同的解释：
①明天 80% 的地区会下雨；
② 80% 的人认为明天会下雨；
③明天下雨的可能性比较大；
④在 100 次类似于明天的天气条件下，历史纪录告诉我们，大约有 80 天会下雨．
你认为其中合理的解释是 ．（写出序号即可）

16. 下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：∠A．
求作：一个角，使它等于 ∠A．
做法：如图，
（1）以点 A 为圆心，任意长为半径作 ⊙A，交 ∠A 的两边于 B，C 两点；
（2）以点 C 为圆心，BC 长为半径作弧，与 ⊙A 交于点 D，作射线 AD．
所以 ∠CAD 就是所求作的角．
请回答：该尺规作图的依据是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：8−2cs45∘+3−π0+∣1−2∣．

18. 解不等式组：3x≥4x−1,5x−12>x−2.

19. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 是 BC 边上的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F．求证：DE=DF．

20. 已知：关于 x 的一元二次方程 x2−4x+2m=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）如果 m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求 m 的值．

21. 已知：如图，菱形 ABCD，分别延长 AB，CB 到点 F，E，使得 BF=BA，BE=BC，连接 AE，EF，FC，CA．
（1）求证：四边形 AEFC 为矩形；
（2）连接 DE 交 AB 于点 O，如果 DE⊥AB，AB=4，求 DE 的长．

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y=2x 的图象与一次函数 y=kx+b 的图象的交点分别为 Pm,2，Q−2,n．
（1）求一次函数的表达式；
（2）过点 Q 作平行于 y 轴的直线，点 M 为此直线上的一点，当 MQ=PQ 时，直接写出点 M 的坐标．

23. 如图，A，B，C 三点在 ⊙O 上，直径 BD 平分 ∠ABC，过点 D 作 DE∥AB 交弦 BC 于点 E，过点 D 作 ⊙O 的切线交 BC 的延长线于点 F．
（1）求证：EF=ED；
（2）如果半径为 5，cs∠ABC=35，求 DF 的长．

24. 第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有 400 名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
（1）【收集数据】
从甲、乙两校各随机抽取 20 名学生，在这次竞赛中他的成绩如下：
甲306060706080309010060 601008060706060906060乙80904060808090408050 80707070706080508080
【整理、描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
（说明：优秀成绩为 80【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如表所示：
学校平均分中位数众数甲676060乙7075a
其中 a= ．
（2）【得出结论】
（1）小明同学说：“这次竞赛我得了 70 分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是 校的学生；（填“甲”或“乙”）
（2）张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为 ；
（3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

25. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，点 D 为 AB 边上的动点（点 D 不与点 A，点 B 重合），过点 D 作 ED⊥CD 交直线 AC 于点 E．已知 ∠A=30∘，AB=4 cm，在点 D 由点 A 到点 B 运动的过程中，设 AD=x cm，AE=y cm．
小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如表：
x/cm⋯12132252372⋯y/cm⋯⋯
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）在下面的平面直角坐标系 xOy 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 AE=12AD 时，AD 的长度约为 cm．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−4ax+3a 的最高点的纵坐标是 2．
（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；
（2）将抛物线在 1≤x≤4 之间的部分记为图象 G1，将图象 G1 沿直线 x=1 翻折，翻折后的图象记为 G2，图象 G1 和 G2 组成图象 G．过 0,b 作与 y 轴垂直的直线 l，当直线 l 和图象 G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为 P1x1,y1，P2x2,y2，求 b 的取值范围和 x1+x2 的值．

27. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CA=CB，过点 C 在 △ABC 外作射线 CE，且 ∠BCE=α，点 B 关于 CE 的对称点为点 D，连接 AD，BD，CD，其中 AD，BD 分别交射线 CE 于点 M，N．
（1）依题意补全图形；
（2）当 α=30∘ 时，直接写出 ∠CMA 的度数；
（3）当 0∘<α<45∘ 时，用等式表示线段 AM，CN 之间的数量关系，并证明．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M 和图形 W1，W2 给出如下定义：点 P 为图形 W1 上一点，点 Q 为图形 W2 上一点，当点 M 是线段 PQ 的中点时，称点 M 是图形 W1，W2 的“中立点”．如果点 Px1,y1，Qx2,y2，那么“中立点”M 的坐标为 x1+x22,y1+y22．已知，点 A−3,0，B0,4，C4,0．
（1）连接 BC，在点 D12,0，E0,1，F0,12 中，可以成为点 A 和线段 BC 的“中立点”的是 ；
（2）已知点 G3,0，⊙G 的半径为 2．如果直线 y=−x+1 上存在点 K 可以成为点 A 和 ⊙G 的“中立点”，求点 K 的坐标；
（3）以点 C 为圆心，半径为 2 作圆．点 N 为直线 y=2x+4 上的一点，如果存在点 N，使得 y 轴上的一点可以成为点 N 与 ⊙C 的“中立点”，直接写出点 N 的横坐标的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. A
4. B
5. B
6. A
7. B
8. C
第二部分
9. 6
10. y=1x 等，答案不唯一
11. S△BEA，S△BFC，AC⋅BD
12. 1
13. 8
14. y=x+2.01,x=75%y−0.34
15. ③，④
16. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．或：同圆半径相等，三条边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等
第三部分
17. 8−2cs45∘+3−π0+∣1−2∣=22−2×22+1+2−1=22.
18.
3x≥4x−1, ⋯⋯①5x−12>x−2. ⋯⋯②
解不等式 ①，得
x≤1.
解不等式 ②，得
x>−1.
∴ 原不等式组的解集是
−119. 连接 AD，

∵AB=BC，D 是 BC 边上的中点，
∴∠BAD=∠CAD．
∵DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，
∴DE=DF．
20. （1） ∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0．
∴Δ=−42−4⋅2m=16−8m>0，
∴m<2．
（2） ∵m<2，且 m 为非负整数，
∴m=0或1，
当 m=0 时，方程为 x2−4x=0，解得方程的根为 x1=0，x2=4，符合题意；
当 m=1 时，方程为 x2−4x+2=0，它的根不是整数，不合题意，舍去．
综上所述，m=0．
21. （1） 因为 BF=BA，BE=BC，
所以四边形 AEFC 为平行四边形．
因为四边形 ABCD 为菱形，
所以 BA=BC．
所以 BE=BF．
所以 BA+BF=BC+BE，即 AF=EC．
所以四边形 AEFC 为矩形．
（2） 连接 DB．
由（1）知，AD∥EB，且 AD=EB．
所以四边形 AEBD 为平行四边形．
因为 DE⊥AB，
所以四边形 AEBD 为菱形．
所以 AE=EB，AB=2AG，ED=2EG．
因为矩形 ABCD 中，EB=AB，AB=4，
所以 AG=2，AE=4．
所以 Rt△AEG 中，EG=23．
所以 ED=43．
22. （1） 因为反比例函数 y=2x 的图象经过点 Pm,2，Q−2,n，
所以 m=1，n=−1．
所以点 P，Q 的坐标分别为 1,2，−2,−1．
因为一次函数 y=kx+b 的图象经过点 P1,2，Q−2,−1，
所以 k+b=2,−2k+b=−1, 解得 k=1,b=1.
所以一次函数的表达式为 y=x+1．
（2） 点 M 的坐标为 −2,−1+32 或 −2,−1−32．
23. （1） ∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵DE∥AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵BC 是 ⊙O 的切线，
∴∠BDF=90∘，
∴∠1+∠F=90∘，∠3+∠EDF=90∘，
∴∠F=∠EDF，
∴EF=DE．
（2） 连接 CD，
∵BD 为 ⊙O 的直径，
∴∠BCD=90∘，
∵DE∥AB，
∴∠DEF=∠ABC，
∵cs∠ABC=35，
∴ 在 Rt△ECD 中，cs∠DEC=CEDE=35，
设 CE=3x，则 DE=5x，
由（1）可知，BE=EF=5x，
∴BF=10x，CF=2x，
在 Rt△CFD 中，由勾股定理得 DF=25x，
∵ 半径为 5，
∴BD=10，
∵BF×DC=FD×BD，
∴10x⋅4x=10⋅25x，解得 x=52，
∴DF=25x=5．
24. （1） 80
（2） （1）甲
（2）110
（3）答案不唯一，理由需支持推断结论．
如：乙校竞赛成绩较好，因为乙校的平均分高于甲校的平均分说明平均水平高，乙校的中位数 75 高于甲校的中位数 65，说明乙校分数不低于 70 分的学生比甲校多．
25. （1） 1.2
（2） 如图．
（3） 2.4 或 3.3
26. （1） ∵ 抛物线 y=ax2−4ax+3a=ax−22−a，
∴ 对称轴为 x=2．
∵ 抛物线最高点的纵坐标是 2，
∴a=−2．
∴ 抛物线的表达式为 y=−2x2+8x−6．
（2） 由图象可知，b=2 或 −6≤b<0．
由图象的对称性可得：x1+x2=2．
27. （1） 如图．
（2） 45∘．
（3） 结论：AM=2CN．
证明：作 AG⊥EC 的延长线于点 G．
因为点 B 与点 D 关于 CE 对称，
所以 CE 是 BD 的垂直平分线，
所以 CB=CD，
所以 ∠1=∠2=α．
因为 CA=CB，
所以 CA=CD，
所以 ∠3=∠CAD．
因为 ∠4=90∘，
所以 ∠3=12180∘−∠ACD=12180∘−90∘−α−α=45∘−α，
所以 ∠5=∠2+∠3=α+45∘−α=45∘．
因为 ∠4=90∘，CE 是 BD 的垂直平分线，
所以 ∠1+∠7=90∘，∠1+∠6=90∘，
所以 ∠6=∠7．
因为 AG⊥EC，
所以 ∠G=90∘=∠8．
所以在 △BCN 和 △CAG 中，
∠8=∠G,∠7=∠6,BC=CA,
所以 △BCN≌△CAG．
所以 CN=AG．
因为 Rt△AMG 中，∠G=90∘，∠5=45∘，
所以 AM=2AG，
所以 AM=2CN．
28. （1） 点 D，点 F
（2） 点 A 和 ⊙G 的“中立点”在以点 O 为圆心，半径为 1 的圆上运动．
因为点 K 在直线 y=−x+1 上，设点 K 的坐标为 x,−x+1，
则 x2+−x+12=12，解得 x1=0，x2=1．
所以点 K 的坐标为 0,1 或 1,0．
（3） −6≤xN≤−2．
【解析】点 N 与 ⊙C 的“中立点”在以线段 NC 的中点 P 为圆心，半径为 1 的圆上运动．
圆 P 与 y 轴相切时，符合题意．所以点 N 的横坐标的取值范围为 −6≤xN≤−2．