2018_2019学年深圳市宝安区九上期末数学试卷（一模）

这是一份2018_2019学年深圳市宝安区九上期末数学试卷（一模），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 方程 x2=3x 的解为
A. x=3B. x=0C. x1=0，x2=−3D. x1=0，x2=3

2. 下面左侧几何体的左视图是
A. B.
C. D.

3. 如果 ab=2，则 a+ba−b 的值是
A. 3B. −3C. 12D. 32

4. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有 20 个，黑球有 n 个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在 0.4 附近，则 n 的值约为
A. 20B. 30C. 40D. 50

5. 关于 x 的一元二次方程 ax2+3x−2=0 有两个不相等的实数根，则 a 的值可以是
A. 0B. −1C. −2D. −3

6. 中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2016 年人均年收入 300 美元，预计 2018 年人均年收入将达到 950 美元，设 2016 年到 2018 年该地区居民人均年收入平均增长率为 x，可列方程为
A. 3001+x%2=950B. 3001+x2=950
C. 3001+2x=950D. 3001+x2=950

7. 今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为 9688 元的新手机，前期付款 2000 元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额 y（元）与付款月数 x（x 为正整数）之间的函数关系式是
A. y=7688x+2000B. y=9688x−2000
C. y=7688xD. y=2000x

8. 如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 CE=BD，连接 AE，如果 ∠ADB=38∘，则 ∠E 的值是
A. 19∘B. 18∘C. 20∘D. 21∘

9. 下列说法正确的是
A. 二次函数 y=x+12−3 的顶点坐标是 1,3
B. 将二次函数 y=x2 的图象向上平移 2 个单位，得到二次函数 y=x+22 的图象
C. 菱形的对角线互相垂直且相等
D. 平面内，两条平行线间的距离处处相等

10. 如图，一路灯 B 距地面高 BA=7 m，身高 1.4 m 的小红从路灯下的点 D 出发，沿 A→H 的方向行走至点 G，若 AD=6 m，DG=4 m，则小红在点 G 处的影长相对于点 D 处的影长变化是
A. 变长 1 mB. 变长 1.2 mC. 变长 1.5 mD. 变长 1.8 m

11. 一次函数 y=ax+c 的图象如图所示，则二次函数 y=ax2+x+c 的图象可能大致是
A. B.
C. D.

12. 如图，点 P 是边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上的动点，过点 P 分别作 PE⊥BC 于点 E，PF⊥DC 于点 F，连接 AP 并延长，交射线 BC 于点 H，交射线 DC 于点 M，连接 EF 交 AH 于点 G，当点 P 在 BD 上运动时（不包括 B，D 两点），以下结论中：① MF=MC；② AH⊥EF；③ AP2=PM⋅PH；④ EF 的最小值是 22．其中正确结论是
A. ①③B. ②③C. ②③④D. ②④

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 有三张外观完全相同的卡片，在卡片的正面分别标上数字 −1，0，−2，将正面朝下放在桌面上．现随机翻开一张卡片，则卡片上的数字为负数的概率为 ．

14. 二次函数 y=−x−1x+2 的对称轴方程是 ．

15. 如图，点 A 在曲线 y=3xx>0 上，过点 A 作 AB⊥x 轴，垂足为 B，OA 的垂直平分线交 OB，OA 于点 C，D，当 AB=1 时，△ABC 的周长为 ．

16. 如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 E 是 OB 上一点，且 OB=3OE，连接 AE，过点 D 作 DG⊥AE 于点 F，交 AB 边于点 G，连接 GE，若 AD=62，则 GE 的长是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：−12018−13−1+2×20180+27．

18. x2−8x+12=0．

19. 在不透明的布袋中装有 1 个红球，2 个白球，它们除颜色外其余完全相同．
（1）从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个白球的概率；
（2）若在布袋中再添加 a 个白球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到红球的概率为 34，试求 a 的值．

20. 如图，△ABC 中，∠ACB 的平分线交 AB 于点 D，作 CD 的垂直平分线，分别交 AC，DC，BC 于点 E，G，F，连接 DE，DF．
（1）求证：四边形 DFCE 是菱形；
（2）若 ∠ABC=60，∠ACB=45∘，BD=2，试求 BF 的长．

21. 今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为 30 元的一批图书，以 40 元的单价出售时，每天的销售量是 300 本．已知在每本涨价幅度不超过 10 元的情况下，若每本涨价 1 元，则每天就会少售出 10 本，设每本书上涨了 x 元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书 本（用含 x 的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得 3750 元的利润，应涨价多少元?

22. 如图 1，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC 的一个顶点与坐标原点重合，OA 边落在 x 轴上，且 OA=4，OC=22，∠COA=45∘．反比例函数 y=kxk>0,x>0 的图象经过点 C，与 AB 交于点 D，连接 AC，CD．
（1）试求反比例函数的解析式；
（2）求证：CD 平分 ∠ACB；
（3）如图 2，连接 OD，在反比例的函数图象上是否存在一点 P，使得 S△POC=12S△COD?如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+ca<0 与 x 轴交于 A−2,0，B4,0 两点，与 y 轴交于点 C，且 OC=2OA．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线 y=kx+1k>0 与 y 轴交于点 D，与抛物线交于点 P，与直线 BC 交于点 M，记 m=PMDM，试求 m 的最大值及此时点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点 Q 是 x 轴上的一个动点，点 N 是坐标平面内的一点，是否存在这样的点 Q，N，使得以 P，D，Q，N 四点组成的四边形是矩形?如果存在，请求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D
2. C【解析】从左面看，是一个长方形．
3. A【解析】∵ab=2，
∴a=2b，
∴a+ba−b=2b+b2b−b=3．
4. B【解析】根据题意得 2020+n=0.4，
解得：n=30．
5. B
【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 ax2+3x−2=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ>0 且 a≠0，即 32−4a×−2>0 且 a≠0，
解得 a>−118 且 a≠0．
6. D【解析】设 2016 年到 2018 年该地区居民年人均收入平均增长率为 x，
那么根据题意得 2018 年年收入为：3001+x2，
列出方程为：3001+x2=950．
7. C【解析】由题意可得：y=9688−2000x=7688x．
8. A【解析】连接 AC，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且 ∠ADB=∠CAD=60∘，
∴∠E=∠DAE，
又 ∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=38∘，即 ∠E=19∘．
9. D【解析】A、二次函数 y=x+12−3 的顶点坐标是 −1,−3，错误；
B、将二次函数 y=x2 的图象向上平移 2 个单位，得到二次函数 y=x2+2 的图象，错误；
C、菱形的对角线互相垂直且平分，错误；
D、平面内，两条平行线间的距离处处相等，正确．
10. A
【解析】由 CD∥AB∥FG 可得 △CDE∽△ABE，△HFG∽△HAB，
∴DEAE=CDAB，HGHA=FGAB，即 DEDE+6=1.47，HGHG+4+6=1.47，
解得：DE=1.5，HG=2.5，
∵HG−DE=2.5−1.5=1，
∴ 影长边长 1 m．
11. C【解析】∵ 一次函数 y=ax+c 的图象经过一三四象限，
∴a>0，c<0，
故二次函数 y=ax2+x+c 的图象开口向上，对称轴在 y 轴左边，交 y 轴于负半轴．
12. B【解析】①错误．
∵ 当点 P 与 BD 中点重合时，CM=0，显然 FM≠CM；
②正确．
连接 PC 交 EF 于 O．
根据对称性可知 ∠DAP=∠DCP，
∵ 四边形 PECF 是矩形，
∴OF=OC，
∴∠OCF=∠OFC，
∴∠OFC=∠DAP，
∵∠DAP+∠AMD=90∘，
∴∠GFM+∠AMD=90∘，
∴∠FGM=90∘，
∴AH⊥EF．
③正确．
∵AD∥BH，
∴∠DAP=∠H，
∵∠DAP=∠PCM，
∴∠PCM=∠H，
∵∠CPM=∠HPC，
∴△CPM∽△HPC，
∴PCHP=PMPC，
∴PC2=PM⋅PH，
根据对称性可知：PA=PC，
∴PA2=PM⋅PH．
④正错误．
∵ 四边形 PECF 是矩形，
∴EF=PC，
∴ 当 CP⊥BD 时，PC 的值最小，此时 A，P，C 共线，
∵AC=2，
∴PC 的最小值为 1，
∴EF 的最小值为 1．
第二部分
13. 23
【解析】∵ 共有 3 张卡片，卡片的正面分别标上数字 −1，0，−2，卡片上的数字为负数的有 2 张，
∴ 卡片上的数字为负数的概率为 23．
14. x=−12
【解析】y=−x−1x+2=−x2+x−2=−x+122+94，
∴ 二次函数 y=−x−1x+2 的对称轴为 x=−12．
15. 4
【解析】∵ 点 A 在曲线 y=3xx>0 上，AB⊥x 轴，AB=1，
∴AB×OB=3，
∴OB=3，
∵CD 垂直平分 AO，
∴OC=AC，
∴△ABC 的周长 =AB+BC+AC=1+BC+OC=1+OB=1+3=4．
16. 10
【解析】作 EH⊥AB 于 H．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD=62，
∴OA=OB=6，
∵OB=3OE，
∴OE=2，EB=4，
∵∠EBH=∠BEH=45∘，
∴EH=BH=22，
∴AH=AB−BH=42，
∵∠ADG+∠DAF=90∘，∠DAF+∠EAH=90∘，
∴∠ADG=∠EAH，
∵∠DAG=∠AHE，
∴△DAG∽△AHE，
∴ADAH=AGEH，
∴6242=AG22，
∴AG=32，
∴GH=AH−AG=2，
在 Rt△EGH 中，EG=EH2+GH2=10．
第三部分
17. 原式=1−3+2+33=33.
18.
x2−8x+12=0.
分解因式得
x−6x−2=0.
所以
x−6=0,x−2=0.
解方程得：
x1=6,x2=2.
所以方程的解是
x1=6,x2=2.
19. （1） 画树状图得：
∵ 共有 6 种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球都是白色的有 2 种情况，
∴ 随机从袋中摸出两个球，都是白色的概率是：26=13．
（2） 根据题意，得：1+a3+a=34，
解得：a=5，
经检验 a=5 是原方程的根，
故 a=5．
20. （1） ∵EF 是 DC 的垂直平分线，
∴DE=EC，DF=CF，∠EGC=∠FGC=90∘，
∵CD 平分 ∠ACB，
∴∠ECG=∠FCG，
∵CG=CF，
∴△CGE≌△FCGASA，
∴GE=GF，
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形，
∵DE=CE，
∴ 四边形 DFCE 是菱形．
（2） 过 D 作 DH⊥BC 于 H，
则 ∠DHF=∠DHB=90∘，
∵∠ABC=60∘，
∴∠BDH=30∘，
∴BH=12BD=1，
在 Rt△DHB 中，DH=22−12=3，
∵ 四边形 DFCE 是菱形，
∴DF∥AC，
∴∠DFB=∠ACB=45∘，
∴△DHF 是等腰直角三角形，
∴DH=FH=3，
∴BF=BH+FH=1+3．
21. （1） 300−10x
【解析】∵ 每本书上涨了 x 元，
∴ 每天可售出书 300−10x 本．
（2） 设每本书上涨了 x 元（x≤10），
根据题意得：
40−30+x300−10x=3750.
整理，得：
x2−20x+75=0.
解得：
x1=5,x2=15不合题意,舍去.
答：若书店想每天获得 3750 元的利润，每本书应涨价 5 元．
22. （1） 如图 1，过点 C 作 CE⊥x 轴于 E，
∴∠CEO=90∘，
∵∠COA=45∘，
∴∠OCE=45∘，
∵OC=22，
∴OE=CE=2，
∴C2,2，
∵ 点 C 在反比例函数图象上，
∴k=2×2=4，
∴ 反比例函数解析式为 y=4x．
（2） 如图 2，过点 D 作 DG⊥x 轴于 G，交 BC 于 F，
∵CB∥x 轴，
∴GF⊥CB，
∵OA=4，
由（1）知，OC=CE=2，
∴AE=EC=2，
∴∠ECA=45∘，∠OCA=90∘，
∵OC∥AB，
∴∠BAC=∠OCA=90∘，
∴AD⊥AC，
∵A4,0，AB∥OC，
∴ 直线 AB 的解析式为 y=x−4, ⋯⋯①
∵ 反比例函数解析式为 y=4x, ⋯⋯②
联立 ①② 解得，x=22+2,y=22−2 或 x=2−22,y=−2−22（舍），
∴D22+2,22−2，
∴AG=DG=22−2，
∴AD=2DG=4−22，
∴DF=2−22−2=4−22，
∴AD=DF，
∵AD⊥AC，DF⊥CB，
∴ 点 D 是 ∠ACB 的角平分线上，即：CD 平分 ∠ACB．
（3） 点 P 的坐标为 5−1,5+1 或 P5+1,5−1．
【解析】存在．
∵ 点 C2,2，
∴ 直线 OC 的解析式为 y=x，OC=22，
∵D22+2,22−2，
∴CD=22−2，
Ⅰ、如图 3，
当点 P 在点 C 右侧时，即：点 P 的横坐标大于 2，
∵S△POC=12S△COD，
∴ 设 CD 的中点为 M，
∴M2+2,2，
过点 M 作 MP∥OC 交双曲线于 P，
∴ 直线 PM 的解析式为 y=x−2, ⋯⋯③
∵ 反比例函数解析式为 y=4x, ⋯⋯④
联立 ③④ 解得，x=5+1,y=5−1 或 x=1−5,y=−1−5（舍），
∴P5+1,5−1；
Ⅱ、当点 Pʹ 在点 C 左侧时，即：点 Pʹ 的横坐标大于 0 而小于 2，
设点 M 关于 OC 的对称点为 Mʹ，Mʹm,n，
∴m+2+22=2，n+22=2，
∴m=2−2，n=4−2，
∴Mʹ2−2,4−2，
∵PʹMʹ∥OC，
∴ 直线 PʹMʹ 的解析式为 y=x+2, ⋯⋯⑤
联立 ④⑤ 解得，x=5−1,y=5+1 或 x=−1−5,y=1−5（舍），
∴Pʹ5−1,5+1．
即：点 P 的坐标为 5−1,5+1 或 P5+1,5−1．
23. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A−2,0，B4,0 两点，
∴ 可以假设 y=ax+2x−4，
∵OC=2OA，OA=2，
∴C0,4，代入抛物线的解析式得到 a=−12，
∴y=−12x+2x−4 或 y=−12x2+x+4 或 y=−12x−12+94．
（2） 如图 1 中，作 PE⊥x 轴于 E，交 BC 于 F．
∵CD∥PE，
∴△CMD∽△FMP，
∴m=PMDM=PFDC，
∵ 直线 y=kx+1k>0 与 y 轴交于点 D，则 D0,1，
∵BC 的解析式为 y=−x+4，
设 Pn,−12n2+n+4，则 Fn,−n+4，
∴PF=−12n2+n+4−−n+4=−12n−22+2，
∴m=PFCD=−16n−22+23，
∵−16<0，
∴ 当 n=2 时，m 有最大值，最大值为 23，此时 P2,4．
（3） 存在这样的点 Q，N，使得以 P，D，Q，N 四点组成的四边形是矩形．
①当 DP 是矩形的边时，有两种情形，
a、如图 2−1 中，
四边形 DQNP 是矩形时，
由（2）可知 P2,4，代入 y=kx+1 中，得到 k=32，
∴ 直线 DP 的解析式为 y=32x+1，可得 D0,1，E−23,0，
由 △DOE∽△QOD 可得 ODOQ=OEOD，
∴OD2=OE⋅OQ，
∴1=23⋅OQ，
∴OQ=32，
∴Q32,0．
根据矩形的性质，将点 P 向右平移 32 个单位，向下平移 1 个单位得到点 N，
∴N2+32,4−1，即 N72,3．
b、如图 2−2 中，
四边形 PDNQ 是矩形时，
∵ 直线 PD 的解析式为 y=32x+1，PQ⊥PD，
∴ 直线 PQ 的解析式为 y=−23x+163，
∴Q8,0，
根据矩形的性质可知，将点 D 向右平移 6 个单位，向下平移 4 个单位得到点 N，
∴N0+6,1−4，即 N6,−3．
②当 DP 是对角线时，设 Qx,0，则 QD2=x2+1，QP2=x−22+42，PD2=13，
∵Q 是直角顶点，
∴QD2+QP2=PD2，
∴x2+1+x−22+16=13，
整理得 x2−2x+4=0，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点 N 坐标为 72,3 或 6,−3．