2018_2019学年广州市越秀区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年广州市越秀区九上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列四个城市的地铁标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 抛物线 y=2x2 经过平移得到 y=2x+12，则这个平移过程正确的是
A. 向左平移 1 个单位B. 向右平移 1 个单位
C. 向上平移 1 个单位D. 向下平移 1 个单位

3. 下列成语描述的事件为随机事件的是
A. 水涨船高B. 守株待兔C. 水中捞月D. 缘木求鱼

4. 已知关于 x 的方程 x2−3x+m=0 有一个根为 x1=1，则另一个根是 x2=
A. −2B. −1C. 2D. 3

5. 如图，将 Rt△ABC（其中 ∠B=35∘，∠C=90∘）绕点 A 按顺时针方向旋转到 △AB1C1 的位置，使得点 C，A，B1 在同一条直线上，那么旋转角是
A. 55∘B. 70∘C. 125∘D. 145∘

6. 如图，已知 △ADE∽△ACB，若 AB=10，AC=8，AD=4，则 AE 的长是
A. 4B. 5C. 20D. 3.2

7. 已知二次函数 y=3x−12+5，下列结论正确的是
A. 其图象的开口向下
B. 图象的对称轴为直线 x=−1
C. 函数的最大值为 5
D. 当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大

8. 若关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是
A. a<1B. a≤1C. a≠0D. a<1 且 a≠0

9. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为位似中心，将边长为 8 的等边三角形 OAB 作 n 次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形 OA1B1，其边长 OA1 缩小为 OA 的 12，经第二次变换后得到等边三角形 OA2B2，其边长 OA2 缩小为 OA1 的 12，经第三次变换后得到等边三角形 OA3B3，其边长 OA3 缩小为 OA2 的 12，⋯，按此规律，经第 n 次变换后，所得等边三角形 OAnBn 的顶点 An 的坐标为 128,0，则 n 的值是
A. 8B. 9C. 10D. 11

10. 如图，⊙O 是 △ABC 的内切圆，∠C=90∘，AB=10，⊙O 的内接正六边形 DGHIJK 的边长为 2，则 △ABC 的面积是
A. 24B. 48C. 20D. 18

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于坐标原点 O，点 A 的坐标为 −3,1，则点 C 的坐标是 ．

12. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数/次501002004008001000‘‘射中9环以上"的次数/次3882157317640801‘‘射中9环以上"的频率结果保留小数点后三位
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中 9 环以上”的概率是 ．（结果保留小数点后一位）

13. 抛物线 y=x2−4x+3 的顶点坐标是 ．

14. 圆锥的底面半径是 1，高是 3，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 ．

15. 已知矩形的长和宽分别是关于 x 的方程 2x2+mx+8=0m≥8 的两根，则矩形的面积是 ．

16. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，点 A，B，C，D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为 y=12x2−3x−8，AB 为半圆的直径，点 E 为半圆的圆心，点 P 为 x 轴正半轴上一点．若 △COP∽△CPD，则点 P 的坐标是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x2−1=2x+1．

18. 如图，在 7×7 的正方形网格中，△ABC 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上．
（1）将 △ABC 绕点 B 逆时针旋转 90∘，画出旋转后得到的 △A1BC1；
（2）求出旋转过程中，线段 BA 扫过的图形的面积（结果保留 π）．

19. 一个不透明的口袋中有 2 个红球和 2 个白球，这四个小球除颜色外无其他差别．
（1）从中随机摸取一个小球，这个小球的颜色为红色的概率是多少?
（2）从中随机同时摸取两个小球，这两个小球颜色相同的概率是多少?试用列表或画树状图说明．

20. 如图，已知平行四边形 ABCD，点 E 是边 AB 的延长线上一点，DE 与 BC 交于点 F，BE=12AB．
（1）求证：△ADE∽△CFD；
（2）若 △BEF 的面积为 1，求四边形 ABFD 的面积．

21. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 81 人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一人传染了几人?
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人会患流感?

22. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，过点 D 作 AD 的垂线交 AB 于点 E．
（1）请画出 △ADE 的外接圆 ⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC 是 ⊙O 的切线；
（3）过点 D 作 DF⊥AE 于点 F，延长 DF 交 ⊙O 于点 G，若 DG=8，EF=2，求 ⊙O 的半径．

23. 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，A2,0，该抛物线的对称轴为直线 x=−1．
（1）求点 B 的坐标；
（2）Pm,t 为抛物线上的一点，若 P 关于原点的对称点 Pʹ 也落在该抛物线上，求 m 的值；
（3）若当 x≤0 时，y≥−6，试求该抛物线的解析式．

24. 如图，已知抛物线的顶点坐标为 M1,4，且经过点 N2,3，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，点 P 在对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线 CM 与 x 轴交于点 D，若 ∠DME=∠APE，求点 P 的坐标；
（3）请探索：是否存在这样的点 Pʹ，使 ∠ANB=2∠APʹE?若存在，求出点 Pʹ 的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A0,3，B5,3，Px,0 为 x 轴正半轴上的一个动点，以 BP 为直径作 ⊙Q 交 x 轴于点 C，⊙Q 与直线 AC 交于点 D，连接 PD，BD，过点 P 作 PE∥BD 交 ⊙Q 于点 E，连接 BE．
（1）求证：四边形 BDPE 是矩形；
（2）设矩形 BDPE 的面积为 S，试求 S 关于 x 的函数解析式，写出 x 的取值范围，并判断 S 是否存在最大值或最小值?若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，请说明理由；
（3）当 0≤x≤5 时，求点 E 移动路线的长．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. B
4. C
5. C
6. B
7. D
8. D
9. D【解析】△A1B1O 中顶点 A1 的坐标为 4,0；
△A2B2O 中顶点 A2 的坐标为 2,0；
⋯
△AnBnO 中顶点 An 的坐标为 12n−3,0；
∴ n−3=8，
∴ n=11．
10. A
【解析】设 AC=x，BC=y，S△ABC=12xy，S△ABC=12×2×x+y+10，
在 Rt△ABC 中，x2+y2=100，12xy=12×2×x+y+10，xy=2x+y+10，x+y2=x2+y2+2xy=100+4x+y+10=140+4x+y，x+y2−4x+y−140=0，x+y−14x+y+10=0，
解得 x+y=14 或 x+y=−10（舍去），
∴S△ABC=x+y+10×2×12=24．
第二部分
11. 3,−1
12. 0.8
13. 2,−1
14. 180∘
15. 4
【解析】2x2+mx+8=0，
x1x2=ca=4，
∵ 矩形长和宽分别是该方程的两根，
∴ 矩形的面积是 4．
16. 42,0
【解析】当 x=0 时，y=−8，
∴D0,−8．
当 y=0 时，12x2−3x−8=0，解得 x=8 或 x=−2，
∴A−2,0，B8,0，
∴AB=10，
∴E3,0．
连接 CE，如图：
在 Rt△COE 中，由勾股定理得 OC=4，
∴C0,4，
∵△COP∽△CPD，
∴∠CPD=∠COP=90∘，
∴∠CPO+∠OPD=90∘，
∵∠OPD+∠ODP=90∘，
∴∠CPO=∠ODP，
∵∠COP=∠DOP，
∴△COP∽△POD，
∴COOP=OPOD，
∴OP2=CO⋅OD=32，
∴OP=42，
∴P42,0．
第三部分
17. 方程整理得：
x2−2x−3=0.
这里
a=1.b=−2.c=−3.
因而
b2−4ac=−22−4×1×−3=16>0.
所以
x=2±162×1=2±42.
因此，原方程的解为
x1=−1.x2=3.
18. （1） 如图所示，△A1BC1 为所求．
（2） BA=32+22=13，
∴ 线段 BA 扫过的图形的面积为 90×π×132360=13π4．
19. （1） 随机摸取一个球有 4 种等可能的结果，这个小球为红色的结果有 2 种，
因此摸取出 1 个小球为红色的概率是 24=12．
（2） 随机同时摸取 2 个小球，相当于第一次摸取 1 个小球后不放回，第二次再摸取 1 个小球，设两个红球分别为红 1，红 2；两个白球分别为白 1，白 2，画树状图如图所示：
共有 12 种等可能的结果，其中这两个小球颜色相同的结果有 4 种，
∴ 这两个小球颜色相同的概率为 412=13．
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠A=∠C，AD∥BC，
∴ ∠ADE=∠CFD，
∴ △ADE∽△CFD．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，
∴ △BEF∽△AED，
∴ S△BEFS△AED=BEAE2，
∵ BE=12AB，
∴ 1S△AED=132，
∴ S△AED=9，
∴ 四边形 ABFD 的面积 =S△AED−S△BEF=9−1=8．
21. （1） 设每轮传染中平均一人传染了 x 人，根据题意，得
1+x+x1+x=81,
解得
x1=8,x2=−10舍去.∴
每轮传染中平均一人传染了 8 人．
（2） 如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后感染的人数是 1+x+x1+x+x1+x+x1+x=81+81×8=729．
答：经过三轮传染后感染的人数是 729 人．
22. （1） 如图 1，⊙O 为所求．
（2） 如图 2，连接 OD，
∵ AD 平分 ∠BAC，
∴ ∠CAD=∠OAD，
∵ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD，
∴ ∠CAD=∠ODA，
∴ OD∥AC，
∴ ∠ODB=∠C=90∘，
∴ BC 是 ⊙O 的切线．
（3） 如图 3，
∵ DE⊥AD，
∴ ∠ADE=90∘，
∴ AE 是 ⊙O 的直径，
∵ DF⊥AE，
∴ DF=12DG=12×8=4，
设 ⊙O 的半径为 r，则 OD=r，OF=r−2．
在 Rt△ODF 中，OF2+DF2=OD2，
∴ r−22+42=r2，解得 r=5，
∴ ⊙O 的半径为 5．
23. （1） ∵A2,0，抛物线的对称轴是直线 x=−1，则 B−4,0．
（2） 由（1）知抛物线的解析式可以是 y=ax+4x−2．
∵Pm,t 关于原点的对称点 Pʹ−m,−t 也在抛物线上，则有 −t=a−m+4−m−2, ⋯⋯①
将 t=am+4m−2 代入 ① 式得：−am+4m−2=a−m+4−m−2，
∵a≠0，
∴−m+4m−2=−m+4−m−2，
解得 m2=8，即 m1=22，m2=−22．
（3） x≤0 时，y≥−6．
当 a<0 时，抛物线开口向下，
∴x≤0 时，不可能有 y≥−6；
当 a>0 时，抛物线开口向上，对称轴是直线 x=−1，则当函数的最小值是 −6 时，满足 y≥−6；
把 x=−1，y=−6，代入 y=ax+4x−2，解得：a=23．
求得抛物线的解析式为：y=23x+4x−2=23x2+43x−163．
24. （1） 由抛物线的顶点是 M1,4，
设解析式为 y=ax−12+4a<0，
又 ∵ 抛物线经过点 N2,3，
∴3=a2−12+4，解得 a=−1，
∴ 所求抛物线的解析式为 y=−x−12+4．
（2） 设直线 CM 的解析式是 y=kx+t，
∵C0,3，M1,4，
∴t=3,k+t=4, 即 k=1,t=3, 即：直线解析式 y=x+3．
求得 A−1,0，D−3,0，抛物线的对称轴是直线 x=1，
则 DE=ME=4，△DEM 是等腰直角三角形．
点 P 在对称轴上，满足 ∠DME=∠APE，则有 AE=EP=2，
故所求的 P 的坐标是：当点 P 在 x 轴上方时，P1,2；
当点 P 在 x 轴下方时，P1,−2．
（3） 存在，理由：
如图，连接 PʹB，QA，QN，
∵PʹA=PʹB，
∴∠APʹB=2∠APʹE=∠ANB，
经过三点 A，B，N 作一个圆，根据圆周角定理：∠APʹB=∠ANB，
设圆心为点 Q，
∴QA=QN．
设 Q1,m，过点 N 作对称轴的垂线，垂足为点 F，
在 Rt△QEA 中，QA2=QE2+AE2=m2+22，
在 Rt△QFN 中，QN2=QF2+FN2=3−m2+2−12，
由 QA=QN 可得：m2+22=3−m2+2−12，
解得：m=1，即此时 Q1,1．
而圆的半径 PʹQ=QA=12+22=5，则 Pʹ 的坐标是 1,1+5．
∵ 点 Pʹ 关于 x 轴的对称性点 P1ʹ1,−1−5，也满足 ∠AP1ʹB=∠APʹB=∠ANB，
则所求的 Pʹ 点为 1,1+5 或 1,−1−5．
25. （1） ∵BP 为 ⊙Q 的直径，
∴∠BDP=∠BEP=90∘，
∵PE∥BD，
∴PE⊥PD，∠DPE=90∘，
∴∠BDP=∠BEP=∠DPE=90∘，
∴ 四边形 BDPE 是矩形．
（2） 如图 1，连接 BC，
∵BP 为 ⊙Q 的直径，
∴∠BCP=90∘，则 C5,0，
当 0 ∵∠PBD=∠ACO，∠BDP=∠AOC=90∘，
∴Rt△PDB∽Rt△AOC，则 BDPD=OCAO=53，即 PD=35BD，
在 Rt△BCP 中，BP2=BC2+PC2，即 BP2=32+5−x2, ⋯⋯①
在 Rt△BDP 中，BP2=BD2+PD2，即 BP2=BD2+35BD2=3425BD2, ⋯⋯②
由 ①② 可得：3425BD2=32+5−x2，
∴BD2=253432+5−x2，
∵ 矩形 BDPE 的面积 S=BD⋅PD=35BD2，
∴S=35×253432+5−x2=1534x−52+135340当 x≥5 时，同理可得：S=35×253432+x−52=1534x−52+13534x≥5，
故 S 与 x 的函数解析式是：S=1534x−52+13534x>0．
∵x>0，
∴S 不存在最大值；
但当 x=5 时，即 P 点运动到 C 点时，S 的最小值是 13534．
（3） 当 0≤x≤5 时，如图 1，
∵BE=PD，
∴∠BCE=∠ACO 是一个定值，
又 ∵ 当 x=0 时，点 E 即为点 C；
当 x=5 时，点 P 与 C 点重合，点 E 运动到点 E1（如图 2 所示）．
∴ 点 E 运动路线的长是 CE1，
由（2）可知，Rt△BE1C∽Rt△AOC，CE1BE1=OCAO=53，
∴CE1=53BE1，
在 Rt△BE1C 中，BC2=CE12+BE12，
即 32=CE12+35CE12，解得 CE11=153434，CE12=−153434（负值舍去），
∴ 点 E 运动路线的长是 153434．