2023年山东省青岛市市北区中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省青岛市市北区中考数学三模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省青岛市市北区中考数学三模试卷
一、选择题（共8小题，共24分）.
1. 作为我国核电走向世界的“国家名片”，“华龙一号”是当前核电市场接受度最高的三代核电机型之一，是我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的三代压水堆核电创新成果，中核集团“华龙一号”示范工程全面建成后，每台机组年发电能力近亿千瓦时．亿用科学记数法表示为(    )
A. B. C. D.
2. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数




方差




要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
3. 下列各数为有理数的是(    )
A. B. C. D.
4. 如图所示几何体的俯视图是(    )
A.
B.
C.
D.


5. 如图，四边形内接于，，，的大小为(    )


A.
B.
C.
D.


6. 如图，将先向右平移个单位，再绕原点顺时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是(    )

A. B. C. D.
7. 如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形若，，则点到的距离为(    )


A. B. C. D.
8. 一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，点的坐标为，则下列结论中，正确的是(    )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共6小题，共18.0分）
9. 计算： ______ ．
10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______ ．
11. 甲、乙两人同时从学校出发，去距离学校千米的农场参加劳动甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到分钟，求甲和乙的速度各是多少？设乙的速度为千米小时，则根据题意可列方程为______ ．
12. 如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到若，则的周长为______ ．


13. 如图，在矩形中，，，扇形的圆心角为，则阴影部分的面积为______．


14. 设的面积为．
如图，分别将，边等分，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积．
如图，分别将，边等分，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积；
如图，分别将，边等分，，，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积；

按照这个规律进行下去，若分别将，边等分，，得到四边形，其面积______．


三、解答题（共11小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
如图，已知和边上一点求作：，使满足：用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
圆心在内部；
与的两边相切，且其中一个切点为．

16. 本小题分
化简：；
解不等式组：．
17. 本小题分
有四张反面完全相同的纸牌、、、，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______．
小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图说明理由．纸牌用、、、表示若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．


18. 本小题分
为落实青岛市“十个一”活动，激发学生应的爱国热情，某校组织全校学生进行“请党放心，强国有我”的测试，现随机抽取部分学生的测试成绩单位：分整理成：，：，：，：四个等级，绘制成了频数分布表和扇形统计图：被抽取学生的测试成绩的频数表：
等级
成绩分
频数人
各组总分分
















根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ；
此次被抽取学生的测试成绩的中位数落在______ 等级，求此次被抽取学生的测试成绩的平均数；
如果分以上含分为优秀，请估计全校名学生中此次测试成绩优秀的学生人数．

19. 本小题分
如图，是的内接三角形，是的直径，，交于点，点在的延长线上，射线经过点，且．
求证：是的切线；
若，的半径为，求的长．

20. 本小题分
如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、求轮船航行的距离参考数据：，，，，，

21. 本小题分
【阅读与思考】如图，在正方形中中，，，分别是，，上的点，于点，那么证明过程如下：
于点，
，
过点作交于点，交于点，
，
，
四边形为正方形，
，，，
，
，
≌依据，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
．

【材料探究】：上述证明过程的“依据”是______ ；
【问题解决】：如图，在的正方形网格中，点，，，为格点，交于点则为______ ；
【拓展延伸】：如图，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，求的度数．
22. 本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点．
求反比例函数的解析式；
求出另一个交点的坐标，并直接写出当时，不等式的解集；
若点在轴上，且的面积为，求点的坐标．

23. 本小题分
已知：如图，在矩形中，是边上一点，过点作对角线的平行线，交于，交和的延长线于点，．
求证：≌；
若，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．

24. 本小题分
崂山是“海上第一名山”，其胜景在于它的山景和海景并存，名山蕴名水，名水育名茶，这是品茶人的讲究与去年相比，今年某种崂山茶叶的产量增加了千克，每千克的平均批发价比去年降低了，批发销售总额比去年增加了，解决下列问题：
已知去年这种崂山茶叶批发销售总额为万元，求这种茶叶今年每千克的平均批发价是多少元？
调查发现，若每千克崂山茶叶的平均销售价为元，则每天可售出千克；若每千克的平均销售价每降低元，每天可多卖出千克工商部门规定，该茶叶利润率不得超过，设茶叶店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时售价取整数计算，该茶叶店一天的利润最大，最大利润是多少？
25. 本小题分
如图，等腰中，，是边的中点，点沿着从向以每秒的速度运动，同时，点沿着从向以同样的速度运动，点是边的中点，在点运动的同时，过作交于设运动时间为．
当时，求的值；
连接、，设多边形的面积为，求与的函数关系式；
若点关于的对称点是，请问，存不存在某一时刻，使得点恰好落在线段上？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】 
解：将亿用科学记数法表示为：．
故选：．
利用科学记数法将数据表示为的形式，且即可．
本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为的形式，且，属于基础题．

2.【答案】 
解：由表格知，乙的方差最小，
所以乙运动员发挥最稳定，
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

3.【答案】 
解：是有理数，、、是无理数．
故选：．
利用实数的分类来判断即可．
本题考查了实数，做题关键是掌握有理数、无理数的概念．

4.【答案】 
解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：．
根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
此题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．

5.【答案】 
解：四边形内接于，
，
，
，
，
，
．
故选A．
本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，以及圆周角定理．
首先证明，再利用等腰三角形的性质求出的度数，利用圆周角定理即可解决问题．

6.【答案】 
解：如图，即为所求，，

故选：．
利用平移变换，旋转变换的性质正确作出图形，可得结论．
本题考查作图坐标与图形变化旋转，平移等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．

7.【答案】 
解：作于，

，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
作于，利用含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，再根据，得，代入计算可得答案．
本题主要考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的三角函数值相等是解题的关键．

8.【答案】 
解：根据图示知，一次函数与二次函数的交点的坐标为，
，
．
由图示知，抛物线开口向上，则，
．
反比例函数图象经过第一、三象限，
．
A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则，
，即．
故A选项错误；
B、，，
，
即，
不成立．
故B选项错误；
C、，，
．
故C选项错误；
D、观察二次函数和反比例函数图象知，当时，，即，
，，
．
故D选项正确；
故选：．
根据函数图象知，由一次函数图象所在的象限可以确定、的符号，且直线与抛物线均经过点，所以把点的坐标代入一次函数或二次函数可以求得，的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定．
本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象．解题的关键是会读图，从图中提取有用的信息．

9.【答案】 
解：原式
．
故答案为：．
直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则化简得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

10.【答案】且 
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且．
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，再求出两个不等式的公共部分即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，解题时注意不能忽视二次项系数不为零的条件．

11.【答案】 
解：设乙的速度为千米小时，则甲的速度为千米小时，
根据题意得：．
故答案为：．
设乙的速度为千米小时，则甲的速度为千米小时，根据时间路程速度结合甲比乙提前分钟到达目的地，即可得出关于的分式方程．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

12.【答案】 
解：第一次折叠，如图，
，
，
，
由折叠的性质，，
，
第二次折叠，如图，，
，
，
，
，
，
，
，
的周长，
故答案为：．
第一次翻折可得，，，第二次折叠，可求，，由，可求，则，再求的周长即可．
本题考查翻折变换折叠的性质，熟练掌握翻折的性质，对应两次翻折求出是解题的关键．

13.【答案】 
【解析】
【分析】
本题考查了扇形的面积的计算，矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．连接，解直角三角形得到，根据扇形的面积公式和三角形的内角公式即可得到结论．
【解答】
解：如图，连接，

则，，
，，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．  
14.【答案】 
解：如图所示，连接，，，
图中，，是两边的中点，
，，
∽，且，
，
是的中点，
，
，
，
同理可得：
图中，，
图中，，
以此类推，将，边等分，得到四边形，
其面积，
故答案为：．
先连接，，，依据，，可得∽，且，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到，依据是的中点，即可得出，据此可得；运用相同的方法，依次可得，；根据所得规律，即可得出四边形，其面积，最后化简即可．
本题主要考查了图形的变化类问题以及三角形面积的计算，解决问题的关键作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的性质进行计算求解．解题时注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．

15.【答案】解：如图，即为所求．
 
【解析】作的角平分线，过点作交于，以为圆心，为半径作即可．
本题考查作图复杂作图，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

16.【答案】解：



；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：． 
【解析】先算括号里，再算括号外，即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．

17.【答案】解：；
游戏不公平，理由如下：
列表得：

共有种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有种，即．
两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形．
游戏不公平，
修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜． 
【解析】本题考查用列举法求概率，中心对称图形和轴对称图形．
直接根据概率公式计算即可．
首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有种，由概率公式得出概率，可得出游戏不公平，修改为概率相等即可使得游戏公平．
【解答】
解：纸牌、、、中，是中心对称图形的有、、，
则从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是，
故答案为；
见答案．

18.【答案】     
解：抽取的样本容量为：，
故；
；
故答案为：；；
此次被抽取学生的测试成绩的中位数落在等级，
此次被抽取学生的测试成绩的平均数为：分；
故答案为：；
人，
答：估计全校名学生中此次测试成绩优秀的学生人数大约为人．
用等级的人数除以即可得出样本容量，再用的频数除以样本容量可得的值；用样本容量减去其它等级的频数可得的值；
根据中位数的定义以及平均数的计算方法解答即可；
用全校人数乘样本中分以上含分所占百分比即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．

19.【答案】证明：连接，如图所示：
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
解：，
又，
，
，
，
，
是等边三角形，
． 
【解析】连接，根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，于是得到答案；
先推出，再证出是等边三角形，得答案．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积计算等知识，熟练掌握切线的判定和等腰三角形的性质，连接是解题的关键．

20.【答案】解：如图，过点作于点，

在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
在中，，
．
答：轮船航行的距离约为． 
【解析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
过点作于点，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离．

21.【答案】   
解：【材料探究】：由证明过程可知，≌的条件是：
，
推理的依据是全等三角形的判定定理“”，
故答案为：；
【问题解决】：如图，
设网格中每个小正方形的边长都为，
将线段向右平移个单位得到线段，则点在格点上，
由勾股定理得，，
，，
是直角三角形，且，
，
由平移得，
故答案为：；
【拓展延伸】：如图，四边形和四边形都是正方形，
，，
，
，
点在上，
作交于点，连接，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
．
【材料探究】：由证明过程可知，≌的依据是全等三角形的判定定理“”，由，证明四边形为平行四边形，依据是平行四边形的定义；
【问题解决】：设网格中每个小正方形的边长都为，将线段向右平移个单位得到线段，根据勾股定理可证明，，则是直角三角形，且，所以；
【拓展延伸】：作交于点，连接，可证明≌，得，，即可证明，则．
此题重点考查平移的性质、平行线的性质、平行四边形的定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．

22.【答案】解：把点代入，得，

把代入反比例函数，
；
反比例函数的表达式为；
解得或，
，
不等式的解集为或；
在直线中，令，则，
，
设，
，
的面积为，
，
，
或，
或． 
解：见答案；
解得或，
，
由图象可知，反比例函数的图像在一次函数的图象的上方时，或，
不等式的解集为或；
见答案．
先把点代入中求出，得到然后把点坐标代入中求出，得到反比例函数的表达式；
将中得到的反比例函数解析式与一次函数解析式联立，解方程组求得的坐标，利用图象即可求得当时，不等式的解集；
求得的坐标，设，则，根据三角形面积公式求得的值，进而即可求得的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是求得交点坐标．

23.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，即，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
≌．
四边形是正方形．
理由：，
，
，
，
，
，
，
，
，
矩形是正方形． 
【解析】本题考查了矩形和正方形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
根据可以证明两三角形全等；
先根据平行线的性质和已知可得，所以是等腰直角三角形，所以，可得结论．

24.【答案】解：设去年这种茶叶每千克的平均批发价是元，则今年这种茶叶每千克的平均批发价是元．
依题意得：，
化简得：，
解得：，
检验后知道：是原方程的根，
．
答：今年这种茶叶每千克的平均批发价是元．
设今年这种茶叶每千克的平均售价为元，
工商部门规定，该茶叶利润率不得超过，
，
，且整数，
茶叶店一天的利润为元，
，
整理得：，
，，
当时，为最大，最大利润，
答：当每千克的平均销售价为元时，该茶叶店一天的利润最大，最大利润是元． 
【解析】设去年这种茶叶每千克的平均批发价是元，则今年这种茶叶每千克的平均批发价是元，然后根据等量关系“今年的销售量去年的销售量千克”列出方程，解方程即可得出答案；
设今年每千克平均销售价为元，先根据“工商部门规定，该茶叶利润率不得超过，”列出不等式，解此不等式求出的取值范围，再根据“总利润每千克的利润销售量”列出函数关系式，根据函数的性质结合的取值范围求出函数的求最值即可．
本题主要考查了二次函数的应用以及列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题和二次函数解应用题的方法与步骤是解答题此的关键．

25.【答案】解：如图，

点是的中点，，
，，
由勾股定理得，，
根据题意可知：，
，，
当时，
，
，
解得；
过点作，，，垂足分别是，，，

点是的中点，，
平分，
，
点是边的中点，
，，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，

；
与的函数关系式为；
存在某一时刻，使得点恰好落在线段上，
则，
延长交于，作于，

，，
，，
，
，
，
，
，，，
∽，
，
，
，
作于，
，
∽，
设，，
，
，
，
．
存在某一时刻，使得点恰好落在线段上，此时． 
【解析】当时，得，代入即可；
过点作，，，垂足分别是，，，多边形的面积，分别表示出每一个小三角形的高即可；
延长交于，作于，由翻折加平行线可证，则，分别表示出和，从而得出方程．
本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，翻折的性质，利用相似三角形表示出线段的长是解题的关键，难度较大．