2023年山东省青岛市市北区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省青岛市市北区中考数学二模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题用圆规，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省青岛市市北区中考数学二模试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．下面四种正多边形的瓷砖图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各数中，绝对值等于的数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
3．如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（　　）

A． B．
C． D．
4．微米通常用来计量微小物体的长度，是红外线等波长、细胞大小、细菌大小等的数量级．1微米相当于1米的一百万分之一．紫外线是一种在电磁波谱中波长从0.01微米～0.4微米辐射的总称，把0.01微米用科学记数法表示是（　　）
A．1×10﹣8m B．0.1×10﹣6m C．0.1×10﹣7m D．1×10﹣7m
5．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（　　）

A．（3，4） B．（4，5） C．（7，4） D．（7，3）
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB为⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，切点为D，若∠BCD＝130°，则∠P的大小为（　　）

A．10° B．40° C．50° D．80°
7．如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第二象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致如（　　）

A． B．
C． D．
8．如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则下列结论正确的有（　　）
①EF＝AF
②
③△BEF的面积是1
④△ABF≌△CBE
⑤∠EBF＝30°

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．计算：＝　 　．
10．我市11月份30天的最高气温变化情况如图所示，将1日﹣15日气温的方差记为S12，15日﹣30日气温的方差记为S22．观察统计图，比较S12，S22的大小：S12　 　S22（填“＞、＝、＜”）．
11．若一个圆内接正六边形的边长是4cm，则这个正六边形的中心角为 　 　度，边心距为 　 　cm．
12．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 　 　．
13．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg才有效，那么此次消毒的有效时间是 　 　分钟．

14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2023次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 　 　．

三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．已知：如图，点P是∠ABC的边BC上的一点．
求作：⊙O，使点O在∠ABC的角平分线上，且⊙O经过B、P两点．

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（1）解不等式组；
（2）化简．
17．现有三张正面分别标有数字2，3，5的纸牌，且除数字外这些牌完全相同，小明和小亮用这三张牌做游戏：将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，小明从中随机抽取一张牌，记录数字后，背面朝上放回洗匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取的数字和为2的倍数，则小明获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则小亮获胜．
（1）请用树状图或列表的方法表示游戏中所有可能出现的结果．
（2）这是一个对游戏双方公平的游戏吗？请说明理由．
18．为了更好地传承中华优秀传统文化，4月初，朝阳中学开展了唐诗宋词知识竞赛活动，以一种新的方式与诗词对话，与古人为友．答题结束后，从初一、初二年级随机抽取了20份测试成绩（百分制，单位：分）如下：
初一
94
100
89
95
62
75
93
86
86
93
95
95
88
94
95
68
92
80
78
92
初二
100
98
98
97
96
95
92
92
92
92
86
87
88
83
78
78
74
67
66
91
通过整理，两组数据的平均数、中位数、众数和方差如下表所示：

平均数
中位数
众数
方差
初一
87.5
92
m
95.35
初二
87.5
n
92
97.85
某同学将初一学生得分按分数段（60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），绘制成频数分布直方图，初二同学得分绘制成扇形统计图，如图所示（均不完整）．
​
请根据上述信息完成下列各题：
（1）初一学生得分的众数m＝　 　；初二学生得分的中位数n＝　 　；
（2）补全频数分布直方图：扇形统计图中，70≤x＜80所对应的圆心角为 　 　度；
（3）根据以上数据，你认为初一、初二年级中，哪个年级学生唐诗宋词知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
19．小颖乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车原路返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，若小颖回来路上所花的时间比去时所用时间节省了，求公共汽车的平均速度．
20．如图，在东西方向海岸线l上有三个码头A、C和B，在A处测得轮船M在它的北偏东48°方向，同一时刻在C处测得轮船M在它的北偏东37°方向，AC＝50公里，如果轮船M从这个位置开始沿着南偏东22°的方向航行可以抵达B，求此时的轮船M距离码头B有多远．（结果保留一位小数）
参考数据：sin37°≈0.60，tan37°≈0.75，，，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．
​

21．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点F为AC的中点，连接FD并延长至点E，使FD＝DE，连接BF，CE和BE．
（1）判断并证明四边形BEFA的形状；
（2）为△ABC添加一个条件，使四边形BECF是矩形．请证明你的结论．

22．某商场试销A、B两种型号的台灯，下表是两次进货情况统计：
进货情况
进货次数
进货数量（台）
进货资金（元）
A
B
第一次
5
3
230
第二次
10
4
440
（1）求A、B两种型号台灯的进价各为多少元？
（2）经试销发现，A型号台灯售价x（元）与销售数量y（台）满足关系式2x+y＝140，此商场决定两种型号台灯共进货100台，并一周内全部售出，若B型号台灯售价定为20元，求A型号台灯售价定为多少时，商场可获得最大利润？并通过计算说明商场获得最大利润时的进货方案．
23．如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，称△ABC这样的三角形为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝　 　，b＝　 　；
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝　 　，b＝　 　．
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对a2，b2，c2三者之间关系的猜想，并利用图3证明a2，b2，c2三者之间的关系．

24．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；直线PE平行BD，与AD边相交于点E，与AC边相交于点M；点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s，QF⊥BC，垂足为F．设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）求证：△APM≌△CQF；
（2）设多边形PEQFB的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）连接DQ，将线段DQ绕点D逆时针旋转，旋转角的度数等于∠ADC的度数，Q的
对应点为R，连接OR，则在Q的运动时间内，是否存在OR的最小值？存在请直接给出t
的值；不存在请说明理由．
​


参考答案
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．下面四种正多边形的瓷砖图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是轴对称图形和中心对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形概念是解题的关键．
2．下列各数中，绝对值等于的数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质分别判断得出答案．
解：A．2的绝对值是2，故此选项不合题意；
B．﹣2的绝对值是2，故此选项不合题意；
C．﹣的绝对值是，故此选项符合题意；
D．（﹣）﹣1＝﹣2的绝对值是2，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值以及负整数指数幂的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
3．如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据几何体三个特殊面的相对位置得出结论即可．
解：由题意知，图形经过折叠能围成题中正方体纸盒，
故选：B．
【点评】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．
4．微米通常用来计量微小物体的长度，是红外线等波长、细胞大小、细菌大小等的数量级．1微米相当于1米的一百万分之一．紫外线是一种在电磁波谱中波长从0.01微米～0.4微米辐射的总称，把0.01微米用科学记数法表示是（　　）
A．1×10﹣8m B．0.1×10﹣6m C．0.1×10﹣7m D．1×10﹣7m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.01微米＝0.01×0.000001米＝1×10﹣8．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
5．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（　　）

A．（3，4） B．（4，5） C．（7，4） D．（7，3）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，利用旋转的性质可得出O′A，O′B′的长，再结合图中点B′的位置，即可得出点B'的坐标．
解：当x＝0时，y＝﹣×0+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），OB＝4；
当y＝0时，﹣x+4＝0，
解得：x＝3，
∴点A的坐标为（3，0），OA＝3．
由旋转可知：O′A＝OA＝3，O′B′＝OB＝4，
∴点B′的坐标为（3+4，3），即（7，3）．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化﹣旋转，利用一次函数图象上点的坐标特征及旋转的性质，找出点B'的坐标是解题的关键．
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB为⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，切点为D，若∠BCD＝130°，则∠P的大小为（　　）

A．10° B．40° C．50° D．80°
【分析】连接OD，利用圆的内接四边形的对角互补，求得∠OAD的度数，利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质求得∠AOD的度数，利用圆的切线的性质定理和直角三角形的两个锐角互余即可求得结论．
解：连接OD，如图，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∵∠BCD＝130°，
∴∠DAB＝50°．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ODA＝80°．
∵PD与⊙O相切，
∴OD⊥PD，
∴∠ODP＝90°，
∴∠P+∠AOD＝90°，
∴∠P＝10°．
故选：A．

【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆内接四边形的性质，圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
7．如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第二象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致如（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．
解：由二次函数的图象可知，
a＜0，b＜0，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b＞0，
∴y＝（a﹣b）x+b的图象在第一、三、四象限，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
8．如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则下列结论正确的有（　　）
①EF＝AF
②
③△BEF的面积是1
④△ABF≌△CBE
⑤∠EBF＝30°

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由锐角三角函数可求∠EBC＝30°，由角平分线的性质可求∠ABF＝∠EBF＝∠ABE＝30°，故⑤正确；由等腰三角形的性质可求EF的长，可得EF≠AF，故①错误，由三角形中位线定理可求MN的长，故②正确；由角平分线的性质和三角形的面积公式可求△BEF的面积＝1，故③正确；由“SAS”可证△ABF≌△CBE，即可求解．
解：如图：过点F作FH⊥BE，交BE于H，

∵正方形ABCD的面积为3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝，
∵CE＝1，
∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，BE＝2EC＝2，
∵AF平分∠ABE，
∴∠ABF＝∠EBF＝∠ABE＝30°，故⑤正确；
在Rt△ABF中，AF＝＝1，
∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，
∴EF≠AF，故①错误，
∵M，N分别是BE，BF的中点，
∴MN是△BEF的中位线，
∴MN＝EF＝；故②正确；
∵AF平分∠ABE，FH⊥BE，∠A＝90°，
∴AF＝FH＝1，
∴△BEF的面积＝×2×1＝1，故③正确；
∵AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，AF＝CE，
∴△ABF≌△CBE（SAS），故④正确；
故选：C．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．计算：＝　﹣　．
【分析】先根据二次根式的乘除法法则和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的减法法则进行计算即可．
解：
＝﹣3
＝﹣3
＝2﹣3
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
10．我市11月份30天的最高气温变化情况如图所示，将1日﹣15日气温的方差记为S12，15日﹣30日气温的方差记为S22．观察统计图，比较S12，S22的大小：S12　＜　S22（填“＞、＝、＜”）．
【分析】根据折线图的气温波动大小即可判断方差的大小．
解：根据折线图可以看出，1日﹣15日气温的比15日﹣30日气温的波动小，
∴S12＜S22．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了折线图和方差，根据折线图来判断方差的大小是关键．
11．若一个圆内接正六边形的边长是4cm，则这个正六边形的中心角为 　60　度，边心距为 　2　cm．
【分析】根据圆内接正六边形的中心角以及边心距的的计算方法进行计算即可．
解：如图，正六边形ABCDEF内接于O，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB于M，
正六边形的中心角∠AOB＝＝60°，
在Rt△AOM中，
OM＝OA＝2（cm），
即边心距为2cm，
故答案为：60，2．

【点评】本题考查正多边形和圆，掌握圆内接正多边形的性质是正确解答的前提．
12．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 　　．
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边除以3，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到a、b的值，然后计算它们的和即可．
解：3x2+6x﹣1＝0，
x2+2x＝，
x2+2x+1＝+1，
（x+1）2＝，
所以a＝1，b＝，
所以a+b＝1+＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
13．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg才有效，那么此次消毒的有效时间是 　12　分钟．

【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入y＝3求出两个自变量的差即为有效时间．
解：设药物燃烧时y与x的函数关系式为y＝kx（k＞0），
把（8，6）代入上式得，8k＝6，
∴k＝，
∴y＝x（0≤x≤8）；
设药物燃烧完后y与x的函数关系式为y＝（k1＞0），
把（8，6）代入上式得，＝6，
∴k1＝48，
∴y＝（x＞8），
当y＝3时，x＝3，x＝4；＝3，x＝16，
∴此次消毒的有效时间为16﹣4＝12（分钟），
故答案为：12．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，读懂题意求出函数解析式是解题的关键．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2023次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 　3036π　．

【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．
解：∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝BD＝5，
转动一次A的路线长是：＝2π，
转动第二次的路线长是：＝π，
转动第三次的路线长是：＝π，
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：+π+2π＝6π，
2023÷4＝505余3，
顶点A转动四次经过的路线长为：6π×506＝3036π．
故答案为：3036π．
【点评】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．已知：如图，点P是∠ABC的边BC上的一点．
求作：⊙O，使点O在∠ABC的角平分线上，且⊙O经过B、P两点．

【分析】先作∠AOB的平分线OD，再作BP的垂直平分线交OD于点O，接着以O点为圆心，OB为半径作圆，由于OP＝OB，所以⊙O经过点P．
解：如图，先作∠AOB的平分线OD，再作BP的垂直平分线交OD于点O，接着以O点为圆心，OB为半径作圆，
则⊙O为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（1）解不等式组；
（2）化简．
【分析】（1）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集；
（2）先算括号内的式子，然后算括号外的乘法即可．
解：（1），
解不等式①，得：x＜3，
解不等式②，得：x≤1，
故原不等式组的解集为x≤1；
（2）
＝•
＝•
＝﹣．
【点评】本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．现有三张正面分别标有数字2，3，5的纸牌，且除数字外这些牌完全相同，小明和小亮用这三张牌做游戏：将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，小明从中随机抽取一张牌，记录数字后，背面朝上放回洗匀，小亮再随机抽取一张．若两人抽取的数字和为2的倍数，则小明获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则小亮获胜．
（1）请用树状图或列表的方法表示游戏中所有可能出现的结果．
（2）这是一个对游戏双方公平的游戏吗？请说明理由．
【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果；
（2）找出数字和为偶数的结果数和数字和为5的倍数的结果数，接着计算出小明获胜的概率和小亮获胜的概率，然后比较两个概率的大小可判断游戏是否公平．
解：（1）画树状图为：

（2）这个游戏对双方不公平，理由如下：
由树状图知，共有9种等可能的结果，其中数字和为偶数的结果数为5，数字和为5的倍数的结果数为3，
所以小明获胜的概率＝，小亮获胜的概率＝，
因为＞，
所以这个游戏对双方不公平．
【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．
18．为了更好地传承中华优秀传统文化，4月初，朝阳中学开展了唐诗宋词知识竞赛活动，以一种新的方式与诗词对话，与古人为友．答题结束后，从初一、初二年级随机抽取了20份测试成绩（百分制，单位：分）如下：
初一
94
100
89
95
62
75
93
86
86
93
95
95
88
94
95
68
92
80
78
92
初二
100
98
98
97
96
95
92
92
92
92
86
87
88
83
78
78
74
67
66
91
通过整理，两组数据的平均数、中位数、众数和方差如下表所示：

平均数
中位数
众数
方差
初一
87.5
92
m
95.35
初二
87.5
n
92
97.85
某同学将初一学生得分按分数段（60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），绘制成频数分布直方图，初二同学得分绘制成扇形统计图，如图所示（均不完整）．
​
请根据上述信息完成下列各题：
（1）初一学生得分的众数m＝　95　；初二学生得分的中位数n＝　90.5　；
（2）补全频数分布直方图：扇形统计图中，70≤x＜80所对应的圆心角为 　54　度；
（3）根据以上数据，你认为初一、初二年级中，哪个年级学生唐诗宋词知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义，求出初一的众数，初二的中位数即可；
（2）求出初一学生得分在80≤x＜90范围的人数，即可补全频数分布直方图，初二学生得分在70≤x＜80的频数是3，占调查人数的，因此相应的圆心角的度数占360°的；
（3）从中位数、平均数、众数、方差的角度比较做出判断即可．
解：（1）初一学生得分出现次数最多的是95，共出现4次，
因此众数是95，即m＝95，
初二学生得分从小到大排列后处在中间位置的两个数是92和91，
因此中位数，
故答案为：95，90.5；
（2）初一学生得分在80≤x＜90范围的人数5人，补全频数分布直方图如下：

初二学生得分在70≤x＜80相应的圆心角为，
故答案为：54；
（3）初一学生诗词知识掌握较好．
理由：初一学生得分的平均分一样，但众数、中位数都比初二的高，方差比初二的小．
【点评】本题考查频数分布直方图的意义和制作方法、扇形统计图，中位数、众数、平均数的意义，用样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是得出正确答案的前提．
19．小颖乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车原路返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，若小颖回来路上所花的时间比去时所用时间节省了，求公共汽车的平均速度．
【分析】设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合小颖回来路上所花的时间比去时所用时间节省了，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时，
根据题意得：×（1﹣）＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意．
答：公共汽车的平均速度为60千米/时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20．如图，在东西方向海岸线l上有三个码头A、C和B，在A处测得轮船M在它的北偏东48°方向，同一时刻在C处测得轮船M在它的北偏东37°方向，AC＝50公里，如果轮船M从这个位置开始沿着南偏东22°的方向航行可以抵达B，求此时的轮船M距离码头B有多远．（结果保留一位小数）
参考数据：sin37°≈0.60，tan37°≈0.75，，，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40．
​

【分析】过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，解直角三角形求出CD和AD，进而求出DM，连接MB，在Rt△DMB中求出MB即可．
解：过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，连接MB，
由题意知：∠AMD＝48°，∠CMD＝37°，∠DMB＝22°，
设DM＝x公里，
在Rt△CDM中，CD＝DM•tan∠CMD＝x•tan37°，
在Rt△ADM中，AD＝DM•tan∠AMD＝x•tan48°，
∵AC＝50公里，AC+CD＝AD，
∴50+x•tan37°＝x•tan48°，
即50+0.75x＝1.1x，
解得：x≈142.85，
∴DM＝142.85公里，
在Rt△DMB中，MB＝≈＝153.6（公里），
答：此时的轮船M距离码头B有153.6公里．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，读懂题目信息并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点F为AC的中点，连接FD并延长至点E，使FD＝DE，连接BF，CE和BE．
（1）判断并证明四边形BEFA的形状；
（2）为△ABC添加一个条件，使四边形BECF是矩形．请证明你的结论．

【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到BD＝CD＝BC，DF＝DE＝AC，于是得到结论．
解：（1）四边形BEFA的形状是平行四边形，
理由：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴D为BC的中点，
∵点F为AC的中点，
∴DF∥AB，DF＝AB，
∵ED＝FD，
∴AB∥EF，AB＝EF，
∴四边形BEFA是平行四边形；
（2）当AB＝BC时，四边形BECF是矩形，
∵AB＝BC＝AC，
∴BD＝CD＝BC，DF＝DE＝AC，
∴BC＝EF，
∴四边形BECF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
22．某商场试销A、B两种型号的台灯，下表是两次进货情况统计：
进货情况
进货次数
进货数量（台）
进货资金（元）
A
B
第一次
5
3
230
第二次
10
4
440
（1）求A、B两种型号台灯的进价各为多少元？
（2）经试销发现，A型号台灯售价x（元）与销售数量y（台）满足关系式2x+y＝140，此商场决定两种型号台灯共进货100台，并一周内全部售出，若B型号台灯售价定为20元，求A型号台灯售价定为多少时，商场可获得最大利润？并通过计算说明商场获得最大利润时的进货方案．
【分析】（1）根据题意列方程解答即可；
（2）根据题意求得函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）设A、B两种型号台灯的进价分别为x元，y元，
由题意得，，
解得：，
答：A、B两种型号台灯的进价分别为40元，10元；
（2）∵A型号台灯售价x（元）与销售数量y（台）满足关系式2x+y＝140，此商场决定两种型号台灯共进货100台，即y＝﹣2x+140，则B型号台灯共进货（100﹣y）台＝（2x﹣40）台，
设商场可获得利润为w，则w＝（x﹣40）（﹣2x+140）+（20﹣10）（2x﹣40）＝﹣2x2+240x﹣6000＝﹣2（x﹣60）2+1200，
∵﹣2＜0，
∴A型号台灯售价定为60元时，商场可获得最大利润为1200元．
此时A种进20台，B种进80台．
【点评】本题主要考查了方程的应用和二次函数的实际应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定售价在多少元时，总利润最大是解决问题的关键．
23．如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，称△ABC这样的三角形为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝　2　，b＝　2　；
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝　2　，b＝　2　．
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对a2，b2，c2三者之间关系的猜想，并利用图3证明a2，b2，c2三者之间的关系．

【分析】（1）如图1，由∠ABE＝45°，c＝2，得到AP＝BP＝2，根据平行线分线段成比例定理列比例式可得PE，PF长，由勾股定理计算AE和BF的长，最后由中线的定义可得a和b的长即可；如图2，同理根据含30°角的直角三角形的性质可得结论；
（2）设PF＝m，PE＝n，由＝＝＝得到AP＝2m，PB＝2n，再由勾股定理可得结论即可．
解：（1）如图1．连接EF，

∵AF，BE是△ABC的中线，
∴AF⊥BE，
∴∠APB＝∠APE＝90°，
当∠ABE＝45°，c＝2时，AP＝PB＝2，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF∥AB，EF＝AB＝，
∴＝＝＝，
∴PE＝PF＝1，
由勾股定理得：AE＝＝＝，
BF＝＝＝，
∴b＝2AE＝2，a＝2BF＝2；
如图2，连接EF，
当∠ABE＝30°，c＝4时，
在Rt△APB中，AB＝c＝4，∠ABE＝30°，
∴AP＝AB＝2，PB＝2，
∵EF∥BC，
∴＝＝＝，
∴PE＝，PF＝1，
由勾股定理得：AE＝＝＝，
BF＝＝＝，
∴b＝2AE＝2，a＝2BF＝2；
故答案为：2，2，2，2；
（2）猜想：a2+b2＝5c2，理由如下：
如图3，连接EF，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，且EF＝AB＝c，
∴＝＝＝，
设PF＝m，PE＝n，
∴AP＝2m，PB＝2n，
在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2＝c2，
在Rt△APE中，（2m）2+n2＝（b）2，
在Rt△FPB中，m2+（2n）2＝（a）2，
∴a2+b2＝5c2．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，三角形中线，三角形中位线，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，根据条件表示相关的线段是解本题的关键．
24．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；直线PE平行BD，与AD边相交于点E，与AC边相交于点M；点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s，QF⊥BC，垂足为F．设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）求证：△APM≌△CQF；
（2）设多边形PEQFB的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）连接DQ，将线段DQ绕点D逆时针旋转，旋转角的度数等于∠ADC的度数，Q的
对应点为R，连接OR，则在Q的运动时间内，是否存在OR的最小值？存在请直接给出t
的值；不存在请说明理由．
​
【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可；
（2）根据y＝菱形ABCD的面积﹣△APE的面积﹣△CFQ的面积﹣四边形CQED的面积，求解即可；
（3）证明△ADR≌△CDQ（SAS），推出AR＝CQ，∠DAR＝∠DCQ，∠DAC＝∠DCA＝∠ACB，推出∠CAR＝∠DCK，推出点在射线AR上运动，当OR⊥AR时，OR的值最小．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴∠PAM＝∠QCF，
∵PE⊥BD，
∴∠AMP＝∠AOB＝90°，
∵QF⊥CB，
∴∠CFA＝∠AMP＝90°，
∵AP＝CQ＝t，
∴△APM≌△CQF（AAS）；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC＝8，OB＝OD＝6．
∴AB＝BC＝CD＝AD＝＝10，
∴PM＝AP•sin∠BAO＝t，AM＝t，
同法EM＝t，CF＝t．FQ＝t，
∴y＝菱形ABCD的面积﹣△APE的面积﹣△CFQ的面积﹣四边形CQED的面积
＝×16×12﹣×t×t﹣×t×t﹣[48﹣×（16﹣t）×t]
＝﹣t2+t+48（0＜t＜8）．

（3）解：存在．
理由：如图，连接AR，过点D作DK⊥CB于点K．

∵菱形ABCD的面积＝BC•DK＝9.6，
∴DK＝9.6，
∴CK＝＝＝2.8，
∴cos∠DCB＝＝＝，
∵∠ADC＝∠RDQ，
∴∠ADR＝∠CDQ，
∵DA＝DC，DR＝DQ，
∴△ADR≌△CDQ（SAS），
∴AR＝CQ，∠DAR＝∠DCQ，
∵∠DAC＝∠DCA＝∠ACB，
∴∠CAR＝∠DCK，
∴点在射线AR上运动，当OR⊥AR时，OR的值最小，此时CQ＝AR＝OA•cos∠OAR＝8×cos∠DCK＝8×＝，
∴t＝．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．