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2020-2021学年山东省枣庄市薛城区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年山东省枣庄市薛城区八年级（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省枣庄市薛城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共36分
1．（3分）若分式中x和y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍
C．缩小到原来的 D．不变
2．（3分）如图，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°，嘉琪发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：
点A，C分别转到了点C，A处，
而点B转到了点D处，
∵CB＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
小明为保证嘉琪的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（ ）
A．嘉琪推理严谨，不必补充
B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD
D．应补充：且OA＝OC
3．（3分）如图，已知等腰△ABC的底角∠C＝15°，顶点B到边AC的距离是3cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
4．（3分）把式子2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）分解因式，结果是（ ）
A．（a﹣2）（2x+y） B．（2﹣a）（2x+y）
C．（a﹣2）（2x﹣y） D．（2﹣a）（2x﹣y）
5．（3分）小红同学在某数学兴趣小组活动期间，用铁丝设计并制作了如图所示的三种不同的图形，请您观察甲、乙、丙三个图形，判断制作它们所用铁丝的长度关系是（ ）
A．制作甲种图形所用铁丝最长
B．制作乙种图形所用铁丝最长
C．制作丙种图形所用铁丝最长
D．三种图形的制作所用铁丝一样长
6．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．（3分）如图，已知四边形ABCD中，E是CD边上的一个动点，F是AD边上的一个定点，G，H分别是EF，EB的中点，当点E在CD上从C向D逐渐移动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段GH的长逐渐增大
B．线段GH的长逐渐减少
C．线段GH的长保持不变
D．线段GH的长先增大后减小
8．（3分）如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B＝230°，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．140° B．180° C．230° D．320°
9．（3分）在方格中，在标有序号①②③④的小正方形中选一个涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．1或4
11．（3分）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB⊥AC，AC的垂直平分线交AD于点E，△CDE的周长是15，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．40 C．50 D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，那么点A2021的坐标是（ ）
A．（，﹣） B．（﹣，﹣） C．（1，0） D．（0，﹣1）
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）代数式有意义，则x的取值范围是 ．
14．（4分）把a3﹣4ab2分解因式，结果为 ．
15．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，BE平分∠ABC交CD于点E，若AB＝15，BC＝6，则EF的长为 ．
16．（4分）现规定一种新运算，a※b＝2a﹣b，其中a、b为常数．已知关于x的不等式k※x≤3的解集在数轴上表示如图，则k的值为 ．
17．（4分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为 ．
18．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题（本题共7道大题，满分60分）
19．（8分）例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”
得①，或②，
解不等式组①得，x＞2，
解不等式组②得，x＜﹣3，
所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3．
阅读例题，尝试解决下列问题：
（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；
（2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围．
20．（8分）已知某正多边形的一个内角都比它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
21．（8分）先化简，再求值÷﹣（+1），其中x是不等式组的整数解．
22．（8分）如图，▱ABCD对角线AC、BD相交点O，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接BE、ED、DF、FB．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）若BE＝3，EF＝2，求BD的长．
23．（8分）为打赢“扶贫攻坚战”，某单位计划选购甲、乙两种果树苗送给贫困户，已知甲种果树苗单价比乙种果树苗的单价高10元，若用500元单独购买甲种果树苗与300元单独购买乙种果树苗的数量相同．
（1）请问甲，乙两种果树苗的单价各为多少元？
（2）如果该单位计划购买甲，乙两种水果树苗共5500棵，总费用不超过92500元，则甲种果树苗最多可以购买多少棵？
24．（10分）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，a（b+c+d）＝ab+ac+ad是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到ab+ac+ad＝a（b+c+d），这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如（a±b）2＝a2±2ab+b2、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到a2±2ab+b2＝（a±b）2、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（分别提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）；
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）．
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解．
问题一：因式分解：
（1）m3﹣2m2﹣4m+8；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
问题二：探究
对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）（其中m，n均为非零常数）．当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x、y都成立，试探究m，n的数量关系．
25．（10分）（1）如图1所示，在△ABC中，D为BC的中点，求证：AB+AC＞2AD
甲说：不可能出现△ABD≌△ACD，所以此题无法解决；
乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE、CE，由于BD＝DC，所以可得四边形ABEC是平行四边形，请写出此处的依据：
（平行四边形判定的文字描述）
所以AC＝BE，△ABE中，AB+BE＞AE，
即AB+AC＞2AD
请根据乙提供的思路解决下列问题：
（2）如图2，在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AC＝3，AD＝2，求△ABC的面积；
（3）如图3，在△ABC中，D为BC的中点，M为AC的中点，连接BM交AD于F，若AM＝MF．求证：BF＝AC
2020-2021学年山东省枣庄市薛城区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共36分
1．（3分）若分式中x和y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍
C．缩小到原来的 D．不变
【分析】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，
得，可见新分式与原分式的值不变．
故选：D．
2．（3分）如图，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°，嘉琪发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：
点A，C分别转到了点C，A处，
而点B转到了点D处，
∵CB＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
小明为保证嘉琪的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（ ）
A．嘉琪推理严谨，不必补充
B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD
D．应补充：且OA＝OC
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
【解答】解：∵CB＝AD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故应补充“AB＝CD”，
故选：B．
3．（3分）如图，已知等腰△ABC的底角∠C＝15°，顶点B到边AC的距离是3cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】∵根据等腰三角形的性质可求∠BAD＝30°，根据含30°的直角三角形的性质可求AB，进一步求得AC．
【解答】解：∵等腰△ABC的底角∠C＝15°，
∴∠ABC＝15°，
∴∠BAD＝15°+15°＝30°，
在Rt△ADB中，∠D＝90°，BD＝3cm，
∴AB＝2BD＝6cm，
∴AC＝AB＝6cm．
故选：D．
4．（3分）把式子2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）分解因式，结果是（ ）
A．（a﹣2）（2x+y） B．（2﹣a）（2x+y）
C．（a﹣2）（2x﹣y） D．（2﹣a）（2x﹣y）
【分析】直接提取公因式（a﹣2），进而分解因式即可．
【解答】解：2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）
＝（a﹣2）（2x+y）．
故选：A．
5．（3分）小红同学在某数学兴趣小组活动期间，用铁丝设计并制作了如图所示的三种不同的图形，请您观察甲、乙、丙三个图形，判断制作它们所用铁丝的长度关系是（ ）
A．制作甲种图形所用铁丝最长
B．制作乙种图形所用铁丝最长
C．制作丙种图形所用铁丝最长
D．三种图形的制作所用铁丝一样长
【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．
【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
故选：D．
6．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：﹣
＝﹣
＝
＝．
故从第②步开始出现错误．
故选：B．
7．（3分）如图，已知四边形ABCD中，E是CD边上的一个动点，F是AD边上的一个定点，G，H分别是EF，EB的中点，当点E在CD上从C向D逐渐移动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段GH的长逐渐增大
B．线段GH的长逐渐减少
C．线段GH的长保持不变
D．线段GH的长先增大后减小
【分析】连接BF，根据三角形中位线定理得到GH＝BF，得到线段GH的长保持不变．
【解答】解：连接BF，
∵G，H分别是EF，EB的中点，
∴GH是△EFB的中位线，
∴GH＝BF，
∵F是AD边上的一个定点，
∴BF的长是不变的，
∴当点E在CD上从C向D逐渐移动时，线段GH的长保持不变，
故选：C．
8．（3分）如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B＝230°，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．140° B．180° C．230° D．320°
【分析】直接利用多边形内角和定理以及多边形外角的性质分析得出答案．
【解答】解：∵五边形ABCDE，∠A+∠B＝230°，
∴∠AED+∠EDC+∠BCD＝540°﹣230°＝310°，
又∵∠AED+∠EDC+∠BCD+∠1+∠2+∠3＝540°，
∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣310°＝230°．
故选：C．
9．（3分）在方格中，在标有序号①②③④的小正方形中选一个涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案．
【解答】解：将②涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，
故选：B．
10．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．1或4
【分析】根据增根的定义求出a值．
【解答】解：两边同乘（x﹣1）得：ax＝4+x﹣1．
∴（a﹣1）x＝3．
∵方程有增根．
∴x＝1．
∴a＝4+1﹣1．
∴a＝4．
故选：C．
11．（3分）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB⊥AC，AC的垂直平分线交AD于点E，△CDE的周长是15，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．40 C．50 D．
【分析】首先证明AD+CD＝15，再证明AD＝2CD，推出CD＝5，AD＝10，利用勾股定理求出AC即可解决问题；
【解答】解：∵点E在AC的垂直平分线上，
∴EA＝EC，
∴△CDE的周长＝CD+DE+EC＝CD+DE+EA＝CD+DA＝15，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD，
∴CD＝5，AD＝10，
∴AC＝＝5，
∴S平行四边形ABCD＝2•S△ADC＝2××＝25，
故选：D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，那么点A2021的坐标是（ ）
A．（，﹣） B．（﹣，﹣） C．（1，0） D．（0，﹣1）
【分析】由正方形的性质和旋转的性质探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A（0，1），
∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），A4（0，﹣1）…，
发现是8次一循环，
∵2021÷8＝252…5，
∴点A2021的坐标为（﹣，﹣），
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）代数式有意义，则x的取值范围是 x＞1 ．
【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件可得x﹣1＞0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故答案为：x＞1．
14．（4分）把a3﹣4ab2分解因式，结果为 a（a+2b）（a﹣2b） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣4b2）＝a（a+2b）（a﹣2b），
故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）
15．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，BE平分∠ABC交CD于点E，若AB＝15，BC＝6，则EF的长为 3 ．
【分析】根据平行四边形的性质可知∠AFD＝∠BAF，又因为AF平分∠ABC，所以∠DAF＝∠BAF，则∠AFD＝∠DAF，则AD＝FD＝6，同理可证CE＝6，继而可求得EF＝CD﹣DF﹣CE．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠AFD＝∠BAF，
∵AF平分∠ABC，
∴∠DAF＝∠BAF，
则∠AFD＝∠DAF，
∴AD＝FD＝6，
同理可证：CE＝6，
则EF＝CD﹣DF﹣CE＝15﹣6﹣6＝3．
故答案为：3．
16．（4分）现规定一种新运算，a※b＝2a﹣b，其中a、b为常数．已知关于x的不等式k※x≤3的解集在数轴上表示如图，则k的值为 1 ．
【分析】根据k※x≤3得出2k﹣x≤3，求出不等式的解集是x≥﹣3+2k，根据数轴得出﹣3+2k＝﹣1，再求出k即可．
【解答】解：∵k※x≤3，
∴2k﹣x≤3，
∴﹣x≤3﹣2k，
∴x≥﹣3+2k，
从数轴可知：﹣3+2k＝﹣1，
解得：k＝1，
故答案为：1．
17．（4分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为 24+9 ．
【分析】连接PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根据旋转的性质得AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ＝AP＝6，接着证明△APC≌△ABQ得到PC＝QB＝10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ进行计算．
【解答】解：连接PQ，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，
∴AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60°，
∴△APQ为等边三角形，
∴PQ＝AP＝6，
∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，
∴∠CAP＝∠BAQ，
在△APC和△ABQ中，
，
∴△APC≌△ABQ，
∴PC＝QB＝10，
在△BPQ中，∵PB2＝82＝64，PQ2＝62，BQ2＝102，
而64+36＝100，
∴PB2+PQ2＝BQ2，
∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，
∴S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ＝×6×8+×62＝24+9．
故答案为24+9．
18．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间 2或 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当Q运动到E和B之间，（2）当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD＝QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．
【解答】解：由已知梯形，
（1）当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
2t﹣＝6﹣t，
解得：t＝，
（2）当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：
﹣2t＝6﹣t，
解得：t＝2，
故答案为：2或．
三、解答题（本题共7道大题，满分60分）
19．（8分）例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”
得①，或②，
解不等式组①得，x＞2，
解不等式组②得，x＜﹣3，
所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3．
阅读例题，尝试解决下列问题：
（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；
（2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围．
【分析】（1）根据题目所给信息，进行计算x2＝9，x＝±3，当x＞3或x＜﹣3时即可得出答案；
（2）根据两数相除，异号得负，可得或解不等式组即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可知，∵x2＝9，x＝±3，
∴不等式的解集为x＞3或x＜﹣3；
（2）由实数的运算法则：“两数相除，异号得负”，
得，或，
解不等式组①得，﹣1＜x＜2，
解不等式组②得，无解，
所以若分式值为负数，则x应满足﹣1＜x＜2，
所以原不等式的解集为﹣1＜x＜2．
20．（8分）已知某正多边形的一个内角都比它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
【分析】（1）设这个正多边形的一个外角的度数为x°，利用一个内角与相邻外角互补得到180°﹣x°＝3x°+20°，解得x°＝40°，再由180°﹣x°即可计算；
（2）根据外角和定理计算出正多边形的边数，然后根据多边形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）设这个正多边形的一个外角的度数为x°，
根据题意得180﹣x＝3x+20，解得x＝40，
180°﹣x°＝140°，
所以这个正多边形一个内角的度数140°；
（2）因为这个正多边形的一个外角的度数为40°，
所以这个正多边形边数＝360°÷40°＝9，
所以这个正多边形的内角和是（9﹣2）×180°＝1260°．
21．（8分）先化简，再求值÷﹣（+1），其中x是不等式组的整数解．
【分析】原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝，
不等式组解得：3＜x＜5，即整数解x＝4，
则原式＝．
22．（8分）如图，▱ABCD对角线AC、BD相交点O，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接BE、ED、DF、FB．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）若BE＝3，EF＝2，求BD的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AB＝CD，再证△ABE≌△CDF（AAS），得出AE＝CF，则OE＝OF，即可得出结论；
（2）由（1）得OE＝OF＝1，再由勾股定理得出OB的长，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）解：由（1）得：OE＝OF＝EF＝1，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO＝90°，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2．
23．（8分）为打赢“扶贫攻坚战”，某单位计划选购甲、乙两种果树苗送给贫困户，已知甲种果树苗单价比乙种果树苗的单价高10元，若用500元单独购买甲种果树苗与300元单独购买乙种果树苗的数量相同．
（1）请问甲，乙两种果树苗的单价各为多少元？
（2）如果该单位计划购买甲，乙两种水果树苗共5500棵，总费用不超过92500元，则甲种果树苗最多可以购买多少棵？
【分析】（1）设甲种果树苗的单价为x元，则乙种果树苗的单价为（x﹣10）元，根据“用500元单独购买甲种果树苗与300元单独购买乙种果树苗的数量相同”列出方程并解答；
（2）设甲种果树苗可以购买y棵，根据“总费用不超过92500元”列出不等式并解答即可．
【解答】解：（1）设甲种果树苗的单价为x元，则乙种果树苗的单价为（x﹣10）元，
根据题意，得＝．
解得x＝25，
经检验x＝25是原方程的解．
则x﹣10＝15．
答：甲种果树苗的单价为25元，则乙种果树苗的单价为15元．
（2）设甲种果树苗可以购买y棵，
根据题意，得25y+15（5500﹣y）≤92500．
解得y≤1000．
答：甲种果树苗最多可以购买1000棵．
24．（10分）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，a（b+c+d）＝ab+ac+ad是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到ab+ac+ad＝a（b+c+d），这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如（a±b）2＝a2±2ab+b2、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到a2±2ab+b2＝（a±b）2、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（分别提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）；
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）．
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解．
问题一：因式分解：
（1）m3﹣2m2﹣4m+8；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
问题二：探究
对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）（其中m，n均为非零常数）．当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x、y都成立，试探究m，n的数量关系．
【分析】（1）套用例子两两进行分组解决问题即可；
（2）是新定义题，列出式子，左右进行对比得出答案．
【解答】解：问题一：（1）m3﹣2m2﹣4m+8
＝m2（m﹣2）﹣4（m﹣2）
＝（m﹣2）（m2﹣4）
＝（m﹣2）（m﹣2）（m+2）
＝（m﹣2）2（m+2）；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9
＝（x﹣y）2﹣9
＝（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）；
问题二：∵F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y），
F（y，x）＝（my+nx）（3y﹣x），
又∵F（x，y）＝F（y，x），
∴（mx+ny）（3x﹣y）＝（my+nx）（3y﹣x），
3mx2+（3n﹣m）xy﹣ny2＝﹣nx2+（3n﹣m）xy+3my2，
∵x2≠y2，
∴3m＝﹣n．
25．（10分）（1）如图1所示，在△ABC中，D为BC的中点，求证：AB+AC＞2AD
甲说：不可能出现△ABD≌△ACD，所以此题无法解决；
乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE、CE，由于BD＝DC，所以可得四边形ABEC是平行四边形，请写出此处的依据：
对角线互相平分的四边形是平行四边形 （平行四边形判定的文字描述）
所以AC＝BE，△ABE中，AB+BE＞AE，
即AB+AC＞2AD
请根据乙提供的思路解决下列问题：
（2）如图2，在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AC＝3，AD＝2，求△ABC的面积；
（3）如图3，在△ABC中，D为BC的中点，M为AC的中点，连接BM交AD于F，若AM＝MF．求证：BF＝AC
【分析】（1）根据AD＝DE，BD＝DC可知是利用对角线互相平分来进行判定的；
（2）延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE、CE，得到平行四边形，经过线段的转化，利用勾股定理的逆定理推断出△ABE是直角三角形，从而求出这个直角三角形面积，根据平行四边形性质可知△ABC面积与此相等；
（3）辅助线作法和图1一致，构造出平行四边形，利用AM＝MF得到底角相等，再利用平行线性质、对顶角性质转化角，以及平行四边形性质，得到BF＝AE＝AC．
【解答】解：（1）因为AE、BC都是对角线，且AD＝DE，BD＝DC根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴四边形ABEC是平行四边形．
故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）如图1，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE、CE，
∵BD＝DC，DE＝AD，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∴BE＝AC，AE＝2AD＝4．
在△ABE中，三条边长度的3，4，5是勾股数，
∴△ABE是直角三角形．
∴△ABE面积为×3×4＝6．
根据平行四边形的性质可知△ABC的面积等于△ABE面积，即△ABC的面积为6；
（3）如图2，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE、CE，
∵BD＝DC，DE＝AD，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∴AC＝BE．AC∥BE．
∴∠MAF＝∠BEA．
∵AM＝MF，
∴∠MAF＝∠AFM．
又∵∠BFE＝∠MFA，
∴∠BEF＝∠BFE．
∴BF＝BE．
∴BF＝AC．
故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形．
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日期：2021/8/17 11:21:22；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年山东省枣庄市薛城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共36分
1．（3分）若分式中x和y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍
C．缩小到原来的 D．不变
2．（3分）如图，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°，嘉琪发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：
点A，C分别转到了点C，A处，
而点B转到了点D处，
∵CB＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
小明为保证嘉琪的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（ ）
A．嘉琪推理严谨，不必补充
B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD
D．应补充：且OA＝OC
3．（3分）如图，已知等腰△ABC的底角∠C＝15°，顶点B到边AC的距离是3cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
4．（3分）把式子2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）分解因式，结果是（ ）
A．（a﹣2）（2x+y） B．（2﹣a）（2x+y）
C．（a﹣2）（2x﹣y） D．（2﹣a）（2x﹣y）
5．（3分）小红同学在某数学兴趣小组活动期间，用铁丝设计并制作了如图所示的三种不同的图形，请您观察甲、乙、丙三个图形，判断制作它们所用铁丝的长度关系是（ ）
A．制作甲种图形所用铁丝最长
B．制作乙种图形所用铁丝最长
C．制作丙种图形所用铁丝最长
D．三种图形的制作所用铁丝一样长
6．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．（3分）如图，已知四边形ABCD中，E是CD边上的一个动点，F是AD边上的一个定点，G，H分别是EF，EB的中点，当点E在CD上从C向D逐渐移动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段GH的长逐渐增大
B．线段GH的长逐渐减少
C．线段GH的长保持不变
D．线段GH的长先增大后减小
8．（3分）如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B＝230°，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．140° B．180° C．230° D．320°
9．（3分）在方格中，在标有序号①②③④的小正方形中选一个涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．1或4
11．（3分）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB⊥AC，AC的垂直平分线交AD于点E，△CDE的周长是15，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．40 C．50 D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，那么点A2021的坐标是（ ）
A．（，﹣） B．（﹣，﹣） C．（1，0） D．（0，﹣1）
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）代数式有意义，则x的取值范围是 ．
14．（4分）把a3﹣4ab2分解因式，结果为 ．
15．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，BE平分∠ABC交CD于点E，若AB＝15，BC＝6，则EF的长为 ．
16．（4分）现规定一种新运算，a※b＝2a﹣b，其中a、b为常数．已知关于x的不等式k※x≤3的解集在数轴上表示如图，则k的值为 ．
17．（4分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为 ．
18．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题（本题共7道大题，满分60分）
19．（8分）例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”
得①，或②，
解不等式组①得，x＞2，
解不等式组②得，x＜﹣3，
所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3．
阅读例题，尝试解决下列问题：
（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；
（2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围．
20．（8分）已知某正多边形的一个内角都比它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
21．（8分）先化简，再求值÷﹣（+1），其中x是不等式组的整数解．
22．（8分）如图，▱ABCD对角线AC、BD相交点O，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接BE、ED、DF、FB．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）若BE＝3，EF＝2，求BD的长．
23．（8分）为打赢“扶贫攻坚战”，某单位计划选购甲、乙两种果树苗送给贫困户，已知甲种果树苗单价比乙种果树苗的单价高10元，若用500元单独购买甲种果树苗与300元单独购买乙种果树苗的数量相同．
（1）请问甲，乙两种果树苗的单价各为多少元？
（2）如果该单位计划购买甲，乙两种水果树苗共5500棵，总费用不超过92500元，则甲种果树苗最多可以购买多少棵？
24．（10分）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，a（b+c+d）＝ab+ac+ad是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到ab+ac+ad＝a（b+c+d），这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如（a±b）2＝a2±2ab+b2、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到a2±2ab+b2＝（a±b）2、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（分别提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）；
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）．
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解．
问题一：因式分解：
（1）m3﹣2m2﹣4m+8；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
问题二：探究
对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）（其中m，n均为非零常数）．当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x、y都成立，试探究m，n的数量关系．
25．（10分）（1）如图1所示，在△ABC中，D为BC的中点，求证：AB+AC＞2AD
甲说：不可能出现△ABD≌△ACD，所以此题无法解决；
乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE、CE，由于BD＝DC，所以可得四边形ABEC是平行四边形，请写出此处的依据：
（平行四边形判定的文字描述）
所以AC＝BE，△ABE中，AB+BE＞AE，
即AB+AC＞2AD
请根据乙提供的思路解决下列问题：
（2）如图2，在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AC＝3，AD＝2，求△ABC的面积；
（3）如图3，在△ABC中，D为BC的中点，M为AC的中点，连接BM交AD于F，若AM＝MF．求证：BF＝AC
2020-2021学年山东省枣庄市薛城区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项选出来．每小题3分，共36分
1．（3分）若分式中x和y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍
C．缩小到原来的 D．不变
【分析】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，
得，可见新分式与原分式的值不变．
故选：D．
2．（3分）如图，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°，嘉琪发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：
点A，C分别转到了点C，A处，
而点B转到了点D处，
∵CB＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
小明为保证嘉琪的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（ ）
A．嘉琪推理严谨，不必补充
B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD
D．应补充：且OA＝OC
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
【解答】解：∵CB＝AD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故应补充“AB＝CD”，
故选：B．
3．（3分）如图，已知等腰△ABC的底角∠C＝15°，顶点B到边AC的距离是3cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】∵根据等腰三角形的性质可求∠BAD＝30°，根据含30°的直角三角形的性质可求AB，进一步求得AC．
【解答】解：∵等腰△ABC的底角∠C＝15°，
∴∠ABC＝15°，
∴∠BAD＝15°+15°＝30°，
在Rt△ADB中，∠D＝90°，BD＝3cm，
∴AB＝2BD＝6cm，
∴AC＝AB＝6cm．
故选：D．
4．（3分）把式子2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）分解因式，结果是（ ）
A．（a﹣2）（2x+y） B．（2﹣a）（2x+y）
C．（a﹣2）（2x﹣y） D．（2﹣a）（2x﹣y）
【分析】直接提取公因式（a﹣2），进而分解因式即可．
【解答】解：2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）
＝（a﹣2）（2x+y）．
故选：A．
5．（3分）小红同学在某数学兴趣小组活动期间，用铁丝设计并制作了如图所示的三种不同的图形，请您观察甲、乙、丙三个图形，判断制作它们所用铁丝的长度关系是（ ）
A．制作甲种图形所用铁丝最长
B．制作乙种图形所用铁丝最长
C．制作丙种图形所用铁丝最长
D．三种图形的制作所用铁丝一样长
【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．
【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
故选：D．
6．（3分）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：﹣
＝﹣
＝
＝．
故从第②步开始出现错误．
故选：B．
7．（3分）如图，已知四边形ABCD中，E是CD边上的一个动点，F是AD边上的一个定点，G，H分别是EF，EB的中点，当点E在CD上从C向D逐渐移动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段GH的长逐渐增大
B．线段GH的长逐渐减少
C．线段GH的长保持不变
D．线段GH的长先增大后减小
【分析】连接BF，根据三角形中位线定理得到GH＝BF，得到线段GH的长保持不变．
【解答】解：连接BF，
∵G，H分别是EF，EB的中点，
∴GH是△EFB的中位线，
∴GH＝BF，
∵F是AD边上的一个定点，
∴BF的长是不变的，
∴当点E在CD上从C向D逐渐移动时，线段GH的长保持不变，
故选：C．
8．（3分）如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B＝230°，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．140° B．180° C．230° D．320°
【分析】直接利用多边形内角和定理以及多边形外角的性质分析得出答案．
【解答】解：∵五边形ABCDE，∠A+∠B＝230°，
∴∠AED+∠EDC+∠BCD＝540°﹣230°＝310°，
又∵∠AED+∠EDC+∠BCD+∠1+∠2+∠3＝540°，
∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣310°＝230°．
故选：C．
9．（3分）在方格中，在标有序号①②③④的小正方形中选一个涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案．
【解答】解：将②涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，
故选：B．
10．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．1或4
【分析】根据增根的定义求出a值．
【解答】解：两边同乘（x﹣1）得：ax＝4+x﹣1．
∴（a﹣1）x＝3．
∵方程有增根．
∴x＝1．
∴a＝4+1﹣1．
∴a＝4．
故选：C．
11．（3分）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB⊥AC，AC的垂直平分线交AD于点E，△CDE的周长是15，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A． B．40 C．50 D．
【分析】首先证明AD+CD＝15，再证明AD＝2CD，推出CD＝5，AD＝10，利用勾股定理求出AC即可解决问题；
【解答】解：∵点E在AC的垂直平分线上，
∴EA＝EC，
∴△CDE的周长＝CD+DE+EC＝CD+DE+EA＝CD+DA＝15，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD，
∴CD＝5，AD＝10，
∴AC＝＝5，
∴S平行四边形ABCD＝2•S△ADC＝2××＝25，
故选：D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，那么点A2021的坐标是（ ）
A．（，﹣） B．（﹣，﹣） C．（1，0） D．（0，﹣1）
【分析】由正方形的性质和旋转的性质探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A（0，1），
∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），A4（0，﹣1）…，
发现是8次一循环，
∵2021÷8＝252…5，
∴点A2021的坐标为（﹣，﹣），
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）代数式有意义，则x的取值范围是 x＞1 ．
【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件可得x﹣1＞0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故答案为：x＞1．
14．（4分）把a3﹣4ab2分解因式，结果为 a（a+2b）（a﹣2b） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣4b2）＝a（a+2b）（a﹣2b），
故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）
15．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，BE平分∠ABC交CD于点E，若AB＝15，BC＝6，则EF的长为 3 ．
【分析】根据平行四边形的性质可知∠AFD＝∠BAF，又因为AF平分∠ABC，所以∠DAF＝∠BAF，则∠AFD＝∠DAF，则AD＝FD＝6，同理可证CE＝6，继而可求得EF＝CD﹣DF﹣CE．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠AFD＝∠BAF，
∵AF平分∠ABC，
∴∠DAF＝∠BAF，
则∠AFD＝∠DAF，
∴AD＝FD＝6，
同理可证：CE＝6，
则EF＝CD﹣DF﹣CE＝15﹣6﹣6＝3．
故答案为：3．
16．（4分）现规定一种新运算，a※b＝2a﹣b，其中a、b为常数．已知关于x的不等式k※x≤3的解集在数轴上表示如图，则k的值为 1 ．
【分析】根据k※x≤3得出2k﹣x≤3，求出不等式的解集是x≥﹣3+2k，根据数轴得出﹣3+2k＝﹣1，再求出k即可．
【解答】解：∵k※x≤3，
∴2k﹣x≤3，
∴﹣x≤3﹣2k，
∴x≥﹣3+2k，
从数轴可知：﹣3+2k＝﹣1，
解得：k＝1，
故答案为：1．
17．（4分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为 24+9 ．
【分析】连接PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根据旋转的性质得AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ＝AP＝6，接着证明△APC≌△ABQ得到PC＝QB＝10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ进行计算．
【解答】解：连接PQ，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，
∴AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60°，
∴△APQ为等边三角形，
∴PQ＝AP＝6，
∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，
∴∠CAP＝∠BAQ，
在△APC和△ABQ中，
，
∴△APC≌△ABQ，
∴PC＝QB＝10，
在△BPQ中，∵PB2＝82＝64，PQ2＝62，BQ2＝102，
而64+36＝100，
∴PB2+PQ2＝BQ2，
∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，
∴S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ＝×6×8+×62＝24+9．
故答案为24+9．
18．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间 2或 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当Q运动到E和B之间，（2）当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD＝QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．
【解答】解：由已知梯形，
（1）当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
2t﹣＝6﹣t，
解得：t＝，
（2）当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：
﹣2t＝6﹣t，
解得：t＝2，
故答案为：2或．
三、解答题（本题共7道大题，满分60分）
19．（8分）例：解不等式（x﹣2）（x+3）＞0
解：由实数的运算法则：“两数相乘，同号得正”
得①，或②，
解不等式组①得，x＞2，
解不等式组②得，x＜﹣3，
所以原不等式的解集为x＞2或x＜﹣3．
阅读例题，尝试解决下列问题：
（1）平行运用：解不等式x2﹣9＞0；
（2）类比运用：若分式的值为负数，求x的取值范围．
【分析】（1）根据题目所给信息，进行计算x2＝9，x＝±3，当x＞3或x＜﹣3时即可得出答案；
（2）根据两数相除，异号得负，可得或解不等式组即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可知，∵x2＝9，x＝±3，
∴不等式的解集为x＞3或x＜﹣3；
（2）由实数的运算法则：“两数相除，异号得负”，
得，或，
解不等式组①得，﹣1＜x＜2，
解不等式组②得，无解，
所以若分式值为负数，则x应满足﹣1＜x＜2，
所以原不等式的解集为﹣1＜x＜2．
20．（8分）已知某正多边形的一个内角都比它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
【分析】（1）设这个正多边形的一个外角的度数为x°，利用一个内角与相邻外角互补得到180°﹣x°＝3x°+20°，解得x°＝40°，再由180°﹣x°即可计算；
（2）根据外角和定理计算出正多边形的边数，然后根据多边形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）设这个正多边形的一个外角的度数为x°，
根据题意得180﹣x＝3x+20，解得x＝40，
180°﹣x°＝140°，
所以这个正多边形一个内角的度数140°；
（2）因为这个正多边形的一个外角的度数为40°，
所以这个正多边形边数＝360°÷40°＝9，
所以这个正多边形的内角和是（9﹣2）×180°＝1260°．
21．（8分）先化简，再求值÷﹣（+1），其中x是不等式组的整数解．
【分析】原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝，
不等式组解得：3＜x＜5，即整数解x＝4，
则原式＝．
22．（8分）如图，▱ABCD对角线AC、BD相交点O，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接BE、ED、DF、FB．
（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；
（2）若BE＝3，EF＝2，求BD的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AB＝CD，再证△ABE≌△CDF（AAS），得出AE＝CF，则OE＝OF，即可得出结论；
（2）由（1）得OE＝OF＝1，再由勾股定理得出OB的长，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）解：由（1）得：OE＝OF＝EF＝1，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO＝90°，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2．
23．（8分）为打赢“扶贫攻坚战”，某单位计划选购甲、乙两种果树苗送给贫困户，已知甲种果树苗单价比乙种果树苗的单价高10元，若用500元单独购买甲种果树苗与300元单独购买乙种果树苗的数量相同．
（1）请问甲，乙两种果树苗的单价各为多少元？
（2）如果该单位计划购买甲，乙两种水果树苗共5500棵，总费用不超过92500元，则甲种果树苗最多可以购买多少棵？
【分析】（1）设甲种果树苗的单价为x元，则乙种果树苗的单价为（x﹣10）元，根据“用500元单独购买甲种果树苗与300元单独购买乙种果树苗的数量相同”列出方程并解答；
（2）设甲种果树苗可以购买y棵，根据“总费用不超过92500元”列出不等式并解答即可．
【解答】解：（1）设甲种果树苗的单价为x元，则乙种果树苗的单价为（x﹣10）元，
根据题意，得＝．
解得x＝25，
经检验x＝25是原方程的解．
则x﹣10＝15．
答：甲种果树苗的单价为25元，则乙种果树苗的单价为15元．
（2）设甲种果树苗可以购买y棵，
根据题意，得25y+15（5500﹣y）≤92500．
解得y≤1000．
答：甲种果树苗最多可以购买1000棵．
24．（10分）整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如，a（b+c+d）＝ab+ac+ad是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到ab+ac+ad＝a（b+c+d），这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如（a±b）2＝a2±2ab+b2、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是多项式的乘法公式；把这些公式反过来，得到a2±2ab+b2＝（a±b）2、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），这是运用公式法把多项式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式分解．
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（分别提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）；
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）．
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解．
问题一：因式分解：
（1）m3﹣2m2﹣4m+8；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
问题二：探究
对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y）（其中m，n均为非零常数）．当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x、y都成立，试探究m，n的数量关系．
【分析】（1）套用例子两两进行分组解决问题即可；
（2）是新定义题，列出式子，左右进行对比得出答案．
【解答】解：问题一：（1）m3﹣2m2﹣4m+8
＝m2（m﹣2）﹣4（m﹣2）
＝（m﹣2）（m2﹣4）
＝（m﹣2）（m﹣2）（m+2）
＝（m﹣2）2（m+2）；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9
＝（x﹣y）2﹣9
＝（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）；
问题二：∵F（x，y）＝（mx+ny）（3x﹣y），
F（y，x）＝（my+nx）（3y﹣x），
又∵F（x，y）＝F（y，x），
∴（mx+ny）（3x﹣y）＝（my+nx）（3y﹣x），
3mx2+（3n﹣m）xy﹣ny2＝﹣nx2+（3n﹣m）xy+3my2，
∵x2≠y2，
∴3m＝﹣n．
25．（10分）（1）如图1所示，在△ABC中，D为BC的中点，求证：AB+AC＞2AD
甲说：不可能出现△ABD≌△ACD，所以此题无法解决；
乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE、CE，由于BD＝DC，所以可得四边形ABEC是平行四边形，请写出此处的依据：
对角线互相平分的四边形是平行四边形 （平行四边形判定的文字描述）
所以AC＝BE，△ABE中，AB+BE＞AE，
即AB+AC＞2AD
请根据乙提供的思路解决下列问题：
（2）如图2，在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AC＝3，AD＝2，求△ABC的面积；
（3）如图3，在△ABC中，D为BC的中点，M为AC的中点，连接BM交AD于F，若AM＝MF．求证：BF＝AC
【分析】（1）根据AD＝DE，BD＝DC可知是利用对角线互相平分来进行判定的；
（2）延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE、CE，得到平行四边形，经过线段的转化，利用勾股定理的逆定理推断出△ABE是直角三角形，从而求出这个直角三角形面积，根据平行四边形性质可知△ABC面积与此相等；
（3）辅助线作法和图1一致，构造出平行四边形，利用AM＝MF得到底角相等，再利用平行线性质、对顶角性质转化角，以及平行四边形性质，得到BF＝AE＝AC．
【解答】解：（1）因为AE、BC都是对角线，且AD＝DE，BD＝DC根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴四边形ABEC是平行四边形．
故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）如图1，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE、CE，
∵BD＝DC，DE＝AD，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∴BE＝AC，AE＝2AD＝4．
在△ABE中，三条边长度的3，4，5是勾股数，
∴△ABE是直角三角形．
∴△ABE面积为×3×4＝6．
根据平行四边形的性质可知△ABC的面积等于△ABE面积，即△ABC的面积为6；
（3）如图2，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE、CE，
∵BD＝DC，DE＝AD，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∴AC＝BE．AC∥BE．
∴∠MAF＝∠BEA．
∵AM＝MF，
∴∠MAF＝∠AFM．
又∵∠BFE＝∠MFA，
∴∠BEF＝∠BFE．
∴BF＝BE．
∴BF＝AC．
故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形．
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