2018_2019学年东莞市九上学期末数学试卷

这是一份2018_2019学年东莞市九上学期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列四个图形中，不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 在平面直角坐标系中，点 2,3 关于 y 轴对称的点的坐标是
A. −2,−3B. 2,−3C. −2,3D. 2,3

3. 在单词”APPLE“中随机选择一个字母，选择到的字母是”P“的概率是
A. 14B. 15C. 25D. 35

4. 抛物线 y=x−12+2 的顶点坐标是
A. 1,2B. 1,−2C. −1,2D. −1,−2

5. 若圆的半径是 4，则圆内接正六边形的边长为
A. 2B. 43C. 4D. 23

6. 下列事件中，必然事件是
A. 掷一枚硬币，正面朝上
B. 任意三条线段可以组成一个三角形
C. 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数
D. 在地球上，抛出的篮球会下落

7. 若关于 x 的一元二次方程 x2+x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是
A. m≥−14B. m≤−14C. m≥14D. m≤14

8. 用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 75 cm2 的矩形．设矩形的一边为 x cm，根据题意，可列方程为
A. x40−x=75B. x20−x=75
C. xx+40=75D. xx+20=75

9. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E．若 AB=8，AE=1，则弦 CD 的长是
A. 7B. 27C. 6D. 8

10. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图，给出下列四个结论：① a<0；② b>0；③ b2−4ac>0；④ a+b+c<0．其中结论正确的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 方程 x+2x−1=0 的解为 ．

12. 在半径为 6 cm 的圆中，120∘ 的圆心角所对的弧长为 cm．

13. 将抛物线 y=5x2 向左平移 2 个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是 ．

14. 在一个不透明的盒子中装有 2 个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为 23，则 n= ．

15. 如图，把 △ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35∘，得到 △AʹBʹC，AʹBʹ 交 AC 于点 D．若 ∠AʹDC=90∘，则 ∠A 的度数为 ．

16. 如图，五边形 ABCD 内接于 ⊙O，若 AC=AD，∠B+∠E=230∘，则 ∠ACD 的度数是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：3x2−6x+1=2．

18. 如图，在平面直角坐标系中，已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A−3,5，B−2,1，C−1,3．
（1）画出将 △ABC 绕点 O 顺时针旋转 90∘ 后所得到的图形 △A1B1C1；
（2）写出点 A1，B1，C1 的坐标．

19. 某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
（1）写出所有的选购方案（用树状图或列表法分析）；
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求A型号电脑被选中的概率．

20. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 81 人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人?
（2）按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染?

21. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△ADF 旋转一定角度后得到 △ABE，且点 E 在线段 AD 上，若 AF=4，∠F=60∘．
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求 DE 的长度和 ∠EBD 的度数．

22. 如图，点 E 是 △ABC 的内心，AE 的延长线与 △ABC 的外接圆相交于点 D．
（1）若 ∠BAC=70∘，求 ∠CBD 的度数；
（2）求证：DE=DB．

23. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少?
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，那么销售单价应控制在什么范围内?

24. 如图，以 △ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A，B 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为 BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，AC=FC．
（1）求证：AC 是 ⊙O 的切线；
（2）若 BF=8，DF=40，求 ⊙O 的半径；
（3）若 ∠ADB=60∘，BD=1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

25. 如图，在 △ABC 中，∠A=30∘，∠C=90∘，AB=12．四边形 EFPQ 是矩形，点 P 与点 C 重合，点 Q，E，F 分别在 BC，AB，AC 上（点 E 与点 A，点 B 均不重合）．
（1）当 AE=8 时，求 EF 的长；
（2）设 AE=x，矩形 EFPQ 的面积为 y．
①求 y 与 x 的函数关系式；
②当 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少?
（3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，将矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 CB 匀速向右运动（当点 P 到达点 B 时停止运动），设运动时间为 t 秒，矩形 EFPQ 与 △ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. C
3. C
4. A
5. C
6. D
7. D
8. B
9. B
10. C
第二部分
11. −2或1
12. 4π
13. y=5x+22
14. 4
15. 55∘
16. 65∘
第三部分
17.
3x2−6x−1=0,a=3,b=−6,c=−1,Δ=b2−4ac=−62−4×3×−1=48>0,x=−b±Δ2a=6±486=3±233,∴x1=3+233,x2=3−233.
18. （1） 如图所示：
（2） A15,3，B11,2，C13,1．
19. （1）
有 6 种等可能结果：（A，D），（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）；
（2） 因为选中A型号电脑有 2 种方案，即（A，D），（A，E），
所以A型号电脑被选中的概率是 13．
20. （1） 设每轮传染中平均一个人传染了 x 人，则：
1+x+1+xx=81.1+x2=81.∴x1=8,x2=−10舍去.
答：每轮传染中平均一个人传染了 8 人．
（2） 8×81=648（人）．
答：第三轮又有 648 人被传染．
21. （1） 旋转中心为点 A，旋转角度为 90∘．
（2） ∵△ADF 旋转一定的角度后得到 △ABE，
∴AE=AF=4．
在正方形 ABCD 中，∠DAB=90∘，
∴∠DAF=90∘．
∵∠F=60∘，
∴∠FDA=30∘．
∴FD=2AF=2×4=8．
∴AD=FD2−AF2=82−42=43．
∴DE=AD−AE=43−4．
∵△ADF 旋转一定的角度后得到 △ABE，
∴∠ABE=∠FDA=30∘．
又 ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABD=45∘．
∴∠EBD=∠ABD−∠ABE=45∘−30∘=15∘．
22. （1） ∵ 点 E 是 △ABC 的内心，∠BAC=70∘，
∴∠CAD=12∠BAC=12×70∘=35∘，
∵CD=CD，
∴∠CBD=∠CAD=35∘．
（2） ∵ 点 E 是 △ABC 的内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BED，
∴DE=DB．
23. （1） y=x−5050+5100−x=x−50−5x+550=−5x2+800x−27500.
∴y=−5x2+800x−2750050≤x≤100．
（2） y=−5x2+800x−27500=−5x−802+4500.
∵−5<0，
∴ 当 x=80 时，y最大值=4500．
（3） 当 y=4000 时，−5x−802+4500=4000，
解得 x1=70，x2=90．
∴ 当 70≤x≤90 时，每天的销售利润不低于 4000 元．
24. （1） 如图，连接 OA，OD，
∵D 为弧 BE 的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠DOF=90∘，
∴∠ODF+∠OFD=90∘，
∵AC=FC，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠ODF，
∵∠CFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF=90∘，
∴OA⊥AC，
∵OA 为半径，
∴AC 是 ⊙O 的切线．
（2） 设 ⊙O 的半径为 r，
∴OD=r，OF=8−r，
在 Rt△DOF 中，OD2+OF2=DF2，
∴r2+8−r2=402，
解得：r1=6，r2=2（舍去）．
∴⊙O 的半径为 6．
（3） ∵∠DOF=90∘，OB=OD，
∴OB=22BD=22，
∴OA=22，
∵∠AOB=2∠ADB=120∘，
∴∠AOC=60∘，
∵OA⊥AC，
∴∠C=30∘，
∴OC=2OA=2，
∴AC=62，
∴S阴影=S△OAC−S扇形AOE=12×2×62−60⋅π⋅222360=33−π12.
25. （1） 因为四边形 EFPQ 是矩形，
所以 ∠EFP=90∘，
所以 ∠AFE=90∘，
在 Rt△AEF 中，∠A=30∘，AE=8，
所以 EF=12AE=4．
（2） ①因为 AE=x，
所以 EF=12AE=12x，
所以 AF=AE2−EF2=32x，
在 Rt△ABC 中，∠A=30∘，AB=12，
所以 BC=12AB=6，
所以 AC=AB2−BC2=63，
所以 FC=AC−AF=63−32x，
即 FP=63−32x，
所以矩形 EFPQ 的面积 =EF⋅PF=12x⋅63−32x，
即 y=−34x2+33x0②因为 −34<0，
所以当 x=−b2a=−332×−34=6 时，
y 有最大值，最大值是 93．
（3） 当 0≤t<3 时（如图a），
设 EF，EQ 分别交 AB 于点 M，N，
则 △MEN 为 Rt△，且 ME=t，∠MNE=30∘，
所以 NE=3t，
所以 S=S矩形EFPQ−SRt△MEN=93−32t2=−32t2+93．
当 3≤t≤6 时（如图b），
设 FP 交 AB 于点 G，
则 △PQG 为 Rt△，且 PB=6−t，∠PGQ=30∘，
所以 PG=36−t，
所以 S=S△PQG=326−t2=32t−62．
综上所述，S=−32t2+93,0≤t<332t−62,3≤t≤6．