2018_2019学年北京市东城区八上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年北京市东城区八上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为 0.056 盎司．将 0.056 用科学记数法表示为
A. 5.6×10−1B. 5.6×10−2C. 5.6×10−3D. 0.56×10−1

2. 江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，其中基本是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列式子为最简二次根式的是
A. a+b2B. 12aC. 2D. 12

4. 若分式 x−2x+3 的值为 0，则 x 的值等于
A. 0B. 2C. 3D. −3

5. 下列运算正确的是
A. b5÷b3=b2B. b52=b7
C. b2⋅b4=b8D. a⋅a−2b=a2+2ab

6. 如图，在 △ABC 中，∠B=∠C=60∘，点 D 为 AB 边的中点，DE⊥BC 于点 E，若 BE=1，则 AC 的长为
A. 2B. 3C. 4D. 23

7. 如图，小敏做了一个角平分仪 ABCD，其中 AB=AD，BC=DC．将仪器上的点 A 与 ∠PRQ 的顶点 R 重合，调整 AB 和 AD，使它们分别落在角的两边上，过点 A，C 画一条射线 AE，AE 就是 ∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得 △ABC≌△ADC，这样就有 ∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是
A. SASB. ASAC. AASD. SSS

8. 如图，根据计算长方形 ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立
A. a+b2=a2+2ab+b2B. a−b2=a2−2ab+b2
C. a+ba−b=a2−b2D. aa+b=a2+ab

9. 如图，已知等腰三角形 ABC，AB=AC，若以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰 AC 于点 E，则下列结论一定正确的是
A. AE=ECB. AE=BE
C. ∠EBC=∠BACD. ∠EBC=∠ABE

10. 如图，点 P 是 ∠AOB 内任意一点，且 ∠AOB=40∘，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，当 △PMN 周长取最小值时，则 ∠MPN 的度数为
A. 140∘B. 100∘C. 50∘D. 40∘

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 如果式子 x−1 在实数范围内有意义，那么 x 的取值范围是 ．

12. 在平面直角坐标系 xOy 中，P2,1 关于 y 轴对称的点的坐标是 ．

13. 如图，点 B，F，C，E 在一条直线上，已知 BF=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件 使得 △ABC≌△DEF．

14. 等腰三角形一边等于 5，另一边等于 8，则其周长是 ．

15. 如图，D 在 BC 边上，△ABC≌△ADE，∠EAC=40∘，则 ∠B 的度数为 ．

16. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AD 平分 ∠BAC，BC=10 cm，BD:DC=3:2，则点 D 到 AB 的距离为 cm．

17. 如果实数 a，b 满足 a+b=6，ab=8，那么 a2+b2= ．

18. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段 AB．
小俊的作法：
如图，
① 分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 C；
② 再分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 12AB 的长为半径（不同于 ① 中的半径）作弧，两弧相交于点 D，使点 D 与点 C 在直线 AB 的同侧；
③ 作直线 CD．
所以直线 CD 就是所求作的垂直平分线．
老师说：“小俊的作法正确．”
请回答：小俊的作图依据是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：∣−3∣+2×6+12−1−2−10．

20. 因式分解：
（1）x2−4；
（2）ax2−4axy+4ay2．

21. 如图，点 E，F 在线段 AB 上，且 AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：DF=CE．

22. 已知 x2+x=2，求 x+22−xx+3+x+1x−1 的值．

23. 解分式方程：1x−2+2=1+x2−x．

24. 先化简，再求值：1−5x+2÷x2−9x+3，其中 x=3−2．

25. 列分式方程解应用题：
北京第一条地铁线路于 1971 年 1 月 15 日正式开通运营．截至 2017 年 1 月，北京地铁共有 19 条运营线路，覆盖北京市 11 个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是 2002 年地铁每小时客运量的 4 倍，2017 年客运 240 万人所用的时间比 2002 年客运 240 万人所用的时间少 30 小时，求 2017 年地铁每小时的客运量?

26. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，AM 是 △ABC 的外角 ∠CAE 的平分线．
（1）求证：AM∥BC；
（2）若 DN 平分 ∠ADC 交 AM 于点 N，判断 △ADN 的形状并说明理由．

27. 定义：任意两个数 a，b，按规则 c=ab+a+b 扩充得到一个新数 c，称所得的新数 c 为“如意数”．
（1）若 a=2，b=1，直接写出 a，b 的“如意数”c；
（2）如果 a=m−4，b=−m，求 a，b 的“如意数”c，并证明“如意数”c≤0；
（3）已知 a=x2−1x≠0，且 a，b 的“如意数”c=x3+3x2−1，则 b= （用含 x 的式子表示）．

28. 如图，在等边三角形 ABC 的外侧作直线 AP，点 C 关于直线 AP 的对称点为点 D，连接 AD，BD，其中 BD 交直线 AP 于点 E．
（1）依题意补全图形；
（2）若 ∠PAC=20∘，求 ∠AEB 的度数；
（3）连接 CE，写出 AE，BE，CE 之间的数量关系，并证明你的结论．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. C
4. B
5. A
6. C
7. D
8. D
9. C【解析】∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB，
∵ 以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰 AC 于点 E，
∴ BE=BC，
∴ ∠ACB=∠BEC，
∴ ∠BEC=∠ABC=∠ACB，
∴ ∠A=∠EBC．
10. B
【解析】分别作点 P 关于 OA 、 OB 的对称点 Pʹ 、 Pʺ，连接 PʹPʺ，分别交 OA 、 OB 于点 M 、 N，如图所示：
此时 △PMN 的周长取最小值．
∵∠AOB=40∘，
∴∠PʺPPʹ=140∘，
∴∠Pʺ+∠Pʹ=40∘，
∵NPʺ=NP，MP=MPʺ，
∴∠Pʹ+∠MPPʹ+∠NPPʺ+∠Pʺ=80∘，
∴∠PNM+∠PMN=80∘，
∴∠MPN=100∘．
第二部分
11. x≥1
12. −2,1
13. AC=DF（答案不唯一）
14. 18 或 21
15. 70∘
16. 4
17. 20
【解析】∵ a+b2=a2+2ab+b2，
∴ a2+b2=a+b2−2ab=36−2×8=20．
18. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
【解析】由作法可知其依据为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
第三部分
19. ∣−3∣+2×6+12−1−2−10=3+23+2−1=33+1.
20. （1） x2−4=x−2x+2.
（2） ax2−4axy+4ay2=ax2−4xy+4y2=ax−2y2.
21. ∵ 点 E，F 在线段 AB 上，AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，即：AF=BE．
在 △ADF 和 △BCE 中，
AD=BC,∠A=∠B,AF=BE,
∴△ADF≌△BCE，
∴DF=CE．
22. 原式=x2+4+4x−x2−3x+x2−1=x2+x+3.
当 x2+x=2 时，原式=5．
23.
1+2x−2=−1−x,
解得：
x=23.
检验：当 x=23 时，
x−2≠0,
所以，原分式方程的解为
x=23.
24. 原式=x−3x+2÷x+3x−3x+3=x−3x+2⋅x+3x+3x−3=1x+2.
当 x=3−2 时，
原式=13−2+2=13=33.
25. 设 2002 年地铁每小时客运量 x 万人，则 2017 年地铁每小时客运量 4x 万人．
由题意得
240x−30=2404x.
解得
x=6.
经检验 x=6 是分式方程的解且符合题意，
4x=24．
答：2017 年每小时客运量 24 万人．
26. （1） ∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC
∵AM 平分 ∠EAC，
∴∠EAM=∠MAC=12∠EAC．
∴∠MAD=∠MAC+∠DAC=12∠EAC+12∠BAC=12×180∘=90∘．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90∘，
∴∠MAD+∠ADC=180∘，
∴AM∥BC．
（2） △ADN 是等腰直角三角形．
理由是：∵AM∥BC，
∴∠AND=∠NDC，
∵DN 平分 ∠ADC，
∴∠ADN=∠NDC=∠AND．
∴AD=AN．
∴△ADN 是等腰直角三角形．
27. （1） c=22+1．
（2） ∵a=m−4，b=−m，
∴c=m−4×−m+m−4+−m=−m2+4m−4.
∵c=−m2+4m−4=−m−22，
∴c≤0．
（3） x+2
28. （1） 如图 1．
（2） 在等边 △ABC 中，AC=AB，∠BAC=60∘，
由对称可知：AC=AD，∠PAC=∠PAD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠D，
∵∠PAC=20∘，
∴∠PAD=20∘，
∴∠BAD=∠BAC+∠PAC+∠PAD=100∘，
∴∠D=12180∘−∠BAD=40∘，
∴∠AEB=∠D+∠PAD=60∘．
（3） CE+AE=BE．
在 BE 上取点 M 使 ME=AE，连接 AM，如图 2，
在等边 △ABC 中，AC=AB，∠BAC=60∘，
由对称可知：AC=AD，∠EAC=∠EAD，
设 ∠EAC=∠DAE=x．
∵AD=AC=AB，
∴∠D=12180∘−∠BAC−2x=60∘−x，
∴∠AEB=60∘−x+x=60∘．
∴△AME 为等边三角形．
∵△ABC 和 △AME 都是等边三角形，
∴∠BAC=∠MAE=60∘，
∴∠BAC−∠CAM=∠MAE−∠CAM，
∴∠BAM=∠CAE，
在 △AEC 和 △AMB 中，
AC=AB,∠CAE=∠BAM,AE=AM,
∴△AEC≌△AMB，
∴CE=BM，
∴CE+AE=BE．