2019-2020学年广东省惠州市龙门县九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省惠州市龙门县九上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 从分别写有数字 1，2，3，4，5，6 的 6 张质地、大小完全一样的卡片中随机抽取一张，抽取的卡片上的数是 3 的倍数的概率是
A. 16B. 12C. 13D. 23

2. 在学习图案与设计这一节课时，老师要求同学们利用图形变化设计图案，下列设计的图案中是中心对称图形但是不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 点 P2,−1 关于原点对称的点 Pʹ 的坐标是
A. −2,1B. −2,−1C. −1,2D. 1,−2

4. 已知 x=1 是方程 x2+m=0 的一个根，则 m 的值是
A. −1B. 1C. −2D. 2

5. 抛物线 y=2x+12−5 的顶点坐标是
A. 1,−5B. −1,−5C. −1,−4D. −2,−7

6. 如图，点 A，B，P 是 ⊙O 上的三点，若 ∠AOB=40∘，则 ∠APB 的度数为
A. 80∘B. 140∘C. 20∘D. 50∘

7. 已知点 −2,y1，1,0，3,y2 都在二次函数 y=x2+bx−3 的图象上，则 y1，0，y2 的大小关系是
A. y1<0
8. 已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是 1 m，若水面高 0.2 m．则排水管道截面的水面宽度为
A. 0.6 mB. 0.8 mC. 1.2 mD. 1.6 m

9. 已知 m，n 是方程 x2+x−3=0 的两个实数根，则 m2−n+2019 的值是
A. 2023B. 2021C. 2020D. 2019

10. 如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=x 交于 1,1 和 3,3 两点，现有以下结论：
① b2−4c>0；
② 3b+c+6=0；
③当 x2+bx+c>2x 时，x>2；
④当 1其中正确的序号是
A. ①②④B. ②③④C. ②④D. ③④

二、填空题（共7小题；共35分）
11. 方程 x2+2x−3=0 的两个根分别是 x1= ，x2= ．

12. 抛物线 y=−x+12+3 与 y 轴交点坐标为 ．

13. 已知点 Aa,3 和 B−4,b 关于原点对称，则 a+b 的值为 ．

14. 已知扇形的圆心角为 120∘，面积为 27π cm2，则该扇形所在圆的半径为 ．

15. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，∠AOE=78∘，点 C，D 是弧 BE 的三等分点，则 ∠COE= ．

16. 如图，抛物线 y=−x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．将抛物线沿 y 轴平移 tt>0 个单位，当平移后的抛物线与线段 OB 有且只有一个交点时，则 t 的取值范围是 ．

17. 小颖在二次函数 y=2x2+4x+5 的图象上找到三点 −1,y1，12,y2，−312,y3，则你认为 y1，y2，y3 的大小关系应为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 后得 △DEC，若 BC∥DE，求 ∠B 的度数．

19. 解下列方程．
（1）x2−5x+6=0．
（2）2x+1x−4=5．

20. 二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=3，最小值为 −2，且过 0,1, 求此函数的解析式．

21. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是 ⊙O 上的点，OC∥BD，交 AD 于点 E，连接 BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若 AB=8，∠CBD=30∘，求图中阴影部分的面积．

22. 2019 年第六届世界互联网大会在桐乡乌镇召开，某校九年级选拔了 3 名男生和 2 名女生参加某分会场的志愿者工作．本次学生志愿者工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．
（1）若要从这 5 名志愿者中随机选取一位作为引导员，求选到女生的概率；
（2）若甲、乙两位志愿者都从三个岗位中随机选择一个，请你用画树状图或列表法求出他们恰好选择同一个岗位的概率．（画树状图和列表时可用字母代替岗位名称）

23. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件．试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 150 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件．设销售单价为 x（元），每天的销售量为 y（件），每天所得的销售利润 w（元）．
（1）求出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）求出 w 与 x 之间的函数关系式，并求当销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润为多少?

24. 如图，△ACB 内接于圆 O，AB 为直径，CD⊥AB 与点 D，E 为圆外一点，EO⊥AB，与 BC 交于点 G，与圆 O 交于点 F，连接 EC，且 EG=EC．
（1）求证：EC 是圆 O 的切线；
（2）当 ∠ABC=22.5∘ 时，连接 CF．
①求证：AC=CF；
②若 AD=1，求线段 FG 的长．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx−5 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B−5,0 和点 C1,0，过点 A 作 AD∥x 轴交抛物线于点 D．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点 E 是抛物线上一点，且点 E 关于 x 轴的对称点在直线 AD 上，求 △EAD 的面积；
（3）若点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到某一位置时，△ABP 的面积最大，求出此时点 P 的坐标和 △ABP 的最大面积．
答案
第一部分
1. C【解析】在 1，2，3，4，5，6 的 6 张质地、大小完全一样的卡片中，是 3 的倍数的有 2 张，则抽取的卡片上的数是 3 的倍数的概率是 26=13．
2. C【解析】A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意．
3. A【解析】点 P2,−1 关于原点对称的点的坐标是 −2,1．
4. A【解析】把 x=1 代入方程得：1+m=0，解得：m=−1．
5. B
【解析】y=2x+12−5 的顶点坐标是 −1,−5，
6. C【解析】∵∠AOB=40∘，
∴∠APB=12∠AOB=12×40∘=20∘．
7. A【解析】∵1,0 在函数图象上，则 0=1+b−3，解得 b=2，
∴y=x2+2x−3=x+12−4，
∴ 对称轴为 x=−1，

则 ∣−2−−1∣=1<∣1−−1∣=2<∣3−−1∣=4，
∵a=1>0，
∴y1<08. C【解析】连接 OA，过 O 作 OC⊥AB，交 AB 于点 D，
∵OA=OC=1 m，DC=0.2 m，
∴OD=OC−DC=1−0.2=0.8 m，
在 Rt△AOD 中，AD=OA2−OD2=12−0.82=0.6 m，
由垂径定理得 AB=2AD=1.2 m，
即水面宽 1.2 m．
9. A【解析】∵m，n 是方程 x2+x−3=0 的两个实数根，
∴n=3−n2，m+n=−1，mn=−3，
∴m2−n+2019=m2−3−n2+2019=m+n2−2mn+2016=1+6+2016=2023.
10. C
【解析】∵ 函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，
∴b2−4ac<0；
∴b2−4c<0；
故①不正确；
当 x=3 时，y=9+3b+c=3，
即 3b+c+6=0；
故②正确；
把 1,1，3,3 代入 y=x2+bx+c，得抛物线的解析式为 y=x2−3x+3，
当 x=2 时，y=x2−3x+3=1，y=2x=1，
抛物线和双曲线的交点坐标为 2,1，
第一象限内，当 x>2 时，x2+bx+c>2x；
或第三象限内，当 x<0 时，x2+bx+c>2x；
故③错误；
∵ 当 1 ∴x2+bx+c ∴x2+b−1x+c<0．
故④正确；
第二部分
11. 1，−3
【解析】∵x2+2x−3=0，
∴x+3x−1=0，
∴x+3=0 或 x−1=0，
∴x1=1，x2=−3．
12. 0,2
【解析】当 x=0 时，y=−0+12+3=2，
∴ 与 y 轴交点坐标为 0,2．
13. 1
【解析】∵ 两个点关于原点对称，
∴a=4，b=−3，
∴a+b=1．
14. 9 cm
【解析】∵ 扇形的圆心角为 120∘，面积为 27π cm2，
∴ 由 S=nπr2360 得：r=360Snπ=360×27π120π=9 cm．
15. 68∘
【解析】∵∠AOE=78∘，
∴ 劣弧 AE 的度数为 78∘，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴ 劣弧 BE 的度数为 180∘−78∘=102∘，
∵ 点 C，D 是弧 BE 的三等分点，
∴∠COE=23×102∘=68∘．
16. 0【解析】分析题意可知，抛物线只能沿 y 轴向下平移，
∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴ 平移后的抛物线的解析式为 y=−x−12+4−tt＞0，
当抛物线过原点时，抛物线与线段 OB 有两个交点，
此时，把 0,0 代入得：0=−0−12+4−t，解得 t=3；
当平移后的抛物线的顶点落在 x 轴上时，x=1，y=0，
代入解析式得：0=−1−12+4−t，解得 t=4，
若使平移后的抛物线与线段 OB 有且只有一个交点，则 017. y3>y2>y1
【解析】抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=−42×2=−1，
因为抛物线开口向上，点 −1,y1 在对称轴上，点 12,y2 比点 −312,y3 离对称轴要近，则有 y3>y2，
所以 y3>y2>y1．
第三部分
18. ∵ 将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 后得 △DEC，
∴∠BCE=90∘，∠E=∠B，
∵BC∥DE，
∴∠E=180∘−∠BCE=90∘，
∴∠B=90∘．
19. （1）
x2−5x+6=0.x−2x−3=0.x−2=0或x−3=0.x1=2,x2=3.
（2）
2x+1x−4=5.2x2−7x−9=0.a=2,b=−7,c=−9.Δ=−72−4×2×−9=121>0.
所以方程有两个不相等的实根
x=7±1212×2=7±114.x1=92,x2=−1.
20. ∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=3，最小值为 −2，
∴ 此二次函数的顶点坐标为：3,−2，
∴ 此二次函数为：y=ax−32−2，
∵ 过 0,1，
∴9a−2=1，
解得：a=13，
∴ 此二次函数的解析式为：y=13x−32−2=13x2−2x+1．
21. （1） ∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90∘，
即 OC⊥AD，
∴AE=ED．
（2） 连接 CD，OD，
∵OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD=30∘，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=30∘，
∴∠AOC=∠OCB+∠OBC=60∘，
∵∠COD=2∠CBD=60∘，
∴∠AOD=120∘，
∴S阴=S扇形OAD−S△ADO=120π×42360−12⋅43×2=16π3−43.
22. （1） 5 名志愿者中有 2 名女生，
因此随机选取一位作为引导员，选到女生的概率为 25，即：P=25，
答：随机选取一位作为引导员，选到女生的概率为 25．
（2） 用列表法表示所有可能出现的情况：
∴P选择同一个岗位=39=13．
答：甲、乙两位志愿者选择同一个岗位的概率为 13．
23. （1） 由题意得，y=150−10x−25=400−10x．
（2） w=x−20−10x+400=−10x2+600x−8000=−10x−302+1000．
∵−10<0，
∴ 函数图象开口向下，w 有最大值，
当 x=30 时，wmax=1000，
故当单价为 30 元时，该文具每天的利润最大．
24. （1） 连接 OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵EO⊥AB，
∴∠OGB+∠B=90∘，
∵EG=EC，
∴∠ECG=∠EGC，
∵∠EGC=∠OGB，
∴∠OCB+∠ECG=∠B+∠OGB=90∘，
∴OC⊥CE，
∴EC 是圆 O 的切线．
（2） ① ∵∠ABC=22.5∘，∠OCB=∠B，
∴∠AOC=45∘，
∵EO⊥AB，
∴∠COF=45∘，
∴ 弧 AC= 弧 CF，
∴AC=CF；
②作 CM⊥OE 于 M，
∵AB 为直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠ABC=22.5∘，∠GOB=90∘，
∴∠A=∠OGB=∠67.5∘，
∴∠FGC=67.5∘，
∵∠COF=45∘，OC=OF，
∴∠OFC=∠OCF=67.5∘，
∴∠GFC=∠FGC，
∴CF=CG，
∴FM=GM，
∵∠AOC=∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，
∴CD=DM，
在 Rt△ACD 和 Rt△FCM 中，
AC=GF,CD=CM,
∴Rt△ACD≌Rt△FCMHL，
∴FM=AD=1，
∴FG=2FM=2．
25. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx−5 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B−5,0 和点 C1,0，
∴25a−5b−5=0,a+b−5=0, 得 a=1,b=4,
∴ 此抛物线的表达式是 y=x2+4x−5．
（2） ∵ 抛物线 y=x2+4x−5 交 y 轴于点 A，
∴ 点 A 的坐标为 0,−5，
∵AD∥x 轴，点 E 是抛物线上一点，且点 E 关于 x 轴的对称点在直线 AD 上，
∴ 点 E 的纵坐标是 5，点 E 到 AD 的距离是 10，
当 y=−5 时，−5=x2+4x−5，得 x=0 或 x=−4，
∴ 点 D 的坐标为 −4,−5，
∴AD=4，
△EAD 的面积是：4×102=20．
（3） 设点 P 的坐标为 p,p2+4p−5，如图所示，
设过点 A0,−5，点 B−5,0 的直线 AB 的函数解析式为 y=mx+n，
n=−5,−5m+n=0, 得 m=−1,n=−5,
即直线 AB 的函数解析式为 y=−x−5，
当 x=p 时，y=−p−5，
∵OB=5，
△ABP 的面积是：S=−p−5−p2+4p−52⋅5=52−p+522+254，
∵ 点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点，
∴−5 ∴ 当 p=−52 时，S 取得最大值，此时 S=1258，点 P 的坐标是 −52,−354，
即点 P 的坐标是 −52,−354 时，△ABP 的面积最大，此时 △ABP 的面积是 1258．