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2019-2020学年山东青岛市南区青岛大学附属中学九上期末数学试卷（育才中学，青岛第三十七中学，青岛第三十九中学联考）
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这是一份2019-2020学年山东青岛市南区青岛大学附属中学九上期末数学试卷（育才中学，青岛第三十七中学，青岛第三十九中学联考），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图所示的几何体的俯视图是
A. B.
C. D.
2. 一元二次方程 x2+4x=5 配方后可变形为
A. x+22=9B. x+22=5C. x−22=9D. x−22=21
3. 如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在 C，D 的位置时，乙的影子 DA 恰好与甲影子 CA 在同一条直线上，已知甲身高 1.8 米，乙身高 1.5 米，甲的影长是 6 米，则甲、乙两同学相距 米．
A. 1B. 2C. 3D. 5
4. 如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC=100 米，∠PCA=35∘，则小河宽 PA 等于
A. 100sin35∘ 米B. 100sin55∘ 米C. 100tan35∘ 米D. 100tan55∘ 米
5. 如图，取一张长为 a，宽为 b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边 a，b 应满足的条件是
A. a=2bB. a=2bC. a=22bD. a=4b
6. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=2，E 是 AD 中点，BE 交 AC 于点 F，DF 的长为
A. 52B. 5C. 253D. 453
7. 如图，二次函数 y=ax2+c 的图象与反比例函数 y=cx 的图象相交于 A−32,1，则关于 x 的不等式 ax2+c>cx 的解集为
A. x<−32B. x>−32C. −320
8. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表所示；
x⋯⋯−10123⋯⋯y⋯⋯−23676⋯⋯
下列说法：① abc>0；② a+b+c=6；③ b2−4ac>0；④当 y<6 时，x<1；⑤关于 x 方程 ax2+bx+c=3 的解是 x1=0，x2=4，正确的有 个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题（共6小题；共30分）
9. 若关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k=0 有实数根，则 k 的取值范围是 ．
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A−2,4，B−4,−2，以原点 O 为位似中心，相似比为 12，把 △ABO 缩小，则点 A 的对应点 Aʹ 的坐标是 ．
11. 已知函数 y=−6x 与 y=−x+1 的图象的交点坐标是 a,b，则 1a+1b 的值为 ．
12. 如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，点 E 是矩形外一点，CE∥BD，BE∥AC，∠ABD=30∘，连接 AE 交 BD 于点 F，连接 CF，若 AC=8，则线段 CF 的长 ．
13. 体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 OA，A 处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图 1），A 点距离水平面为 94 米，即 OA=94 米，如果曲线 APB 表示的是落点 B 离点 O 最远的一条水流（如图 2），水流喷出的高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系式是 y=ax2+bx+cx>0，该抛物线的顶点是 2,254，那么圆形水池的半径至少为 米时，才能使喷出的水流不至于落在池外．
14. 如图是由若干个小正方体组成的立体图形，阴影部分是空缺的通道，一直通到对面，这个立体图形是由 个小正方体组成．
三、解答题（共11小题；共143分）
15. 已知：如图 ∠α 和线 a．
求作：菱形 ABCD，使 ∠BAD=∠α，较长对角线 AC 等于线线 a．
16. 解方程：x−32=7x−21．
17. 计算：tan260∘−2sin30∘−2cs45∘．
18. 在一个袋子中装有大小相同的 4 个小球，其中 1 个蓝色，3 个红色．
（1）从袋中随机摸出 2 个，用列表法或树状图法求摸到的都是红色小球的概率．
（2）如果在这个袋中加入 x 个红色小球，进行如下试验：随机摸出 1 个，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在 0.9，则可以推算出 x 的值大约是多少．
19. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课 45 分钟中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数 y 随时间 x（分钟）的变化规律如图所示（其中 AB，BC 分别为线段，BC∥x 轴，CD 为双曲线的一部分），其中 AB 段的关系式为 y=2x+20．
（1）根据图中数据，求出 CD 段双曲线的关系式．
（2）一道数学竞赛题，需要讲 20 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到 32，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?
20. 小明家所在居民楼的对面有一座大厦 AB，AB=74 米，为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户 C 处测得大厦顶部 A 的仰角为 37∘，大厦底部 B 的俯角为 48∘．求小明家所在居民楼与大厦的距离 CD 的长度．
（参考数据：sin37∘≈35，tan37∘≈34，sin48∘≈710，tan48∘≈1110）
21. 学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用 1400 元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．
购买件数销售价格不超过30件单价40元超过30件每多买1件,购买的所有衬衫单价降低0.5元,但单价不得低于30元
22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD=2BC，E，F，G 分别是 OC，OD，AB 的中点．
求证：
（1）BE⊥AC．
（2）连接 AF，求证：四边形 AGEF 是菱形．
23. 某工厂设计了一款成本为 20 元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
销售单价 x元/件⋯30405060⋯每天销售量 y件⋯500400300200⋯
（1）研究发现，每天销售量 y 与单价 x 满足一次函数关系，求出 y 与 x 的关系式．
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少．
24. 问题提出：
将一个边长为 nn≥2 的菱形的四条边分别 n 等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢?
问题探究：
要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．
探究一：将一个边长为 2 的菱形的四条边分别 2 等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢?
如图 1，从上往下，共有 2 行，我们先研究平行四边形的个数：
（1）第一行有斜边长为 1，底长为 1∼2 的平行四边形，共有 2+1=1×2+1 个．
（2）第二行有斜边长为 1，底长为 1∼2 的平行四边形，共有 2+1=1×2+1 个．
为便于归纳分析，我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形，以下各行类同第二行．因此底第二行还包括斜边长为 2，底长为 1∼2 的平行四边形，共有 2+1=1×2+1 个．
即：第二行平行四边形总共有个 2×2+1 个．
所以如图 1 平行四边形共有 2×2+1+1×2+1=2+12+1=2+12 个．
我们再研究菱形的个数：
分析：边长为 1 的菱形共有 22 个，边长为 2 的菱形共有 12 个．
所以：如图 1，菱形共有 22+12=5=16×2×3×5 个．
探究二：将一个边长为 3 的菱形的四条边分别 3 等分，连接对边对应的等分点．则该菱形被剖分的网格中平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢?
如图 2，从上往下，共有 3 行，我们先研究平行四边形的个数：
（1）第一行有斜边长为 1，底长为 1∼3 的平行四边形，共有 3+2+1=1×3+2+1 个．
（2）第二行有斜边长为 1，底长为 1∼3 的平行四边形，共有 3+2+1=1×3+2+1 个．
底在第二行还包括斜边长为 2，底长为 1∼3 的平行四边形，共有 3+2+1=1×3+2+1 个．
即：第二行平行四边形总共有个 2×3+2+1 个．
（3）第三行有斜边长为 1，底长为 1∼3 的平行四边形，共有 3+2+1=1×3+2+1 个．
底在第三行平行四边形还包括斜边长为 2，底长为 1∼3 的平行四边形，共有 3+2+1=1×3+2+1 个．
底在第三行平行四边形还包括斜边长为 3，底长为 1∼3 的平行四边形，共有 3+2+1=1×3+2+1 个．
即：第三行平行四边形总共有 3×3+2+1 个．
所以：如图 2，平行四边形共有 3×3+2+1+2×3+2+1+1×3+2+1=3+2+13+2+123+2+12 个．
我们再研究菱形的个数：
分析：边长为 1 的菱形共有 32 个，边长为 2 的菱形共有 22 个，边长为 3 的菱形共有 12 个．
所以：如图 2，菱形共有 32+22+12=14=16×3×4×7 个．
探究三：将一个边长为 4 的菱形的四条边分别 4 等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢?
如图 3，从上往下，共有 4 行，我们先研究平行四边形的个数：
（1）第一行有斜边长为 1，底长为 1∼4 的平行四边形，共有 4+3+2+1=1×4+3+2+1 个．
（2）第二行有斜边长为 1，底长为 1∼4 的平行四边形，共有 4+3+2+1=1×4+3+2+1 个．
底在第二行还包括斜边长为 2，底长为 1∼4 的平行四边形，共有 4+3+2+1=1×4+3+2+1 个．
即：第二行平行四边形，总共有 2×4+3+2+1 个．
（1）模仿上面的探究，写出图 3 中第三行探究过程：（写在答题纸上）
（2）按照以上规律，第四行平行四边形总共有 个．
所以：如图 3，平行四边形共有 个．
（3）我们再研究菱形的个数：
分析：边长为 1 的菱形共有 42 个，边长为 2 的菱形共有 32 个，边长为 3 的菱形共有 22 个，边长为 4 的菱形共有 12 个．
所以，如图 3，菱形共有 42+32+22+12=30=16×4×5×9 个．
①问题解决：
将一个边长为 nn≥2 的菱形的四条边都 n 等分，连接对边对应的等分点，根据上面的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是 ，菱形的个数是 （用 n 表示）．
②实际应用：
一个边长为 nn≥2 的菱形的四条边都 n 等分，连接对边对应的等分点，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是 225 个，则 n= ．
③拓展延伸：
一个边长为 nn≥2 的菱形的四条边都 n 等分，连接对边对应的等分点，当该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数与菱形个数之比是 135:19 时，n 的值 = ．
25. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6 cm，BC=8 cm，如果点 E 由点 B 出发沿 BC 方向向点 C 匀速运动，同时点 F 由点 D 出发沿 DA 方向向点 A 匀速运动，它们的速度分别为每秒 2 cm 和 1 cm，FQ⊥BC，分别交 AC，BC 于点 P 和 Q，连接 EF，EP，设运动时间为 t 秒（0（1）连接 DQ，若四边形 EQDF 为平行四边形，则 t 的值是 ．
（2）设 △EPF 的面积为 y cm2，求 y 与 t 的函数关系式．
（3）运动时间 t 为何值时，EF⊥AC?
答案
第一部分
1. D【解析】该几何体的俯视图是．
2. A【解析】x2+4x=5,x2+4x+4=9,x+22=9.
3. A【解析】设两个同学相距 x 米，
∵△ADE∽△ACB，
∴DEBC=ADAC，
∴−x6，解得：x=1．
4. C
5. B
6. C【解析】∵ 在正方形 ABCD 中，AB=2，E 是 AD 中点，
∴∠BAE=90∘，AE=12AD=12AB=1，
∴BE=AB2+AE2=5．
∵AE∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴EFBF=AEBC=12，
∴BF=2EF，
∵BF+EF=BE，
∴BF=23BE=253．
在 △ADF 与 △ABF 中，
AD=AB,∠DAF=∠BAF,AF=AF,
∴△ADF≌△ABF，
∴DF=BF=253．
7. D【解析】因为点 A 的横坐标为 −32，
所以不等式 ax2+c>cx 的解集是 x<−32 或 x>0．
8. B【解析】①由表格看出，抛物线随 x 的增大先增大后减小；
∴ 抛物线开口向下，
∴a<0，
∵x=1 时，y=6，当 x=3 时，y=6，
∴ 抛物线的对称轴是直线 x=2，
∴−b2a>0，
又 ∵a<0，
∴b>0，
当 x=0 时，y=3，
∴c=3>0，
∴abc<0，
∴ ①错误；
②当 x=1 时，y=a+b+c=6，
∴ ②正确；
③ ∵y−1⋅y0<0，
∴ 抛物线与 y 轴有交点且有 2 个交点，
∴b2−4ac>0，
∴ ③正确；
④ ∵ 抛物线开口向下，且 y1=6，y3=6，
∴ 当 y<6 时，x<1 或 x>3，
∴ ④错误；
⑤ ∵ 当 x=0 时，y=3，且抛物线的对称轴是直线 x=2，
∴ 当 x=4 时，y=3．
∴ 关于 x 方程 ax2+bx+c=3 的解是 x1=0，x2=4，
∴ ⑤正确．
综上，②③⑤正确．
第二部分
9. k≤4
【解析】∵a=1，b=4，c=k，而方程有实数根，
∴Δ=b2−4ac=16−4k≥0，解得：k≤4．
10. −1,2 或 1,−2
【解析】∵ 以原点 O 为位似中心，相似比为 12，把 △ABO 缩小，
∴ 点 A 的对应点 Aʹ 的坐标是 −2×12,4×12 或 −2×−12,4×−12，
即点 Aʹ 的坐标为：−1,2 或 1,−2．
11. −16
【解析】由题知，a,b 在 y=−6x 和 y=−x+1 图象上，
∴b=−6a,b=−a+1, 即 ab=−6,a+b=1,
∴原式=a+bab=1−6=−16．
12. 23
【解析】∵CE∥BD，BE∥AC，
∴ 四边形 BECO 是平行四边形，
∵ 矩形 ABCD，
∴OC=12AC，OB=12BD，BD=AC，
∴OC=OB，
∴ 四边形 BECO 是菱形，
∵ 矩形 ABCD，
∴OA=OC=12AC=12×8=4，∠ABC=90∘，
∵ 四边形 BECO 是菱形，
∴BE=OC，
∴OA=BE，
∵BE∥AC，
∴∠OAE=∠AEB，∠AOB=∠EBO，
∴△AOF≌△EBF，
∴OF=BF，
∵∠ABD=30∘，
∴∠DBC=60∘，
∵OB=OC，
∴△OBC 是等边三角形，
∴OC=BC=OB=4，
∴OF=BF=2，
∴CF⊥OB，
∴∠OFC=90∘，
∴CF=42−22=23．
13. 92
【解析】∵OA=94，
∴A0,94．
∵ 抛物线的顶点是 2,254，
∴ 设抛物线的解析式为 y=ax−22+254，
把 0,94 代入，得：a0−22+254=94，解得 a=−1．
∴y=−x−22+254．
当 y=0 时，0=−x−22+254，解得 x1=92，x2=−12，
∵x>0，
∴x=92，即 OB=92．
∴ 圆形水池的半径至少为 92 米．
14. 38
【解析】从前往后分层数，如图所示：
共有 13+6+6+13=38 个．
∴ 这个立体图形由 38 个小正方体组成．
第三部分
15. 如图所示：
16.
x−32=7x−21.x−32−7x−3=0.x−3x−10=0.∴x−3=0 或 x−10=0.
解得
x1=3,x2=10.
17. 原式=32−2×12−2×22=3−1−1=1.
18. （1） 画树状图如下：
共有 12 种情况，摸到的都是红色小球的情况有 6 种，
P摸到的都是红色小球=612=12．
（2） ∵ 大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在 0.9，
∴ 摸到红色小球的概率等于 0.9，
∴x+3x+4=0.9，解得：x=6．
19. （1） 令 x=10 代入 y=2x+20，则 y=40，
∴B 点坐标 10,40，
∴C 点坐标 24,40，
设 CD 段双曲线表达式：y=kx，
把 C24,40，代入得 k=24×40=960．
∴CD 段关系式：y=960x．
（2） 令 y=32，分别代入 y=2x+20 和 y=960x，
得 x1=6，x2=30．
∵30−6=24>20，
∴ 经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需状态讲完这道题目．
20. 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D．
∴∠ACD=37∘，∠BCD=48∘，
在 Rt△ACD 中，AD=CD⋅tan37∘，
在 Rt△BCD 中，BD=CD⋅tan48∘，
∵AD+BD=AB=74，
∴CD⋅tan37∘+CD⋅tan48∘=74，
∴CD⋅34+1110=74，
CD=40（米）．
答：小明家所在的居民楼与大厦的距离 CD 为 40 米．
21. ∵30×40=1200<1400，
∴ 奖品数超过了 30 件，
设总数为 x，根据题意得 40−x−30×0.5x=1400，
解得 x1=40，x2=70，
x=70 时，单价为 40−70−30×0.5=20<30，
∴x=70 时不符合题意，
购买的奖品数为 40 件．
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BO=12BD，即 BD=2BO，
又 ∵BD=2BC，
∴OB=BC，
又 ∵ 点 E 是 OC 的中点，
∴BE⊥AC．
（2） ∵E，F 分别是 OC，OD 的中点，
∴EF=12CD，
∵ 点 G 是 Rt△ABE 斜边 AB 上的中点，
∴GE=12AB，
又 ∵ 平行四边形 ABCD 中，AB=CD，
∴EG=EF，
∵E，F 分别是 OC，OD 的中点，
∴EF∥CD 且 EF=12CD，
∵G 是 AB 中点，AB∥CD，
∴AG∥EF 且 AG=EF
∴ 四边形 AGEF 是平行四边形，
又 ∵EG=EF，
∴ 平行四边形 AGEF 是菱形．
23. （1） 设每天销售量 y 与单价 x 的关系式：y=kx+bk≠0，
由题知函数图象过点 30,500 和 40,400，
代入得 500=30k+b,400=40k+b, 解得 k=−10,b=800,
∴y 与 x 的关系式：y=−10x+800．
（2） 每天利润
P=y⋅x−20=−10x+800x−20=10x2+1000x−16000=−10x−502+9000.
当 x=50 时，每天的利润最大，此时 P=9000 元．
答：当销售定价为 50 元时，每天的利润最大为 9000 元．
24. （1） 第三行有斜边长为 1，底长为 1∼4 的平行四边形，共有 4+3+2+1=1×4+3+2+1 个．
底在第三行还包括斜边长为 2，底长为 1∼4 的平行四边形，共有 4+3+2+1=1×4+3+2+1 个．
底在第三行还包括斜边长为 3，底长为 1∼4 的平行四边形，共有 4+3+2+1=1×4+3+2+1 个．
即：第三行平行四边形总共有 3×4+3+2+1 个．
（2） 4×4+3+2+1；4+3+2+12
【解析】按照以上规律，第四行平行四边形共有 4×4+3+2+1 个．
所以，如图 3，平行四边形共有 4×4+3+2+1+3×4+3+2+1+2×4+3+2+1+1×4+3+2+1=4+3+2+1×4+3+2+1=4+3+2+12个.
（3） n+n−1+n−2+…+12；16nn+12n+1；5；9
【解析】①将一个边长为 nn≥2 的菱形的四条边都几等分，连接对边对应的等分点，根据上面的规律得出该菱形的补剖分的网格中的平行四边形的个数是 n+n−1+n−2+…+12 个，菱形的个数是 16nn+12n+1．
②根据题意可得 n+n−1+n−2+…+12=225，
∴n+n−1+n−2+…+1=15，
∴n=5．
③令 S=n+n−1+n−2+…+1, ⋯⋯①
则 S=1+2+3+…+n, ⋯⋯②
① + ②，得 2S=nn+1，
∴S=nn+12，
根据题意可得 nn+12216nn+12n+1=13519，
解得 n=9或−1019（舍去），
∴n 的值为 9．
25. （1） 2
【解析】在矩形 ABCD 中，
∵AB=6 cm，BC=8 cm，
∴AB=CD=6 cm，AD=BC=8 cm，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠B=90∘，
∴ 由勾股定理得：AC=10，
∵FQ⊥BC，
∴∠FQC=90∘，
∴ 四边形 CDFQ 是矩形，
∴DF=QC，DC=FQ=6 cm，
∵ 点 E 由点 B 出发沿 BC 方向向点 C 匀速运动，
同时点 F 由点 D 出发沿 DA 方向向点 A 匀速运动，
它们的速度分别为 2 cm/s 和 1 cm/s，
∴t 秒后，BE=2t，DF=QC=t，
∴EQ=BC−BE−QC=8−3t，
∵ 四边形 EQDF 为平行四边形，
∴FD=EQ，即：8−3t=t，解得：t=2．
（2） ∵∠FQC=90∘，∠B=90∘，
∴∠FQC=∠B，
∴PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴PQAB=QCBC，即 PQ6=t8
∴PQ=34t，
∵S△EPC=12EC⋅PQ，
∴y=1⋅8−2t⋅34t=−34t2+3t=−34t−22+3，
即 y=−34t−22+3，
∵a=−34<0，
∴y 有最大值，当 x=2 时，y 的最大值为 3．
（3） 如图 1，
在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，根据勾股定理得 AC=10，
∵∠B=∠D=∠BCD=90∘，FQ⊥BC 于 Q，
∴ 四边形 CDFQ 是矩形，
∴CQ=DF，
由运动知，BE=2t，DF=t，
∴CQ=t，CE=BC−BE=8−2t，AF=8−t，
∴EQ=CE−CQ=8−3t．
在 Rt△ABC 中，cs∠ACB=BCAC=45，
在 Rt△CPQ 中，cs∠ACB=CQCP=tCP=45，
∴CP=54t
∵EF⊥AC，
∴∠CGE=90∘=∠ABC，
∴∠ACB+∠FEQ=90∘，
∵∠ACB+∠BAC=90∘，
∴∠FEQ=∠BAC，
∴△ABC∽△EQF．
∴ABEQ=BCFQ，
∴6EQ=86，
∴EQ=92，
∴8−3t=92，
∴t=76 秒．
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图所示的几何体的俯视图是
A. B.
C. D.
2. 一元二次方程 x2+4x=5 配方后可变形为
A. x+22=9B. x+22=5C. x−22=9D. x−22=21
3. 如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在 C，D 的位置时，乙的影子 DA 恰好与甲影子 CA 在同一条直线上，已知甲身高 1.8 米，乙身高 1.5 米，甲的影长是 6 米，则甲、乙两同学相距 米．
A. 1B. 2C. 3D. 5
4. 如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC=100 米，∠PCA=35∘，则小河宽 PA 等于
A. 100sin35∘ 米B. 100sin55∘ 米C. 100tan35∘ 米D. 100tan55∘ 米
5. 如图，取一张长为 a，宽为 b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边 a，b 应满足的条件是
A. a=2bB. a=2bC. a=22bD. a=4b
6. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=2，E 是 AD 中点，BE 交 AC 于点 F，DF 的长为
A. 52B. 5C. 253D. 453
7. 如图，二次函数 y=ax2+c 的图象与反比例函数 y=cx 的图象相交于 A−32,1，则关于 x 的不等式 ax2+c>cx 的解集为
A. x<−32B. x>−32C. −32
8. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表所示；
x⋯⋯−10123⋯⋯y⋯⋯−23676⋯⋯
下列说法：① abc>0；② a+b+c=6；③ b2−4ac>0；④当 y<6 时，x<1；⑤关于 x 方程 ax2+bx+c=3 的解是 x1=0，x2=4，正确的有 个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题（共6小题；共30分）
9. 若关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k=0 有实数根，则 k 的取值范围是 ．
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A−2,4，B−4,−2，以原点 O 为位似中心，相似比为 12，把 △ABO 缩小，则点 A 的对应点 Aʹ 的坐标是 ．
11. 已知函数 y=−6x 与 y=−x+1 的图象的交点坐标是 a,b，则 1a+1b 的值为 ．
12. 如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O，点 E 是矩形外一点，CE∥BD，BE∥AC，∠ABD=30∘，连接 AE 交 BD 于点 F，连接 CF，若 AC=8，则线段 CF 的长 ．
13. 体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 OA，A 处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图 1），A 点距离水平面为 94 米，即 OA=94 米，如果曲线 APB 表示的是落点 B 离点 O 最远的一条水流（如图 2），水流喷出的高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系式是 y=ax2+bx+cx>0，该抛物线的顶点是 2,254，那么圆形水池的半径至少为 米时，才能使喷出的水流不至于落在池外．
14. 如图是由若干个小正方体组成的立体图形，阴影部分是空缺的通道，一直通到对面，这个立体图形是由 个小正方体组成．
三、解答题（共11小题；共143分）
15. 已知：如图 ∠α 和线 a．
求作：菱形 ABCD，使 ∠BAD=∠α，较长对角线 AC 等于线线 a．
16. 解方程：x−32=7x−21．
17. 计算：tan260∘−2sin30∘−2cs45∘．
18. 在一个袋子中装有大小相同的 4 个小球，其中 1 个蓝色，3 个红色．
（1）从袋中随机摸出 2 个，用列表法或树状图法求摸到的都是红色小球的概率．
（2）如果在这个袋中加入 x 个红色小球，进行如下试验：随机摸出 1 个，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在 0.9，则可以推算出 x 的值大约是多少．
19. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课 45 分钟中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数 y 随时间 x（分钟）的变化规律如图所示（其中 AB，BC 分别为线段，BC∥x 轴，CD 为双曲线的一部分），其中 AB 段的关系式为 y=2x+20．
（1）根据图中数据，求出 CD 段双曲线的关系式．
（2）一道数学竞赛题，需要讲 20 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到 32，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?
20. 小明家所在居民楼的对面有一座大厦 AB，AB=74 米，为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户 C 处测得大厦顶部 A 的仰角为 37∘，大厦底部 B 的俯角为 48∘．求小明家所在居民楼与大厦的距离 CD 的长度．
（参考数据：sin37∘≈35，tan37∘≈34，sin48∘≈710，tan48∘≈1110）
21. 学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用 1400 元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．
购买件数销售价格不超过30件单价40元超过30件每多买1件,购买的所有衬衫单价降低0.5元,但单价不得低于30元
22. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD=2BC，E，F，G 分别是 OC，OD，AB 的中点．
求证：
（1）BE⊥AC．
（2）连接 AF，求证：四边形 AGEF 是菱形．
23. 某工厂设计了一款成本为 20 元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
销售单价 x元/件⋯30405060⋯每天销售量 y件⋯500400300200⋯
（1）研究发现，每天销售量 y 与单价 x 满足一次函数关系，求出 y 与 x 的关系式．
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少．
24. 问题提出：
将一个边长为 nn≥2 的菱形的四条边分别 n 等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢?
问题探究：
要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．
探究一：将一个边长为 2 的菱形的四条边分别 2 等分，连接各边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢?
如图 1，从上往下，共有 2 行，我们先研究平行四边形的个数：
（1）第一行有斜边长为 1，底长为 1∼2 的平行四边形，共有 2+1=1×2+1 个．
（2）第二行有斜边长为 1，底长为 1∼2 的平行四边形，共有 2+1=1×2+1 个．
为便于归纳分析，我们把平行四边形下面的底在第二行的所有平行四边形均算作第二行的平行四边形，以下各行类同第二行．因此底第二行还包括斜边长为 2，底长为 1∼2 的平行四边形，共有 2+1=1×2+1 个．
即：第二行平行四边形总共有个 2×2+1 个．
所以如图 1 平行四边形共有 2×2+1+1×2+1=2+12+1=2+12 个．
我们再研究菱形的个数：
分析：边长为 1 的菱形共有 22 个，边长为 2 的菱形共有 12 个．
所以：如图 1，菱形共有 22+12=5=16×2×3×5 个．
探究二：将一个边长为 3 的菱形的四条边分别 3 等分，连接对边对应的等分点．则该菱形被剖分的网格中平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢?
如图 2，从上往下，共有 3 行，我们先研究平行四边形的个数：
（1）第一行有斜边长为 1，底长为 1∼3 的平行四边形，共有 3+2+1=1×3+2+1 个．
（2）第二行有斜边长为 1，底长为 1∼3 的平行四边形，共有 3+2+1=1×3+2+1 个．
底在第二行还包括斜边长为 2，底长为 1∼3 的平行四边形，共有 3+2+1=1×3+2+1 个．
即：第二行平行四边形总共有个 2×3+2+1 个．
（3）第三行有斜边长为 1，底长为 1∼3 的平行四边形，共有 3+2+1=1×3+2+1 个．
底在第三行平行四边形还包括斜边长为 2，底长为 1∼3 的平行四边形，共有 3+2+1=1×3+2+1 个．
底在第三行平行四边形还包括斜边长为 3，底长为 1∼3 的平行四边形，共有 3+2+1=1×3+2+1 个．
即：第三行平行四边形总共有 3×3+2+1 个．
所以：如图 2，平行四边形共有 3×3+2+1+2×3+2+1+1×3+2+1=3+2+13+2+123+2+12 个．
我们再研究菱形的个数：
分析：边长为 1 的菱形共有 32 个，边长为 2 的菱形共有 22 个，边长为 3 的菱形共有 12 个．
所以：如图 2，菱形共有 32+22+12=14=16×3×4×7 个．
探究三：将一个边长为 4 的菱形的四条边分别 4 等分，连接对边对应的等分点，则该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数和菱形的个数分别是多少呢?
如图 3，从上往下，共有 4 行，我们先研究平行四边形的个数：
（1）第一行有斜边长为 1，底长为 1∼4 的平行四边形，共有 4+3+2+1=1×4+3+2+1 个．
（2）第二行有斜边长为 1，底长为 1∼4 的平行四边形，共有 4+3+2+1=1×4+3+2+1 个．
底在第二行还包括斜边长为 2，底长为 1∼4 的平行四边形，共有 4+3+2+1=1×4+3+2+1 个．
即：第二行平行四边形，总共有 2×4+3+2+1 个．
（1）模仿上面的探究，写出图 3 中第三行探究过程：（写在答题纸上）
（2）按照以上规律，第四行平行四边形总共有 个．
所以：如图 3，平行四边形共有 个．
（3）我们再研究菱形的个数：
分析：边长为 1 的菱形共有 42 个，边长为 2 的菱形共有 32 个，边长为 3 的菱形共有 22 个，边长为 4 的菱形共有 12 个．
所以，如图 3，菱形共有 42+32+22+12=30=16×4×5×9 个．
①问题解决：
将一个边长为 nn≥2 的菱形的四条边都 n 等分，连接对边对应的等分点，根据上面的规律，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是 ，菱形的个数是 （用 n 表示）．
②实际应用：
一个边长为 nn≥2 的菱形的四条边都 n 等分，连接对边对应的等分点，得出该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数是 225 个，则 n= ．
③拓展延伸：
一个边长为 nn≥2 的菱形的四条边都 n 等分，连接对边对应的等分点，当该菱形被剖分的网格中的平行四边形的个数与菱形个数之比是 135:19 时，n 的值 = ．
25. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6 cm，BC=8 cm，如果点 E 由点 B 出发沿 BC 方向向点 C 匀速运动，同时点 F 由点 D 出发沿 DA 方向向点 A 匀速运动，它们的速度分别为每秒 2 cm 和 1 cm，FQ⊥BC，分别交 AC，BC 于点 P 和 Q，连接 EF，EP，设运动时间为 t 秒（0
（2）设 △EPF 的面积为 y cm2，求 y 与 t 的函数关系式．
（3）运动时间 t 为何值时，EF⊥AC?
答案
第一部分
1. D【解析】该几何体的俯视图是．
2. A【解析】x2+4x=5,x2+4x+4=9,x+22=9.
3. A【解析】设两个同学相距 x 米，
∵△ADE∽△ACB，
∴DEBC=ADAC，
∴−x6，解得：x=1．
4. C
5. B
6. C【解析】∵ 在正方形 ABCD 中，AB=2，E 是 AD 中点，
∴∠BAE=90∘，AE=12AD=12AB=1，
∴BE=AB2+AE2=5．
∵AE∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴EFBF=AEBC=12，
∴BF=2EF，
∵BF+EF=BE，
∴BF=23BE=253．
在 △ADF 与 △ABF 中，
AD=AB,∠DAF=∠BAF,AF=AF,
∴△ADF≌△ABF，
∴DF=BF=253．
7. D【解析】因为点 A 的横坐标为 −32，
所以不等式 ax2+c>cx 的解集是 x<−32 或 x>0．
8. B【解析】①由表格看出，抛物线随 x 的增大先增大后减小；
∴ 抛物线开口向下，
∴a<0，
∵x=1 时，y=6，当 x=3 时，y=6，
∴ 抛物线的对称轴是直线 x=2，
∴−b2a>0，
又 ∵a<0，
∴b>0，
当 x=0 时，y=3，
∴c=3>0，
∴abc<0，
∴ ①错误；
②当 x=1 时，y=a+b+c=6，
∴ ②正确；
③ ∵y−1⋅y0<0，
∴ 抛物线与 y 轴有交点且有 2 个交点，
∴b2−4ac>0，
∴ ③正确；
④ ∵ 抛物线开口向下，且 y1=6，y3=6，
∴ 当 y<6 时，x<1 或 x>3，
∴ ④错误；
⑤ ∵ 当 x=0 时，y=3，且抛物线的对称轴是直线 x=2，
∴ 当 x=4 时，y=3．
∴ 关于 x 方程 ax2+bx+c=3 的解是 x1=0，x2=4，
∴ ⑤正确．
综上，②③⑤正确．
第二部分
9. k≤4
【解析】∵a=1，b=4，c=k，而方程有实数根，
∴Δ=b2−4ac=16−4k≥0，解得：k≤4．
10. −1,2 或 1,−2
【解析】∵ 以原点 O 为位似中心，相似比为 12，把 △ABO 缩小，
∴ 点 A 的对应点 Aʹ 的坐标是 −2×12,4×12 或 −2×−12,4×−12，
即点 Aʹ 的坐标为：−1,2 或 1,−2．
11. −16
【解析】由题知，a,b 在 y=−6x 和 y=−x+1 图象上，
∴b=−6a,b=−a+1, 即 ab=−6,a+b=1,
∴原式=a+bab=1−6=−16．
12. 23
【解析】∵CE∥BD，BE∥AC，
∴ 四边形 BECO 是平行四边形，
∵ 矩形 ABCD，
∴OC=12AC，OB=12BD，BD=AC，
∴OC=OB，
∴ 四边形 BECO 是菱形，
∵ 矩形 ABCD，
∴OA=OC=12AC=12×8=4，∠ABC=90∘，
∵ 四边形 BECO 是菱形，
∴BE=OC，
∴OA=BE，
∵BE∥AC，
∴∠OAE=∠AEB，∠AOB=∠EBO，
∴△AOF≌△EBF，
∴OF=BF，
∵∠ABD=30∘，
∴∠DBC=60∘，
∵OB=OC，
∴△OBC 是等边三角形，
∴OC=BC=OB=4，
∴OF=BF=2，
∴CF⊥OB，
∴∠OFC=90∘，
∴CF=42−22=23．
13. 92
【解析】∵OA=94，
∴A0,94．
∵ 抛物线的顶点是 2,254，
∴ 设抛物线的解析式为 y=ax−22+254，
把 0,94 代入，得：a0−22+254=94，解得 a=−1．
∴y=−x−22+254．
当 y=0 时，0=−x−22+254，解得 x1=92，x2=−12，
∵x>0，
∴x=92，即 OB=92．
∴ 圆形水池的半径至少为 92 米．
14. 38
【解析】从前往后分层数，如图所示：
共有 13+6+6+13=38 个．
∴ 这个立体图形由 38 个小正方体组成．
第三部分
15. 如图所示：
16.
x−32=7x−21.x−32−7x−3=0.x−3x−10=0.∴x−3=0 或 x−10=0.
解得
x1=3,x2=10.
17. 原式=32−2×12−2×22=3−1−1=1.
18. （1） 画树状图如下：
共有 12 种情况，摸到的都是红色小球的情况有 6 种，
P摸到的都是红色小球=612=12．
（2） ∵ 大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在 0.9，
∴ 摸到红色小球的概率等于 0.9，
∴x+3x+4=0.9，解得：x=6．
19. （1） 令 x=10 代入 y=2x+20，则 y=40，
∴B 点坐标 10,40，
∴C 点坐标 24,40，
设 CD 段双曲线表达式：y=kx，
把 C24,40，代入得 k=24×40=960．
∴CD 段关系式：y=960x．
（2） 令 y=32，分别代入 y=2x+20 和 y=960x，
得 x1=6，x2=30．
∵30−6=24>20，
∴ 经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需状态讲完这道题目．
20. 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D．
∴∠ACD=37∘，∠BCD=48∘，
在 Rt△ACD 中，AD=CD⋅tan37∘，
在 Rt△BCD 中，BD=CD⋅tan48∘，
∵AD+BD=AB=74，
∴CD⋅tan37∘+CD⋅tan48∘=74，
∴CD⋅34+1110=74，
CD=40（米）．
答：小明家所在的居民楼与大厦的距离 CD 为 40 米．
21. ∵30×40=1200<1400，
∴ 奖品数超过了 30 件，
设总数为 x，根据题意得 40−x−30×0.5x=1400，
解得 x1=40，x2=70，
x=70 时，单价为 40−70−30×0.5=20<30，
∴x=70 时不符合题意，
购买的奖品数为 40 件．
22. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BO=12BD，即 BD=2BO，
又 ∵BD=2BC，
∴OB=BC，
又 ∵ 点 E 是 OC 的中点，
∴BE⊥AC．
（2） ∵E，F 分别是 OC，OD 的中点，
∴EF=12CD，
∵ 点 G 是 Rt△ABE 斜边 AB 上的中点，
∴GE=12AB，
又 ∵ 平行四边形 ABCD 中，AB=CD，
∴EG=EF，
∵E，F 分别是 OC，OD 的中点，
∴EF∥CD 且 EF=12CD，
∵G 是 AB 中点，AB∥CD，
∴AG∥EF 且 AG=EF
∴ 四边形 AGEF 是平行四边形，
又 ∵EG=EF，
∴ 平行四边形 AGEF 是菱形．
23. （1） 设每天销售量 y 与单价 x 的关系式：y=kx+bk≠0，
由题知函数图象过点 30,500 和 40,400，
代入得 500=30k+b,400=40k+b, 解得 k=−10,b=800,
∴y 与 x 的关系式：y=−10x+800．
（2） 每天利润
P=y⋅x−20=−10x+800x−20=10x2+1000x−16000=−10x−502+9000.
当 x=50 时，每天的利润最大，此时 P=9000 元．
答：当销售定价为 50 元时，每天的利润最大为 9000 元．
24. （1） 第三行有斜边长为 1，底长为 1∼4 的平行四边形，共有 4+3+2+1=1×4+3+2+1 个．
底在第三行还包括斜边长为 2，底长为 1∼4 的平行四边形，共有 4+3+2+1=1×4+3+2+1 个．
底在第三行还包括斜边长为 3，底长为 1∼4 的平行四边形，共有 4+3+2+1=1×4+3+2+1 个．
即：第三行平行四边形总共有 3×4+3+2+1 个．
（2） 4×4+3+2+1；4+3+2+12
【解析】按照以上规律，第四行平行四边形共有 4×4+3+2+1 个．
所以，如图 3，平行四边形共有 4×4+3+2+1+3×4+3+2+1+2×4+3+2+1+1×4+3+2+1=4+3+2+1×4+3+2+1=4+3+2+12个.
（3） n+n−1+n−2+…+12；16nn+12n+1；5；9
【解析】①将一个边长为 nn≥2 的菱形的四条边都几等分，连接对边对应的等分点，根据上面的规律得出该菱形的补剖分的网格中的平行四边形的个数是 n+n−1+n−2+…+12 个，菱形的个数是 16nn+12n+1．
②根据题意可得 n+n−1+n−2+…+12=225，
∴n+n−1+n−2+…+1=15，
∴n=5．
③令 S=n+n−1+n−2+…+1, ⋯⋯①
则 S=1+2+3+…+n, ⋯⋯②
① + ②，得 2S=nn+1，
∴S=nn+12，
根据题意可得 nn+12216nn+12n+1=13519，
解得 n=9或−1019（舍去），
∴n 的值为 9．
25. （1） 2
【解析】在矩形 ABCD 中，
∵AB=6 cm，BC=8 cm，
∴AB=CD=6 cm，AD=BC=8 cm，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠B=90∘，
∴ 由勾股定理得：AC=10，
∵FQ⊥BC，
∴∠FQC=90∘，
∴ 四边形 CDFQ 是矩形，
∴DF=QC，DC=FQ=6 cm，
∵ 点 E 由点 B 出发沿 BC 方向向点 C 匀速运动，
同时点 F 由点 D 出发沿 DA 方向向点 A 匀速运动，
它们的速度分别为 2 cm/s 和 1 cm/s，
∴t 秒后，BE=2t，DF=QC=t，
∴EQ=BC−BE−QC=8−3t，
∵ 四边形 EQDF 为平行四边形，
∴FD=EQ，即：8−3t=t，解得：t=2．
（2） ∵∠FQC=90∘，∠B=90∘，
∴∠FQC=∠B，
∴PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴PQAB=QCBC，即 PQ6=t8
∴PQ=34t，
∵S△EPC=12EC⋅PQ，
∴y=1⋅8−2t⋅34t=−34t2+3t=−34t−22+3，
即 y=−34t−22+3，
∵a=−34<0，
∴y 有最大值，当 x=2 时，y 的最大值为 3．
（3） 如图 1，
在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，根据勾股定理得 AC=10，
∵∠B=∠D=∠BCD=90∘，FQ⊥BC 于 Q，
∴ 四边形 CDFQ 是矩形，
∴CQ=DF，
由运动知，BE=2t，DF=t，
∴CQ=t，CE=BC−BE=8−2t，AF=8−t，
∴EQ=CE−CQ=8−3t．
在 Rt△ABC 中，cs∠ACB=BCAC=45，
在 Rt△CPQ 中，cs∠ACB=CQCP=tCP=45，
∴CP=54t
∵EF⊥AC，
∴∠CGE=90∘=∠ABC，
∴∠ACB+∠FEQ=90∘，
∵∠ACB+∠BAC=90∘，
∴∠FEQ=∠BAC，
∴△ABC∽△EQF．
∴ABEQ=BCFQ，
∴6EQ=86，
∴EQ=92，
∴8−3t=92，
∴t=76 秒．
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山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2022-2023学年九年级上学期期初考试数学试题（含答案）： 这是一份山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2022-2023学年九年级上学期期初考试数学试题（含答案），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
