2019-2020学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2019-2020学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题用圆规，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019-2020学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．（3分）如图，是一个中空无盖的水杯（水杯厚度忽略不计），其俯视图是　　

A． B． C． D．
2．（3分）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于　　

A． B． C． D．
3．（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有　　
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
4．（3分）反比例函数图象上有三个点，，，，，，若，则、、的大小关系是　　
A． B． C． D．
5．（3分）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B．且 C． D．且
6．（3分）将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线为　　
A． B． C． D．
7．（3分）如图矩形与矩形是位似图形，点是位似中心，矩形的周长是24，，，则和的长是　　

A．4，2 B．8，4 C．8，6 D．10，6
8．（3分）二次函数的图象如图所示，以下结论：①； ②；③；④其顶点坐标为，； ⑤当时，随的增大而减小；⑥中正确的有　　

A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
二、填空题（本满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）若且，则的值为　　．
10．（3分）如图是一张长、宽的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒，则的值为　　．

11．（3分）一个零件的主视图、左视图、俯视图如图所示（尺寸单位：厘米），这个零件的表面积是　　．

12．（3分）如图，矩形的对角线的垂直平分线与、、分别交于点、、．若，，则四边形的面积为 　　．

13．（3分）如图，有两条公路、相交成角，沿公路方向离点处有一所医院，当卡车沿道路方向行驶时，在以为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米分钟，则卡车沿道路方向行驶一次时，给医院带来噪声影响的持续时间是　　分钟．

14．（3分）如图，正方形边长为，、分别是边，上的两个动点，且，则线段的最小值是　　．

三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）请作出一个以线段为对角线，且对角线夹角为的矩形．

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）（1）解方程：；
（2）用配方法求二次函数的顶点坐标．
17．（6分）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字2、3、4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率．
（2）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由．
18．（6分）一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个高为9米的柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如果抛物线的最高点离柱形喷水装置1米，离地面12米，若不计其他因素，水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不落在池外？

19．（6分）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，，

20．（8分）如图，直线与轴，轴分别交于点、两点，与双曲线相交于、两点，过作轴于点，已知，．
（1）求直线和双曲线的表达式；
（2）设点是轴上一点，使得，求点的坐标．

21．（8分）如图，中，点在延长线上，，连接，，于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点．若，猜想与的数量关系，并证明你的猜想．

22．（10分）某商场销售一种小商品，进货价为5元件．当售价为6元件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨0.5元，每天的销售量就减少5件．设销售单价为元件，每天销售利润为元．
（1）求与的函数关系式；
（2）要使每天销售利润不低于280元，求销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过，则每件文具的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
23．（10分）问题情境：如图①，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、．
问题探究：
（1）线段、、之间又怎样的数量关系？请加以说明．
（2）如图②，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接并延长交边于点．求的度数；
拓展应用：
（3）如图③，在边长为4的正方形中，点、分别为边、上的点，已知，，将正方形沿着翻折，的对应边恰好经过点，连接交于点．分别过点、作，，垂足分别为、，求线段的长．（直接写出结论即可）

24．（12分）在菱形中，对角线、交于点，且，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．若、两点同时出发，过点作，交于点，设运动时间为．解答下列问题：

（1）当为何值时，？
（2）设四边形的面积为，四边形的面积为，，求关于的函数关系式；并求出当为何值时，的值最大，最大值是多少？
（3）求是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？如果存在，求出此时的值；如果不存在，请说明理由．

2019-2020学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．（3分）如图，是一个中空无盖的水杯（水杯厚度忽略不计），其俯视图是　　

A． B． C． D．
【解答】解：从上面看，杯子口是一个圆形，杯子底面的圆形比较小，杯子无盖，其底面可以看见，
因此，选项中的图形，符合题意，
故选：．
2．（3分）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：由格点可得所在的直角三角形的两条直角边为2，4，
斜边为．
．
故选：．
3．（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有　　
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
【解答】解：设袋中有黄球个，由题意得，
解得，则白球可能有个．
故选：．
4．（3分）反比例函数图象上有三个点，，，，，，若，则、、的大小关系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
反比例函数图象在一三象限，随的增大而减小，
又点，，，，，在图象上，且，
点，，，在第三象限，，
点，在第一象限，，
，
故选：．
5．（3分）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B．且 C． D．且
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
△，
即：，
解得：，
关于的一元二次方程中，
则的取值范围是且．
故选：．
6．（3分）将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线为　　
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线先向左平移1个单位，再向上平移1上个单位得．
故选：．
7．（3分）如图矩形与矩形是位似图形，点是位似中心，矩形的周长是24，，，则和的长是　　

A．4，2 B．8，4 C．8，6 D．10，6
【解答】解：矩形的周长是24，
，
，
，，
矩形与矩形是位似图形，
，，
，，
，即，
解得，，
则，
故选：．
8．（3分）二次函数的图象如图所示，以下结论：①； ②；③；④其顶点坐标为，； ⑤当时，随的增大而减小；⑥中正确的有　　

A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
【解答】解：①由图象开口可知：，，
，
，
，故①正确；
②由图象可知：△，
，
，故②正确；
③抛物线与轴交于点，，
抛物线的对称轴为：，
，
，
故③正确；
④由图象可知顶点坐标的纵坐标小于，
故④错误；
⑤由③可知抛物线的对称轴为，
由图象可知：时，随着的增大而减小，
故⑤正确；
⑥由图象可知：时，，
，
故⑥错误；
故选：．
二、填空题（本满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）若且，则的值为　6　．
【解答】解：设，，，，
，
，
解得：，
，，，
．
故答案为：6．
10．（3分）如图是一张长、宽的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒，则的值为　1　．

【解答】解：纸板是长为，宽为的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，
无盖纸盒的长为，宽为．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为1．
故答案为：1．
11．（3分）一个零件的主视图、左视图、俯视图如图所示（尺寸单位：厘米），这个零件的表面积是　　．

【解答】解：由三视图可得这个零件是圆柱体，
表面积是：，
故答案为：．
12．（3分）如图，矩形的对角线的垂直平分线与、、分别交于点、、．若，，则四边形的面积为 　　．

【解答】解：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
又，
，
，
四边形为平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是矩形，
，，
设，则，
，
，
解得：，
平行四边形的面积为．
故答案为：．
13．（3分）如图，有两条公路、相交成角，沿公路方向离点处有一所医院，当卡车沿道路方向行驶时，在以为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米分钟，则卡车沿道路方向行驶一次时，给医院带来噪声影响的持续时间是　0.48　分钟．

【解答】解：作于，
，，
，
以为圆心为半径画圆，交于、两点，
，
，
在中，，
，
卡车的速度为250米分钟，
卡车经过的时间分钟，
故答案为：0.48．

14．（3分）如图，正方形边长为，、分别是边，上的两个动点，且，则线段的最小值是　12.5　．

【解答】解：，
，
而，
，
又，
，
，
设，则，
整理得：，
当时，取得最大值，
，
当取最小值时，取得最小值、取得最大值，即时，最小，
，
故答案为：12.5．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）请作出一个以线段为对角线，且对角线夹角为的矩形．

【解答】解：如图，四边形即为所求作．

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）（1）解方程：；
（2）用配方法求二次函数的顶点坐标．
【解答】解：（1），

，
解得，，；
（2），
此函数的顶点坐标是．
17．（6分）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字2、3、4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率．
（2）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由．
【解答】解：（1）列表如下：

2
3
4
2



3



4



由表可知，总共有9种结果，其中和为6的有3种，
则这两数和为6的概率；

（2）这个游戏规则对双方不公平．
理由：因为（和为奇数），（和为偶数），而，
所以这个游戏规则对双方是不公平的．
18．（6分）一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个高为9米的柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如果抛物线的最高点离柱形喷水装置1米，离地面12米，若不计其他因素，水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不落在池外？

【解答】解：由题意可得：抛物线顶点坐标为，点坐标为，
故设抛物线解析式为：，
则，
解得：，
故抛物线解析式为：，
当时，
解得：，，
则水池的半径至少为3米时，才能使喷出的水流不落在池外．
19．（6分）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，，

【解答】解：过分别作、的垂线，设垂足为、，
则，，
在中，斜坡的坡度，米，
设米，米，
，
，
米，米，
在中，，
米，
（米，
在中，（米，
（米，
答：宣传牌的高度为2米．

20．（8分）如图，直线与轴，轴分别交于点、两点，与双曲线相交于、两点，过作轴于点，已知，．
（1）求直线和双曲线的表达式；
（2）设点是轴上一点，使得，求点的坐标．

【解答】解：（1），，
，点的横坐标为，
直线经过点，
，解得，
直线为：，
把代入得，，
，
点在双曲线上，
，
双曲线的表达式为：；

（2），，
，
，
，
，
，
或；
21．（8分）如图，中，点在延长线上，，连接，，于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点．若，猜想与的数量关系，并证明你的猜想．

【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2），证明如下：
中，，，
，
，
，
，
，
，
，
即．
22．（10分）某商场销售一种小商品，进货价为5元件．当售价为6元件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨0.5元，每天的销售量就减少5件．设销售单价为元件，每天销售利润为元．
（1）求与的函数关系式；
（2）要使每天销售利润不低于280元，求销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过，则每件文具的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意得，
与的函数关系式为：；

（2）由题意得：，
解得，
而，
故销售单价所在的范围为；

（3）每件文具利润不超过，
，得，
文具的销售单价为，
由（1）得，
对称轴为，
在对称轴的左侧，且随着的增大而增大，
当时，取得最大值，此时，
即每件文具售价为8元时，最大利润为240元．
23．（10分）问题情境：如图①，在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、、于点、、．
问题探究：
（1）线段、、之间又怎样的数量关系？请加以说明．
（2）如图②，若垂足恰好为的中点，连接，交于点，连接并延长交边于点．求的度数；
拓展应用：
（3）如图③，在边长为4的正方形中，点、分别为边、上的点，已知，，将正方形沿着翻折，的对应边恰好经过点，连接交于点．分别过点、作，，垂足分别为、，求线段的长．（直接写出结论即可）

【解答】解：（1）线段、、之间的数量关系为：；理由如下：
四边形是正方形，
，，，
过点作分别交、于点、，如图1所示：
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；

（2）连接，过点作，分别交、于点、，如图2所示：

四边形是正方形，
四边形为矩形，
，，，
是正方形的对角线，
，
是等腰直角三角形，，，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，即；

（3）延长交于，交的延长线于，延长交于，如图

，则，
在△中，，则，
，，
，
，即，
解得，
则，
在中，；
同理△，
，即，
解得，
，，
，
，
，
，即，
解得：，
．
24．（12分）在菱形中，对角线、交于点，且，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．若、两点同时出发，过点作，交于点，设运动时间为．解答下列问题：

（1）当为何值时，？
（2）设四边形的面积为，四边形的面积为，，求关于的函数关系式；并求出当为何值时，的值最大，最大值是多少？
（3）求是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？如果存在，求出此时的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，延长交于点，过点作，
，，菱形，
，，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，即，

（2）如图2，过点作于点，
，
，
，
，，
，，
，
，即，
，
，，，
，
，
，
，



，
，且，
随的增大而增大，
当时，值最大，此时．
（3）存在，时，点在的垂直平分线上．
如图3，由（2）得：，，，
，，
垂直平分，
，，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．



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日期：2021/12/6 11:08:26；用户：星星卷大葱；邮箱：jse035@xyh.com；学号：39024125