2022年吉林省吉林市高考数学第四次调研试卷（文科）（含答案解析）

2022年吉林省吉林市高考数学第四次调研试卷（文科）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 设命题p：，，则命题p的否定为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 已知函数，则

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

4. 如图所示的程序框图，若输入，则输出S的值是

A. 6
B. 14
C. 16
D. 38






 

5. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是

A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰三角形 D. 直角三角形

6. 把25化为二进制数

A.  B.  C.  D.

7. 如图，平行四边形ABCD中，，，点E是AC的三等分点，则
    

A.  B.  C.  D.

8. 已知，两点到直线l：的距离相等，则

A. 2 B.  C. 2或 D. 2或

9. 已知a，b是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题错误的是

A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

10. 智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声如图已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是其中，，，则

A.  B.  C.  D.

11. 定义在R上的函数满足，且函数为奇函数．当时，，则

A.  B. 2 C. 3 D.

12. 已知直线l：与双曲线C：交于P，Q两点，轴于点H，直线PH与双曲线C的另一个交点为T，则

A.  B.  C. 1 D. 2

13. 复数的虚部为______.
14. 已知实数x，y满足线性约束条件，则的最大值为______.
15. 已知一个圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为__________.
16. 已知函数，函数，则函数的极小值点为______；若，恒成立，则实数a的取值范围为______.
17. 在①，②这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．
    已知正项等差数列满足，且，，成等比数列．
    求的通项公式；
    已知正项等比数列的前n项和为，，______，求
    注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分．
18. 如图，在三棱锥中，，平面
    求证：平面平面PBC；
    若，M是PB的中点，求点M到平面PAC的距离．
    
     

19. 为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：

求a，b的值，并补全频率分布直方图；
估计该社区居民竞赛成绩的平均数和方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
以频率估计概率，若社区获得“反诈先进社区”称号，若社区获得“反诈先锋社区”称号，试判断该社区可获得哪种称号为竞赛成绩标准差？

20. 设A，B两点坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为
    求点M的轨迹方程E；
    求曲线E内接矩形面积S的最大值．
21. 已知函数，为函数的导函数．
    若函数在定义域内是单调函数，求实数a的取值范围；
    当，函数在内有2个零点，求实数m的取值范围．
22. 以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形．如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形OPQ为勒洛三角形，且，，以极点O为直角坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，曲线的参数方程为为参数
    求PQ的极坐标方程和OQ所在圆的直角坐标方程；
    已知点M的直角坐标为，曲线和圆相交于A，B两点，求
23. 已知函数
    求不等式的解集M；
    若，，证明：
    

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：集合，
，又，
，
故选：
根据补集的定义求得，从而求得
本题主要考查集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．
 

2.【答案】B

【解析】解：根据题意，命题p：，，则其否定，，
故选：
根据题意，由全称命题、特称命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，涉及全称命题、特称命题的关系，属于基础题．
 

3.【答案】C

【解析】解：由于函数
故，所以
即
故选：
直接利用分段函数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：分段函数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

4.【答案】C

【解析】解：由程序框图可得，，，不成立，循环继续，
，，不成立，循环继续，
，，成立，循环结束，输出S，程序结束．
故选：
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

5.【答案】D

【解析】解：，
由余弦定理可得，
则，则，所以为直角三角形．
故选：
利用余弦定理化为化为，然后化简可得答案．
本题考查余弦定理，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

6.【答案】A

【解析】解：…1
…0
…0
…1
…1
故：
故选：
用25除以2，倒序取余即可．
本题考查进位制之间的转化，属于基础题．
 

7.【答案】B

【解析】解：平行四边形ABCD中，，，
，
，
，
故选：
利用平行四边形的加法法则求出，再利用平面向量的线性运算求解即可．
本题考查平面向量基本定理，平行四边形的加法法则，属于基础题．
 

8.【答案】D

【解析】解：，两点到直线l：的距离相等，
，解得或
故选：
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查点到直线的距离公式，考查方程思想，属于基础题．
 

9.【答案】C

【解析】解：设平面，，的法向量分别为，
对于A，由得，，而，则，有，即，于是得，A正确；
对于B，因，，则，令直线a的方向向量为，又，于是得，有正确；
对于C三棱柱的三个侧面，，分别视为平面，，，
显然平面平面，平面，有，
即满足C中命题的条件，但平面与平面相交，C不正确：
对于D，因，，则，因此，向量共面于平面，令直线b的方向向量为，显然，
而平面，即不共线，于是得，所以，D正确．
故选：
设出，，的法向量，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，D；举例说明判断C作答．
本题考查了空间中的位置关系，属于基础题．
 

10.【答案】C

【解析】解：噪声的声波曲线是，可得通过主动降噪芯片生成的声波曲线是，
故
故选：
根据题意可得通过主动降噪芯片生成的声波曲线是，从而可求的值．
本题考查由已知条件求三角函数，属于基础题．
 

11.【答案】D

【解析】解：由可得，函数关于对称，
所以，
又因为函数为奇函数，
所以，
所以函数关于对称，
则有，
即，
又，
，
的周期为

故选：
由函数的对称性可以找到函数的周期，然后通过周期性和对称性即可求出的值．
本题考查了函数的对称性、奇偶性及周期性，得了周期为4是解答的关键点，也是难点，属于中档题．
 

12.【答案】B

【解析】解：双曲线方程为：，，是双曲线上关于原点对称的两点，点也在双曲线上，
由得，，则，，

，，，，则，
，
，，，

故选：
画出图形，利用已知条件，结合双曲线的性质，结合，求解即可．
本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，是中档题．
 

13.【答案】

【解析】解：，
复数的虚部为，
故答案为：
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数虚部的概念得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数虚部的概念，是基础题．
 

14.【答案】16

【解析】解：由实数x，y满足线性约束条件，作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：
故答案为：
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥的底面半径长和圆锥的体积计算问题，是基础题．
由圆锥的侧面积和侧面展开图是一个半圆，求出底面圆半径和母线长，再计算圆锥的高和体积．

【解答】

解：设圆锥底面圆半径为 r ，母线长为 l ，
由侧面展开图是一个半圆，所以 ，解得 ，
所以圆锥的侧面积为 ，解得 ，
所以圆锥的高为 ，
则此圆锥的体积为
故答案为：

16.【答案】

【解析】解：因为定义域为，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
则当时，函数的取得极小值，即函数的极小值点为1，
且，即，
因为，即，其中，
，
构造函数，当时，，则，
故函数在上为增函数，
所以，对任意的恒成立，所以，
所以a的取值范围为
故答案为：1；
利用导数分析函数的单调性，可求得该函数的极小值点；分析得出，构造函数，可知函数在上为增函数，则在上恒成立，结合参变量分离法可求得实数a的取值范围．
本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于构造新函数，将问题转化为函数在上的单调性，结合导数以及参变量分离法求解，属中档题．
 

17.【答案】解：设等差数列的公差为d，则，
因为，且，，成等比数列，
所以，解得或舍，
所以
选择①：
设等比数列的公比为q，则，
因为，，所以，，
又，所以，解得或舍，
所以
选择②：
设等比数列的公比为q，则，
因为，，所以，即，解得或舍，
所以

【解析】根据等差数列的通项公式与等比中项的性质，求得首项和公差d，再由等差数列的通项公式，得解；
选择①：结合中结论可得，，进而知公比q，再由等比数列的前n项和公式，得解；
选择②：利用，可得关于公比q的方程，解之，再由等比数列的前n项和公式，得解．
本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练掌握等差、等比中项的性质，通项公式，前n项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】证明：在三棱锥中，，平面ABC，平面ABC，
，
又，，
，平面ABC，平面ABC，
平面PAC，
平面PBC，
平面平面
法一由可知，平面PAC，
，M是PB的中点，
到平面PAC的距离为，
是PB的中点，
到平面PAC的距离为
法二取PC中点H，连接MH，
，H分别为PB，PC的中点，且，
由可知，平面PAC，平面PAC，
到平面PAC的距离为

【解析】证明，，推出平面PAC，然后证明平面平面
法一求出B到平面PAC的距离为，利用M是PB的中点，求解即可．
法二取PC中点H，连接MH，说明平面PAC，然后求解即可M到平面PAC的距离．
本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，是中档题．
 

19.【答案】解：由题可知：；；
名居民竞赛成绩在组内频率/组距为，
补全频率分布直方图如下所示：

估计该社区居民竞赛成绩的平均数：，
估计该社区居民竞赛成绩的方差：，
，，
以频率估计概率，若社区获得“反诈先进社区”称号，该社区可获得“反诈先进社区”称号．

【解析】根据频率分布直方图与频率分布表求出a、b的值，从而补全频率分布直方图即可；
根据频率分布直方图中平均数与方差公式计算即可；
根据频率分布直方图求出，判断即可．
本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：设，，
，
点M的轨迹方程E：
注：M的轨迹方程E：或除点，也正确，但不写限制条件扣分
法一设第一象限内曲线E内接矩形的顶点为，
则，
，
，
当且仅当，时取等号；
所以曲线E内接矩形面积S最大值为
法二曲线E的参数方程为为参数且，
设第一象限内曲线E内接矩形的顶点为，
，
，，
当时，即时，取最大值1，
所以曲线E内接矩形面积S最大值为

【解析】设由已知得，化简即可．
法一：由基本不等式可得，进而可求曲线E内接矩形面积S的最大值．
法二曲线E的参数方程为为参数且可得，
本题考查求点的轨迹问题，考查面积最大值问题，属中档题．
 

21.【答案】解：函数是R上单调函数，故在R上单调递增或者单调递减，
即恒成立或恒成立，
等价于恒成立或恒成立，
设，，
或，
，
，
，
，
或，
即实数a的取值范围为；
当时，，在内有2个零点，
等价于与在内有2个公共点，
，
令，解得：，
在，上单调递减，在上单调递增，
当时，取极小值，
当时，取极大值，
，，
，
要使与在内有2个公共点，
仅需满足或，
或，
或，
即实数m的取值范围为

【解析】对函数求导，利用单调函数进行参变分离后转化为求解的最大值和最小值即可；
将在内有2个零点，转化为与在内有2个公共点，从而研究在图像即可．
本题主要考查利用导函数研究函数单调性及求解函数最值，属于较难题目．
 

22.【答案】解：因为，，所以的极坐标方程：，
因为点P的直角坐标是，
所以所在圆的直角坐标方程为
设A，B对应的参数分别为，
将为参数代入，
整理得，
所以，，
因为，由t的几何意义得：
 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：因为，即，所以，即，
所以不等式的解集M为；
证明：法一，，
，，
，

法二，，
，
，
 

【解析】直接去掉绝对值符号求解即可；
易知，，法一：利用完全平方公式作差比较；法二：利用平方差公式作差比较．
本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．