2020-2021学年广东省深圳市光明新区八上期末数学试卷
展开一、选择题(共10小题;共50分)
1. 下列各点在第二象限的是
A. −3,0B. −2,1C. 0,−1D. 2,−1
2. 若使算式 \(3\sqrt{2}\mathbin{\bigcirc}\sqrt{8}\) 的运算结果最小,则 ○ 表示的运算符号是
A. +B. −C. ×D. ÷
3. 下列说法中,正确的是
A. 立方根等于本身的数只有 0 和 1B. 1 的平方根等于 1 的立方根
C. 3<6<4D. 面积为 6 的正方形的边长是 6
4. 下列各图形中均有直线 m∥n,则能使结论 ∠A=∠1−∠2 成立的是
A. B.
C. D.
5. 解三元一次方程组 x−y+z=−3, ⋯⋯①x+2y−z=1, ⋯⋯②x+y=0, ⋯⋯③
A. ① + ②B. ① − ②C. ① + ③D. ② − ③
6. 小明已求出了五个数据:6,4,3,4,■ 的平均数,在计算它们的方差时,出现了这样一步:3−52+4−52+4−52+6−52+■−52=16(■ 是后来被遮挡的数据),则这组数据的众数和方差分别是
A. 4,5B. 4,3.2C. 6,5D. 4,16
7. 某市举办中学生足球赛,按比赛规则,每场比赛都要分出胜负,胜 1 场得 3 分,负一场扣 1 分.菁英中学队在 8 场比赛中得到 12 分,若设该队胜的场数为 x,负的场数为 y,则可列方程组为
A. x−y=8,3x−y=12B. x+y=18,3x+y=12C. x+y=8,3x−y=12D. x−y=8,3x+y=12
8. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BCA=90∘.△PAB 中 AB 边上的高等于 AB 的长度,△QBC 中 BC 边上的高等于 BC 的长度.△HAC 中 AC 边上的高等于 AC 的长度,且 △PAB,△QBC 的面积分别是 10 和 8,则 △ACH 的面积是
A. 2B. 4C. 6D. 9
9. 如图,把一张纸片 △ABC 沿着 DE 对折,点 C 落在 △ABC 的外部点 Cʹ 处.若 ∠1=87∘,∠2=17∘,则 ∠C 的度数是
A. 17∘B. 34∘C. 35∘D. 45∘
10. 如图,在平面直角坐标系中,点 A−2,2,B2,6 点 P 为 x 轴上一点,当 PA+PB 的值最小时,三角形 PAB 的面积为
A. 1B. 6C. 8D. 12
二、填空题(共5小题;共25分)
11. −64 的立方根是 .
12. 有下列语句:①把无理数 39 表示在数轴上;②若 a2>b2,则 a>b;③无理数的相反数还是无理数.其中 是真命题(填序号).
13. 已知一次函数 y=−x+k 的图象经过 Aa,−1,Bb,−2 两点,则 a b(填“>”“<”或“=”).
14. 如图,BD 是正方形 ABCD 的对角线,点 E 在 CD 上,若 CE=3,△ABE 的面积为 8,则 △DBE 的周长为 .
15. 如图,在平面直角坐标系中,点 A,A1,A2,⋯⋯ 在 x 轴上,点 P,P1,P2,⋯⋯ 在直线 l:y=kx+34k>0 上,∠OPA=90∘,点 P1,1,A2,0,且 AP1,A1P2,⋯⋯ 均与 OP 平行,A1P1,A2P2,⋯⋯ 均与 AP 平行,则有下列结论:①直线 AP1 的函数解析式为 y=x−2;②点 P2 的纵坐标是 259;③点 P2021 的纵坐标为 532021.其中正确的是 (填序号).
三、解答题(共7小题;共91分)
16. 解方程组:x−13=1−y2,2x−y=4.
17. 解答下列各题:
(1)计算:5−25+2−13×18+6.
(2)已知 6 的小数部分是 a,24 的整数部分是 b,求 a+b2−a 的值.
18. 某区举办中学生科普知识竞赛,各学校分别派出一支代表队参赛,知识竞赛满分为 100 分,现定 85 分及以上为“合格”,95 分及以上为“优秀”.现将A,B两个代表队的竞赛成绩分布图及统计表展示如下:
组别平均分中位数方差合格率优秀率A队88906170%30%B队ab7175%25%
(1)求出成绩统计表中 a,b 的值.
(2)小明的成绩虽然在本队排名属中游,但是竞赛成绩低于本队的平均分,那么小明应属于哪队?
(3)从平均分、合格率、优秀率,队内成绩的整齐性等方面进行综合评价,你认为集体奖应该颁给哪一队?
19. 在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系,格点(网络线交点)A0,2,B−2,−1.
(1)分别在图 1,图 2,图 3 中求作 △ABC,并分别写出点 C 的坐标.
① △ABC 是轴对称图形,对称轴是 y 轴.
② △ABC 是轴对称图形,对称轴是过点 B 且平行于坐标轴的直线.
③ △ABC 是轴对称图形,对称轴是过点 B,但不平行于坐标轴的直线,且点 C 落在一三象限以外的格点上.
(2)在(1)③中作出的 △ABC 是 三角形(按角分类),其面积为 .
20. 如图,已知 ∠CPB=65∘,AB∥CP,点 D,E 分别是 PC,PB 上一点,连接 DE,使 DE=PE.∠CDE 的平分线与 ∠ABE 的平分线交于点 F.
(1)∠BED= ∘.
(2)求 ∠BFD 的度数.
21. 进入 12 月以来某些海鱼的价格逐渐上涨,某农贸市场水产商户老王只好在进货数量上做些调整.12 月份前两周两种海鱼的价格情况如下表:
鲅鱼价格带鱼价格第一周8元/千克18元/千克第二周10元/千克20元/千克
(1)老王第一周购进了一批鲅鱼和带鱼,总货款是 1700 元,若按第二周的价格购进与上周相同数量的鲅鱼和带鱼,则需多花 300 元,求老王第一周购进鲅鱼和带鱼分别是多少千克?
(2)若第二周将这两种鱼的进货总量减少到 120 千克,设购进鲅鱼 a 千克,需要支付的货款为 w 元,则 w 与 a 的函数关系式为 .
(3)在(2)的条件下,若购进鲅鱼不超过 80 千克,则第二周老王购进这两种鱼的总货款最少应是多少元?
22. 如图,点 Pa,a+2 是平面直角坐标系 xOy 中的一个动点,直线 l1:y=2x+5 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,直线 l2 经过点 B 和点 6,2 并与 x 轴交于点 C.
(1)求直线 l2 的表达式及点 C 的坐标.
(2)点 P 会落在直线 l2 吗?说明原因.
(3)当点 P 在 △ABC 内部时,求 a 的范围.
(4)若 △OPC 是以 ∠PCO 为底角的等腰三角形,则下列各数:−8,−6,5,6.其中 可以是点 P 的横坐标(写出所有符合要求的数).
答案
第一部分
1. B【解析】∵ 第二象限的点横坐标小于 0,纵坐标大于 0,
∴(−2,1)是第二象限的点.
2. B【解析】∵32+8=32+22=52,
32−8=32−22=2,
32×8=32×22=12,
32÷8=32÷22=32,
∴“−”号使算式 32○8 的运算结果最小.
3. D【解析】A选项:立方根等于本身的数有 0,1 和 −1,故A错误.
B选项:1 的平方根是 ±1,1 的立方根是 1,故B错误.
C选项:∵32=9,62=6,42=16,∴6<3<4,故C错误.
D选项:面积为 6 的正方形的边长是 6,故D正确.
4. B【解析】A选项:
∵m∥n,
∴∠2=∠3,
∵∠3=∠1+∠A,
∴∠2=∠1+∠A,即 ∠A=∠2−∠1.
B选项:
∵m∥n,
∴∠1=∠3,
∵∠3=∠2+∠A,
∴∠1=∠2+∠A,即 ∠A=∠1−∠2.
C选项:
过点 A 作直线 l∥n,
∵m∥n,
∴l∥m,
∴∠1+∠3=180∘,∠2+∠4=180∘,
∵∠3+∠4=∠A,
∴∠A=180∘−∠1+180∘−∠2=360∘−∠1+∠2.
D选项:
过点 A 作直线 l∥n,
∵m∥n,
∴l∥m,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
∵∠3+∠4=∠A,
∴∠A=∠1+∠2.
5. A
【解析】x−y+z=−3, ⋯⋯①x+2y−z=1, ⋯⋯②x+y=0, ⋯⋯③
要使方法简便,首先进行变形为① + ②,2x+y=−2, ⋯⋯④
再③④联立解出 x,y.
6. B【解析】由题意可知这 5 个数的平均数为 5,
∴6+4+3+4+■5=5,
∴■=8,
∵ 这组数中 4 出现了 2 次,出现次数最多,
∴ 这组数的众数为 4,
∴ 这组数的方差为 15×16=3.2.
7. C【解析】设这个队胜 x 场,负 y 场,
根据题意,得 x+y=8,3x−y=12.
8. A【解析】过点 P 作 PD⊥AB 于点 D,过点 Q 作 QE⊥BC 于点 E,过点 H 作 HF⊥AC 延长线于 F,
∵S△ABP=12AB⋅PD,
又 ∵PD=AB,
∴S△ABP=12AB⋅AB=12AB2,
∵S△QBC=12BC⋅QE,
又 ∵QE=BC,
∴S△QBC=12BC⋅BC=12BC2,
∵S△ACH=12AC⋅HF,
又 ∵HF=AC,
∴S△ACH=12AC⋅AC=12AC2,
∵△ABC 为直角三角形,
∴AB2=AC2+BC2,
∴S△ACH=12⋅AB2−BC2=12AB2−12BC2=S△ABP−S△BCQ=10−8=2.
9. C【解析】∵∠1=87∘,
∴∠CDCʹ=180∘−∠1=180∘−87∘=93∘,
根据折叠性质可知,∠CDE=∠CʹDE,∠CED=12∠CʹED,
∴∠CDE=∠CʹDE=12∠CDCʹ=46.5∘,
∴∠DEB=∠CDE+∠C=46.5∘+∠C,
∵∠DEC=180∘−∠DEB=180∘−46.5∘−∠C=133.5∘−∠C,
∵∠DECʹ=∠DEB+∠2,∠2=17∘,
∴∠DECʹ=46.5∘+∠C+17∘=63.5∘+∠C,
∵∠DEC=∠DECʹ,
∴133.5∘−∠C=63.5∘+∠C,
2∠C=70∘,
∠C=35∘.
10. B
【解析】A 关于 x 轴的对称点为 Aʹ−2,−2,(纵坐标互为相反数)
设直线 AʹB 的表达式为 y=kx+b,
将 Aʹ−2,−2,B2,6 代入上式中 2k+b=−2,2k+b=6, 解得 k=2,b=2,
则 y=2x+2,令 y=0,x=−1,
则 P−1,0,
设直线 AʹB 与 y 轴交于 C,令 x=0,y=2,
则 C0,2,
S△PAB=S△PAC+S△ABC面积分割=12AC×2+12AC×6−2=12AC×6=12×2×6=6.
第二部分
11. −4
【解析】∵−43=−64,
∴−64 的立方根是 −4.
12. ①③
【解析】①有理数和无理数都属于实数,所有的实数都可以在数轴上表示,故①是真命题;
②若 a2>b2,则 ∣a∣>∣b∣,即 a>b 或 a<−b,故②是假命题;
③无理数的相反数还是无理数,故③是真命题.
所以是真命题的是①③,故答案为:①③.
13. <
【解析】y=−x+k 中,k=−1<0,
所以 y 随 x 增大而减小,
因为 −1>−2,
所以 a14. 6+42
【解析】因为四边形 ABCD 是正方形,
所以 AB=BC=CD=AD,∠BCD=90∘,
因为 S△ABE=12AB2=8,
所以 AB2=16,
所以 AB=BC=CD=4,
因为 CE=3,
所以 DE=CD−CE=1,
所以 BD=2AB=42,
在 Rt△BCE 中,∠BCE=90∘,CE=3,
所以 BE=BC2+CE2=5,
所以 C△DBE=DE+BD+BE=1+42+5=6+42.
故答案为:6+42.
15. ①②③
【解析】①点 P1,1 在直线 l 上,故 1=k+34,解得 k=14.
故 l 为 y=14x+34.
∠OPA=90∘,P1,1,A2,0,
则 ∠POA=45∘,
△OPA 为等腰三角形,故 kOP=1.
由题意知 AP1,AP2,⋯⋯ 均与 OP 平行,
故 kAP1=1,设 AP1 解析式为 y=x+b,
代入 A2,0 得 y=x−2,
所以①正确.
②由 AP1:y=x−2 与 l:y=14x+34 可得 P1113,53,
直线 AP 设为 y=k1x+b,k1=−1 代入 A 点,
则 AP:y=−x+2.
则 kA1P1=k1=−1,
设 A1P1 为 y=−x+b,代入 P1113,53 可得 A1P1:y−x+163,则 A1 为 163,0.
设 A1P2:为 y=x+b 代入 A1 得 A1P2:y=x−163,
由 y=x−163 与 y=14x+34 交于 P2,
解得 P2739,259,
故②正确.
③可观察到 P1,P2,P3 纵坐标为 530,531,532,
则 Pn 纵坐标为 53n,
∴P2021 纵坐标为 532021.
故③正确.
综上所述:①②③都正确.
第三部分
16.
x−13=1−y2, ⋯⋯①2x−y=4, ⋯⋯②
由①得
2x−1=1×6−3y,2x−2−6+3y=0,2x+3y=8, ⋯⋯③
③ − ②得
2x−2x+3y−−y=8−4,4y=4,y=1,
将 y=1 代入②得
2x−1=4,x=52,
经检验 x=52,y=1 是该方程组的解,
所以该方程组的解为:x=52,y=1.
17. (1) 原式=5−4−6+6=1.
(2) ∵4<6<9,
∴2<6<3,
∴a=6−2,
∵16<24<25,
∴4<24<5,
∴b=4,
∴a+b2−a=6−2+42−6−2=62+1−6+2=3−62.
18. (1) B队总分为:
70×2+80×3+85×6+90×4+95×2+100×3=1740,
平均分为:1740÷2+3+6+4+2+3=1740÷20=87,
因为总人数为 20 人,所以中位数为成绩从低到高第 10 名和第 11 名同学成绩的平均数,即 85+852=85,
所以 a=87,b=85.
(2) 因为小明成绩属于中游但低于平均分,85<87,
所以小明属于B队.
(3) A平均 > B平均,A合格率 < B合格率,A优秀率 > B优秀率,A方差 < B方差,方差越小,说明数据波动越小,越稳定.
综合考虑,因为A队平均分比B队高,优秀率比B队高且成绩比B队波动小,更稳定,所以选A队.
19. (1) ①如图 1 所示,C2,−1.
②如图 2 所示,C0,−4或−4,2.
③如图 3 所示,C1,−3或−5,1.
(2) 直角三角形;132
【解析】由图 3 可知,
∵A0,2,B−2,−1,
① C1,−3 时,
AB=32+22=13,
BC=32+22=13,
AC=12+52=26,
∴AB2+BC2=AC2,
∴∠ABC=90∘,
∴△ABC 为直角三角形,
S=12AB⋅BC=132;
② C−5,1 时,
AB=13,
∴AB2+BC2=AC2,
BC=32+22=13,
∴∠ABC=90∘,
AC=12+52=26,
∴△ABC 为直角三角形,
S=12AB⋅BC=132.
综上所述,△ABC 为直角三角形,面积为 132.
20. (1) 130
【解析】∵DE=PE,
∴∠EDP=∠CPB=65∘,
∴∠BED=∠EDP+∠CPB=65∘+65∘=130∘.
(2) 过 F 作 FH∥AB,
∴∠1=∠ABF,
∵FH∥AB,AB∥CP,
∴FH∥CP,
∴∠2=∠CDF,
∴∠BFD=∠1+∠2=∠ABF+∠CDF,
∵AB∥CP,∠CPB=65∘,
∴∠ABP+∠CPB=180∘,
∴∠ABP=115∘,
∵BF 平分 ∠ABP,
∴∠ABF=12∠ABP=57.5∘,
∵DE=PE,
∴∠EDP=∠CPB=65∘,
∴∠CDE=180∘−∠EDP=115∘,
∵DF 平分 ∠CDE,
∴∠CDF=12∠CDE=57.5∘,
∴∠BFD=∠ABF+∠CDF=57.5∘+57.5∘=115∘.
21. (1) 设第一周购进鲅鱼和带鱼 x,y 千克,则
8x+18y=1700,10x+20y=1700+300.
解得
x=100,y=50.
(2) w=2400−10a
【解析】设鲅鱼 a 干克,带鱼 120−a 千克.
货款 = 鲅鱼总价 + 带鱼总价.
w=10a+20×120−a=10a+2400−20a=2400−10a.
(3) w=2400−10a,a 越大,w 越小.所以 a 最大为 80 时,w 最小.
w=2400−10×80=2400−800=1600元.
22. (1) 直线 l1:y=2x+5 与 x,y 轴分别交于 A,B 两点,
∴A−52,0,B0,5,
设直线 l2 解析式为 y=kx+b,
∵ 直线 l2 经过点 B0,5 和点 6,2,
∴0+b=5,6k+b=2, 解得 k=−12,b=5,
∴ 直线 l2 表达式为 y=−12x+5,
∵ 直线 l2 与 x 轴交于点 C,
∴C 点坐标为 10,0.
(2) 若 Pa,a+2 会落在直线 l2:y=−12x+5 上,
则 Pa,a+2 满足 l2 解析式,
∴−12a+5=a+2,
解得:a=2,
即 P2,4,
故 Pa,a+2 会落在直线 l2 上.
(3) 若点 P 在 △ABC 内部,
xA
【解析】若 △OPC 是以 ∠PCO 为底角的等腰三角形,
∴PC=PO 说或 OP=OC,
∵Pa,a+2,C10,0,O0,0,
∴PC2=a−102+a+22=2a2−16a+104,
PO2=a2+a+22=2a2+4a+4,
OC2=102=100,
当 PC=PO 时,则 PC2=PO2,
∴2a2−16a+104=2a2+4a+4,
解得:a=5,
当 OP=OC 时,则 PO2=OC2,
∴2a2+4a+4=100,a2+2a−48=0,
∴a+8a−6=0,
∴a=−8 或 a=6,
综上所述:a=−8 或 a=5 或 a=6,
∴P 点横坐标为:−8 或 5 或 6.
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