2018年广东省深圳市光明新区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2018年广东省深圳市光明新区中考一模数学试卷（期末），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 2018 的倒数是
A. −2018B. −12018C. 12018D. 2018

2. 下列计算正确的是
A. a2+a2=2a4B. −a22=a4
C. a2×a3=a6D. a+12=a2+1

3. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是
A. B.
C. D.

4. 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是
A. 等边三角形B. 平行四边形C. 圆D. 矩形

5. 深圳地铁自开通以来，发展速度不断加快，现已成为深圳市民主要出行方式之一．截止到 2017 年 12 月 31 日，2017 年总客流量达到 14.39 亿人次，日平均高达 394.34 万亿人次，位于全国地铁排行第四名．用科学记数法表示 14.39 亿为
A. 14.39×108B. 14.39×109C. 14.39×107D. 1.439×109

6. 不等式组 x−2≤1,13x−2A. B.
C. D.

7. 学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数 x（单位：分）及方差 s2 如表所示：
甲乙丙丁x7887s211.211.8
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁

8. 下列说法中正确的是
A. “打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件
B. 某种彩票的中奖概率为 11000，说明每买 1000 张，一定有一张中奖
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 13
D. 想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查

9. 在 △ABC 中，AB>AC，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，点 F 在 BC 边上，连接 DE，DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定 △BFD 与 △EDF 全等
A. EF∥ABB. BF=CFC. ∠A=∠DFED. ∠B=∠DEF

10. 小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为 2800 米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的 4 倍，骑自行车比步行上学早到 30 分钟．设小玲步行的平均速度为 x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是
A. 2800x−28004x=30B. 28004x−2800x=30
C. 2800x−28005x=30D. 28005x−2800x=30

11. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则反比例函数 y=ax 与一次函数 y=bx+c 在同一坐标系中的大致图象是
A. B.
C. D.

12. 如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E，F 是 AD 边上的两个动点，且 AE=FD，连接 BE，CF，BD，CF 与 BD 交于点 G，连接 AG 交 BE 于点 H，连接 DH，下列结论正确的个数是
① AG⊥BE；
② HD 平分 ∠EHG；
③ △ABG∽△FDG；
④ S△HDG:S△HBG=tan∠DAG；
⑤线段 DH 的最小值是 5−12．
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 分解因式：4x2−36y2= ．

14. 如图，在 △ABC 中，AB>AC，按以下步骤作图：分别以点 B 和点 C 为圆心，大于 BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点 M 和点 N，作直线 MN 交 AB 于点 D；连接 CD．若 AB=6，AC=4，则 △ACD 的周长为 ．

15. 如图，在边长为 3+1 的菱形 ABCD 中，∠A=60∘，点 E，F 分别在 AB，AD 上，沿 EF 折叠菱形，使点 A 落在 BC 边上的点 G 处，且 EG⊥BD 于点 M，则 EG 的长为 ．

16. 如图 Rt△ABC=90∘，∠B=60∘，取 AB 的中点，将一个足够大的正方形纸片的一个顶点与 D 重合，DE 交 AC 于点 P，DG 经过点 C，将正方形 DEFG 绕点 D 顺时针方向旋转角 α0∘<α<60∘，DEʹ 交 AC 于点 M，DGʹ 交 BC 于点 N，则 DMDN 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：−12018+3tan30∘−|3−2|+−12−2

18. 先化简，再求值：x2−2x+1x2−x÷x−1x，其中 x=2−1．

19. 某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校 2000 名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生共有 人，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m= ，n= ，表示区域 C 的圆心角为 度；
（3）全校学生中喜欢篮球的人数大约有多少?

20. 如图，一次函数 y=ax+ba≠0 的图象与 y 轴，x 轴分别交于点 A0,4，B4,0，与反比例函数 y=kxk≠0 的图象在第一象限交于 C，D 两点．
（1）求该一次函数的解析式．
（2）若 AC⋅AD=2，求 k 的值．

21. 我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是 300 元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是 500 元/台时，可售出 300 台，且售价每降低 10 元，就可多售出 50 台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 400 元/台，代理销售商每月要完成不低于 550 台的销售任务．
（1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x 的取值范围；
（2）当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元）最大?最大利润是多少?

22. 如图，在 ⊙O 中，CD 为 O 的直径，AB=AC，AF⊥CD，垂足为 F，射线 AF 交 CB 于点 E．
（1）如图 1，求证：∠FAC=∠ACB；
（2）如图 2，连接 EO 并延长交 AC 于点 G，证明：AC=2FG；
（3）如图 3，在（2）的条件下，若 tan∠FGE=13，四边形 FECG 的面积为 43+8，求 AC 的长．

23. 如图，关于 x 的二次函数 y=−x2+bx+c 经过点 B1,0，点 A−3,0，与 y 轴相交于点 C，点 D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在 x 轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 AC，在线段 AC 上方的抛物线上是否存在点 F，使 △FAO 与 △ABC 相似?若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若 G 是直线 AC 下方的抛物线上一点，则 S△AGC与S△ADC 是否存在 2 倍关系，若存在，请直接写出点 G 的坐标．
答案
第一部分
1. C【解析】根据倒数的定义，2018 的倒数是 12018．
2. B【解析】A．a2+a2=2a2，故此选项错误；
B．−a22=a4，故此选项正确；
C．a2×a3=a5，故此选项错误；
D．a+12=a2+2a+1，故此选项错误．
3. B【解析】A．此几何体的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项错误；
B．此几何体的主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项正确；
C．此几何体的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；
D．此几何体的主视图是直角梯形，俯视图是矩形，故此选项错误．
4. B【解析】A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故A错误；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故B正确；
C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故C错误；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形，故D错误．
5. D
【解析】14.39 亿 =1.439×109．
6. A【解析】x−2≤1,⋯⋯①13x−2解 ① 得 x≤3；解 ② 得 x>−2.5．
∴ 不等式组的解集为 −2.57. C【解析】∵ 乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，
∴ 丙组的成绩比较稳定，
∴ 丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
8. D【解析】A、“打开电视机，正在播放《动物世界》”是随机事件，故A错误；
B、某种彩票的中奖概率为 11000，说明每买 1000 张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B错误；
C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 12，故C错误；
D、想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查，故D正确．
9. C【解析】A、 ∵EF∥AB，
∴∠BDF=∠EFD，
∵D，E 分别是 AB，AC 的中点，
∴DE=12BC，DE∥BC（三角形的中位线定理），
∴∠EDF=∠BFD（平行线的性质），
∵DF=DF，
∴△BFD≅△EDF，故本选项正确；
B、 ∵DE=12BC=BF，∠EDF=∠BFD，DF=DF，
∴△BFD≅△EDF，故本选项正确；
C、由 ∠A=∠DFE 证不出 △BFD≅△EDF，故本选项错误；
D、 ∵∠B=∠DEF，∠EDF=∠BFD，DF=DF，
∴△BFD≅△EDFAAS，故本选项正确．
10. A
【解析】设小玲步行的平均速度为 x 米/分，则骑自行车的速度为 4x 米/分，
依题意得 2800x−28004x=30．
11. D【解析】∵ 二次函数的图象开口向下，
∴ 反比例函数 y=ax 的图象必在二、四象限，故A，C错误；
∵ 二次函数的图象经过原点，
∴c=0，
∴ 一次函数 y=bx+c 的图象必经过原点，故B错误．
12. A【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90∘，∠ADB=∠CDB=45∘，
在 △ABE 和 △DCF 中，
AB=CD,∠BAD=∠ADC,AE=DF,
∴△ABE≅△DCFSAS，
∴∠ABE=∠DCF，
在 △ADG 和 △CDG 中，
AD=CD,∠ADB=∠CDB,DG=DG,
∴△ADG≅△CDGSAS，
∴∠DAG=∠DCF，
∴∠ABE=∠DAG，
∵∠DAG+∠BAH=90∘，
∴∠ABE+∠BAH=90∘，
∴∠AHB=90∘，
∴AG⊥BE，故①正确，
同法可证：△AGB≅△CGB，
∵DF∥CB，
∴△CBG∽△FDG，
∴△ABG∽△FDG，故③正确，
∵S△HDG:S△HBG=DG:BG=DF:BC=DF:CD=tan∠FCD，
又 ∵∠DAG=∠FCD，
∴S△HDG:S△HBG=tan∠FCD=tan∠DAG，故④正确
取 AB 的中点 O，连接 OD，OH，
∵ 正方形的边长为 1，
∴AO=OH=12×1=12，
由勾股定理得，OD=12+122=52，
∵OH+DH≥OD，
∴O，D，H 三点共线时，DH 最小，
∴DH最小=5−12，故⑤正确；
无法证明 DH 平分 ∠EHG，故②错误．
故①③④⑤正确．
第二部分
13. 4x+3yx−3y
【解析】4x2−36y2=4x2−9y2=4x+3yx−3y
14. 10
【解析】由题意直线 MN 是线段 BC 的垂直平分线，
∵ 点 D 在直线 MN 上，
∴DC=DB，
∴△ADC 的周长 =AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，
∵AB=6，AC=4，
∴△ACD 的周长为 10．
15. 3
【解析】如图 1，连接 AC，交 BD 于点 O，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AO，
∵∠A=60∘，
∴∠BAO=30∘，
∴AO=AB⋅cs30∘=3+1×32=3+32，
∴AC=3+32×2=3+3，
∵ 沿 EF 折叠菱形，使点 A 落在 BC 边上的点 G 处，
∴EG=AE，
∵EG⊥BD，AC⊥BD，
∴EG∥AC，
∴EGAC=BEAB，
又 ∵EG=AE，
∴EG3+3=3+1−EG3+1，
解得 EG=3，
∴EG 的长为 3．
16. 33
【解析】作 DMʹ⊥AC 于 Mʹ，DN⊥BC 于 Nʹ，如图．
易得四边形 DMʹCNʹ 为矩形，
∴DNʹ=CMʹ，∠MʹDNʹ=90∘，
∵∠MʹDM+∠MDNʹ=90∘，∠MDNʹ+∠NDNʹ=90∘，
∴∠MʹDM=∠NDNʹ，
∴Rt△MʹDM∽Rt△NʹDN，
∴DMDN=DMʹDNʹ，
∵ 点 D 为 AB 的中点，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=30∘，
∴DMʹCMʹ=tan∠DCMʹ=tan30∘=33，
∴DMDN=33．
第三部分
17. 原式=−1+3×33−2−3+4=−1+1−2+3+4=2+3.
18. 当 x=2−1 时，
原式=x−12xx−1÷x2−1x=x−1x⋅xx+1x−1=1x+1=12=22.
19. （1） 40；补全条形统计图如图所示．
（2） 30；10；114
【解析】因为 A 组有 30 人，D 组有 10 人，共有 100 人，所以 A 组所占的百分比为 30%，D 组所占的百分比为 10%，所以 m=30，n=10；表示区域 C 的圆心角为 40100×360∘=144∘．
（3） 因为全校共有 2000 人，喜欢篮球的占 10%，所以喜欢篮球的约有 2000×10%=200（人）．
20. （1） ∵ 一次函数 y=ax+b 的图象经过点 A0,4，B4,0，
∴b=4,4a+b=0,
解得 a=−1,b=4,
∴ 一次函数的解析式为：y=−x+4．
（2） 分别过点 C，D 作 CE⊥y轴 于 E，DF⊥y轴 于 F，
在 Rt△AOB 中，
∵AO=4，BO=4，
∴∠ABO=45∘，
∵ 直线 AB 与双曲线 y=kx 相交于点 C，D，
设 Cx1,y1，Dx2,y2，
∵y=−x+4,y=kx, 得 x2−4x+k=0，
∴x1⋅x2=k，
在 Rt△ACE 中，
∵∠ACE=∠ABO=45∘，CE=x1，
∴AC=2x1，
同理，在 Rt△ADF 中，AD=2x2，
∵AC⋅AD=2，
∴2x1⋅2x2=2，即 x1⋅x2=1，
∴k=1．
21. （1） 由题意可得 y=300+500−x10×50=−5x+2800，
供货商规定这种空气净化器售价不能低于 400 元/台，代理销售商每月要完成不低于 550 台的销售任务，
∴−5x+2800≥550，得 x≤450，
∴400≤x≤450，
即月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式是 y=−5x+2800400≤x≤450．
（2） 由题意可得 w=x−300−5x+2800=−5x2+4300x−840000=−5x−4302+84500，
∵400≤x≤450，
∴ 当 x=430 时，w 取得最大值，此时 w=84500．
答：当售价 x（元/台）定为 430 元时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元）最大，最大利润是 84500 元．
22. （1） 如图 1，连接 AD．
∵DC 为 ⊙O 的直径，
∴∠DAC=90∘，
∵AF⊥CD，
∴∠AFD=90∘，
∴∠ADF+∠DAF=∠FAC+∠DAF，
∴∠ADF=∠FAC，
∵AB=AC，
∴AB=AC，
∴∠ADF=∠ACB，
∴∠FAC=∠ACB．
（2） 如图 2，连接 AO．
∵AO=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAF=∠ACB，
∴∠EAO=∠ECO，AE=EC，
∴△AOE≅△COE，
∴∠AEO=∠CEO，
∴EG 平分 ∠AEC，
∵△AEC 是等腰三角形，
∴G 是 AC 的中点，
∵△AFC 是直角三角形，
∴AC=2FG．
（3） 如图 3，过 G 作 GH⊥DC 于 H．
∵AF⊥CD，
∴AF∥GH，
在 Rt△AFC 中，
∵G 是 AC 的中点，
∴AG=CG，GH=12AF，
∴∠EAC=∠AFG，
∵∠EAC=∠ECA，
∴∠AFG=∠ECA，
∵∠AFG+∠EFG=180∘，
∴∠ECA+∠EFG=180∘，
∴F，E，C，G 四点共圆，
∴∠FGE=∠FCE，
∵tan∠FGE=13，
∴tan∠FCE=13，即 EFFC=13，
设 EF=a，FC=3a，由勾股定理得 EC=10a，
∵AE=EC=10a，
∴AF=AE−EF=10a−a，
∴GH=12AF=10a−a2，
由勾股定理得 AC=AF2+CF2=10a−a2+3a2=20−210a，AC2=20−210a2，
∵ 四边形 FECG 的面积为 43+8，则 S△EFC+S△FCG=43+8，
∴12EF⋅FC+12FC⋅GH=43+8，
∴12×a×3a+12×3a×10a−a2=43+8，
∴a2=163+323+310，
AC2=20−210*163+323+310=21010−1×823+4310+1=161010−123+1227.
∴AC2=161010−123+1227．
23. （1） ∵ 二次函数 y=−x2+bx+c 经过点 B1,0，点 A−3,0，
∴b+c−1=0,−3b+c−9=0,
∴b=−2,c=3,
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2−2x+3．
（2） 如图 1，设点 F 坐标为 x,y．
根据题意可得 AO=3，AB=4，BC=10，AC=32．
若 △FAO∽△CBA，则 OFAC=AOAB=AFBC，
设点 F 坐标为 x,y，
则 x2+y232=34=x+32+y210，解得 x=−94，
当 x=−94 时，y=±94（y=−94 不符合题意），
此时点 F 的坐标为 −94,94，
把点 x=−94 代入 y=−x2−2x+3 中，y≠94，则点 F 不存在；
若 △FAO∽△BCA，AFBC=OFAB=AOAC，
x+32+y210=x2+y24=332，解得 x=−12，
当 x=−12，y=312（y=−312 不符合题意），
此时点 F 的坐标为 −12,312，
把点 x=−12 代入 y=−x2−2x+3 中，y≠312，则点 F 不存在．
（3） 存在，G−4,−5或1,0．
【解析】假如 S△AGC 与 S△ADC 是存在 2 倍关系，如图 2．
由题意可得，直线 AC 的解析式为 y=x+3，
∵ 直线 DE 的解析式为 x=−1，
∴N−1,2，D−1,4，
∴DN=2，
∴S△ACD=12⋅3⋅DN=3，
∵S△AGC=2S△ADC，
∴S△AGC=6，
作 GH∥y 轴交 AC 于 H，
设 Gx,−x2−2x+3（x<−3 或 x>0），则 Hx,x+3，
∴GH=x+3−−x2−2x+3=x2+3x，
∵ 无论 x<−3，还是 x>0，△AGH 和 △CGH 的 GH 边上的高的差始终是 3，
∴S△GAC=S△AGH−S△CGH=12⋅3⋅GH=32⋅x2+3x=6，
∴x=−4 或 x=1，
∴G−4,−5或1,0．