2020年江苏省无锡市锡山区锡北片中考一模数学试卷

这是一份2020年江苏省无锡市锡山区锡北片中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −2 的相反数是
A. 2B. −2C. 12D. −12

2. 要使代数式 x−2 有意义，则 x 的取值范围是
A. x≠2B. x≥2C. x>2D. x≤2

3. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为 4400000000 人，这个数用科学记数法表示为
A. 44×108B. 4.4×109C. 4.4×108D. 4.4×1010

4. 小王在清点本班为偏远贫困地区的捐款时发现，全班同学捐款的钞票情况如下：100 元的 3 张，50 元的 9 张，10 元的 23 张，5 元的 10 张．在这些不同面额的钞票中，众数是
A. 100B. 23C. 50D. 10

5. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上．若 ∠C=16∘，则 ∠BOC 的度数是
A. 74∘B. 48∘C. 32∘D. 16∘

6. 下列命题中错误的是
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

7. 若圆锥的主视图是边长为 4 cm 的等边三角形，则该圆锥俯视图的面积是
A. 4π cm2B. 8π cm2C. 12π cm2D. 16π cm2

8. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，若直线 PA 与 ⊙O 相切于点 A，则 ∠PAB=
A. 30∘B. 35∘C. 45∘D. 60∘

9. 一次函数 y=x−b 的图象，沿着过点 1,0 且垂直于 x 轴的直线翻折后经过点 4,1，则 b 的值为
A. −5B. 5C. −3D. 3

10. 已知正方形 ABCD 的边长为 5，E 在 BC 边上运动，DE 的中点 G，EG 绕 E 顺时针旋转 90∘ 得 EF，问 CE 为多少时，A，C，F 在一条直线上
A. 35B. 34C. 43D. 53

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 分解因式：x2−4= ．

12. 分式方程 3x−2=1 的解是 ．

13. 正八边形的每个外角为 度．

14. 已知方程 x2−3x+k=0 有两个相等的实数根，则 k= ．

15. 某楼盘 2015 年房价均价为每平方米 8000 元，经过两年连续涨价后，2017 年房价均价为 15000 元．设该楼盘这两年房价平均增长率为 x，根据题意可列方程为 ．

16. 若函数 y=kx−b 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 kx−3−b>0 的解是 ．

17. 在平面直角坐标系中，已知 A3,0，B 是以 M3,4 为圆心，1 为半径的圆周上的一个动点，连接 BO，设 BO 的中点为 C，则线段 AC 的最小值为 ．

18. 如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为 3 的一个定点，AC⊥x 轴于点 M，交直线 y=−x 于点 N．若点 P 是线段 ON 上的一个动点，∠APB=30∘，BA⊥PA，则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径长是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：
（1）2−2+8−12sin30∘；
（2）1+1x−1÷xx2−1．

20. 请回答下列问题．
（1）解方程：x2−6x+4=0．
（2）解不等式组 3x+1<2x+2,−x3≤5x3+2.

21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AD，BC 的中点，分别连接 BE，DF，BD．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）若四边形 EBFD 是菱形，求 ∠ABD 的度数．

22. 请回答下列问题．
（1）如图，将 A，B，C 三个字母随机填写在三个空格中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），请你用画树状图或列表的方法求从左往右字母顺序恰好是 A，B，C 的概率．

（2）若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将 A，B，C，D 四个字母任意填写其中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），从左往右字母顺序恰好是 A，B，C，D 的概率为 ．

23. 某区教育局为了解今年九年级学生体育测试情况．随机抽查了某班学生的体育测试成绩为样本．按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所绘信息解答下列问题：
说明：A级：90∼100 分；B级：75 分 ∼89 分；C级：60 分 ∼74 分；D级：60 分以下．
（1）样本中D级的学生人数占全班人数的百分比是 ．
（2）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是 ．
（3）请把条形统计图补充完整．
（4）若该校九年级有 500 名学生，请你用此样本估计体育测试中A级和B级的学生人数之和．

24. 已知：如图，在 △ABC 中，AB=AC，AE 是角平分线，BM 平分 ∠ABC 交 AE 于点 M，经过 B，M 两点的 ⊙O 交 BC 于点 G，交 AB 于点 F，FB 恰为 ⊙O 的直径．
（1）求证：AE 与 ⊙O 相切；
（2）当 BC=4，csC=13 时，求 ⊙O 的半径．

25. 小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为 8 元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．
小丽：如果以 10 元/千克的价格销售，那么每天可售出 300 千克．
小强：如果每千克的利润为 3 元，那么每天可售出 250 千克．
小红：如果以 13 元/千克的价格销售，那么每天可获取利润 750 元．
【 利润=销售价−进价×销售量 】
（1）请根据他们的对话填写下表：
销售单价x元/kg101113销售量ykg
（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量 y（千克）与销售单价 x（元）之间存在怎样的函数关系．并求 y（千克）与 x（元）（x>0）的函数关系式．
（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为 W 元，求 W 与 x 之间的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大?最大利润是多少元?

26. 如图，已知 △ABCAC（1）在边 BC 上确定一点 P，使得 PA+PC=BC；
（2）作出一个 △DEF，使得：
① △DEF 是直角三角形；
② △DEF 的周长等于边 BC 的长．

27. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−2x+c 与直线 y=−12x+3 分别交于 x 轴、 y 轴上的 B，C 两点，抛物线的顶点为点 D，连接 CD 交 x 轴于点 E．
（1）求抛物线的解析式以及点 D 的坐标；
（2）求 tan∠BCD；
（3）点 P 在直线 BC 上，若 ∠PEB=∠BCD，求点 P 的坐标．

28. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 6,0，点 B 的坐标为 0,2，点 M 从点 A 出发沿 x 轴负方向以每秒 3 cm 的速度移动，同时点 N 从原点出发沿 y 轴正方向以每秒 1 cm 的速度移动．设移动的时间为 t 秒．
（1）若点 M 在线段 OA 上，试问当 t 为何值时，△ABO 与以点 O，M，N 为顶点的三角形相似?
（2）若直线 y=x 与 △OMN 外接圆的另一个交点是点 C．
①试说明：当 0②试探究：当 t>2 时，OM，ON，OC 之间的数量关系是否发生变化，并说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】根据相反数的定义，−2 的相反数是 2．
2. B【解析】根据题意，得 x−2≥0，
解得，x≥2．
3. B【解析】4400000000=4.4×109．
4. D【解析】在这组数据中，10 元出现了 23 次，出现次数最多，是众数．
5. C
【解析】∵OA=OC，
∴∠A=∠C=16∘，
∴∠BOC=∠A+∠C=32∘．
6. D【解析】A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，此选项正确，不符合题意；
B．对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，此选项正确，不符合题意；
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，此选项正确，不符合题意；
D．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；故此选项错误，符合题意．
7. A【解析】∵ 圆锥的主视图是边长为 4 的等边三角形，
∴ 圆锥俯视图圆的直径是 4，
则该圆锥俯视图的面积是 π×22=4π．
8. A【解析】连接 OB，AD，BD．
∵ 多边形 ABCDEF 是正多边形，
∴AD 为外接圆的直径，
∠AOB=360∘6=60∘，
∴∠ADB=12∠AOB=12×60∘=30∘．
∵ 直线 PA 与 ⊙O 相切于点 A，
∴∠PAB=∠ADB=30∘．
9. C【解析】由题意，得点 4,1 关于直线 x=1 对称的点的坐标是 −2,1，
将其代入一次函数 y=x−b，得 −2−b=1．
解得 b=−3．
10. D
【解析】如图，过 F 作 FN⊥BC，交 BC 延长线于 N 点，连接 AC．
∵DE 的中点为 G，EG 绕 E 顺时针旋转 90∘ 得 EF，
∴DE:EF=2:1．
∵∠DCE=∠ENF=90∘，∠DEC+∠NEF=90∘，∠NEF+∠EFN=90∘，
∴∠DEC=∠EFN，
∴Rt△FNE∽Rt△ECD，
∴CE:FN=DE:EF=DC:NE=2:1，
∴CE=2NF，NE=12CD=52．
∵∠ACB=45∘，
∴ 当 ∠NCF=45∘ 时，A，C，F 在一条直线上，则 △CNF 是等腰直角三角形，
∴CN=NF，
∴CE=2CN，
∴CE=23NE=23×52=53，
∴CE=53 时，A，C，F 在一条直线上．
第二部分
11. x+2x−2
【解析】x2−4=x+2x−2．
12. x=5
【解析】去分母得：x−2=3，
解得：x=5，
经检验 x=5 是分式方程的解．
13. 45
【解析】360∘÷8=45∘．
14. 94
【解析】∵x2−3x+k=0 有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
∴9−4k=0，
∴k=94．
15. 80001+x2=15000
【解析】设该楼盘这两年房价平均增长率为 x，
根据题意得：80001+x2=15000．
16. x<5
【解析】方法 1 、
∵ 一次函数 y=kx−b 经过点 2,0，
∴2k−b=0，b=2k．
函数值 y 随 x 的增大而减小，则 k<0；
解关于 kx−3−b>0，
移项得：kx>3k+b，即 kx>5k；
两边同时除以 k，
∵k<0，因而解集是 x<5．
方法 2 、
将直线 y=kx−b 向右平移 3 个单位长度即可得到直线 y=kx−3−b，如图所示．
观察图形可知：当 x<5 时，直线 y=kx−3−b 在 x 轴上方．
17. 2
【解析】过 B 作 BD∥AC 交 x 轴于 D，
∵C 是 OB 的中点，
∴OA=AD，
∴AC=12BD，
∴ 当 BD 取最小值时，AC 最小，
由图可知：当 BD 经过 M 时，线段 BD 的长最小，此时 AC 有最小值，
∵A3,0，
∴D6,0，
∵M3,4，
∴DM=6−32+42=5，
∴BD=5−1=4，
∴AC=12BD=2，即线段 AC 的最小值为 2．
18. 2
【解析】如图 1 所示，当点 P 运动至 ON 上的任一点时，
设其对应的点 B 为 Bi，连接 AP，ABi，BBi，
∵AO⊥AB1，AP⊥ABi，
∴∠OAP=∠B1ABi，
又 ∵AB1=AO⋅tan30∘，ABi=AP⋅tan30∘，
∴AB1:AO=ABi:AP，
∴△AB1Bi∽△AOP，
∴∠AB1Bi=∠AOP．
同理得 △AB1B2∽△AON，
∴∠AB1B2=∠AOP，
∴∠AB1Bi=∠AB1B2，
∴ 点 Bi 在线段 B1B2 上，即线段 B1B2 就是点 B 运动的路径（或轨迹）．
由图形 2 可知：Rt△APB1 中，∠APB1=30∘，
∴AB1AP=13，
Rt△AB2N 中，∠ANB2=30∘，
∴AB2AN=13，
∴AB1AP=AB2AN=13，
∵∠PAB1=∠NAB2=90∘，
∴∠PAN=∠B1AB2，
∴△APN∽△AB1B2，
∴B1B2PN=AB1AP=13，
∵ON:y=−x，
∴△OMN 是等腰直角三角形，
∴OM=MN=3，
∴PN=6，
∴B1B2=2．
综上所述，点 B 运动的路径（或轨迹）是线段 B1B2，其长度为 2．
第三部分
19. （1） 原式=14+22−14=22.
（2） 原式=xx−1×x+1x−1x=x+1.
20. （1） Δ=36−16=20，
∴x=6±202=3±5．
（2）
3x+1<2x+2, ⋯⋯①−x3≤5x3+2. ⋯⋯②
由 ① 得：
x<3,
由 ② 得：
x≥−1.∴−1≤x<3
．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD．
∵ 点 E，F 分别是 AD，BC 的中点，
∴AE=12AD，FC=12BC．
∴AE=CF．
在 △AEB 与 △CFD 中，
AE=CF,∠A=∠C,AB=CD,
∴△AEB≌△CFDSAS．
（2） ∵ 四边形 EBFD 是菱形，
∴BE=DE．
∴∠EBD=∠EDB．
∵AE=DE，
∴BE=AE．
∴∠A=∠ABE．
∵∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180∘，
∴∠ABD=∠ABE+∠EBD=12×180∘=90∘．
22. （1）
空格1空格2空格3ABCACBBACBCACABCBA
如表格所示，一共有六种等可能的结果，其中从左往右字母顺序恰好是 A，B，C（记为事件 A）的结果有一种，
∴PA=16．
（2） 124
【解析】由（1）可知从左往右字母顺序恰好是 A，B，C，D 的概率为：124．
23. （1） 10%
【解析】根据题意得：
D级的学生人数占全班人数的百分比是：1−20%−46%−24%=10%．
（2） 72∘
【解析】A级所在的扇形的圆心角度数是：20%×360∘=72∘．
（3） ∵ A等人数为 10 人，所占比例为 20%，
∴ 抽查的学生数 =10÷20%=50（人），
∴ D级的学生人数是 50×10%=5（人），
补图如下：
（4） 根据题意得：
体育测试中A级和B级的学生人数之和是：500×20%+46%=330（名），
答：体育测试中A级和B级的学生人数之和是 330 名．
24. （1） 连接 OM，则 OM=OB．
∴∠1=∠2．
∵BM 平分 ∠ABC，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴OM∥BC．
∴∠AMO=∠AEB．
在 △ABC 中，AB=AC，AE 是角平分线．
∴AE⊥BC．
∴∠AEB=90∘．
∴∠AMO=90∘．
∴OM⊥AE．
∵ 点 M 在圆 O 上，
∴AE 与 ⊙O 相切．
（2） 在 △ABC 中，AB=AC，AE 是角平分线，
∴BE=12BC，∠ABC=∠C．
∵BC=4，csC=13，
∴BE=2，cs∠ABC=13．
在 △ABE 中，∠AEB=90∘．
∴AB=BEcs∠ABC=6．
设 ⊙O 的半径为 r，则 AO=6−r．
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE．
∴OMBE=AOAB．
∴r2=6−r6，解得 r=32．
∴⊙O 的半径为 32．
25. （1） 300；250；150
【解析】当 x=10 时，y=300；
当每千克的利润为 3 元时，x=11，则 y=250；
当 x=13 时，y=750÷13−8=750÷5=150．
（2） 判断：y 是 x 的一次函数．
设 y=kx+b，
∵x=10，y=300；x=11，y=250，
∴10k+b=300,11k+b=250, 解得 k=−50,b=800,
∴y=−50x+800．
经检验：x=13，y=150 也适合上述关系式，
∴y=−50x+800．
（3） W=x−8y=x−8−50x+800=−50x2+1200x−6400，
∵a=−50<0，
∴ 当 x=12 时，W 的最大值为 800．
即当销售单价为 12 元时，每天可获得的利润最大，最大利润是 800 元．
26. （1） 如图，作 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 P，则点 P 即为所求．
（2） 如图，①在 BC 上取点 D，过点 D 作 BC 的垂线；
②在垂线上取点 E 使 DE=DB，连接 EC；
③作 EC 的垂直平分线交 BC 于点 F；
∴Rt△DEF 即为所求．
27. （1） 由题意得 B6,0，C0,3，
把 B6,0，C0,3 代入 y=ax2−2x+c，
得 0=36a−12+c,3=c, 解得：a=14,c=3,
∴ 抛物线的解析式为：
y=14x2−2x+3=14x2−8x+3=14x−42−1.
∴D4,−1．
（2） 可得点 E3,0，
OE=OC=3，∠OEC=45∘，
过点 B 作 BF⊥CD，垂足为点 F．
在 Rt△OEC 中，EC=OEcs∠CEO=32，
在 Rt△BEF 中，BF=BE⋅sin∠BEF=322，
同理，EF=322，
∴CF=32+322=922，
在 Rt△CBF 中，tan∠BCD=BFCF=13．
（3） 设点 Pm,−12m+3
∵∠PEB=∠BCD，
∴tan∠PEB=tan∠BCD=13．
①点 P 在 x 轴上方，
∴−12m+3m−3=13，解得：m=245，
∴ 点 P245,35；
②点 P 在 x 轴下方，
∴12m−3m−3=13，解得：m=12，
∴ 点 P12,−3．
综上所述，点 P245,35或12,−3．
28. （1） 由题意，得 OA=6，OB=2．
当 0若 △ABO∽△MNO，则 OAOM=OBON，即 66−3t=2t，解得 t=1；
若 △ABO∽△NMO，则 OAON=OBOM，即 6t=26−3t，解得 t=1.8．
综上，当 t 为 1 或 1.8 时，△ABO 与以点 O，M，N 为顶点的三角形相似．
（2） ①当 0 ∵ 直线 y=x 与 x 轴的夹角为 45∘，
∴OC 平分 ∠AOB．
∴∠AOC=∠BOC．
∴CN=CM．
又 ∵ 在 ⊙O 中 ∠CNO+∠CMO=180∘，∠DNC+∠CNO=180∘，
∴∠CND=∠CMO．
∴△CND≌△CMOSAS．
∴CD=CO，∠DCN=∠OCM．
又 ∵∠AOB=90∘，
∴MN 为 ⊙O 的直径，
∴∠MCN=90∘．
∴∠OCM+∠OCN=90∘．
∴∠DCN+∠OCN=90∘．
∴∠OCD=90∘．
又 ∵CD=CO，
∴OD=2OC．
∴ON+ND=2OC．
∴OM+ON=2OC．
②当 t>2 时，过点 C 作 CD⊥OC 交 ON 于点 D，连接 CM，CN，如图所示：
∵∠COD=45∘，
∴△CDO 为等腰直角三角形，
∴OD=2OC．
∵MN 为 ⊙O 的直径，
∴∠MCN=90∘．
又 ∵ 在 ⊙O 中，∠CMN=∠CNM=45∘，
∴MC=NC．
又 ∵∠OCD=∠MCN=90∘，
∴∠DCN=∠OCM．
∴△CDN≌△COMSAS．
∴DN=OM．
又 ∵OD=2OC，
∴ON−DN=2OC．
∴ON−OM=2OC．