2020年江苏省无锡市中考数学试卷
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2020年江苏省无锡市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共10题） |
1. 的倒数是．
A. B. C. D.
2. 函数中自变量的取值范围是．
A． B． C． D．
3. 已知一组数据：，，，，，这组数据的平均数和中位数分别是．
A．， B．， C．， D．，
4. 若，，则的值等于．
A． B． C． D．
5. 正十边形的每一个外角的度数为．
A． B． C． D．
6. 下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是．
A. 圆
B. 菱形
C. 平行四边形
D. 等腰三角形
7. 下列选项错误的是．
A． B．
C． D．
8. 反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为．
A． B． C． D．
9. 如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度．
A． B． C． D．
10. 如图，等边的边长为，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：
①与可能相等；
② 与可能相似；
③ 四边形面积的最大值为；
④ 四边形周长的最小值为．
其中，正确结论的序号为．
A．① ④ B．② ④ C．① ③ D．② ③
| 二、 填空题（共8题） |
11. 因式分解：________．
12. 年我市地区生产总值逼近亿元，用科学记数法表示是________．
13. 已知圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面展开图的面积为________．
14. 如图，在菱形中，，点在上，若，则________．
15. 请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：________．
16. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是________尺．
17. 二次函数的图象过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为________．
18. 如图，在中，，，点，分别在边，上，且，，连接，，相交于点，则面积最大值为________．
| 三、 解答题（共10题） |
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. 解方程：
（1）；
（2）．
21. 如图，已知，，．
求证：（1）；
（2）．
22. 现有张正面分别写有数字、、、的卡片，将张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取张，抽的卡片上的数字恰好为的概率是 ；
（2）若先从中任意抽取张（不放回），再从余下的张中任意抽取张，求抽得的张卡片上的数字之和为的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23. 小李年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），年底到年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）
年份 | 年 | 年 | 年 | 年 | 年 | 年 |
收入 | ||||||
支出 | ||||||
存款余额 |
（1）表格中 ；
（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据）
（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？
24. 如图，已知是锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，则的半径为 ．
25. 如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
26. 有一块矩形地块，米，米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为米．现决定在等腰梯形和中种植甲种花卉；在等腰梯形和中种植乙种花卉；在矩形中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为元米、元米、元米，设三种花卉的种植总成本为元．
（1）当时，求种植总成本；
（2）求种植总成本与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
27. 如图，在矩形中，，，点为边上的一点（与、不重合），四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交于点，记四边形的面积为．
（1）若，求的值；
（2）设，求关于的函数表达式．
28. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数的图象于点，，点在该二次函数的图象上，设过点（其中）且平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，以线段、为邻边作矩形．
（1）若点的横坐标为．
① 用含的代数式表示的坐标；
② 点能否落在该二次函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
（2）当时，若点恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】D
【解析】解：的倒数是．
故选
根据乘积是的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2. 【答案】B
【解析】由题意得，，
解得．
故选：
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3. 【答案】A
【解析】这组数据的平均数是：；
把这组数据从小到大排列为：，，，，，最中间的数是，
则中位数是．
故选：
【点评】此题考查了平均数和中位数，掌握平均数的计算公式和中位数的定义是本题的关键；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
4. 【答案】C
【解析】，，
，
整理得：，即，
则的值为．
故选：
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5. 【答案】A
【解析】正十边形的每一个外角都相等，
因此每一个外角为：．
故选：
【点评】本题考查多边形的外角和的性质，理解正多边形的每一个外角都相等是正确计算的前提．
6. 【答案】D
【解析】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．
故选
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
7. 【答案】D
【解析】．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意；
．，故本选项符合题意．
故选：
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法，二次根式的除法以及去括号与添括号，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
8. 【答案】C
【解析】一次函数的图象过点，
，
点，
反比例函数过点，
．
故选：
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握图象上点的坐标满足图象解析式是本题的关键．
9. 【答案】B
【解析】方法一：如图，
延长交于点，过点作于点，
设，
，
，
，
，，，
，
由翻折可知：
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
由翻折可知：，
，
是的角平分线，
，
，
解得．
方法二：
如图，
过点作，
由折叠可知：，
，
，，
，
设，由折叠性质可知，，
，
，
解得，
，，
在直角三角形中，，
解得．
故选：
【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
10. 【答案】D
【解析】① 利用图象法可知，或通过计算可知的最大值为，的最小值为，所以，故① 错误；
② 设，则，
，
当或时，与相似，
即或，解得或或，
当或或时，两三角形相似，故② 正确；
③ 设，则四边形的面积，
的最大值为，
时，四边形的面积最大，最大值，故③ 正确；
如图，
作点关于的对称点，作，使得，连接交于点，在射线上取，此时四边形的周长最小．
过点作交的延长线于，交于．
由题意，，，，，
，
，
四边形的周长的最小值，故④ 错误．
故选：
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】原式．
故答案为：．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12. 【答案】；
【解析】．
故答案为：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
13. 【答案】；
【解析】根据题意可知，圆锥的底面半径，高，
圆锥的母线，
．
故答案为：．
【点评】此题考查圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是个扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是底面圆的周长．掌握圆锥的侧面积公式：是解题的关键．
14. 【答案】；
【解析】四边形是菱形，
平分，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
15. 【答案】；
【解析】图象的对称轴是轴，
函数表达式（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记形如的二次函数的性质是解答本题的关键．
16. 【答案】；
【解析】设绳长是尺，井深是尺，依题意有
，
解得．
故井深是尺．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程（组，再求解．
17. 【答案】或；
【解析】把点代入得，，
解得：，
，
，抛物线的对称轴为，
设点的坐标为：，
当，
过作对称轴于，
则，
，
，
，
，，
当，
，
，
，
综上所述，点的坐标为或．
【点评】本题考查的是二次函数的性质和函数图象上点的坐标特征，涉及到解直角三角形，有一定的综合性，难度适中．
18. 【答案】；
【解析】如图，过点作，
则，
，
，
，
，
，，
，
，
在以为直径的圆上，设圆心为，
当时，的面积最大为：，
此时的面积最大为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
三、 解答题
19. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题主要考查了实数的运算以及分式的加减法，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．
20. 【答案】（1），
（2）
【解析】（1），，，
，
，
，；
（2），
解① 得，
解② 得，
所以不等式组的解集为．
【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了解一元一次不等式组．
21. 【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】（1），
，
，
，
即，
在和中，
，
；
（2），
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，这属于几何基础知识的考查，难度不大．
22. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）从中任意抽取张，抽的卡片上的数字恰好为的概率，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中抽得的张卡片上的数字之和为的倍数的结果数为，
所以抽得的张卡片上的数字之和为的倍数的概率．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
23. 【答案】（1）
（2）
（3）年， 万元
【解析】（1），解得，
故答案为：；
（2）根据题意得，解得，
即存款余额为万元，
条形统计图补充为：
（3）小李在年的支出最多，支出了为万元．
【点评】本题考查了图象统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
24. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）如图直线，即为所求．
（2）过点作于．设，
，，垂直平分线段，
，
，
，
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）是的切线，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2），，，
，，
，，
，
，
的周长．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
26. 【答案】（1）元
（2）
（3）元
【解析】（1）当时，，，
；
（2）米，米，
参考（1），由题意得：
；
（3），
同理，
甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米，
，
解得：，
故，
而随的增大而减小，故当时，的最小值为，
即三种花卉的最低种植总成本为元．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
27. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）当，
，
，，
，
，
，
四边形关于直线的对称图形为四边形，
，
，
，
为等边三角形，
；
（2）过作于，
由（1）可知，，
，
设，，
则，，
在中，，解得：，
．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
28. 【答案】（1）① ；② 答案见解析
（2）的解析式为或
【解析】（1）① 点在的图象上，横坐标为，
，
直线的解析式为，
点的纵坐标为，
．
② 假设能在抛物线上，
，
直线的解析式为，
点在直线上，纵坐标为，
，
的中点的坐标为，
，把点坐标代入抛物线的解析式得到．
（2）① 当点在轴的右侧时，设，
直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，可得，
，，代入抛物线的解析式得到，，
解得，
直线的解析式为．
② 当点在轴的左侧时，即为① 中点的位置，
直线 的解析式为，
综上所述，满足条件的直线的解析式为或．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，审题中考压轴题．
