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2020年江苏省无锡市中考数学试卷
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这是一份2020年江苏省无锡市中考数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年江苏省无锡市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．）
1．（3分）﹣7的倒数是（ ）
A．7 B．17 C．-17 D．﹣7
2．（3分）函数y＝2+3x-1中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥13 C．x≤13 D．x≠13
3．（3分）已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．24，25 B．24，24 C．25，24 D．25，25
4．（3分）若x+y＝2，z﹣y＝﹣3，则x+z的值等于（ ）
A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5
5．（3分）正十边形的每一个外角的度数为（ ）
A．36° B．30° C．144° D．150°
6．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形
7．（3分）下列选项错误的是（ ）
A．cos60°=12 B．a2•a3＝a5
C．12=22 D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y
8．（3分）反比例函数y=kx与一次函数y=815x+1615的图形有一个交点B（12，m），则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．23 D．43
9．（3分）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC=3，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED=32，则线段DE的长度（ ）
A．63 B．73 C．32 D．275
10．（3分）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为31316；
④四边形PCDQ周长的最小值为3+372．
其中，正确结论的序号为（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应的位置）
11．（2分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ ．
12．（2分）2019年我市地区生产总值逼近12000亿元，用科学记数法表示12000是 ．
13．（2分）已知圆锥的底面半径为1cm，高为3cm，则它的侧面展开图的面积为＝ cm2．
14．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝ °．
15．（2分）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴： ．
16．（2分）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是 尺．
17．（2分）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 ．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）（﹣2）2+|﹣5|-16；
（2）a-1a-b-1+bb-a．
20．（8分）解方程：
（1）x2+x﹣1＝0；
（2）-2x≤04x+1＜5．
21．（8分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．
22．（8分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 ；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（6分）小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）
年份
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
收入
3
8
9
a
14
18
支出
1
4
5
6
c
6
存款余额
2
6
10
15
b
34
（1）表格中a＝ ；
（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据）
（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？
24．（8分）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM=53，BC＝2，则⊙O的半径为 ．
25．（8分）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC=3．
（1）求证：△BOC∽△BCD；
（2）求△BCD的周长．
26．（10分）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE=33，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．
28．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
2020年江苏省无锡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．）
1．（3分）﹣7的倒数是（ ）
A．7 B．17 C．-17 D．﹣7
【解答】解：﹣7的倒数是-17．
故选：C．
2．（3分）函数y＝2+3x-1中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥13 C．x≤13 D．x≠13
【解答】解：由题意得，3x﹣1≥0，
解得x≥13．
故选：B．
3．（3分）已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．24，25 B．24，24 C．25，24 D．25，25
【解答】解：这组数据的平均数是：（21+23+25+25+26）÷5＝24；
把这组数据从小到大排列为：21，23，25，25，26，最中间的数是25，
则中位数是25；
故选：A．
4．（3分）若x+y＝2，z﹣y＝﹣3，则x+z的值等于（ ）
A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5
【解答】解：∵x+y＝2，z﹣y＝﹣3，
∴（x+y）+（z﹣y）＝2+（﹣3），
整理得：x+y+z﹣y＝2﹣3，即x+z＝﹣1，
则x+z的值为﹣1．
故选：C．
5．（3分）正十边形的每一个外角的度数为（ ）
A．36° B．30° C．144° D．150°
【解答】解：正十边形的每一个外角都相等，
因此每一个外角为：360°÷10＝36°，
故选：A．
6．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形
【解答】解：A、圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、菱形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
7．（3分）下列选项错误的是（ ）
A．cos60°=12 B．a2•a3＝a5
C．12=22 D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y
【解答】解：A．cos60°=12，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C.12=22⋅2=22，故本选项不合题意；
D.2（x﹣2y）＝2x﹣4y，故本选项符合题意．
故选：D．
8．（3分）反比例函数y=kx与一次函数y=815x+1615的图形有一个交点B（12，m），则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．23 D．43
【解答】解：∵一次函数y=815x+1615的图象过点B（12，m），
∴m=815×12+1615=43，
∴点B（12，43），
∵反比例函数y=kx过点B，
∴k=12×43=23，
故选：C．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC=3，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED=32，则线段DE的长度（ ）
A．63 B．73 C．32 D．275
【解答】解：方法一：如图，延长ED交AC于点M，过点M作MN⊥AE于点N，
设MN=3m，
∵tan∠AED=32，
∴MNNE=32，
∴NE＝2m，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC=3，
∴∠CAB＝30°，
由翻折可知：
∠EAC＝30°，
∴AM＝2MN＝23m，
∴AN=3MN＝3m，
∵AE＝AB＝3，
∴5m＝3，
∴m=35，
∴AN=95，MN=335，AM=635，
∵AC＝23，
∴CM＝AC﹣AM=435，
∵MN=335，NE＝2m=65，
∴EM=MN2+EN2=375，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝30°，
由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ECD＝30°，
∴CD是∠ECM的角平分线，
∴S△CEDS△CMD=EDMD=CECM，
∴3435=ED375-ED，
解得ED=73．
方法二：
如图，过点D作DM⊥CE，
由折叠可知：∠AEC＝∠B＝90°，
∴AE∥DM，
∵∠ACB＝60°，∠ECD＝30°，
∴∠AED＝∠EDM＝30°，
设EM=3m，由折叠性质可知，EC＝CB=3，
∴CM＝3-3m，
∴tan∠MCD=DMCM=2m3-3m=33，
解得m=13，
∴DM=23，EM=33，
在直角三角形EDM中，DE2＝DM2+EM2，
解得DE=73．
故选：B．
10．（3分）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为31316；
④四边形PCDQ周长的最小值为3+372．
其中，正确结论的序号为（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【解答】解：①利用图象法可知PC＞DQ，故①错误．
②∵∠A＝∠B＝60°，∴当∠ADQ＝∠CPB时，△ADQ∽△BPC，故②正确．
③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积=34×32-12×x×32×12-12×3×（3﹣x-12）×32=338+538x，
∵x的最大值为3-12=52，
∴x=52时，四边形PCDQ的面积最大，最大值=31316，故③正确，
如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，此时四边形P′CD′Q′的周长最小．
过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H，交AB于J．
由题意，DD′＝2AD•sin60°=32，HJ=12DD′=34，CJ=332，FH=32-12-14=34，
∴CH＝CJ+HJ=734，
∴CF=FH2+CH2=(34)2+(734)2=392，
∴四边形P′CDQ′的周长的最小值＝3+392，故④错误，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应的位置）
11．（2分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ a（b﹣1）2 ．
【解答】解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；
故答案为：a（b﹣1）2．
12．（2分）2019年我市地区生产总值逼近12000亿元，用科学记数法表示12000是 1.2×104 ．
【解答】解：12000＝1.2×104．
故答案为：1.2×104．
13．（2分）已知圆锥的底面半径为1cm，高为3cm，则它的侧面展开图的面积为＝ 2π cm2．
【解答】解：根据题意可知，圆锥的底面半径r＝1cm，高h=3cm，
∴圆锥的母线l=r2+h2=2，
∴S侧＝πrl＝π×1×2＝2π（cm2）．
故答案为：2π．
14．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝ 115 °．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACE=12∠BCD＝65°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°；
故答案为：115．
15．（2分）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴： y＝x2 ．
【解答】解：∵图象的对称轴是y轴，
∴函数表达式y＝x2（答案不唯一），
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
16．（2分）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是 8 尺．
【解答】解：设绳长是x尺，井深是y尺，依题意有
13x-y=414x-y=1，
解得x=36y=8．
故井深是8尺．
故答案为：8．
17．（2分）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 （32，﹣9）或（32，6） ．
【解答】解：把点A（6，0）代入y＝ax2﹣3ax+3得，0＝36a﹣18a+3，
解得：a=-16，
∴y=-16x2+12x+3，
∴B（0，3），抛物线的对称轴为x=-122×(-16)=32，
设点M的坐标为：（32，m），
当∠ABM＝90°，
过B作BD⊥对称轴于D，
则∠1＝∠2＝∠3，
∴tan∠2＝tan∠1=63=2，
∴DMBD=2，
∴DM＝3，
∴M（32，6），
当∠M′AB＝90°，
∴tan∠3=M'NAN=tan∠1=63=2，
∴M′N＝9，
∴M′（32，﹣9），
综上所述，点M的坐标为（32，﹣9）或（32，6）．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为 83 ．
【解答】解：如图，过点D作DF∥AE，
则DFAE=BDBA=23，
∵ECAE=13，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO=23DC，
∴S△ADO=23S△ADC，S△BDO=23S△BDC，
∴S△ABO=23S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：12×4×2＝8，
此时△ABO的面积最大为：23×4=83．
故答案为：83．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）（﹣2）2+|﹣5|-16；
（2）a-1a-b-1+bb-a．
【解答】解：（1）原式＝4+5﹣4
＝5；
（2）原式=a-1a-b+1+ba-b
=a-1+1+ba-b
=a+ba-b．
20．（8分）解方程：
（1）x2+x﹣1＝0；
（2）-2x≤04x+1＜5．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
x=-1±52×1，
∴x1=-1+52，x2=-1-52；
（2）-2x≤0①4x+1＜5②，
解①得x≥0，
解②得x＜1，
所以不等式组的解集为0≤x＜1．
21．（8分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
∵AB=CD∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
22．（8分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 14 ；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率=14；
故答案为14；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4，
所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率=412=13．
23．（6分）小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）
年份
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
收入
3
8
9
a
14
18
支出
1
4
5
6
c
6
存款余额
2
6
10
15
b
34
（1）表格中a＝ 11 ；
（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据）
（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？
【解答】解：（1）10+a﹣6＝15，解得a＝11，
故答案为11；
（2）根据题意得15+14-c=bb+18-6=34，解得b=22c=7，
即存款余额为22万元，
条形统计图补充为：
（3）小李在2018年的支出最多，支出了为7万元．
24．（8分）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM=53，BC＝2，则⊙O的半径为 12 ．
【解答】解：（1）如图直线l，⊙O即为所求．
（2）过点O作OE⊥AB于E．设OE＝ON＝r，
∵BM=53，BC＝2，MN垂直平分线段BC，
∴BN＝CN＝1，
∴MN=BM2-BN2=(53)2-12=43，
∵s△BNM＝S△BNO+S△BOM，
∴12×1×43=12×1×r+12×53×r，
解得r=12．
故答案为12．
25．（8分）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC=3．
（1）求证：△BOC∽△BCD；
（2）求△BCD的周长．
【解答】证明：（1）∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠BOC＝∠D+∠OCD＝30°+90°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝30°，
∴∠DCB＝120°＝∠BOC，
又∵∠B＝∠D＝30°，
∴△BOC∽△BCD；
（2）∵∠D＝30°，DC=3，∠OCD＝90°，
∴DC=3OC=3，DO＝2OC，
∴OC＝1＝OB，DO＝2，
∵∠B＝∠D＝30°，
∴DC＝BC=3，
∴△BCD的周长＝CD+BC+DB=3+3+2+1＝3+23．
26．（10分）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
【解答】解：（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，
y＝2×12（EH+AD）×20x+2×12（GH+CD）×x×60+EF•EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；
（2）EF＝20﹣2x，EH＝30﹣2x，
参考（1），由题意得：y＝（30×30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；
（3）S甲＝2×12（EH+AD）×2x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，
同理S乙＝﹣2x2+40x，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，
∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，
解得：x≤6，
故0＜x≤6，
而y＝﹣400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE=33，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．
【解答】解：（1）当DE=33，
∵AD＝1，
∴tan∠AED=3，AE=233，
∴∠AED＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝60°，
∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，
∴∠AEC＝∠AEM，
∵∠PEC＝∠DEM，
∴∠AEP＝∠AED＝60°，
∴△APE为等边三角形，
∴S=34×（233）2+12×33×1=32；
（2）过E作EF⊥AB于F，
由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PEA，
∴AP＝PE，
设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，
则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，
在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a=x2+12x，
∴S=12⋅x×1+12×x2+12x×1=12x+x2+14x．
28．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
【解答】解：（1）①∵点A在y=14x2的图象上，横坐标为8，
∴A（8，16），
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M（12m，m）．
②假设能在抛物线上，
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为y=-12x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N（﹣2m，m），
∴MN的中点的坐标为（-34m，m），
∴P（-32m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m=329．
（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），
∴直线OA的解析式为y=14ax，
∴M（8a，2），
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y=-4ax，可得N（-a2，2），
∴P（8a-a2，4），代入抛物线的解析式得到，8a-a2=4，
解得a＝42±4，
∴直线OA的解析式为y＝（2±1）x．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为y=-4ax＝﹣（2±1）x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（2±1）x或y＝﹣（2±1）x．
2020年江苏省无锡市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．）
1．（3分）﹣7的倒数是（ ）
A．7 B．17 C．-17 D．﹣7
2．（3分）函数y＝2+3x-1中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥13 C．x≤13 D．x≠13
3．（3分）已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．24，25 B．24，24 C．25，24 D．25，25
4．（3分）若x+y＝2，z﹣y＝﹣3，则x+z的值等于（ ）
A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5
5．（3分）正十边形的每一个外角的度数为（ ）
A．36° B．30° C．144° D．150°
6．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形
7．（3分）下列选项错误的是（ ）
A．cos60°=12 B．a2•a3＝a5
C．12=22 D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y
8．（3分）反比例函数y=kx与一次函数y=815x+1615的图形有一个交点B（12，m），则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．23 D．43
9．（3分）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC=3，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED=32，则线段DE的长度（ ）
A．63 B．73 C．32 D．275
10．（3分）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为31316；
④四边形PCDQ周长的最小值为3+372．
其中，正确结论的序号为（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应的位置）
11．（2分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ ．
12．（2分）2019年我市地区生产总值逼近12000亿元，用科学记数法表示12000是 ．
13．（2分）已知圆锥的底面半径为1cm，高为3cm，则它的侧面展开图的面积为＝ cm2．
14．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝ °．
15．（2分）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴： ．
16．（2分）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是 尺．
17．（2分）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 ．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）（﹣2）2+|﹣5|-16；
（2）a-1a-b-1+bb-a．
20．（8分）解方程：
（1）x2+x﹣1＝0；
（2）-2x≤04x+1＜5．
21．（8分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．
22．（8分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 ；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（6分）小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）
年份
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
收入
3
8
9
a
14
18
支出
1
4
5
6
c
6
存款余额
2
6
10
15
b
34
（1）表格中a＝ ；
（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据）
（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？
24．（8分）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM=53，BC＝2，则⊙O的半径为 ．
25．（8分）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC=3．
（1）求证：△BOC∽△BCD；
（2）求△BCD的周长．
26．（10分）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE=33，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．
28．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
2020年江苏省无锡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．）
1．（3分）﹣7的倒数是（ ）
A．7 B．17 C．-17 D．﹣7
【解答】解：﹣7的倒数是-17．
故选：C．
2．（3分）函数y＝2+3x-1中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥13 C．x≤13 D．x≠13
【解答】解：由题意得，3x﹣1≥0，
解得x≥13．
故选：B．
3．（3分）已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．24，25 B．24，24 C．25，24 D．25，25
【解答】解：这组数据的平均数是：（21+23+25+25+26）÷5＝24；
把这组数据从小到大排列为：21，23，25，25，26，最中间的数是25，
则中位数是25；
故选：A．
4．（3分）若x+y＝2，z﹣y＝﹣3，则x+z的值等于（ ）
A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5
【解答】解：∵x+y＝2，z﹣y＝﹣3，
∴（x+y）+（z﹣y）＝2+（﹣3），
整理得：x+y+z﹣y＝2﹣3，即x+z＝﹣1，
则x+z的值为﹣1．
故选：C．
5．（3分）正十边形的每一个外角的度数为（ ）
A．36° B．30° C．144° D．150°
【解答】解：正十边形的每一个外角都相等，
因此每一个外角为：360°÷10＝36°，
故选：A．
6．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．圆 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形
【解答】解：A、圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、菱形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
7．（3分）下列选项错误的是（ ）
A．cos60°=12 B．a2•a3＝a5
C．12=22 D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y
【解答】解：A．cos60°=12，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C.12=22⋅2=22，故本选项不合题意；
D.2（x﹣2y）＝2x﹣4y，故本选项符合题意．
故选：D．
8．（3分）反比例函数y=kx与一次函数y=815x+1615的图形有一个交点B（12，m），则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．23 D．43
【解答】解：∵一次函数y=815x+1615的图象过点B（12，m），
∴m=815×12+1615=43，
∴点B（12，43），
∵反比例函数y=kx过点B，
∴k=12×43=23，
故选：C．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC=3，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED=32，则线段DE的长度（ ）
A．63 B．73 C．32 D．275
【解答】解：方法一：如图，延长ED交AC于点M，过点M作MN⊥AE于点N，
设MN=3m，
∵tan∠AED=32，
∴MNNE=32，
∴NE＝2m，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC=3，
∴∠CAB＝30°，
由翻折可知：
∠EAC＝30°，
∴AM＝2MN＝23m，
∴AN=3MN＝3m，
∵AE＝AB＝3，
∴5m＝3，
∴m=35，
∴AN=95，MN=335，AM=635，
∵AC＝23，
∴CM＝AC﹣AM=435，
∵MN=335，NE＝2m=65，
∴EM=MN2+EN2=375，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝30°，
由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ECD＝30°，
∴CD是∠ECM的角平分线，
∴S△CEDS△CMD=EDMD=CECM，
∴3435=ED375-ED，
解得ED=73．
方法二：
如图，过点D作DM⊥CE，
由折叠可知：∠AEC＝∠B＝90°，
∴AE∥DM，
∵∠ACB＝60°，∠ECD＝30°，
∴∠AED＝∠EDM＝30°，
设EM=3m，由折叠性质可知，EC＝CB=3，
∴CM＝3-3m，
∴tan∠MCD=DMCM=2m3-3m=33，
解得m=13，
∴DM=23，EM=33，
在直角三角形EDM中，DE2＝DM2+EM2，
解得DE=73．
故选：B．
10．（3分）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为31316；
④四边形PCDQ周长的最小值为3+372．
其中，正确结论的序号为（ ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【解答】解：①利用图象法可知PC＞DQ，故①错误．
②∵∠A＝∠B＝60°，∴当∠ADQ＝∠CPB时，△ADQ∽△BPC，故②正确．
③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积=34×32-12×x×32×12-12×3×（3﹣x-12）×32=338+538x，
∵x的最大值为3-12=52，
∴x=52时，四边形PCDQ的面积最大，最大值=31316，故③正确，
如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，此时四边形P′CD′Q′的周长最小．
过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H，交AB于J．
由题意，DD′＝2AD•sin60°=32，HJ=12DD′=34，CJ=332，FH=32-12-14=34，
∴CH＝CJ+HJ=734，
∴CF=FH2+CH2=(34)2+(734)2=392，
∴四边形P′CDQ′的周长的最小值＝3+392，故④错误，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应的位置）
11．（2分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ a（b﹣1）2 ．
【解答】解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；
故答案为：a（b﹣1）2．
12．（2分）2019年我市地区生产总值逼近12000亿元，用科学记数法表示12000是 1.2×104 ．
【解答】解：12000＝1.2×104．
故答案为：1.2×104．
13．（2分）已知圆锥的底面半径为1cm，高为3cm，则它的侧面展开图的面积为＝ 2π cm2．
【解答】解：根据题意可知，圆锥的底面半径r＝1cm，高h=3cm，
∴圆锥的母线l=r2+h2=2，
∴S侧＝πrl＝π×1×2＝2π（cm2）．
故答案为：2π．
14．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝ 115 °．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACE=12∠BCD＝65°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°；
故答案为：115．
15．（2分）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴： y＝x2 ．
【解答】解：∵图象的对称轴是y轴，
∴函数表达式y＝x2（答案不唯一），
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
16．（2分）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是 8 尺．
【解答】解：设绳长是x尺，井深是y尺，依题意有
13x-y=414x-y=1，
解得x=36y=8．
故井深是8尺．
故答案为：8．
17．（2分）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为 （32，﹣9）或（32，6） ．
【解答】解：把点A（6，0）代入y＝ax2﹣3ax+3得，0＝36a﹣18a+3，
解得：a=-16，
∴y=-16x2+12x+3，
∴B（0，3），抛物线的对称轴为x=-122×(-16)=32，
设点M的坐标为：（32，m），
当∠ABM＝90°，
过B作BD⊥对称轴于D，
则∠1＝∠2＝∠3，
∴tan∠2＝tan∠1=63=2，
∴DMBD=2，
∴DM＝3，
∴M（32，6），
当∠M′AB＝90°，
∴tan∠3=M'NAN=tan∠1=63=2，
∴M′N＝9，
∴M′（32，﹣9），
综上所述，点M的坐标为（32，﹣9）或（32，6）．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为 83 ．
【解答】解：如图，过点D作DF∥AE，
则DFAE=BDBA=23，
∵ECAE=13，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO=23DC，
∴S△ADO=23S△ADC，S△BDO=23S△BDC，
∴S△ABO=23S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：12×4×2＝8，
此时△ABO的面积最大为：23×4=83．
故答案为：83．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）（﹣2）2+|﹣5|-16；
（2）a-1a-b-1+bb-a．
【解答】解：（1）原式＝4+5﹣4
＝5；
（2）原式=a-1a-b+1+ba-b
=a-1+1+ba-b
=a+ba-b．
20．（8分）解方程：
（1）x2+x﹣1＝0；
（2）-2x≤04x+1＜5．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
x=-1±52×1，
∴x1=-1+52，x2=-1-52；
（2）-2x≤0①4x+1＜5②，
解①得x≥0，
解②得x＜1，
所以不等式组的解集为0≤x＜1．
21．（8分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
∵AB=CD∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
22．（8分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是 14 ；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率=14；
故答案为14；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4，
所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率=412=13．
23．（6分）小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）
年份
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
收入
3
8
9
a
14
18
支出
1
4
5
6
c
6
存款余额
2
6
10
15
b
34
（1）表格中a＝ 11 ；
（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据）
（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？
【解答】解：（1）10+a﹣6＝15，解得a＝11，
故答案为11；
（2）根据题意得15+14-c=bb+18-6=34，解得b=22c=7，
即存款余额为22万元，
条形统计图补充为：
（3）小李在2018年的支出最多，支出了为7万元．
24．（8分）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM=53，BC＝2，则⊙O的半径为 12 ．
【解答】解：（1）如图直线l，⊙O即为所求．
（2）过点O作OE⊥AB于E．设OE＝ON＝r，
∵BM=53，BC＝2，MN垂直平分线段BC，
∴BN＝CN＝1，
∴MN=BM2-BN2=(53)2-12=43，
∵s△BNM＝S△BNO+S△BOM，
∴12×1×43=12×1×r+12×53×r，
解得r=12．
故答案为12．
25．（8分）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC=3．
（1）求证：△BOC∽△BCD；
（2）求△BCD的周长．
【解答】证明：（1）∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠BOC＝∠D+∠OCD＝30°+90°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝30°，
∴∠DCB＝120°＝∠BOC，
又∵∠B＝∠D＝30°，
∴△BOC∽△BCD；
（2）∵∠D＝30°，DC=3，∠OCD＝90°，
∴DC=3OC=3，DO＝2OC，
∴OC＝1＝OB，DO＝2，
∵∠B＝∠D＝30°，
∴DC＝BC=3，
∴△BCD的周长＝CD+BC+DB=3+3+2+1＝3+23．
26．（10分）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
【解答】解：（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，
y＝2×12（EH+AD）×20x+2×12（GH+CD）×x×60+EF•EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；
（2）EF＝20﹣2x，EH＝30﹣2x，
参考（1），由题意得：y＝（30×30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；
（3）S甲＝2×12（EH+AD）×2x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，
同理S乙＝﹣2x2+40x，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，
∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，
解得：x≤6，
故0＜x≤6，
而y＝﹣400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE=33，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．
【解答】解：（1）当DE=33，
∵AD＝1，
∴tan∠AED=3，AE=233，
∴∠AED＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝60°，
∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，
∴∠AEC＝∠AEM，
∵∠PEC＝∠DEM，
∴∠AEP＝∠AED＝60°，
∴△APE为等边三角形，
∴S=34×（233）2+12×33×1=32；
（2）过E作EF⊥AB于F，
由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PEA，
∴AP＝PE，
设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，
则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，
在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a=x2+12x，
∴S=12⋅x×1+12×x2+12x×1=12x+x2+14x．
28．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
【解答】解：（1）①∵点A在y=14x2的图象上，横坐标为8，
∴A（8，16），
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M（12m，m）．
②假设能在抛物线上，
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为y=-12x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N（﹣2m，m），
∴MN的中点的坐标为（-34m，m），
∴P（-32m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m=329．
（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），
∴直线OA的解析式为y=14ax，
∴M（8a，2），
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y=-4ax，可得N（-a2，2），
∴P（8a-a2，4），代入抛物线的解析式得到，8a-a2=4，
解得a＝42±4，
∴直线OA的解析式为y＝（2±1）x．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为y=-4ax＝﹣（2±1）x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（2±1）x或y＝﹣（2±1）x．
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