2020年上海市青浦区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2020年上海市青浦区中考二模数学试卷（期中），共13页。试卷主要包含了选择题，四象限，那么 k 的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. aa≠0 的倒数是
A. aB. −aC. 1aD. −1a

2. 计算 −2x2 的结果是
A. 2x2B. −2x2C. 4x2D. −4x2

3. 如果反比例函数 y=kx 的图象在二、四象限，那么 k 的取值范围是
A. k>0B. k<0C. k≥0D. k≤0

4. 下列方程中，没有实数根的是
A. x2−2x=0B. x2−2x−1=0C. x2−2x+1=0D. x2−2x+2=0

5. 为了解某校初三 400 名学生的体重情况，从中抽取 50 名学生的体重进行分析．在这项调查中，下列说法正确的是
A. 400 名学生中每位学生是个体
B. 400 名学生是总体
C. 被抽取的 50 名学生是总体的一个样本
D. 样本的容量是 50

6. 如图，点 G 是 △ABC 的重心，连接 AG 并延长交 BC 边于点 D．设 AB=a，GD=b，那么向量 BC 用向量 a，b 表示为
A. BC=3b−2aB. BC=3b+2aC. BC=6b−2aD. BC=6b+2a

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：a3÷a= ．

8. 在实数范围内分解因式 x2−2= ．

9. 函数 y=x+3 的定义域是 ．

10. 不等式组 x+1≥0,2−x>0 的整数解是 ．

11. 如果将直线 y=3x 平移，使其经过点 0,−1，那么平移后的直线表达式是 ．

12. 从 2，3，4，5，6 这五个数中任选一个数，选出的这个数是素数的概率是 ．

13. 如果点 D，E 分别是 △ABC 的 AB，AC 边的中点，那么 △ADE 与 △ABC 的周长之比是 ．

14. 已知点 C 在线段 AB 上，且 0
15. 随机选取 50 粒种子在适宜的温度下做发芽天数的试验，试验的结果如表所示．估计该作物种子发芽的天数的平均数约为 天．
天数123发芽15305

16. 在 △ABC 中，AB=AC=3，BC=2，将 △ABC 绕着点 B 顺时针旋转，如果点 A 落在射线 BC 上的点 Aʹ 处．那么 AAʹ= ．

17. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4．分别以 A，B 为圆心画圆，如果 ⊙A 经过点 C，⊙B 与 ⊙A 相交，那么 ⊙B 的半径 r 的取值范围是 ．

18. 小明学习完 《 相似三角形 》 一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图 1，图 2，直线 CG，DH 分别是两个不相似的 Rt△ABC 和 Rt△DEF 的相似分割线，CG，DH 分别与斜边 AB，EF 交于点 G，H，如果 △BCG 与 △DFH 相似，AC=3，AB=5，DE=4，DF=8，那么 AG= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：3−1−812−13+2+12−2．

20. 解方程：4xx2−4−2x−2=1−1x+2．

21. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC=4，点 D 在边 BC 上，且 BD=3CD，DE⊥AB，垂足为点 E，连接 CE．
（1）求线段 AE 的长；
（2）求 ∠ACE 的余切值．

22. 某湖边健身步道全长 1500 米，甲、乙两人同时从同一起点匀速向终点步行．甲先到达终点后立刻返回，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离 y（米）与出发的时间 x（分）之间的关系如图中 OA−AB 折线所示．
（1）用文字语言描述点 A 的实际意义；
（2）求甲、乙两人的速度及两人相遇时 x 的值．

23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，BE，DF 分别是平行四边形的两个外角的平分线，∠EAF=12∠BAD，边 AE，AF 分别交两条角平分线于点 E，F．
（1）求证：△ABE∽△FDA；
（2）连接 BD，EF，如果 DF2=AD⋅AB，求证：BD=EF．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2−4ax+3 的图象与 x 轴正半轴交于点 A，B，与 y 轴相交于点 C，顶点为 D，且 tan∠CAO=3．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点 P 是对称轴右侧抛物线上的点，连接 CP，交对称轴于点 F，当 \（S_{\triangle CDF}\mathbin{：}S_{\triangle FDP}=2\mathbin{：}3\） 时，求点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将 △PCD 沿直线 MN 翻折，当点 P 恰好与点 O 重合时，折痕 MN 交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，求 OMON 的值．

25. 如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，AB=6，点 C 在半圆 O 上．过点 A 作 AD⊥OC，垂足为点 D，AD 的延长线与弦 BC 交于点 E，与半圆 O 交于点 F（点 F 不与点 B 重合）．
（1）当点 F 为 BC 的中点时，求弦 BC 的长；
（2）设 OD=x，DEAE=y，求 y 与 x 的函数关系式；
（3）当 △AOD 与 △CDE 相似时，求线段 OD 的长．
答案
第一部分
1. C【解析】∵a⋅1a=1a≠0，
∴aa≠0 的倒数是 1a．
2. C【解析】−2x2=4x2．
3. B【解析】∵ 图象在二、四象限，
∴k<0．
4. D【解析】A、 Δ=−22−4×1×0=4>0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、 Δ=−22−4×1×−1=8>0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、 Δ=−22−4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；
D、 Δ=−22−4×1×2=−4<0，方程没有实数根，所以D选项正确．
5. D
【解析】A．400 名学生中每位学生的体重是个体，故本选项不合题意；
B．400 名学生的体重是总体，故本选项不合题意；
C．被抽取的 50 名学生的体重是总体的一个样本，故本选项不合题意；
D．样本的容量是 50，符合题意；
故选：D．
6. C【解析】∵G 是 △ABC 的重心，
∴AG=2DG，
∴AD=3DG，
∴AD=3GD=3b，
∵BD=BA+AD=−a+3b，DB=BD，
∴BC=2BD=6b−2a．
第二部分
7. a2
【解析】原式=a3−1=a2.
8. x+2x−2
【解析】原式=x2−2=x2−22=x+2x−2.
9. x≥−3
【解析】根据题意得：x+3≥0，解得：x≥−3．
10. −1，0，1
【解析】x+1≥0,2−x>0,
∵ 解不等式 x+1≥0 得：x≥−1，
解不等式 2−x>0 得：x<2，
∴ 不等式组的解集为 −1≤x<2，
∴ 不等式组的整数解为 −1，0，1．
11. y=3x−1
【解析】设平移后直线的解析式为 y=3x+b，
把 0,−1 代入直线解析式得 −1=b，
解得 b=−1．
所以平移后直线的解析式为 y=3x−1．
12. 35
【解析】从 2，3，4，5，6 这五个数中任选一个数共有 5 种等可能结果，其中选出的这个数是素数的有 2，3，5 这 3 种结果，所以选出的这个数是素数的概率是 35．
13. 1:2
【解析】∵ 点 D，E 分别是 △ABC 的 AB，AC 边的中点，
∴DE 是 △ABC 的中位线，
∴DEBC=ADAB=AEAC=12，
∴L△ADEL△ABC=DE+AD+AEBC+AB+AC=12．
14. 点 B 在 ⊙C 外
【解析】如图，
∵ 点 C 在线段 AB 上，且 0 ∴BC>AC，
∴ 点 B 在 ⊙C 外．
15. 1.8
【解析】估计该作物种子发芽的天数的平均数约为 1×15+2×30+3×550=1.8（天）．
16. 23
【解析】作 AH⊥BC 于 H，如图．
∵AB=AC=3，BC=2，
∴BH=CH=12BC=1，
∴AH=32−12=22，
∵△ABC 绕着点 B 顺时针旋转，如果点 A 落在射线 BC 上的点 Aʹ 处，
∴BAʹ=BA=3，
∴HAʹ=2，
在 Rt△AHAʹ 中，AAʹ=222+22=23．
17. 2【解析】在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，
由勾股定理得：AB=5，
∵⊙A 经过点 C，
∴AD=AC=3，
∴BD=2，
∵⊙B 与 ⊙A 相交，
∴⊙B 的半径 r 的取值范围是 218. 3
【解析】∵Rt△ABC，AC=3，AB=5，
∴ 由勾股定理得：BC=4，
∵△BCG∽△DFH，
∴BGDH=BCDF，
已知 DF=8，设 AG=x，则 BG=5−x，
∴5−xDH=48，
∴DH=10−2x，
∵△BCG∽△DFH，
∴∠B=∠FDH，∠BGC=∠CHF，
∴∠AGC=∠DHE，
∵∠A+∠B=90∘，∠EDH+∠FDH=90∘，
∴∠A=∠EDH，
∴△AGC∽△DHE，
∴AGDH=ACDE，
又 DE=4，
∴x10−2x=34，
解得：x=3，
经检验，x=3 是原方程的解，且符合题意．
∴AG=3．
故答案为：3．
第三部分
19. 3−1−812−13+2+12−2=3−1−22−3−2+4=3−1−22−3+2+4=−2+3.
20. 去分母得：
4x−2x−4=x2−4−x+2.
即
x2−3x+2=0.
解得：
x=1 或 x=2.
经检验 x=2 是增根，
∴ 分式方程的解为 x=1．
21. （1） ∵BC=4，BD=3CD，
∴BD=3．
∵AB=BC，∠ACB=90∘，
∴∠A=∠B=45∘．
∵DE⊥AB，
∴ 在 Rt△DEB 中，csB=BEBD=22．
∴BE=322，
在 Rt△ACB 中，AB=AC2+BC2=42，
∴AE=522．
（2） 如图，过点 E 作 EH⊥AC 于点 H．
∴ 在 Rt△AHE 中，csA=AHAE=22，
AH=AE⋅cs45∘=52，
∴CH=AC−AH=4−52=32，
∴EH=AH=52，
∴ 在 Rt△CHE 中，ct∠ECB=CHEH=35，即 ∠ECB 的余切值是 35．
22. （1） 点 A 的实际意义为：20 分钟时，甲乙两人相距 500 米．
（2） 根据题意得，V甲=150020=75（米/分），V乙=100020=50（米/分）．
依题意，可列方程：
75x−20+50x−20=500.
解这个方程，得
x=24.
答：甲的速度是每分钟 75 米，乙的速度是每分钟 50 米，两人相遇时 x 的值为 24．
23. （1） ∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE=12∠BAD，
∵DF 平分 ∠HDC，
∴∠HDF=12∠HDC，
又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD=∠CDH，
∴∠HDF=∠EAF，
∴∠HDF=∠DAF+∠BAE，
又 ∵∠HDF=∠DAF+∠F，
∴∠BAE=∠F，同理：∠DAF=∠E，
∴△ABE∽△FDA．
（2） 作 AP 平分 ∠DAB 交 CD 于点 P．
∴∠DAP=12∠BAD，
∵∠HDF=12∠CDH，且 ∠BAD=∠CDH，
∴∠HDF=∠DAP，
∴DF∥AP，同理：BE∥AP，
∴DF∥BE，
∵△ABE∽△FDA，
∴ADBE=DFAB，即 BE⋅DF=AD⋅AB，
又 ∵DF2=AD⋅AB，
∴BE=DF，
∴ 四边形 DFEB 是平行四边形，
∴BD=EF．
24. （1） ∵ 二次函数 y=ax2−4ax+3 的图象与 y 轴交于点 C，
∴ 点 C 的坐标为 0,3，
∴OC=3，
连接 AC，
在 Rt△AOC 中，tan∠CAO=OCOA=3，
∴OA=1，
将点 A1,0 代入 y=ax2−4ax+3，得 a−4a+3=0，
解得：a=1．
∴ 这个二次函数的解析式为 y=x2−4x+3．
（2） 过点 C 作 CG⊥DF，过点 P 作 PQ⊥DF，垂足分别为点 G，Q．
∵ 抛物线 y=x2−4x+3 的对称轴为直线 x=2，
∴CG=2，
∵S△CDFS△FDP=CGPQ=23，
∴PQ=3，
∴ 点 P 的横坐标为 5，
∴ 把 x=5 代入 y=x2−4x+3，得 y=8，
∴ 点 P 的坐标为 5,8．
（3） 过点 P 作 PH⊥OM，垂足分别为点 H，
∵ 点 P 的坐标为 5,8，
∴OH=5，PH=8，
∵ 将 △PCD 沿直线 MN 翻折，点 P 恰好与点 O 重合，
∴MN⊥OP，
∴∠ONM+∠NOP=90∘，
又 ∵∠POH+∠NOP=90∘，
∴∠ONM=∠POH，
∴tan∠ONM=OMON=tan∠POM=PHOH=85．
25. （1） 如图 1，连接 OF，交 BC 于点 H．
∵F 是 BC 中点，
∴OF⊥BC，BC=2BH．
∴∠BOF=∠COF．
∵OA=OF，OC⊥AF，
∴∠AOC=∠COF，
∴∠AOC=∠COF=∠BOF=60∘，
在 Rt△BOH 中，sin∠BOH=BHOB=32，
∵AB=6，
∴OB=3，
∴BH=332，
∴BC=2BH=33．
（2） 如图 2，连接 BF．
∵AF⊥OC，垂足为点 D，
∴AD=DF．
又 ∵OA=OB，
∴OD∥BF，BF=2OD=2x．
∴DEEF=CDBF=3−x2x，
∴DEDF=3−x3+x，即 DEAD=3−x3+x，
∴DEAE=3−x6，
∴y=3−x6．
（3） △AOD 和 △CDE 相似，分两种情况：
①当 ∠DCE=∠DOA 时，AB∥CB，不符合题意，舍去．
②当 ∠DCE=∠DAO 时，连接 OF．
∵OA=OF，OB=OC，
∴∠OAF=∠OFA，∠OCB=∠OBC．
∵∠DCE=∠DAO，
∴∠OAF=∠OFA=∠OCB=∠OBC．
∵∠AOD=∠OCB+∠OBC=2∠OAF，
∴∠OAF=30∘，
∴OD=12OA=32，即线段 OD 的长为 32．