2020年上海市静安区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2020年上海市静安区中考二模数学试卷（期中），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的为
A. 3aB. a3C. 27aD. a3

2. 一天时间为 86400 秒，用科学记数法表示这一数据是
A. 864×102B. 86.4×103C. 8.64×104D. 0.864×105

3. 如果关于 x 的方程 x2+2x+m=0 有实数根，那么 m 的取值范围是
A. m<1B. m≤1C. m>1D. m≥1

4. 体育课上，甲同学练习双手头上前掷实心球，测得他 5 次投掷的成绩为：8，8.5，9.2，8.5，8.8（单位：米），那么这组数据的平均数、中位数分别是
A. 8.5，8.6B. 8.5，8.5C. 8.6，9.2D. 8.6，8.5

5. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，那么下列条件中，能判断平行四边形 ABCD 是菱形的为
A. AO=COB. AO=BO
C. ∠AOB=∠BOCD. ∠BAD=∠ABC

6. 如图，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转得到 △ADE，其中点 B，C 分别与点 D，E 对应，如果 B，D，C 三点恰好在同一直线上，那么下列结论错误的是
A. ∠ACB=∠AEDB. ∠BAD=∠CAE
C. ∠ADE=∠ACED. ∠DAC=∠CDE

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：a11÷a7= ．

8. 因式分解：x2−9= ．

9. 不等式组 3x+2>x,x−1<0 的解集是 ．

10. 方程 x−4⋅x+2=0 的根为 ．

11. 如果反比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象经过点 −5,−1，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随 x 的值增大而 （填“增大”或“减小”）．

12. 在四张完全相同的卡片上，分别画有：正三角形、正八边形、圆和矩形．如果从中任意抽取 1 张卡片，那么这张卡片上所画图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ．

13. 为了解某区 24000 名初中生平均每天的体锻时间，随机调查了该区 300 名初中生．如图是根据调查结果绘制成的频数分布直方图（每小组数据含最小值，不含最大值），由此可估计该区初中生平均每天的体锻时间不少于 1.5 小时的人数大约为 人．

14. 运输两批救援物资：第一批 220 吨，用 4 节火车皮和 5 辆货车正好装完；第二批 158 吨，用 3 节火车皮 和 2 辆货车正好装完．如果每节火车皮的运载量相同，每辆货车的运载量相同，那么一节火车皮和一辆货车共装救援物资 吨．

15. 如图，在 △ABC 中，点 D 在边 AB 上，AB=4AD，设 AB=a，AC=b，那么向量 DC 用向量 a，b 表示为 ．

16. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，∠CEA=30∘，OF⊥CD，垂足为点 F，DE=5，OF=1，那么 CD= ．

17. 已知矩形 ABCD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB=6，BC=8，分别以点 O，D 为圆心画圆，如果 ⊙O 与直线 AD 相交、与直线 CD 相离，且 ⊙D 与 ⊙O 内切，那么 ⊙D 的半径长 r 的取值范围是 ．

18. 如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=90∘，DC=AD，∠B 是锐角，ctB=512，AB=17．如果点 E 在梯形的边上，CE 是梯形 ABCD 的“等分周长线”，那么 △BCE 的周长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：2−12+12−2+12+1−812．

20. 解方程：1x+1+2x2−1=1．

21. 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=12，csB=23，D，E 分别是 AB，BC 边上的中点，AE 与 CD 相交于点 G．
（1）求 CG 的长；
（2）求 tan∠BAE 的值．

22. 疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A，B两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案．
A公司方案：无纺布的价格 y（万元）与其重量 x（吨）是如图所示的函数关系；
B公司方案：无纺布不超过 30 吨时，每吨收费 2 万元；超过 30 吨时，超过的部分每吨收费 1.9 万元．
（1）求如图所示的 y 与 x 的函数解析式；（不要求写出定义域）
（2）如果甲厂所需购买的无纺布是 40 吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少．

23. 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 BA 至点 E，使得 AE=AB，连接 DE，AC．点 F 在线段 DE 上，连接 BF，分别交 AC，AD 于点 G，H．
（1）求证：BG=GF；
（2）如果 AC=2AB，点 F 是 DE 的中点，求证：AH2=GH⋅BH．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），已知抛物线 y=−12x2+bx+c（其中 b，c 是常数）经过点 A−2,−2 与点 B0,4，顶点为 M．
（1）求该抛物线的表达式与点 M 的坐标；
（2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与 y 轴交于点 C（点 C 在点 B 的下方），且 △BCM 的面积为 3．新抛物线的对称轴 l 经过点 A，直线 l 与 x 轴交于点 D．
①求点 A 随抛物线平移后对应点坐标；
②点 E，G 在新抛物线上，且关于直线 l 对称，如果正方形 DEFG 的顶点 F 在第二象限内，求点 F 的坐标．

25. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=15，sin∠BAC=45．点 D 在边 AB 上（不与点 A，B 合），以 AD 为半径的 ⊙A 与射线 AC 相交于点 E 射线 DE 与射线 BC 相交于点 F，射线 AF 与 ⊙A 交于点 G．
（1）如图，设 AD=x，用 x 的代数式表示 DE 的长；
（2）如果点 E 是 DG 的中点，求 ∠DFA 的余切值；
（3）如果 △AFD 为直角三角形，求 DE 的长．
答案
第一部分
1. A【解析】A．3a 是最简二次根式，则此项符合题意；
B．a3=a2⋅a=aa，则 a3 不是最简二次根式，此项不符合题意；
C．27a=33a，则 27a 不是最简二次根式，此项不符合题意；
D．a3=3a3，则 a3 不是最简二次根式，此项不符合题意．
2. C【解析】86400=8.64×104．
3. B【解析】由题意得：此方程的根的判别式 Δ=22−4×1⋅m≥0，解得 m≤1．
4. D【解析】由平均数的计算公式得：这组数据的平均数为 15×8+8.5+9.2+8.5+8.8=8.6．
将这组数据按从小到大的顺序进行排序为 8，8.5，8.5，8.8，9.2，
则这组数据的中位数为 8.5．
5. C
【解析】A、由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，则此项不符题意；
B、由平行四边形 ABCD 中 AO=BO 可推得 AC=BD，可以证明平行四边形 ABCD 为矩形，但不能判定平行四边形 ABCD 为菱形，则此项不符题意；
C、当 ∠AOB=∠BOC 时，因为 ∠AOB+∠BOC=180∘，所以 ∠AOB=∠BOC=90∘，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知平行四边在 ABCD 是菱形，则此项符合题意；
D、由平行四边形的性质可知，∠BAD+∠ABC=180∘，故当 ∠BAD=∠ABC 时，可推出 ∠BAD=∠ABC=90∘，从而可判定平行四边形 ABCD 为矩形，则此项不符题意；
故选：C．
6. D【解析】∵△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到 △ADE，
∴∠ACB=∠AED，则A选项的结论正确；
由旋转的性质可得 ∠BAC=∠DAE，
即 ∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，则B选项的结论正确；
∵△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到 △ADE，
∴∠ADE=∠B，AB=AD，AC=AE，
∴△ABD 和 △ACE 都是等腰三角形，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠B=∠ACE，
∴∠ADE=∠ACE，则C选项的结论正确；
∵∠ADC=∠B+∠BAD，即 ∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
又 ∵∠ADE=∠B，
∴∠CDE=∠BAD，
∵AD 不能确定平分 ∠BAC，
∴∠BAD 不能确定等于 ∠DAC，
∴∠CDE 不能确定等于 ∠DAC，则D选项的结论错误．
故选：D．
第二部分
7. a4
【解析】a11÷a7=a4．
8. x+3x−3
【解析】原式=x+3x−3．
9. −1【解析】解不等式 3x+2>x，得：x>−1；
解不等式 x−1<0，得：x<1；
则不等式组的解集为 −110. x=4
【解析】根据题意得 x−4=0 或 x+2=0，
解得 x=4 或 x=−2，
经检验 x=4 为原方程的解．
故答案为：x=4．
11. 减小
【解析】反比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象经过点 −5,−1，
所以 k=−5×−1=5>0，
所以这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随自变量 x 值的增大而减小．
12. 34
【解析】正三角形、正八边形、圆和矩形中既是轴对称图形又是中心对称图形是正八边形、圆和矩形．
∴ 这张卡片上所画图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 34．
13. 4800
【解析】估计该区初中生平均每天的体锻时间不少于 1.5 小时的人数大约为 24000×300−20−100−120300=4800（人）．
14. 54
【解析】设一节火车皮装救援物资 x 吨，一辆货车装救援物资 y 吨，
由题意得：4x+5y=220,3x+2y=158,，
解得：x=50,y=4,
则一节火车皮和一辆货车共装救援物资：50+4=54（吨），
故答案为：54．
15. −14a+b
【解析】∵AB=4AD，
∴AD=14AB，
∴AD=14AB，
∵DC=DA+AC，
∴DC=−14a+b．
16. 10−23
【解析】∵AB 是 ⊙O 的直径，OF⊥CD，
根据垂径定理可知：CF=DF，
∵∠CEA=30∘，
∴∠OEF=30∘，
∴OE=2，EF=3，
∴DF=DE−EF=5−3，
∴CD=2DF=10−23．
17. 8【解析】设 ⊙O 半径为 r1，⊙D 半径为 r．
由 ⊙O 与直线 AD 相交、与直线 CD 相离可知：3由题意可知：r>r1，否则 ⊙D 与 ⊙O 不能内切，
∵OD=12AC=5，
∴ 圆心距 d=5，
∴d=r−r1，
∴r=5+r1，
∴818. 42
【解析】作 CH⊥AB 于 H，设 BH=5a，
∵ctB=512，
∴BHCH=512，
∴CH=12a，
∵AB∥CD，
∴∠D=∠A=90∘，
又 CH⊥AB，
∴ 四边形 ADCH 为矩形，
∴AD=CH=12a，CD=AH，
∵DC=AD，
∴AH=CD=12a，
由题意得，12a+5a=17，
解得，a=1，
∴AD=CD=AH=12，BH=5，
在 Rt△CHB 中，BC=CH2+BH2=13，
∴ 四边形 ABCD 的周长 =12+12+17+13=54，
∵CE 是梯形 ABCD 的“等分周长线”，
∴ 点 E 在 AB 上，
∴AE=17+13−27=3，
∴EH=12−3=9，
由勾股定理得，EC=CH2+EH2=15，
∴△BCE 的周长 =14+13+15=42．
第三部分
19. 原式=3−22+4+2−1−22=3−22+4+2−1−22=6−32.
20. 去分母得：
x−1+2=x2−1.
整理得：
x2−x−2=0.
解得：
x1=−1,x2=2.
经检验：x=−1 是增根，舍去；
x=2 是原方程的根．
∴ 原方程的根是 x=2．
21. （1） ∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=12，csB=23，
∴AB=BCcsB=1223=18，
∵D 是边上的中点，
∴CD=12AB=9，
又 ∵ 点 E 是 BC 边上的中点，
∴ 点 G 是 △ABC 的重心，
∴CG=23CD=23×9=6．
（2） ∵ 点 E 是 BC 边上的中点，
∴CE=BE=12BC=6，
过点 E 作 EF⊥AB，垂足为 F，
∵ 在 Rt△BEF 中，csB=23，BF=BE⋅csB=6×23=4，
∴EF=BE2−BF2=62−42=25，
∵AF=AB−BF=18−4=14，
∴tan∠BAE=EFAF=2514=57．
22. （1） 设一次函数的解析式为 y=kx+b（k，b 为常数，k≠0），
由一次函数的图象可知，其经过点 0,0.8，10,20.3，
代入得 0+b=0.8,10k+b=20.3,
解得 k=1.95,b=0.8,
∴ 这个一次函数的解析式为 y=1.95x+0.8．
（2） 如果在A公司购买，所需的费用为：y=1.95×40+0.8=78.8 万元；
如果在B公司购买，所需的费用为：2×30+1.9×40−30=79 万元；
∵78.8<79，
∴ 在A公司购买费用较少．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AB=AE，
∴AE=CD，
∴ 四边形 ACDE 是平行四边形，
∴AC∥DE，
∴BGGF=ABAE=1，
∴BG=GF．
（2） ∵AB=AE，
∴BE=2AE，
∵AC=2AB，
∴BE=AC，
∵ 四边形 ACDE 是平行四边形，
∴AC=DE，
∴DE=BE，
∵ 点 F 是 DE 的中点，
∴DE=2EF，
∴AE=EF，
∵DE=BE，∠E=∠E，AE=EF，
∴△BEF≌△DEASAS，
∴∠EBF=∠EDA，
∵AC∥DE，
∴∠GAH=∠EDA．
∴∠EBF=∠GAH．
∵∠AHG=∠BHA，
∴△AHG∽△BHA，
∴AHBH=GHAH，
∴AH2=GH⋅BH．
24. （1） 将 A−2,−2，B0,4 代入 y=−12x2+bx+c 中，
−12×−22−2b+c=−2,0+0+c=4, 解得 b=2,c=4.
∴ 该抛物线的表达式为 y=−12x2+2x+4；
∵y=−12x2+2x+4=−12x−22+6，
∴ 顶点 M 的坐标是 2,6．
（2） ① ∵ 平移后抛物线的对称轴经过点 A−2,−2，
∴ 可设平移后的抛物线表达式为 y=−12x+22+k，
∴C0,−2+k．
∴S△BCM=12BC⋅2=124−−2+k⋅2=3，解得 k=3．
∴y=−12x+22+3，
即原抛物线向左平移 4 个单位，向下平移 3 个单位可以得到新的抛物线．
∴ 点 A 对应点的坐标为 −6,−5；
②设 EG 与 DF 的交点为 H．
在正方形 DEFG 中，EG⊥DF，EG=DF=2EH=2DH．
∵ 点 E，G 是这条抛物线上的一对对称点，
∴EG∥x 轴．
∴DF⊥x 轴，
设 F−2,2a．
∵ 点 F 在第二象限内，
∴a>0．
∴EG=DF=2EH=2DH=2a．
不妨设点 E 在点 G 的右侧，那么 E−2+a,a．
将点 E 代入 y=−12x+22+3，得 −12a2+3=a，
解得 a1=7−1，a2=−7−1（不合题意，舍去）．
∴F−2,27−2．
25. （1） 如图，过点 D 作 DH⊥AC，垂足为 H．
在 Rt△AEH 中，DH=AD⋅sin∠BAC=45x，AH=AD2−DH2=35x．
在 ⊙A 中，AE=AD=x，
∴EH=AE−AD=x−35x=25x，
∴DE=EH2+DH2=255x．
（2） ∵sin∠BAC=BCAB=45，
∴ 可设 BC=4kk>0，AB=5k，则 AC=AB2−BC2=3k．
∵AC=15，
∴3k=15，
∴k=5．
∴BC=20，AB=25．
∵ 点 E 是 DG 的中点，由题意可知此时点 E 在边 AC 上，点 F 在 BC 的延长线上，
∴∠FAC=∠BAC．
∵∠FCA=∠BCA=90∘，AC=AC，
∴△FCA≌△BCAASA，
∴FC=BC=20．
∵tan∠AED=DHEH=45x25x=2，
又 ∵∠AED=∠FEC，且 ∠AED，∠FEC 都为锐角，
∴tan∠FEC=2．
∴EC=FCtan∠FEC=202=10．
∴AE=AC−EC=15−10=5．
过点 A 作 AM⊥DE，垂足为 M，
则 EM=12ED=12×255×5=5．
∵sin∠AED=DHED=45x255x=255，
∴AM=AE⋅sin∠AED=255×5=25．
在 Rt△EFC 中，EF=EC2+FC2=105．
∴ 在 Rt△AFM 中，ct∠AFD=FMAM=FE+EMAH=105+525=112．
答：∠DFA 的余切值为 112．
（3） 当点 E 在 AC 上时，只有可能 ∠FAD=90∘．
∵FC=CE⋅tan∠FEC=215−x，
∴EF=EC2+FC2=515−x．
∴FD=EF+ED=515−x+255x=155−355x．
∵cs∠AED=EHDE=55，
又 ∵∠AED=∠ADE，且 ∠AED，∠ADE 都为锐角，
∴cs∠ADE=cs∠AED=55．
∴cs∠ADE=ADDF=x155−355x=55．
∴AD=x=758．
∴DE=255x=255×758=1554．
当点 E 在 AC 的延长线上时，只有可能 ∠AFD=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠AEF+∠CFE=90∘=∠AFC+∠CFE，
∴∠AFC=∠AEF．
∵∠AFC，∠AEF 都为锐角，
∴tan∠AEF=tan∠AFC=2．
∵CE=AE−AC=x−15，
∴CF=CE⋅tan∠AEF=2x−15．
∴tan∠AFC=ACCF=152x−15=2．
∴AD=x=754．
∴DE=255x=255×754=1552．
综上所述，△AFD 为直角三角形时，DE 的长为 1554 或 1552．