2020年北京市门头沟区中考一模数学试卷

这是一份2020年北京市门头沟区中考一模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 2019 年 10 月 1 日，庆祝中华人民共和国成立 70 周年大会在北京天安门广场隆重举行．10 月 3 日微博观看互动量累计达到 19280000 次，将 19280000 用科学记数法表示为
A. 1.928×104B. 1928×104C. 1.928×107D. 0.1928×108

2. 剪纸艺术是中国古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 某个几何体的展开图如图所示，该几何体是
A. 三棱柱B. 三棱锥C. 圆锥D. 圆柱

4. 如果一个多边形的每一个外角都等于 60∘，那么这个多边形是
A. 六边形B. 七边形C. 八边形D. 九边形

5. 不等式组 2x+3≥x+4,3x>5x−4 的解集为
A. −2≤x<2B. −22

6. 点 A，B 在数轴上的位置如图所示，如果点 C 也在数轴上，且 B 和 C 两点间的距离是 1，那么 AC 长度为
A. 2B. 4C. 2 或 4D. 0 或 2

7. 已知，如图，在菱形 ABCD 中．
（1）分别以 C，D 为圆心，大于 12CD 长为半径作弧，两弧分别交于点 E，F；
（2）作直线 EF，且直线 EF 恰好经过点 A，且与边 CD 交于点 M；
（3）连接 BM．
根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是
A. ∠ABC=60∘B. 如果 AB=2，那么 BM=4
C. BC=2CMD. S△ABM=2S△ADM

8. 随着智能手机的普及，“支付宝支付”和“微信支付”等手机支付方式倍受广大消费者的青睐，某商场对 2019 年 7−12 月中使用这两种手机支付方式的情况进行统计，得到如图所示的折线图，根据统计图中的信息，得出以下四个推断，其中不合理的是
A. 6 个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多
B. 6 个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大
C. 6 个月中 11 月份使用手机支付的总次数最多
D. 9 月份平均每天使用手机支付的次数比 12 月份平均每天使用手机支付的次数多

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如果 x−2 在实数范围内有意义，那么实数 x 的取值范围是 ．

10. 如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C 是网格线交点，那么 ∠CAB ∠CBA（填“>”“<”或“=”）．

11. 在数学证明中，当证明一个命题是假命题时，常常采用举反例的办法．如果用一组 a，b 的值说明命题“如果 a>b，那么 ab>b2”是错误的，那么这样的一组值中，a= ，b= ．

12. 小明先将图 1 中的矩形沿虚线剪开分成四个全等的小矩形，再将这四个小矩形拼成如图 2 的正方形，那么图 1 中矩形的面积为 ．

13. 一次函数的图象经过点 0,2，且函数 y 随自变量 x 的增大而增大．写出一个符合条件的一次函数表达式 ．

14. 抗击肺炎期间，小明准备借助网络评价选取一家店铺，购置防护用品．他先后选取三家店铺，对每家店铺随机选取了 1000 条网络评价，统计结果如下：
小明选择在 （填“甲”“乙”“丙”）店铺购买防护用品，能获得良好的购物体验（即评价不低于四星）的可能性最大．

15. 如图，直线 l1⊥l2，在某平面直角坐标系中，x轴∥l1，y轴∥l2，点 A 的坐标为 −1,2，点 B 的坐标为 2,−1，那么点 C 在第 象限．

16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，B3,0，△AOB 是等边三角形，动点 P 从点 B 出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 BO 匀速运动，动点 Q 同时从点 A 出发以同样的速度沿 OA 延长线方向匀速运动，当点 P 到达点 O 时，点 P，Q 同时停止运动．过点 P 作 PE⊥AB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D．设运动时间为 t 秒，得出下面三个结论：
①当 t=1 时，△OPQ 为直角三角形；
②当 t=2 时，以 AQ，AE 为边的平行四边形的第四个顶点在 ∠AOB 的平分线上；
③当 t 为任意值时，DE=12AB．
所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：−3−π−20200−2sin60∘+13−1．

18. 已知 a≠0，a+b≠0 且 a−b=1，求代数式 a2−b22a2+2ab÷a−2ab−b2a 的值．

19. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−3x+m+1=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）如果 m 是非负整数，且该方程的根是整数，求 m 的值．

20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD⊥AB 于 D，CE∥AB，EB∥CD，连接 DE 交 BC 于点 O．
（1）求证：DE=BC；
（2）如果 AC=5，tan∠ACD=12，求 DE 的长．

21. 在推进城乡生活垃圾分类的行动中，为了了解社区居民对垃圾分类知识的掌握情况，某社区随机抽取 40 名居民进行测试，并对他们的得分数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．社区 40 名居民得分的频数分布直方图：（数据分成 5 组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100）：
b．社区居民得分在 80≤x<90 这一组的是：
80 80 81 82 83 84 84 85 85 85 86 86 87 89c
．40 个社区居民的年龄和垃圾分类知识得分情况统计图：
d．社区居民甲的垃圾分类知识得分为 89 分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）社区居民甲的得分在抽取的 40 名居民得分中从高到低排名第 ；
（2）在垃圾分类得分比居民甲得分高的居民中，居民年龄最大约是 岁；
（3）下列推断合理的是 ．
①相比于点 A 所代表的社区居民，居民甲的得分略高一些，说明青年人比老年人垃圾分类知识掌握得更好一些；
②垃圾分类知识得分在 90 分以上的社区居民年龄主要集中在 15 岁到 35 岁之间，说明青年人垃圾分类知识掌握更为全面，他们可以向身边的老年人多宣传垃圾分类知识．

22. 如图，∠APB，点 C 在射线 PB 上，PC 为 ⊙O 的直径，在 ∠APB 内部且到 ∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形 M，图形 M 交 ⊙O 于 D，过点 D 作直线 DE⊥PA，分别交射线 PA，PB 于 E，F．
（1）根据题意补全图形；
（2）求证：DE 是 ⊙O 的切线；
（3）如果 PC=2CF，且 DF=3，求 PE 的长．

23. 疫情期间，甲、乙、丙、丁 4 名同学约定周一至周五每天做一组俯卧撑．为了增加趣味性，他们通过游戏方式确定每个人每天的训练计划．
首先，按如图方式摆放五张卡片，正面标有不同的数字代表每天做俯卧撑的个数，反面标有 x1，x2，x3，x4，x5 便于记录．
x1x2x3x4x5
具体游戏规则如下：
甲同学：同时翻开 x1，x2，将两个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，x3，x4，x5 按原顺序记录在表格中；
乙同学：同时翻开 x1，x2，x3，将三个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，x4，x5 按原顺序记录在表格中；
⋯⋯
以此类推，到丁同学时，五张卡片全部翻开，并由小到大记录在表格中．
下表记录的是这四名同学五天的训练计划：
根据记录结果解决问题：
（1）补全上表中丙同学的训练计划；
（2）已知每名同学每天至少做 30 个，五天最多做 180 个．
①如果 x2=36，x3=40，那么 x1 所有可能取值为 ；
②这四名同学星期 做俯卧撑的总个数最多，总个数最多为 个．

24. 如图，点 M 是 ⊙O 直径 AB 上一定点，点 C 是直径 AB 上一个动点，过点 C 作 CD⊥AB 交 ⊙O 于点 D，作射线 DM 交 ⊙O 于点 N，连接 BD．
小勇根据学习函数的经验，对线段 AC，BD，MN 的长度之间的数量关系进行了探究．
下面是小勇的探究过程，请补充完整：
（1）对于点 C 在 AB 的不同位置，画图，测量，得到了线段 AC，BD，MN 的长度的几组值，如下表：
位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置
在 AC，BD，MN 的长度这三个量中，如果选择 的长度为自变量，那么 的长度和 的长度为这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中确定的函数的图象；
（3）结合函数图象解决问题：当 BD=MN 时，线段 AC 的长度约为 cm（结果精确到 0.1）．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=x+mm≠0 的图象与 y 轴交于点 A，过点 B0,2m 且平行于 x 轴的直线与一次函数 y=x+mm≠0 的图象，反比例函数 y=4mx 的图象分别交于点 C，D．
（1）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示）；
（2）当 m=1 时，用等式表示线段 BD 与 CD 长度之间的数量关系，并说明理由；
（3）当 BD≤CD 时，直接写出 m 的取值范围．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=−ax+3 的图象与 y 轴交于点 A，与抛物线 y=ax2−2ax−3aa≠0 的对称轴交于点 B，将点 A 向右平移 5 个单位得到点 C，连接 AB，AC 得到的折线段记为图形G．
（1）求出抛物线的对称轴和点 C 坐标；
（2）①当 a=−1 时，直接写出抛物线 y=ax2−2ax−3a 与图形G的公共点个数．
②如果抛物线 y=ax2−2ax−3a 与图形G有且只有一个公共点，求出 a 的取值范围．

27. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，点 D 在 AB 上，连接 CD，并将 CD 绕点 D 逆时针旋转 60∘ 得到 DE，连接 AE．
（1）如图 1，当点 D 为 AB 中点时，直接写出 DE 与 AE 长度之间的数量关系；
（2）如图 2，当点 D 在线段 AB 上时，
①根据题意补全图 2；
②猜想 DE 与 AE 长度之间的数量关系，并证明．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的任意点 Px,y，如果满足 x+y=a（x≥0，a 为常数），那么我们称这样的点叫做“特征点”．
（1）当 2≤a≤3 时，
①在点 A1,2，B1,3，C2.5,0 中，满足此条件的特征点为 ；
② ⊙W 的圆心为 Wm,0，半径为 1，如果 ⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出 m 的取值范围；
（2）已知函数 Z=1x+xx>0，请利用特征点求出该函数的最小值．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. D
4. A
5. A
6. C
7. B
8. B
第二部分
9. x≥2
10. >
11. 不唯一，不唯一
12. 12
13. 不唯一
14. 甲
15. 一
16. ①③
第三部分
17. −3−π−20200−2sin60∘+13−1=3−1−2×32+3=2.
18. a2−b22a2+2ab÷a−2ab−b2a=a+ba−b2aa+b÷a2a−2ab−b2a=a+ba−b2aa+b÷a2−2ab+b2a=a+ba−b2aa+b⋅aa−b2=12a−b.
因为 a−b=1，
所以 原式=12a−b=12．
19. （1） 由题意，得 Δ=−32−4×1×m+1=9−4m−4=5−4m>0，
解得 m<54．
（2） ∵m 为非负整数，
∴m=0 或 m=1．
∵ 该方程的根是整数，
∴m=1．
20. （1） ∵ 在四边形 CDBE 中，CE∥AB，EB∥CD，
∴ 四边形 CDBE 是平行四边形．
∵CD⊥AB 于 D，
∴∠CDB=90∘．
∴ 四边形 CDBE 是矩形．
∴DE=BC．
（2） ∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD+∠BCD=90∘．
∵∠CDB=90∘，
∴∠CBD+∠BCD=90∘．
∴∠ACD=∠CBD．
∴ 在 Rt△CDB 中，∠CDB=90∘，
tan∠CBD=tan∠ACD=ACBC=12，
∵AC=5，
∴BC=10．
∴DE=BC=10．
21. （1） 8
（2） 45
（3） ②
22. （1） 如图所示，补全图形．
（2） 连接 OD．
∵DE⊥PA，
∴∠PED=90∘．
∵ 依题意，PD 是 ∠APB 的角平分线，
∴∠APD=∠DPB．
∵OP=OD，
∴∠DPB=∠PDO．
∴∠APD=∠PDO．
∴AP∥OD．
∴∠ODF=∠PED=90∘．
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（3） ∵PC=2CF，
∴ 设 CF=x，那么 PC=2x，OD=x．
∵∠ODF=90∘，
∴ 在 Rt△ODF 中，OD=12OF．
又 ∵DF=3，
∴OD=1，OF=2，PF=3．
∵ 在 Rt△PEF 中，∠PEF=90∘，
∴sin∠DFP=PEPF=ODOF=12．
∴PE=32．
23. （1） 略
（2） 41，42，43；三；162
24. （1） 答案不唯一
（2） 略．
（3） 5.3
25. （1） ∵ 过点 B0,2m 且平行于 x 轴的直线与反比例函数 y=4mx 的图象交于点 D，
∴2m=4mx，x=2．
∴D2,2m．
（2） ①当 m=1 时，B0,2，D2,2．
∵ 过点 B0,2m 且平行于 x 轴的直线与一次函数 y=x+mm≠0 的图象交于点 C，
∴Cm,2m．
∴C1,2．
∴BD=2CD．
（3） m≥4 或 m<0．
26. （1） ∵ 抛物线 y=ax2−2ax−3aa≠0，
∴ 对称轴 x=−−2a2a=1．
∵ 直线 y=−ax+3 与 y 轴交于点 A，
∴A0,3．
∴ 将点 A 向右平移 5 个单位得到点 C，
∴C5,3．
（2） ① 3 个．
②由（1）得，抛物线的顶点为 1,−4a．
当 a<0 时，由①得，a=−1 时，抛物线过点 A，B，
∴ 当 a<−1 时，抛物线与图形G有且只有一个公共点．
当抛物线顶点在 AC 上时，
∴−4a=3，a=−34．
当 a>0 时，抛物线过点 C，
∴25a−10a−3a=3，a=14．
∴ 当 a<−1 或 a≥14 或 a=−34 时，抛物线与图形G有且只有一个公共点．
【解析】①
27. （1） DE=AE．
（2） ①补全图形；
② DE=AE．
证明：取 AB 的中点 F，连接 CE，EF，CF，
∵∠ACB=90∘，
∴CF=12AB=AF=BF，
又 ∵∠CAB=30∘，
∴∠ABC=60∘，
∴△BCF 为等边三角形，
∴∠FCB=∠2+∠3=60∘，CF=BF=BC，
∵ 将 CD 绕点 D 逆时针旋转 60∘ 得到 DE，
∴△DCE 为等边三角形，
∴∠DCE=∠2+∠1=60∘，CD=CE=DE，
∴∠1=∠3，
在 △ECF 和 △DCB 中，
CD=CE，∠1=∠3，CF=BC，
∴△ECF≌△DCB，
∴∠5=∠ABC=60∘．
又 ∵△BCF 为等边三角形，
∴∠6=60∘，
∵∠4+∠5+∠6=180∘，
∴∠4=60∘=∠5，
在 △ECF 和 △EAF 中，
CF=AF，∠4=∠5，FE=FE，
∴△ECF≌△EAF，
∴CE=AE，
又 ∵CE=DE，
∴DE=AE．
28. （1） ① A1,2，C2.5,0；
② 2−2≤m≤3+2．
（2） 根据 x>0，在第一象限画出 y=1x 的图象，
∴ 在此坐标系中图象上的点就是 x,1x．
∵ 特征点满足 x+y=a（x≥0，a 为常数），
∴ 在此图象上对应的就是 x+1x=a．
∴ 将特征点的图象由原点向外扩大，当与反比例函数 y=1x 的图象第一次有交点时，x+1x 出现最小值，易求交点为 1,1．
∴Z=1x+xx>0 的最小值为 2．