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2021年上海市金山区中考数学二模试题（word版 含答案）
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这是一份2021年上海市金山区中考数学二模试题（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年上海市金山区中考数学二模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知x＞y，那么下列正确的是（ ）
A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y
3．已知正比例函数的图象经过点，那么这个正比例函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x
4．某人统计九年级一个班35人的身高时，算出平均数与中位数都是158厘米，但后来发现其中一位同学的身高记录错误，将160厘米写成了166厘米，经重新计算后，正确的中位数是a厘米，那么中位数a应（ ）
A．大于158 B．小于158 C．等于158 D．无法判断
5．已知三条线段长分别为2cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（ ）
A．1cm B．2cm C．4cm D．7cm
6．已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）．
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
二、填空题
7．因式分解：﹣4＝_____．
8．已知f（x）＝，那么f（2）＝_____．
9．如果反比例函数y＝（m是常数，m≠1）的图象，在每个象限内y随着x的增大而减小，那么m的取值范围是_____．
10．方程的解是_____．
11．如果从方程x+1＝0，x2﹣2x﹣1＝0，x中任意选取一个方程，那么取到的方程是整式方程的概率是_____．
12．关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围______．
13．为了了解某校初三学生在体育测试中报名球类的情况，随机调查了40名学生的报名情况，得到如下数据．
项目
排球
篮球
足球
人数
10
15
15
根据此信息，估计该校480名初三学生报名足球的学生人数约为_____人．
14．已知在正六边形ABCDEF中，AB＝6，那么正六边形ABCDEF的面积等于_____．
15．如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设，那么向量用向量表示为_____．
16．小张、小王两个人从甲地出发，去8千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反映了小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是_____分钟．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，把△ABC绕着点B顺时针旋转，当点A与边BC上的点A′重合时，那么∠AA′B的余弦值等于_____．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在对角线BD上，联结AE，作EF⊥AE交边BC于F，若BF＝，那么BE＝_____．
三、解答题
19．计算：．
20．解方程组：．
21．如图，是一个地下排水管的横截面图，已知⊙O的半径OA等于50cm，水的深度等于25cm（水的深度指的中点到弦AB的距离）．
求：（1）水面的宽度AB．
（2）横截面浸没在水中的的长（结果保留π）．
22．A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气的管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设1千米．
（1）若两队同时开工，甲工程队每天铺设3千米，求乙工程队比甲工程队提前几天完成？
（2）若甲工程队提前3天开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两队每天各铺设管道多少千米？
23．如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，对角线BD平分∠ABC，点G在底边BC上，联结DG交对角线AC于F，∠DGB＝∠DAB．
（1）求证：四边形ABGD是菱形；
（2）联结EG，求证：BG•EG＝BC•EF．
24．已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．
（1）求直线y＝kx+b的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；
（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB的上方，求抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式．
25．已知在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，△ADE的顶点D在边BC上，AE交BC于点F（点F在点D的右侧），∠DAE＝30°．
（1）求证：△ABF∽△DCA；
（2）若AD＝ED．
①联结EC，当点F是BC的黄金分割点（FC＞BF）时，求．
②联结BE，当DF＝1时，求BE的长．
参考答案
1．B
【分析】
根据最简二次根式的概念，逐一判断即可．
【详解】
解：A、，不是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、是三次根式，不合题意；
D、是四次根式，不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了最简二次根式，熟悉掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2．D
【分析】
各式利用不等式的性质化简，判断即可．
【详解】
解：∵x＞y，
∴x﹣y＞0，ax＞ay（a＞0），x+2＞y+2，2﹣x＜2﹣y，
则可知，D一定正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
3．A
【分析】
设这个正比例函数解析式为，利用待定系数法把代入中求出即可得到解析式．
【详解】
解：设这个正比例函数解析式为，
∵正比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴这个正比例函数的解析式为：,
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
4．C
【分析】
根据中位数的定义得出最中间的数还是158厘米，从而选出正确答案．
【详解】
解：∵原来的中位数158厘米，将160厘米写成166厘米，最中间的数还是158厘米，
∴a＝158，
故选：C．
【点睛】
本题考查了中位数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
5．C
【分析】
根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再一一比较即可．
【详解】
解：依题意有4﹣2＜a＜4+2，
解得：2＜a＜6．
只有选项在范围内．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，熟悉掌握三角形的定义是解题的关键．
6．A
【分析】
结合题意，根据圆与圆位置关系的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，
∴AB＝5＝2+3，AC＝6＝2+4，BC＝6＜3+4
根据圆与圆之间的位置关系可知：⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆与圆之间位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆之间位置关系的性质，从而完成求解．
7．（x+2）（x﹣2）．
【分析】
利用平方差公式进行因式分解即可
【详解】
解：﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的基本方法是解题的关键．
8．1
【分析】
把x=2代人f（x）=，求得答案即可．
【详解】
解：当x＝2时，f（2）＝＝1，
故答案为：1．
【点睛】
考查了函数值的知识，解题的关键是代人后正确的计算，难度不大．
9．m＞1．
【分析】
根据反比例函数的性质可得m-1＞0，再解不等式即可．
【详解】
解：∵反比例函数y＝的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∴m﹣1＞0，
解得，m＞1．
故答案是：m＞1．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
10．x＝﹣1．
【分析】
把方程两边平方后求解，注意检验．
【详解】
把方程两边平方得x+2＝x2，
整理得（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x＝2或﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
故本题答案为：x＝﹣1．
【点睛】
本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
11．
【分析】
根据概率公式及整式方程的概念求解即可．
【详解】
解：∵在所列的6个方程中，整式方程有x+1＝0，x2﹣2x﹣1＝0，x4﹣1＝0这3个，
∴取到的方程是整式方程的概率是，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12．k＜1
【分析】
根据一元二次方程根的判别式计算即可；
【详解】
解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝k，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．
13．180
【分析】
结合题意，根据用样本估计总体的性质计算，即可得到答案．
【详解】
估计该校480名初三学生报名足球的学生人数约为：480×＝180（人）
故答案为：180．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体的知识；解题的关键是熟练掌握用样本估计总体的性质，从而完成求解．
14．54．
【分析】
根据正多边形的有关概念，可得出三角形圆心角的度数，再求出三角形的面积，由正边形可平均分成个相同的三角形，将求得的三角形面积乘6即可．
【详解】
解：连接OE、OD，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠EOD＝，
∵OE＝OD＝6，
∴△ODE是等边三角形，
作OH⊥ED于H，则OH＝OE•sin∠OED＝6×＝3，
∴S△ODE＝DE•OH＝×6×3＝9，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△ODE＝54．
故答案为：54．
【点睛】
本题主要考查了圆内接正多边形的计算，熟悉掌握圆内接正多边形的概念是解题的关键．
15．
【分析】
根据中线的性质可得OA＝2OD，根据平面向量三角形法则可求出，进而求出，根据平面向量三角形法则即可得答案．
【详解】
∵AD，BE是△ABC的中线，
∴OA＝2OD，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题考查三角形的重心的性质及平面向量的运算，熟练掌握重心的性质及平面向量的运算法则是解题关键．
16．6
【分析】
根据图象所给信息，利用待定系数法即可求出小王和小张路程的函数解析式，再把路程=8代入即可求出小王和小张行走8千米的时间，作差即可．
【详解】
解：由图像可知：
设OA的解析式为：y＝kx，
∵OA经过点（60，5），
∴5＝60k，得k＝，
∴OA函数解析式为：y＝x，
把y＝8代入y＝x得：8＝x，
解得：x＝96，
∴小张到达乙地所用时间为96（分钟）；
设PB的解析式为：y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴PB的解析式为：y＝x﹣1，
把y＝8代入y＝x﹣1得：8＝x﹣1，
解得：x＝90，
则小王到达乙地时间为小张出发后90（分钟），
∴小王比小张早到96﹣90＝6（分钟）．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
17．．
【分析】
作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD＝DC＝BC＝3，利用勾股定理求出AD，再根据旋转的性质可知，根据勾股定理可得，进而可得的余弦值．
【详解】
解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝4，BC＝6，
∴BD＝DC＝BC＝3，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴，
根据勾股定理，得
，
∴的余弦值等于,
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握旋转的性质是解题的关键．
18．
【分析】
连接AF，过点E作EH⊥BC于H，通过勾股定理可求得和的长度，从中可知点A，点B，点F，点E四点共圆，因此∠DBC＝∠EAF，利用三角函数的比值关系可求得，设EH＝3x，BH＝4x，利用勾股定理列出方程求得EH和BH的长度，再次利用勾股定理即可求出BE的长．
【详解】
解：如图，连接AF，过点E作EH⊥BC于H，
∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴BD＝，
∵AB＝3，BF＝，
∴AF＝，
∵，
∴点A，点B，点F，点E四点共圆，
∴∠DBC＝∠EAF，
∴sin∠DBC＝sin∠EAF＝，
∴，
∴EF＝，
∵tan∠DBC＝，
∴，
设EH＝3x，BH＝4x，
∵EF2＝FH2+EH2，
∴＝9x2+（4x﹣）2，
∴x＝或x＝（不合题意舍去），
∴EH＝，BH＝3，
∴BE＝，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角函数的定义，圆的性质，熟悉掌握图形的性质特点，合理作出辅助线是解题的关键．
19．．
【分析】
第一项用平方差公式解答，第二项用分母有理化化简，第三项用负指数幂解答，第四项用绝对值性质解答即可．
【详解】
解：原式＝3﹣2+
＝3﹣2+﹣1﹣﹣+1
＝．
【点睛】
本题考查了平方差公式，分母有理化，负指数幂，绝对值等知识，掌握这些知识点是解题的关键．
20．．
【分析】
变形组中的①代入②，求出一个未知数的值，再代入求出两一个未知数的值．
【详解】
解：，
由①，得y＝2x﹣1③．
把③代入②，得2x2+x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）2＝5，
整理，得3x＝6，
所以x＝2．
把x＝2代入③，得y＝2×2﹣1＝3．
∴原方程组的解为．
【点睛】
本题考查了解二次方程组，掌握一次方程的解法是解决本题的关键．
21．（1）50cm；（2）cm
【分析】
（1）过O作OH⊥AB于H，并延长交⊙O于D，根据圆的性质，计算得OH，再根据勾股定理计算，即可得到答案；
（2）连接OB，结合题意，根据含角的直角三角形性质，得∠OAH＝30°，从而计算得∠AOB；再根据弧长公式计算，即可完成求解．
【详解】
（1）过O作OH⊥AB于H，并延长交⊙O于D，
∴∠OHA＝90°，AH＝AB，，
∵水的深度等于25cm，即HD＝25cm
又∵OA＝OD＝50cm
∴OH＝OD-HD＝25cm
∴AH＝cm
∴AB＝50cm；
（2）连接OB，
∵OA＝50cm，OH＝25cm，
∴OH＝OA
∵∠OHA＝90°
∴∠OAH＝30°
∴∠AOH＝60°
∵OA＝OB，OH⊥AB
∴∠BOH＝∠AOH＝60°
∴∠AOB＝120°
∴的长是：cm．
【点睛】
本题考查了圆、勾股定理、含角的直角三角形、弧长的知识；解题的关键是熟练掌握圆、垂径定理、勾股定理、弧长计算的性质，从而完成求解．
22．（1）乙工程队比甲工程队提前1.5天完成；（2）甲工程队每天铺设管道2千米，乙工程队每天铺设管道3千米．
【分析】
（1）甲工程队每天铺设3千米，要铺设18千米，所需的天数为18÷3；乙工程队每天铺设（4+1）千米，铺设的长度为18千米，所需的天数为18÷（3+1），两者天数的差便是乙工程队提前的时间；
（2）设甲工程队每天铺设x千米，则乙工程队每天铺设（x+1）千米，根据等量关系：甲工程队完成管道铺设的天数−乙工程队完成铺设管道的天数=3，可列出方程，解方程即可．
【详解】
（1）甲工程队完成任务所需时间为18÷3＝6（天），
乙工程队完成任务所需时间为18÷（3+1）＝4.5（天）．
6﹣4.5＝1.5（天）．
答：乙工程队比甲工程队提前1.5天完成．
（2）设甲工程队每天铺设管道x千米，则乙工程队每天铺设管道（x+1）千米，
依题意得：，
整理得：x2+x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝2，
经检验，x1＝﹣3，x2＝2是原方程的解，x1＝﹣3不符合题意舍去，x2＝2符合题意，
∴x+1＝3（千米）．
答：甲工程队每天铺设管道2千米，乙工程队每天铺设管道3千米．
【点睛】
本题主要考查了分式方程在实际问题中的应用，关键是找到等量关系，设未知数，把等量关系中涉及到的量分别用代数式表示出来，然后列出方程即可．注意：这里列出的是分式方程，解方程后别忘了检验！
23．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）先证四边形ABGD是平行四边形，再由菱形的判定可得结论；
（2）由“SAS”可证△ABE≌△GBE，可得EG=AE，由相似三角形的性质可得，即可得结论．
【详解】
证明：（1）∵AD//BC，
∴∠DAB+∠ABG＝180°，∠DGB+∠ADG＝180°，
∵∠DGB＝∠DAB，
∴∠ABG＝∠ADG，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠GBD，
∵AD//BG，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠GBD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABGD是菱形；
（2）如图，连接EG，
∵四边形ABGD是菱形，
∴AB＝BG＝AD，∠ABE＝∠GBE，
在△ABE和△GBE中，
，
∴△ABE≌△GBE（SAS），
∴EG＝AE，
∵AD//BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴，
∵DF//AB，
∴，
∴，
∵AD＝BG，AE＝EG，
∴，
∴BG•EG＝BC•EF．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
24．（1）y＝x+2；（2）a≥；（3）y＝﹣x2+2x+2．
【分析】
（1）直线y=kx+b经过点A（-2，0），B（1，3）两点，将点坐标代入即得答案；
（2）用a表示顶点坐标，根据顶点不在第一象限，列出不等式即可解得a范围；
（3）延长PD交 x轴于M，对称轴与x轴交于N，首先求出D坐标，再根据直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，求出OM长度，又利用求出 PN列方程即可得答案．
【详解】
解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，
∴，解得，
∴直线y＝kx+b的表达式为y＝x+2；
（2）∵b＝2，
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b解析式为y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
∴顶点是（2，2﹣4a），
∵顶点不在第一象限，且在对称轴x＝2上，
∴顶点在第四象限或在x轴上，
∴2﹣4a≤0，即a≥；
（3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N，如图：
∵P在直线AB的上方，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），
∴开口向下，
∵直线y＝x+2与抛物线y＝ax2﹣4ax+2都经过（0，2），点C在点D的右侧，
∴D（0，2），
∴OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，
∴∠MDO＝30°，
Rt△MDO中，tan∠MDO＝，
∴tan30°＝，解得OM＝，
∵对称轴与x轴交于N，
∴OD∥PN，MN＝ON+OM＝2+，
∴，即，
∴PN＝2+2，
而P（2，2﹣4a），
∴2﹣4a＝2+2，
∴a＝﹣，
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式为：y＝﹣x2+2x+2．
【点睛】
】本题考查二次函数、一次函数等综合知识，难度较大，解题的关键是利用直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，求出OM长度．
25．（1）见解析；（2）①；②BE为或．
【分析】
(1)求出∠B、∠C,证明∠BAF=∠ADC即可；
(2)①证明△ABC∽△DAE，得到对应边成比例可证△ECF∽△ABF,从而 即可得出答案；
②作AH⊥BC于H,求出BC,利用△AB∽△DCA列方程求出BD=2或3,分情况画出图形分别求出BE．
【详解】
解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠DAE＝30°，
∴∠B＝∠C＝∠DAE，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠BAF＝∠DAE+∠BAD，
∴∠BAF＝∠ADC，
∴△ABF∽△DCA；
（2）①
∵△ABF∽△DCA，
∴，即，
∵AD＝ED，
∴∠DAE＝DEA，
∴∠DEA＝∠C，
∵∠DAE＝∠B，
∴△ABC∽△DAE，
∴，即，
∴，即，
∴，
∵∠EFC＝∠AFB，
∴△ECF∽△ABF，
∴，
∵点F是BC的黄金分割点（FC＞BF），
∴，
∴；
②作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC＝2BH，AH＝AB＝，BH＝得BC＝6，
∵△ABF∽△DCA，
∴，即CD•BF＝AB•AC，
设BD＝x，则CD＝6﹣x，
∵DF＝1，
∴BF＝x+1，
∴（6﹣x）•（x+1）＝×，解得x＝2或x＝3，
∴BD＝2或3，
当BD＝2时，BF＝3，即F为BC中点，如图：
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC，
∵AD＝AE，
∴AF＝EF，即BC垂直平分AE，
∴BE＝BA＝，
当BD＝3时，D为BC中点，如图：
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∠DAE＝30°，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠BAC＝60°，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°，
作DG⊥AE于G，
∴AG＝AD•cos30°＝，
∵AD＝DE，
∴AE＝2AG＝3，
∴BE＝，
综上所述，DF＝1时，BE为或．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质、相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是利用相似三角形性质求出BD的长度．
2021年上海市金山区中考数学二模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知x＞y，那么下列正确的是（ ）
A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y
3．已知正比例函数的图象经过点，那么这个正比例函数的解析式是（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x
4．某人统计九年级一个班35人的身高时，算出平均数与中位数都是158厘米，但后来发现其中一位同学的身高记录错误，将160厘米写成了166厘米，经重新计算后，正确的中位数是a厘米，那么中位数a应（ ）
A．大于158 B．小于158 C．等于158 D．无法判断
5．已知三条线段长分别为2cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（ ）
A．1cm B．2cm C．4cm D．7cm
6．已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）．
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
二、填空题
7．因式分解：﹣4＝_____．
8．已知f（x）＝，那么f（2）＝_____．
9．如果反比例函数y＝（m是常数，m≠1）的图象，在每个象限内y随着x的增大而减小，那么m的取值范围是_____．
10．方程的解是_____．
11．如果从方程x+1＝0，x2﹣2x﹣1＝0，x中任意选取一个方程，那么取到的方程是整式方程的概率是_____．
12．关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围______．
13．为了了解某校初三学生在体育测试中报名球类的情况，随机调查了40名学生的报名情况，得到如下数据．
项目
排球
篮球
足球
人数
10
15
15
根据此信息，估计该校480名初三学生报名足球的学生人数约为_____人．
14．已知在正六边形ABCDEF中，AB＝6，那么正六边形ABCDEF的面积等于_____．
15．如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设，那么向量用向量表示为_____．
16．小张、小王两个人从甲地出发，去8千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反映了小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是_____分钟．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，把△ABC绕着点B顺时针旋转，当点A与边BC上的点A′重合时，那么∠AA′B的余弦值等于_____．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在对角线BD上，联结AE，作EF⊥AE交边BC于F，若BF＝，那么BE＝_____．
三、解答题
19．计算：．
20．解方程组：．
21．如图，是一个地下排水管的横截面图，已知⊙O的半径OA等于50cm，水的深度等于25cm（水的深度指的中点到弦AB的距离）．
求：（1）水面的宽度AB．
（2）横截面浸没在水中的的长（结果保留π）．
22．A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气的管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设1千米．
（1）若两队同时开工，甲工程队每天铺设3千米，求乙工程队比甲工程队提前几天完成？
（2）若甲工程队提前3天开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两队每天各铺设管道多少千米？
23．如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，对角线BD平分∠ABC，点G在底边BC上，联结DG交对角线AC于F，∠DGB＝∠DAB．
（1）求证：四边形ABGD是菱形；
（2）联结EG，求证：BG•EG＝BC•EF．
24．已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．
（1）求直线y＝kx+b的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；
（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB的上方，求抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式．
25．已知在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，△ADE的顶点D在边BC上，AE交BC于点F（点F在点D的右侧），∠DAE＝30°．
（1）求证：△ABF∽△DCA；
（2）若AD＝ED．
①联结EC，当点F是BC的黄金分割点（FC＞BF）时，求．
②联结BE，当DF＝1时，求BE的长．
参考答案
1．B
【分析】
根据最简二次根式的概念，逐一判断即可．
【详解】
解：A、，不是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、是三次根式，不合题意；
D、是四次根式，不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了最简二次根式，熟悉掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2．D
【分析】
各式利用不等式的性质化简，判断即可．
【详解】
解：∵x＞y，
∴x﹣y＞0，ax＞ay（a＞0），x+2＞y+2，2﹣x＜2﹣y，
则可知，D一定正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
3．A
【分析】
设这个正比例函数解析式为，利用待定系数法把代入中求出即可得到解析式．
【详解】
解：设这个正比例函数解析式为，
∵正比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴这个正比例函数的解析式为：,
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
4．C
【分析】
根据中位数的定义得出最中间的数还是158厘米，从而选出正确答案．
【详解】
解：∵原来的中位数158厘米，将160厘米写成166厘米，最中间的数还是158厘米，
∴a＝158，
故选：C．
【点睛】
本题考查了中位数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
5．C
【分析】
根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再一一比较即可．
【详解】
解：依题意有4﹣2＜a＜4+2，
解得：2＜a＜6．
只有选项在范围内．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，熟悉掌握三角形的定义是解题的关键．
6．A
【分析】
结合题意，根据圆与圆位置关系的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，
∴AB＝5＝2+3，AC＝6＝2+4，BC＝6＜3+4
根据圆与圆之间的位置关系可知：⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆与圆之间位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆之间位置关系的性质，从而完成求解．
7．（x+2）（x﹣2）．
【分析】
利用平方差公式进行因式分解即可
【详解】
解：﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的基本方法是解题的关键．
8．1
【分析】
把x=2代人f（x）=，求得答案即可．
【详解】
解：当x＝2时，f（2）＝＝1，
故答案为：1．
【点睛】
考查了函数值的知识，解题的关键是代人后正确的计算，难度不大．
9．m＞1．
【分析】
根据反比例函数的性质可得m-1＞0，再解不等式即可．
【详解】
解：∵反比例函数y＝的图象在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∴m﹣1＞0，
解得，m＞1．
故答案是：m＞1．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
10．x＝﹣1．
【分析】
把方程两边平方后求解，注意检验．
【详解】
把方程两边平方得x+2＝x2，
整理得（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x＝2或﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
故本题答案为：x＝﹣1．
【点睛】
本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
11．
【分析】
根据概率公式及整式方程的概念求解即可．
【详解】
解：∵在所列的6个方程中，整式方程有x+1＝0，x2﹣2x﹣1＝0，x4﹣1＝0这3个，
∴取到的方程是整式方程的概率是，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12．k＜1
【分析】
根据一元二次方程根的判别式计算即可；
【详解】
解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝k，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．
13．180
【分析】
结合题意，根据用样本估计总体的性质计算，即可得到答案．
【详解】
估计该校480名初三学生报名足球的学生人数约为：480×＝180（人）
故答案为：180．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体的知识；解题的关键是熟练掌握用样本估计总体的性质，从而完成求解．
14．54．
【分析】
根据正多边形的有关概念，可得出三角形圆心角的度数，再求出三角形的面积，由正边形可平均分成个相同的三角形，将求得的三角形面积乘6即可．
【详解】
解：连接OE、OD，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠EOD＝，
∵OE＝OD＝6，
∴△ODE是等边三角形，
作OH⊥ED于H，则OH＝OE•sin∠OED＝6×＝3，
∴S△ODE＝DE•OH＝×6×3＝9，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△ODE＝54．
故答案为：54．
【点睛】
本题主要考查了圆内接正多边形的计算，熟悉掌握圆内接正多边形的概念是解题的关键．
15．
【分析】
根据中线的性质可得OA＝2OD，根据平面向量三角形法则可求出，进而求出，根据平面向量三角形法则即可得答案．
【详解】
∵AD，BE是△ABC的中线，
∴OA＝2OD，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】
本题考查三角形的重心的性质及平面向量的运算，熟练掌握重心的性质及平面向量的运算法则是解题关键．
16．6
【分析】
根据图象所给信息，利用待定系数法即可求出小王和小张路程的函数解析式，再把路程=8代入即可求出小王和小张行走8千米的时间，作差即可．
【详解】
解：由图像可知：
设OA的解析式为：y＝kx，
∵OA经过点（60，5），
∴5＝60k，得k＝，
∴OA函数解析式为：y＝x，
把y＝8代入y＝x得：8＝x，
解得：x＝96，
∴小张到达乙地所用时间为96（分钟）；
设PB的解析式为：y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴PB的解析式为：y＝x﹣1，
把y＝8代入y＝x﹣1得：8＝x﹣1，
解得：x＝90，
则小王到达乙地时间为小张出发后90（分钟），
∴小王比小张早到96﹣90＝6（分钟）．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
17．．
【分析】
作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD＝DC＝BC＝3，利用勾股定理求出AD，再根据旋转的性质可知，根据勾股定理可得，进而可得的余弦值．
【详解】
解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝4，BC＝6，
∴BD＝DC＝BC＝3，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴，
根据勾股定理，得
，
∴的余弦值等于,
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握旋转的性质是解题的关键．
18．
【分析】
连接AF，过点E作EH⊥BC于H，通过勾股定理可求得和的长度，从中可知点A，点B，点F，点E四点共圆，因此∠DBC＝∠EAF，利用三角函数的比值关系可求得，设EH＝3x，BH＝4x，利用勾股定理列出方程求得EH和BH的长度，再次利用勾股定理即可求出BE的长．
【详解】
解：如图，连接AF，过点E作EH⊥BC于H，
∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴BD＝，
∵AB＝3，BF＝，
∴AF＝，
∵，
∴点A，点B，点F，点E四点共圆，
∴∠DBC＝∠EAF，
∴sin∠DBC＝sin∠EAF＝，
∴，
∴EF＝，
∵tan∠DBC＝，
∴，
设EH＝3x，BH＝4x，
∵EF2＝FH2+EH2，
∴＝9x2+（4x﹣）2，
∴x＝或x＝（不合题意舍去），
∴EH＝，BH＝3，
∴BE＝，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角函数的定义，圆的性质，熟悉掌握图形的性质特点，合理作出辅助线是解题的关键．
19．．
【分析】
第一项用平方差公式解答，第二项用分母有理化化简，第三项用负指数幂解答，第四项用绝对值性质解答即可．
【详解】
解：原式＝3﹣2+
＝3﹣2+﹣1﹣﹣+1
＝．
【点睛】
本题考查了平方差公式，分母有理化，负指数幂，绝对值等知识，掌握这些知识点是解题的关键．
20．．
【分析】
变形组中的①代入②，求出一个未知数的值，再代入求出两一个未知数的值．
【详解】
解：，
由①，得y＝2x﹣1③．
把③代入②，得2x2+x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）2＝5，
整理，得3x＝6，
所以x＝2．
把x＝2代入③，得y＝2×2﹣1＝3．
∴原方程组的解为．
【点睛】
本题考查了解二次方程组，掌握一次方程的解法是解决本题的关键．
21．（1）50cm；（2）cm
【分析】
（1）过O作OH⊥AB于H，并延长交⊙O于D，根据圆的性质，计算得OH，再根据勾股定理计算，即可得到答案；
（2）连接OB，结合题意，根据含角的直角三角形性质，得∠OAH＝30°，从而计算得∠AOB；再根据弧长公式计算，即可完成求解．
【详解】
（1）过O作OH⊥AB于H，并延长交⊙O于D，
∴∠OHA＝90°，AH＝AB，，
∵水的深度等于25cm，即HD＝25cm
又∵OA＝OD＝50cm
∴OH＝OD-HD＝25cm
∴AH＝cm
∴AB＝50cm；
（2）连接OB，
∵OA＝50cm，OH＝25cm，
∴OH＝OA
∵∠OHA＝90°
∴∠OAH＝30°
∴∠AOH＝60°
∵OA＝OB，OH⊥AB
∴∠BOH＝∠AOH＝60°
∴∠AOB＝120°
∴的长是：cm．
【点睛】
本题考查了圆、勾股定理、含角的直角三角形、弧长的知识；解题的关键是熟练掌握圆、垂径定理、勾股定理、弧长计算的性质，从而完成求解．
22．（1）乙工程队比甲工程队提前1.5天完成；（2）甲工程队每天铺设管道2千米，乙工程队每天铺设管道3千米．
【分析】
（1）甲工程队每天铺设3千米，要铺设18千米，所需的天数为18÷3；乙工程队每天铺设（4+1）千米，铺设的长度为18千米，所需的天数为18÷（3+1），两者天数的差便是乙工程队提前的时间；
（2）设甲工程队每天铺设x千米，则乙工程队每天铺设（x+1）千米，根据等量关系：甲工程队完成管道铺设的天数−乙工程队完成铺设管道的天数=3，可列出方程，解方程即可．
【详解】
（1）甲工程队完成任务所需时间为18÷3＝6（天），
乙工程队完成任务所需时间为18÷（3+1）＝4.5（天）．
6﹣4.5＝1.5（天）．
答：乙工程队比甲工程队提前1.5天完成．
（2）设甲工程队每天铺设管道x千米，则乙工程队每天铺设管道（x+1）千米，
依题意得：，
整理得：x2+x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝2，
经检验，x1＝﹣3，x2＝2是原方程的解，x1＝﹣3不符合题意舍去，x2＝2符合题意，
∴x+1＝3（千米）．
答：甲工程队每天铺设管道2千米，乙工程队每天铺设管道3千米．
【点睛】
本题主要考查了分式方程在实际问题中的应用，关键是找到等量关系，设未知数，把等量关系中涉及到的量分别用代数式表示出来，然后列出方程即可．注意：这里列出的是分式方程，解方程后别忘了检验！
23．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）先证四边形ABGD是平行四边形，再由菱形的判定可得结论；
（2）由“SAS”可证△ABE≌△GBE，可得EG=AE，由相似三角形的性质可得，即可得结论．
【详解】
证明：（1）∵AD//BC，
∴∠DAB+∠ABG＝180°，∠DGB+∠ADG＝180°，
∵∠DGB＝∠DAB，
∴∠ABG＝∠ADG，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠GBD，
∵AD//BG，
∴∠ADB＝∠ABD＝∠GBD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABGD是菱形；
（2）如图，连接EG，
∵四边形ABGD是菱形，
∴AB＝BG＝AD，∠ABE＝∠GBE，
在△ABE和△GBE中，
，
∴△ABE≌△GBE（SAS），
∴EG＝AE，
∵AD//BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴，
∵DF//AB，
∴，
∴，
∵AD＝BG，AE＝EG，
∴，
∴BG•EG＝BC•EF．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
24．（1）y＝x+2；（2）a≥；（3）y＝﹣x2+2x+2．
【分析】
（1）直线y=kx+b经过点A（-2，0），B（1，3）两点，将点坐标代入即得答案；
（2）用a表示顶点坐标，根据顶点不在第一象限，列出不等式即可解得a范围；
（3）延长PD交 x轴于M，对称轴与x轴交于N，首先求出D坐标，再根据直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，求出OM长度，又利用求出 PN列方程即可得答案．
【详解】
解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，
∴，解得，
∴直线y＝kx+b的表达式为y＝x+2；
（2）∵b＝2，
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b解析式为y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
∴顶点是（2，2﹣4a），
∵顶点不在第一象限，且在对称轴x＝2上，
∴顶点在第四象限或在x轴上，
∴2﹣4a≤0，即a≥；
（3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N，如图：
∵P在直线AB的上方，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），
∴开口向下，
∵直线y＝x+2与抛物线y＝ax2﹣4ax+2都经过（0，2），点C在点D的右侧，
∴D（0，2），
∴OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∵直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，
∴∠MDO＝30°，
Rt△MDO中，tan∠MDO＝，
∴tan30°＝，解得OM＝，
∵对称轴与x轴交于N，
∴OD∥PN，MN＝ON+OM＝2+，
∴，即，
∴PN＝2+2，
而P（2，2﹣4a），
∴2﹣4a＝2+2，
∴a＝﹣，
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式为：y＝﹣x2+2x+2．
【点睛】
】本题考查二次函数、一次函数等综合知识，难度较大，解题的关键是利用直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，求出OM长度．
25．（1）见解析；（2）①；②BE为或．
【分析】
(1)求出∠B、∠C,证明∠BAF=∠ADC即可；
(2)①证明△ABC∽△DAE，得到对应边成比例可证△ECF∽△ABF,从而 即可得出答案；
②作AH⊥BC于H,求出BC,利用△AB∽△DCA列方程求出BD=2或3,分情况画出图形分别求出BE．
【详解】
解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠DAE＝30°，
∴∠B＝∠C＝∠DAE，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠BAF＝∠DAE+∠BAD，
∴∠BAF＝∠ADC，
∴△ABF∽△DCA；
（2）①
∵△ABF∽△DCA，
∴，即，
∵AD＝ED，
∴∠DAE＝DEA，
∴∠DEA＝∠C，
∵∠DAE＝∠B，
∴△ABC∽△DAE，
∴，即，
∴，即，
∴，
∵∠EFC＝∠AFB，
∴△ECF∽△ABF，
∴，
∵点F是BC的黄金分割点（FC＞BF），
∴，
∴；
②作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，
∴BC＝2BH，AH＝AB＝，BH＝得BC＝6，
∵△ABF∽△DCA，
∴，即CD•BF＝AB•AC，
设BD＝x，则CD＝6﹣x，
∵DF＝1，
∴BF＝x+1，
∴（6﹣x）•（x+1）＝×，解得x＝2或x＝3，
∴BD＝2或3，
当BD＝2时，BF＝3，即F为BC中点，如图：
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC，
∵AD＝AE，
∴AF＝EF，即BC垂直平分AE，
∴BE＝BA＝，
当BD＝3时，D为BC中点，如图：
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∠DAE＝30°，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠BAC＝60°，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°，
作DG⊥AE于G，
∴AG＝AD•cos30°＝，
∵AD＝DE，
∴AE＝2AG＝3，
∴BE＝，
综上所述，DF＝1时，BE为或．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质、相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是利用相似三角形性质求出BD的长度．
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