2021年上海市崇明区中考二模数学试卷

这是一份2021年上海市崇明区中考二模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. −8 的立方根是
A. 2B. −2C. −4D. 18

2. 下列方程中，没有实数根的是
A. x+1=0B. x2−1=0C. x+1=0D. x+1=0

3. 一次函数 y=−2x−1 的图象不经过
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

4. 将一组数据中的每一个数据都加上 3，那么所得的新数据组与原数据组相比，没有改变大小的统计量是
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差

5. 在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是
A. 这两个图形都是轴对称图形B. 这两个图形都不是轴对称图形
C. 这两个图形都是中心对称图形D. 这两个图形都不是中心对称图形

6. 已知同一平面内有 ⊙O 和点 A 与点 B，如果 O 的半径为 3 cm，线段 OA=5 cm，线段 OB=3 cm，那么直线 AB 与 ⊙O 的位置关系为
A. 相离B. 相交C. 相切D. 相交或相切

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：4a3÷2a= ．

8. 化简：xx2−2x= ．

9. 不等式组 2x−4>0,x−3<0 的解集是 ．

10. 如果 x=1 是关于 x 的方程 x+k=x 的一个实数根，那么 k= ．

11. 如果一个反比例函数的图象经过点 2,3，那么它在各自的象限内，当自变量 x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐 ．

12. 某件商品进价为 100 元，实际售价为 110 元，那么该件商品的利润率为 ．

13. 在一所有 1500 名学生的中学里，调查人员随机调查了 50 名学生，其中有 40 人每天都喝牛奶，那么在这所学校里，随便询问 1 人，每天都喝牛奶的概率是 ．

14. 正五边形的中心角的度数是 ．

15. 如果一个等腰梯形的周长为 50 厘米，一条腰长为 12 厘米，那么这个梯形的中位线长为 厘米．

16. 在 △ABC 中，点 G 为重心，点 D 为边 BC 的中点，设 AB=a，BC=b，那么 GD 用 a，b 表示为 ．

17. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 P 为射线 BC 上的一个动点，过点 P 的直线 PQ 垂直于 AP 与直线 CD 相交于点 Q，当 BP=5 时，CQ= ．

18. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰直角三角形 OAB 的斜边 OA 在 x 轴上，且 OA=4，如果抛物线 y=ax2+bx+c 向下平移 4 个单位后恰好能同时经过 O，A，B 三点，那么 a+b+c= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：4+∣2−3∣−12+3−30．

20. 解方程组：x+y=2, ⋯⋯①x2+2xy−3y2=0. ⋯⋯②

21. 如图，⊙O 是 △ABC 的外接圆，AB=5，BC=8，sinB=35．
（1）求边 AC 的长；
（2）求 ⊙O 的半径长．

22. 为配合崇明“花博会”，花农黄老伯培育了甲、乙两种花木各若干株．如果培育甲、乙两种花木各一株，那么共需成本 500 元；如果培育甲种花木 3 株和乙种花木 2 株，那么共需成本 1200 元．
（1）求甲、乙两种花木每株的培育成本分别为多少元?
（2）市场调查显示，甲种花木的市场售价为每株 300 元，乙种花木的市场售价为每株 500 元．黄老伯决定在将成本控制在不超过 30000 元的前提下培育两种花木，并使总利润不少于 18000 元．若黄老伯培育的乙种花木的数量比甲种花木的数量的 3 倍少 10 株，请问黄老伯应该培育甲、乙两种花木各多少株?

23. 已知：如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，点 E 在下底 BC 上，∠AED=∠B．
（1）求证：CE⋅AD=DE2；
（2）求证：CEAD=AB2AE2．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x−3 分别交 x 轴、 y 轴于 A，B 两点，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A 和点 B，且其顶点为 D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求 ∠BAD 的正切值；
（3）设点 C 为抛物线与 x 轴的另一个交点，点 E 为抛物线的对称轴与直线 y=x−3 的交点，点 P 是直线 y=x−3 上的动点，如果 △PAC 与 △AED 是相似三角形，求点 P 的坐标．

25. 如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，点 F 在边 AD 上，EF⊥BD，垂足为 G．
（1）如图 2，当矩形 ABCD 为正方形时，求 DGGB 的值．
（2）如果 DGGB=15，AF=x，AB=y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出函数定义域．
（3）如果 AB=4 cm，以点 A 为圆心，3 cm 长为半径的 ⊙A 与以点 B 为圆心的 ⊙B 外切．以点 F 为圆心的 ⊙F 与 ⊙A，⊙B 都内切．求 DGGB 的值．
答案
第一部分
1. B【解析】∵−23=−8，
∴−8 的立方根是 −2．
2. C【解析】方程 x+1=0 的解是 x=−1，故选项A有实数根；
方程 x2−1=0 的解是 x=±1，故选项B有实数根；
方程 x+1=0 移项后得 x=−1，因为算术平方根不能为负，故选项C没有实数根；
方程 x+1=0 的解为 x=−1，故选项D有实数根．
3. A【解析】对于一次函数 y=−2x−1，
∵k=−2<0，
∴ 图象经过第二、四象限；
又 ∵b=−1<0，
∴ 一次函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，即函数图象还经过第三象限，
∴ 一次函数 y=−2x−1 的图象不经过第一象限．
故选：A．
4. D【解析】将一组数据中的每一个数据都加上 3，那么所得的新数据组与原数据组相比波动幅度一致，即两组数据的方差相等．
5. B
【解析】A．等腰三角形和等腰梯形都是轴对称图形，是可能的，因此选项A不符合题意；
B．等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中有 3 个图形是轴对称图形，故这两个图形都不是轴对称图形是不可能事件，因此选项B符合题意；
C．平行四边形和矩形都是中心对称图形，是可能的，因此选项C不符合题意；
D．等腰三角形和等腰梯形都不是中心对称图形，是可能的，因此选项D不符合题意；
故选：B．
6. D【解析】∵⊙O 的半径为 3 cm，线段 OA=5 cm，线段 OB=3 cm，
即点 A 到圆心 O 的距离大于圆的半径，点 B 到圆心 O 的距离等于圆的半径，
∴ 点 A 在 ⊙O 外．点 B 在 ⊙O 上，
∴ 直线 AB 与 ⊙O 的位置关系为相交或相切．
第二部分
7. 2a2
8. 1x−2
【解析】原式=xxx−2=1x−2．
9. 2【解析】解不等式 2x−4>0，得：x>2，
解不等式 x−3<0，得：x<3，
则不等式组的解集为 2故答案为：210. 0
【解析】把 x=1 代入方程，得 1+k=1，
两边平方，得 1+k=1，
解得 k=0．
经检验，k=0 符合题意．
故答案为：0．
11. 减小
【解析】设反比例函数的解析式为 y=kxk≠0，
∵ 反比例函数图象过点 2,3，
∴k=2×3=6>0，
∴ 反比例函数的图象在一、三象限，
根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内 y 随 x 的增大而减小．
12. 10%
【解析】根据题意得：110−100÷100=10÷100=10%，
则该件商品的利润率为 10%．
13. 45
【解析】在这所学校里，随便询问 1 人，每天都喝牛奶的概率是 4050=45，
故答案为：45．
14. 72∘
【解析】正五边形的中心角为：360∘5=72∘．
15. 13
【解析】∵ 等腰梯形的周长为 50 厘米，一条腰长为 12 厘米，
∴ 两底的和 =50−12×2=26（厘米），
∴ 这个梯形的中位线长为 12×26=13（厘米）．
16. 13a+16b
【解析】如图，
∵D 是 BC 的中点，
∴BD=12BC=12b，
∴AD=AB+BD=a+12b，
∵G 是重心，
∴GD=13AD，
∴GD=13a+16b．
故答案为：13a+16b．
17. 53
【解析】如图，
∵BP=5，BC=4，
∴CP=1，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ=90∘=∠ABC，
∴∠APB+∠BAP=90∘=∠APB+∠BPQ，
∴∠BAP=∠BPQ，
又 ∵∠ABP=∠PCQ=90∘，
∴△ABP∽△PCQ，
∴ABCP=BPCQ，
∴31=5CQ，
∴CQ=53．
18. 52
【解析】∵ 等腰直角三角形 OAB 的斜边 OA 在 x 轴上，且 OA=4，
∴A4,0，B2,−2，
抛物线 y=ax2+bx+c 向下平移 4 个单位后得到 y=ax2+bx+c−4，
∵ 平移后恰好能同时经过 O，A，B 三点，
∴c−4=0,16a+4b+c−4=0,4a+2b+c−4=−2, 解得 a=12,b=−2,c=4,
∴a+b+c=12−2+4=52．
第三部分
19. 原式=2+2−3−2−3−1=2+2−3−2+3−1=1.
20. 由②，得
x+3yx−y=0,
所以
x+3y=0, ⋯⋯③
或
x−y=0, ⋯⋯④
由①③，①④可组成新的方程组：
x+y=2,x+3y=0,x+y=2,x−y=0.
解这两个方程组，得
x=3,y=−1,x=1,y=1.
所以原方程组的解为：x1=3,y1=−1, x2=1,y2=1.
21. （1） 如图，过点 A 作 AH⊥BC 于 H，
∵sinB=AHAB=35，AB=5，
∴AH=3，
∴BH=AB2−AH2=25−9=4，
∵CH=BC−BH，
∴CH=4，
∴AC=AH2+CH2=16+9=5．
（2） 如图 2，连接 OB，OC，AO，AO 交 BC 于点 E，
∵AB=AC=5，OC=OB，
∴AO 是 BC 的垂直平分线，
∴BE=EC=4，
∴AE=AB2−BE2=25−16=3，
∵BO2=BE2+OE2，
∴BO2=16+OB−32，
∴BO=256．
22. （1） 设甲种花木每株的培育成本为 x 元，乙种花木每株的培育成本为 y 元，
依题意得：
x+y=500,3x+2y=1200.
解得：
x=200,y=300.
答：甲种花木每株的培育成本为 200 元，乙种花木每株的培育成本为 300 元．
（2） 设黄老伯应该培育甲种花木 m 株，则应该培育乙种花木 3m−10 株，
依题意得：
200m+3003m−10≤30000,300−200m+500−3003m−10≥1800.
解得：
2007≤m≤30,
由 ∵m 为整数，
∴m=29或30，
∴3m−10=77或80．
答：黄老伯应该培育甲种花木 29 株、乙种花木 77 株或甲种花木 30 株、乙种花木 80 株．
23. （1） ∵ 梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C，AB=DC，∠ADE=∠DEC，
∵∠AED=∠B，
∴∠C=∠AED，
∴△ADE∽△DEC，
∴ADDE=DEEC，
∴CE⋅AD=DE2．
（2） ∵△ADE∽△DEC，
∴ADDE=DEEC=AECD，
∴DEAD⋅ECDE=CDAE⋅CDAE，
∴CEAD=AB2AE2．
24. （1） 在 y=x−3 中，
x=0 时，y=−3，
y=0 时，x=3，
∴A3,0，B0,−3，
把 A3,0，B0,−3 代入 y=x2+bx+c 得：c=−3,9+3b+c=0,
解得 b=−2,c=−3,
∴ 抛物线的表达式为 y=x2−2x−3．
（2） ∵y=x2−2x−3=x−12−4，
∴D1,−4，
又 ∵A3,0，B0,−3，
∴AD=3−12+0−−42=25，
BD=0−12+−3−−42=2，
AB=3−02+0−−32=32，
∵AB2+BD2=322+22=20，
AD2=252=20，
∴AB2+BD2=AD2，
∴△ABD 是直角三角形，且 ∠ADB=90∘，
∴tan∠BAD=BDAB=232=13．
（3） ∵OA=OB=3，∠AOB=90∘，
∴∠1=∠2=45∘，
又 ∵DE∥OB，
∴∠3=∠2=45∘，
∴∠AED=135∘，
又 ∵△PAC 与 △AED 相似，∠1=45∘，
∴ 点 P 在 x 轴上方，
且 ACAE=APDE 或 ACDE=APAE，
在 y=x−3 中，x=1 时，y=−2，
在 y=x2−2x−3 中，y=0 时，x1=−1，x2=3，
∴E1,−2，C−1,0，
∴AC=3−−1=4，
DE=−2−−4=2，
AE=3−12+0−−22=22，
∴422=AP2 或 42=AP22，
解得：AP=22 或 AP=42，
过点 P 作 PQ⊥x 轴于点 Q，
又 ∵∠4=∠1=45∘，
∴△PAQ 是等腰直角三角形，
当 AP=22 时，AQ=2，此时 P5,2，
当 AP=42 时，AQ=4，此时 P7,4，
综上所述，P 点坐标为 5,2 或 7,4．
25. （1） 如图，延长 FE 交 BC 的延长线于点 M，
设正方形 ABCD 的边长为 k，
则 AB=BC=CD=AD=k，
∵E 为 CD 中点，
∴DE=CE=12k，
∵ 正方形 ABCD 中，∠ADC=90∘，∠BDC=12∠ADC，
∴∠BDC=45∘，
∵EF⊥BD，
∴∠DEF=45∘，
∴∠DFE=45∘，
∴DF=DE=12k，
∵ 正方形 ABCD 中，AD∥BC，
∴DFCM=DEEC=1，
∴CM=DF=12k，
∵AD∥BC，
∴DGGB=DFBM=12kk+12k=13．
（2） 如图，延长 FE 交 BC 的延长线于 M，
设 DF=a，则 CM=a，
∵DGGB=DFBM，DGGB=15，
∴BM=5a，BC=4a，
∴AF=x=3a，
∴a=13x，
∴DF=13x，
∵AB=y，
∴DE=12y，
∵∠ADC=90∘，EF⊥BD，
∴∠ADB=∠DEF，
∴tan∠ADB=tan∠DEF，
∴ABAD=DFDE，
∴x43x=13x12y，
∴y2=89x2，
∵x>0，y>0，
∴y 与 x 的函数关系式为 y=22x3，
函数定义域为：x>0．
（3） 设 ⊙F 的半径为 r cm，则根据题意得：
⊙B 的半径为 1 cm，
AF=∣r−3∣cm，BF=∣r−1∣cm，
∵ 矩形 ABCD 中，∠A=90∘，
∴AF2+AB2=BF2，
∴r−32+42=r−12，
∴r=6，
即 ⊙F 的半径为 6 cm，
∴AF=3 cm，
∵tan∠ADB=tan∠DEF，
∴4AD=AD−32，
∴AD2−3AD−8=0，
∴AD=3+412 或 AD=3−412（舍去），
∴DGGB=DFBM=3+412−33+412+3+412−3=41−34182．