2019-2020学年广东省深圳市龙华区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省深圳市龙华区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 如图是一段空心的钢管，则它的主视图是
A. B.
C. D.

2. 方程 xx−2=0 的根为
A. x=0B. x=2C. x1=0，x2=2D. x1=0，x2=−2

3. 如图，已知四边形 ABCD 是正方形，E 是 AB 延长线上一点，且 BE=BD，则 ∠BDE 的度数是
A. 22.5∘B. 30∘C. 45∘D. 67.5∘

4. 如图，已知 D，E 分别为 AB，AC 上的两点，且 DE∥BC，AE=2CE，AB=6，则 AD 的长为
A. 3B. 4C. 5D. 6

5. 关于函数 y=2x，下列判断正确的是
A. 当 x 增大时，y 减小
B. 该函数的图象在第二、四象限
C. 该函数的图象是抛物线
D. 若点 a,b 在该函数的图象上，则点 b,a 也在该函数的图象上

6. 如图，有一斜坡 AB 的长 AB=10 米，坡角 ∠B=36∘，则斜坡 AB 的铅垂高度 AC 为
A. 10sin36∘B. 10cs36∘C. 10tan36∘D. 10sin36∘

7. 如图，已知点 D，E 是 △ABC 中 AB 边上的点，△CDE 是等边三角形，∠ACB=120∘，则下列结论中错误的是
A. AC2=AD⋅ABB. BC2=BE⋅AB
C. DE2=AD⋅BED. AC⋅BC=AE⋅BD

8. 如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形 ABCD 是黄金矩形，且 AD>AB，AD=2，点 E 是 AD 上一点，点 G 是 CD 上一点，将 △ABE 沿直线 BE 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，再将 △DEG 沿直线 EG 折叠，使点 D 落在 EF 上的点 H 处，则 FH 的长为
A. 5−1B. 5−12C. 3−5D. 25−4

9. 如图，是二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 图象的一部分，对称轴是直线 x=1，与 y 轴的交点是 0,3，则下列结论中正确的是
A. a>0
B. 2a+b>0
C. 当 03
D. 关于 x 的方程 ax2+bx+c−3=0 有两个相等的实数根

10. 下列命题中是真命题的是
A. 对角线相等且互相平分的四边形是菱形
B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C. 对角线相等且互相平分的四边形是正方形
D. 相似三角形对应高的比等于相似比

11. 某商场在销售一种糖果时发现，如果以 20元/kg 的单价销售，则每天可售出 100 kg，如果销售单价每增加 0.5 元，则每天销售量会减少 2 kg．该商场为使每天的销售额达到 1800 元，销售单价应为多少?设销售单价应为 x元/kg，依题意可列方程为
A. 20+x100−2x=1800B. 20+x100−2x0.5=1800
C. x100−x−200.5×2=1800D. x100−2x−20=1800

12. 如图，已知函数 y1=−x+3 的图象与 x 轴交于点 B，与函数 y2=kxk>0 的图象交于 C，D 两点，以 OC，OD 为邻边作平行四边形 OCED．下列结论中：
① OC=OD；
②若 k=2，则当 1y2；
③若 k=2，则平行四边形 OCED 的面积为 3；
④若 ∠COD=45∘，则 k=2．
其中正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 若 x=1 是方程 2x2−2x+c=0 的一个根，则 c= ______．

14. 如图，在 △ABC 中，已知 ∠C=35∘，AD 是 BC 边上的高，且 AD2=BD⋅CD，则 ∠B 的度数是 ．

15. 如图，小亮要测量一座钟塔的高度 CD，他在与钟塔底端处在同一水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记 E，当他站在 B 处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记 E 重合．已知 B，E，D 在同一直线上，小亮的眼睛离地面的高度 AB=1.6 m，BE=1.4 m，DE=14.7 m，则钟塔的高度 CD 为 m．

16. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 6，E 为 BC 的中点，将 △ABE 沿直线 AE 折叠后，点 B 落在点 F 处，AF 交对角线 BD 于点 G，则 FG 的长是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：2tan60∘cs30∘−sin245∘．

18. 已知二次函数 y=x2+bx+c 经过 1,6，−3,2 两点，请求出该二次函数的表达式，并直接写出它与 x 轴、与 y 轴的交点的坐标．

19. 如图，是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上分别标上 2，1，−1 三个数字．小明转动转盘，小亮猜结果，如果转盘停止后指针指向的结果与小亮所猜的结果相同，则小亮获胜，否则小明获胜．
（1）如果小时转动转盘一次，小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是 ．
（2）如果小明连续转动转盘两次，小亮猜两次的结果都是“正数”，请用画树状图或列表法求出小亮获胜的概率．

20. 某兴趣小组借无人机航拍测量湖 AB 的宽度，如图，当无人机位于 C 处时，从湖边 A 处测得 C 处的仰角 ∠CAB=60∘，当无人机沿水平方向飞行至 D 处时，从湖边 A 处测得 D 处的仰角 ∠DAB=30∘，从湖边 B 处测得 D 处的仰角 ∠DBA=45∘，且 CD=60 m．
（1）求这架无人机的飞行高度；（结果保留根号）
（2）求湖的宽度 AB．（结果保留根号）

21. 如图，某公司要建一个矩形的产品展示台，展示台的一边靠长为 9 m 的宣传版（这条边不能超出宣传版），另三边用总长为 40 m 的红布粘贴在展示台边上．设垂直于宣传版的一边长为 x m．
（1）当展示台的面积为 128 m2 时，求 x 的值；
（2）设展示台的面积为 y m2，求 y 的最大值．

22. 如图，已知四边形 ABCD 中，AB⊥AD，BC∥AD，E 为 AB 的中点，且 EC，ED 分别为 ∠BCD，∠ADC 的角平分线，EF⊥CD 交 BC 的延长线于点 G，连接 DG．
（1）求证：CE⊥DE；
（2）若 AB=6，求 CF⋅DF 的值；
（3）当 △BCE 与 △DFG 相似时，BCAD 的值是 ．

23. 已知二次函数 y=ax2−4ax+4a>0 的图象与 y 轴交于点 C，过点 C 作 CD∥x轴 交该函数的图象于点 D，过点 D 作 DE∥y轴 交 x 轴于点 E，已知点 F1,0，连接 DF．
（1）请求出该函数图象的顶点坐标（用含 a 的代数式表示）；
（2）如图，若该二次函数的图象的顶点落在 x 轴上，P 为对称轴右侧抛物线上一点；
①连接 PD，PE，PF，若 S△PDE=S△PDF，求点 P 的坐标；
②若 ∠PFD=12∠DEF，点 P 的横坐标为 m，则 m 的值为 ．
答案
第一部分
1. B【解析】从正面看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线．
2. C【解析】∵xx−2=0，
∴x=0 或 x−2=0，
解得：x1=0，x2=2．
故选：C．
3. A【解析】∵BE=DB，
∴∠BDE=∠E，
∵∠DBA=∠BDE+∠BED=45∘，
∴∠BDE=12×45∘=22.5∘．
故选：A．
4. B【解析】∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAC，
∵AE=2CE，AB=6，
∴AD=23AB=4，
故选：B．
5. D
【解析】A、在每一个象限内当 x 增大时，y 减小，故原题说法错误；
B、该函数的图象在第一、三象限，故原题说法错误；
C、该函数图象是双曲线，故原题说法错误；
D、若点 a,b 在该函数的图象上，则点 b,a 也在该函数的图象上，故此选项说法正确；
故选：D．
6. A【解析】由题意可得：sinB=ACAB，
即 sin36∘=AC10，
故 AC=10sin36∘．
故选：A．
7. D【解析】如图所示：
∵△CDE 是等边三角形，
∴∠CDE=60∘，
又 ∵∠ADC+∠CDE=180∘，
∴∠ADC=120∘，
又 ∵∠ACB=120∘，
∴∠ADC=∠ACB，
在 △ADC 和 △ACB 中，
∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,
∴△ADC∽△ACBAA，
∴ACAB=ADAC，
∴AC2=AB⋅AD，即答案A正确；
同理可证：△CEB∽△ACBAA，
∴BCAB=BEBC，
∴BC2=AB⋅BE，即答案B正确；
∵∠ACD=∠B，∠ADC=∠CEB=120∘，
∴△ACD∽△CEBAA，
∴CDBE=ADCE，
∴CD⋅CE=AD⋅BE，
又 ∵CD=DE=EC，
∴DE2=AD⋅BE，即答案C正确；
∵△ACE 与 △BDC 不相似，
∴AC⋅BC=AE⋅BD 不成立，即答案D错误．
故选：D．
8. D【解析】∵ 矩形 ABCD 是黄金矩形，且 AD>AB，AD=2，
∴AB=5−12AD=5−1，
∵△ABE 沿直线 BE 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，
∴AB=BF=5−1，∠BFE=∠A=90∘，
∴ 四边形 ABFE 为正方形，
∴AE=EF=AB=5−1，
同理可得四边形 DEHG 为正方形，
∴EH=DE=AD−AE=2−5−1=3−5，
∴HF=EF−EH=5−1−3−5=25−4．
9. C【解析】A.抛物线开口下，故 a<0，不符合题意；
B.函数对称轴为：x=−b2a=1，解得：b=−2a，故不符合题意；
C.由图象可以看出当 03，符合题意；
D. ax2+bx+c−3=0，当 y=3 时，y=3 与二次函数 y=ax2+bx+c 有两个交点，故不符合题意；
故选：C．
10. D
【解析】A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故A选项错误；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故B选项错误；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故C选项错误；
D、相似三角形对应高的比等于相似比，故D选项错误．
故选：D．
11. C【解析】由题意可得，
x100−x−200.5×2=1800．
12. C【解析】① ∵ 函数 y1=−x+3 的图象与函数 y2=kxk>0 的图象交于 C，D 两点，
解 y=−x+3,y=kx 得 x=3+9−4k2,y=3−9−4k2 和 x=3−9−4k2,y=3+9−4k2,
∴C3−9−4k2,3+9−4k2，D3+9−4k2,3−9−4k2，
根据勾股定理求得 OD=OC，故①正确；
②若 k=2，解 y=−x+3,y=2x 得 x=1,y=2 或 x=2,y=1,
∴C1,2，D2,1，
根据图象，当 1y2，故②正确；
③ ∵ 平行四边形 OCED 中，OC=OD，
∴ 四边形 OCED 是菱形，
若 k=2，则 C1,2，D2,1，
∴E3,3，
根据勾股定理求得 CD=2，OE=32，
∴ 四边形 OCED 的面积为：12CD⋅OE=12×2×32=3，故③正确：
④若 ∠COD=45∘，根据菱形的性质 ∠COE=22.5∘，
∵E3,3，
∴OE 平分 ∠AOB，
∴∠AOE=45∘，
∴ 必须有 ∠AOC=∠COE=22.5∘，
由③可知，若 k=2，则 CD=2，
那么 PC=22，
而 C2,1，PC≠CQ，
∴ 若 ∠COD=45∘，则 k=2 不成立，故④错误．
第二部分
13. 0
【解析】解：把 x=1 代入方程 2x2−2x+c=0，
得 2×12−2×1+c=0，
解得 c=0．
故答案是：0．
14. 55∘
【解析】因为 AD 是 BC 边上的高，
所以 ∠ADB=∠CDA=90∘．
所以 AD2=BD⋅CD，
所以 ADCD=BDAD，
所以 △ADB∽△CDA，
所以 ∠B=∠CAD=90∘−∠C=55∘．
故答案为：55∘．
15. 16.8
【解析】∵ AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ ∠ABE=∠CDE=90∘，
∵ ∠AEB=∠CED，
∴ △ABE∽△CDE，
∴ ABCD=BEDE，
∴ 1.6CD=1.414.7，
∴ CD=16.8 m
故答案为：16.8．
16. 127
【解析】延长 AF，EF 分别交 CD 于 H，M，连接 AM，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADC=90∘，
∵ 将 △ABE 沿直线 AE 折叠后，点 B 落在点 F 处，
∴AB=AF，∠ABE=∠AFE=90∘，
∴∠ADM=∠AFM=90∘，AF=AD，
∵AM=AM，
∴Rt△ADM≌Rt△AFMHL，
∴DM=FM，
∵E 为 BC 的中点，BC=CD=6，
∴CE=3，
设 DM=FM=x，则 CM=6−x，EM=3+x，
∵EM2=CM2+CE2，
∴3+x2=32+6−x2，
解得：x=2，
∴DM=FM=2，
∵∠MFH=∠ECM=90∘，∠HMF=∠CME，
∴△MFH∽△MCE，
∴MFCM=FHCE=MHME，
∴24=FH3=MH5，
∴MH=2.5，FH=1.5，
∴AH=6+1.5=7.5，DH=4.5，
∵AB∥DH，
∴△AGB∽△HGD，
∴ABDH=AGGH，
∴64.5=AG7.5−AG，
∴AG=307，
∴GF=AF−AG=127，
故答案为：127．
第三部分
17. 原式=23×32−222=3−12=52.
18. 把 1,6，−3,2 两点代入二次函数 y=x2+bx+c
得：1+b+c=6,9−3b+c=2,，
解得：b=3,c=2,，
故二次函数解析式为：y=x2+3x+2，
当 y=0 时，0=x2+3x+2
则 x+1x+2=0，
解得：x1=−1，x2=−2，
故抛物线与 x 轴交点：−2,0 或 −1,0，
当 x=0 时，y=2，
故抛物线与y轴交点：0,2．
19. （1） 23
【解析】∵ 每个扇形上分别标上 2，1，−1 三个数字，其中是“正数”的有 2 个数，
∴ 小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是 23；
故答案为：23．
（2） 根据题意画图如下：
共有 9 种等情况数，其中两次的结果都是“正数”的有 4 种，
∴ 小亮获胜的概率是 49．
20. （1） 作 CE⊥AB 于 E，DF⊥AB 于 F，如图．
∴CE=DF，EF=CD=60，
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠DAB=30∘，
∵∠CAD=∠CAB−∠DAB=60∘−30∘=30∘，
∴CA=CD=60，
在 Rt△ACE 中，AE=12AC=30，
CE=3AE=303．
答：这架无人机的飞行高度为 303 米．
（2） 易得四边形 CDFE 为矩形，则 EF=CD=60，DF=CE=303，
在 Rt△BDF 中，
∵∠DBA=45∘，
∴BF=DF=303，
∴AB=AE+EF+BF=30+60+303=90+303 米．
答：湖的宽度 AB 为 90+303 米．
21. （1） 由题意 x40−2x=128，解得 x=4 或 16，
当 x=4 时，40−2x=32>9，不合题意；
∴x 的值为 16．
（2） 由题意 y=x40−2x=−2x2+40x=−2x−102+200．
∵40−2x≤9，
∴x≥312，
∴ 当 x=312 时，y=−2312−102+200=139.5．
y 的最大值为 139.5．
22. （1） ∵EC，ED 分别为 ∠BCD，∠ADC 的角平分线，
∴∠BCE=∠DCE，∠ADE=∠CDE，
∵BC∥AD，
∴∠BCD+∠ADC=180∘，
∴2∠ECD+2∠EDC=180∘，
∴∠ECD+∠EDC=90∘，
∴∠CED=90∘．
即 CE⊥DE．
（2） ∵∠EAD=∠EFD，∠ADE=∠FDE，DE=DE，
∴△EAD≌△EFDAAS，
∴EF=EA，
∵E 为 AB 的中点，
∴AE=EF=3，
∵∠CED=90∘，
∴∠CEF+∠FED=90∘，
∵EF⊥CD，
∴∠FED+∠EDF=90∘，
∴∠CEF=∠EDF，
∴△CFE∽△EFD，
∴EFCF=DFEF，
即 CF⋅DF=EF⋅EF，
∴CF⋅DF=9．
（3） 13 或 12
【解析】①当 △BCE∽△FGD 时，
∵∠BCE=∠AED，
∴∠FED=∠FGD，
∴ED=DG，
∴∠EDF=∠GDF，
∴△EDC≌△GDCSAS，
∴∠ECD=∠GCD，
∵∠BCE+∠ECD+∠DCG=180∘，
∴∠BCE=∠AED=60∘，
∴BC=3，AD=33．
∴BCAD=13．
②当 △BCE∽△FDG 时，∠BCE=∠FDG，
∵∠BCE=∠ECF，
∴∠ECF=∠FDG，
∴EC∥DG，
∴∠BCE=∠CGD，
∴∠CGD=∠FDG，
∴CD=CG．
∵S△CDG=12CD⋅FG=12CG⋅AB，
∴FG=AB=6．
∵EC∥DG，
∴CFDF=EFFG，
∴BCAD=36=12．
综合以上可得 BCAD 的值为 13 或 12．
故答案为：13 或 12．
23. （1） 函数的对称轴为：x=2，
故顶点坐标为：2,4−4a．
（2） 顶点落在 x 轴上，则 4−4a=0，解得：a=1，
故抛物线的表达式为：y=x2−4x+4, ⋯⋯①
①如图，连接 DP 并延长交 x 轴于点 H，点 D4,4，
S△PDE=S△PDF，则点 H 为 E，F 的中点，点 H52,0，
由点 D，H 的坐标得，直线 DH 的表达式为：y=83x−1, ⋯⋯②
联立①②并解得：x=83，
故 P83,49；
② 29+2914 或 19+2094
【解析】②当点 P 在 FD 下方时，如图，
设延长 FP 交 DE 于点 H，过点 H 作 HM⊥DF，
EF=3，DE=4，则 FD=5，tan∠FDE=34=tanα，则 sinα=34，
设 MH=3x=FM，则 MD=4x，DH=5x，
则 FD=FM+MD=7x=5，解得：x=57，
HE=DE−DH=4−5x=37，故点 H4,37，
由点 H，F 坐标可得，直线 FH 的表达式为：y=17x−1, ⋯⋯③
联立①③并解得：x=29+2914=m；
当点 P 在 FD 上方时，
同理可得：m=19+2094．