人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线综合训练题

小练椭圆，双曲线，抛物线

1. 已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线C的焦点和顶点，则双曲线C的方程为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的标准方程和几何性质的运用，为基础题．
由题意设双曲线C的方程为，根据椭圆的方程和题干条件，进而求出双曲线方程中焦点和顶点，从而得出结果．
【解答】解：依题意，设双曲线C的方程为，
因为椭圆的长轴端点和焦点坐标分别是，，
所以双曲线C的焦点和顶点坐标分别为，，
所以，，从而，
所以双曲线C的方程为，
故选C．
 

2. 对抛物线，下列描述正确的是

A. 开口向上，焦点为 B. 开口向上，焦点为
C. 开口向右，焦点为 D. 开口向上，焦点为

【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查抛物线的几何性质．
化成标准方程即可求解

【解答】解：抛物线方程，
化成标准方程形式为，
可得其开口向上，焦点坐标为．
故选A．
 

3. 已知双曲线过点，渐进线方程为，则双曲线的标准方程是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】【分析】
本题考查双曲线的几何性质，关键是由渐近线方程设出双曲线的方程，考查学生分析问题解决问题的能力．
根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为，将点代入其中可得，解可得的值，变形即可得答案．
【解答】

解：根据题意，双曲线的渐进线方程为，
则可以设其方程为，
又由其过点，则有，
解可得：，
则双曲线的标准方程为：；
故选C．

4. 如图，椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的值为

A.
B. 84
C. 3
D. 21

 

【答案】D

【解析】【分析】本题考查了椭圆，双曲线的性质及几何意义，考查学生的推理计算能力，属于中档题．
根据题目设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为根据椭圆和双曲线的定义可求出和的值，即可求出
【解答】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为．
由椭圆方程可得，，，
由椭圆定义可得， 
由双曲线方程可得，，，
由双曲线定义可得， 
联立方程，解得，，
所以故选D．
 

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

5. 若双曲线的渐进线方程为，则焦点到渐进线的距离为________．

【答案】

【解析】【分析】
本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离，考查学生的运算能力，属于基础题．
先根据双曲线的渐近线方程求出m的值，然后求出双曲线的焦点坐标，最后根据点到线的距离公式可得到答案．
【解答】
解：因为双曲线的渐进线方程为，
所以，解得，
所以，
所以
双曲线的焦点坐标为：，，
所以焦点到渐进线的距离为．
故答案为．
 

6. 若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则          ．

【答案】

【解析】【分析】本题考查了抛物线和双曲线的性质和标准方程，属于基础题．
分别写出准线方程和焦点坐标即可求解．

【解答】解：由题意，知双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，
所以，所以．
 

7. 有一个焦点为且与双曲线有相同渐进线的双曲线标准方程是______．

【答案】

【解析】【分析】
本题的考点是双曲线的标准方程，主要考查待定系数法求双曲线的标准方程，属于中档题．
先求出双曲线的渐近线方程，然后根据焦点在y轴，可设双曲线方程为，根据条件求出，，即可求出答案．
【解答】 
解：双曲线的渐近线方程为
设焦点为的双曲线方程为，
依题意可得，解得，，
所求双曲线方程为， 
故答案为．
 

8. 若点在抛物线上，F为抛物线的焦点，则          ．

【答案】5

【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．
由于抛物线的准线方程为，再由抛物线的定义可得的值．

【解答】解：由题意，知抛物线的准线方程为，
点A到准线的距离为，
因为AF的长度等于点A到准线的距离，
所以．
 

9. 抛物线的焦点F的坐标为________，若直线与此抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为________．

【答案】；4

【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质，是中档题．
由抛物线方程求得焦点坐标，令，可求得y，进而求得弦AB的长．
【解答】解：因为抛物线的方程为，
所以，
所以焦点F的坐标为．
令，则，即，
所以．