（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷 数学（3）

（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷

数 学（三）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知是实数集，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

3．将甲、乙、丙、丁、戊名护士派往、、、四家医院，每所医院至少派名护士，则不同的派法总数有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

4．在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

5．某学校计划周一到周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》、《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能再周一和周四演，《茶馆》不能在周一和周三演，《天籁》不能在周三和周四演，《马蹄声碎》不能在周一和周四演，那么下列说法正确的是（    ）

A．《雷雨》只能在周二上演 B．《茶馆》可能在周二或者周四上演

C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D．四部话剧都可能在周二上演

6．年月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：

两个旅游团队计划游览该景点．若分别购票，则共需支付门票费元；若合并成个团队购票，

则需支付门票费元，那么这两个旅游团队的人数之差为（    ）

A． B． C． D．

7．已知是边长为的等边三角形，其中为边的中点，的平分线交线段于点，则（    ）

A． B． C． D．

8．设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，且，则不等式的解集为（    ）

A．  B．

C．  D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．下列判断正确的是（    ）

A．抛物线与直线仅有一个公共点

B．双曲线与直线仅有一个公共点

C．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则

D．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则

10．函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（    ）

A．函数在上单调递增

B．函数的图象关于直线对称

C．当时，函数的最小值为

D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位

11．已知，均为正实数，且，则（    ）

A．的最小值为 B．的最小值为

C．的最大值为 D．的最大值为

12．甲罐中有个红球，个白球和个黑球；乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中结论正确的为（    ）

A．  B．

C．事件与事件不相互独立 D．，，是两两互斥的事件

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知正三角形(为坐标原点)的顶点，在抛物线上，则的边长是________．

14．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为，，，，，，，…，则第个括号内各数之和为________．

15．瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数，棱数及面数满足等式，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮，简洁的公式之一．如图是一个面数为的多面体（其表面仅由正方形和正三角形围成），根据欧拉多面体公式可求得其棱数_______．

16．如图，在侧棱长为的正三棱锥中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点，且点到点的距离始终等于，则动点在三棱锥表面形成的曲线的长度为_________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．

问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求的面积．

18．（12分）已知等比数列满足，．

（1）定义：首项为且公比为正数的等比数列为“数列”，证明：数列是“数列”；

（2）记等差数列的前项和记为，已知，，求数列的前项的和．

19．（12分）双十一购物狂欢节，是指每年月日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)年月日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：

（1）作出两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；

（2）填写下面关于店铺个数的列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为销售量与电商平台有关；

（3）生产商要从这个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在以上的概率是多少？

附：，．

20．（12分）如图，在中，，，点在上，交于，交于．沿将翻折成，使平面平面；沿将翻折成，使平面平面．

（1）求证：平面；

（2）设，当为何值时，二面角的大小为？

21．（12分）已知函数，其中．

（1）讨论函数的极值；

（2）设，当时，若不等式对任意恒成立，求的最小值．

22．（12分）如图，椭圆的离心率为，轴被曲线

截得的线段长等于的长半轴长．

（1）求，的方程；

（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，，直线，分别与相交与，．

①证明：；

②记，的面积分别是．问：是否存在直线，使得?请说明理由．

（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷

数 学（三）答 案

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】D

【解析】∵或，，

即，，

所以，所以，故选D．

2．【答案】D

【解析】，它为纯虚数，

则，解得，故选D．

3．【答案】C

【解析】首先将名护士分成组，共有，

再将名护士往、、、四家医院，共有种派法，

故选C．

4．【答案】C

【解析】在正方体中，，

所以异面直线与所成角为，

如图设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，

所以，则，故选C．

5．【答案】C

【解析】由题目可知，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，

故选C．

6．【答案】B

【解析】由题意，不能被整除，所以两个部门的人数之和为，

（1）若，则，可得，……①

由共需支付门票为元，可知，………②

联立方程组，可得，（舍去）；

（2）若，则，可得，……③

由共需支付门票为元，可知，，可得，…④

联立方程组可得，，

所以两个部门的人数之差为，故选B．

7．【答案】D

【解析】设交于点，如图，由题意可得点为的重心，

则，，，

所以，

故选D．

8．【答案】A

【解析】∵对任意的，，都有，

∴在上是增函数，

令，则，∴为偶函数，

∴在上是减函数，且，

∴，

当时，，即，解得；

当时，，即，解得，

综上所述：的解集为，故选A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．【答案】BD

【解析】对于A，抛物线与直线方程，

联立方程，消去，可得，，

所以抛物线与直线有两个公共点，故A错误；

对于B，双曲线的渐近线方程为，直线与渐近线平行，

故双曲线与直线仅有一个公共点，故B正确；

对于C，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，

解得，故C错误；

对于D，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确，

故选BD．

10．【答案】AD

【解析】由函数的最大值为，可得，，因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，

所以函数的最小正周期满足，

所以，，

又的图象关于点对称，所以，即，

所以，，

当时，，

所以函数在上单调递增，故A正确；

当时，，

所以直线不是函数图象的对称轴，故B错误；

当时，，，故C错误；

将的图象向右平移个单位可得的函数为：

，

故D正确，

故选AD．

11．【答案】AC

【解析】对于A，∵，∴，

当且仅当等号成立，故A正确；

对于B，由已知得，

∴，故B错误；

对于C，由，得，

当且仅当等号成立，故C正确；

对于D，由已知得，

当且仅当等号成立，故的最小值为，故D错误，

故选AC．

12．【答案】BCD

【解析】∵甲罐中有个红球，个白球和个黑球；乙罐中有个红球，个白球和个黑球．

先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，

分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；

再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，

对A，，故A错误；

对B，，故B正确；

对C，当发生时，，当不发生时，，

∴事件与事件不相互独立，故C正确；

对D，，，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确，

故选BCD．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】如图，设的边长为，则，

∵点在抛物线上，∴，∴，故答案为．

14．【答案】

【解析】括号里的数的规律是：每三个括号算一组，里面的数个数都是个，

所以到第个括号时，共有个数，且第个括号里的数有个，

又数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，

所以第个括号里的第一个数是，

所以第个括号里的数是，

所以第个括号里的数之和为，

故答案为．

15．【答案】

【解析】该多面体面数，由图知，顶点数，

根据欧拉多面体公式，得棱数，故答案为．

16．【答案】

【解析】设动点在三棱锥表面形成曲线是，如图所示．

则，

在直角三角形中，，

∴，，∴，同理，

在直角三角形中，，，

∴，

在等边三角形中，，∴，

则这条曲线的长度为，

故答案为．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】条件选择见解析，的面积为或．

【解析】选①由，得，

又，所以．

选②由，得，解得，

又，所以．

选③由，得，

得，

又，所以．

又因为，所以．

由，所以或．

当时，，

又因为，所以，，所以面积；

当时，，所以，

又因为，所以，所以面积．

18．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：由题意可设公比为，则，得，

，得或，

∴数列是“数列”．

（2）设数列的公差为，易得，得，

∴，得，

由（1）知，若，则，

∴，

若，则，∴，

∴①

∴②

①-②得，

∴，

∴．

19．【答案】（1）茎叶图见解析，电商平台的销售更好，理由见解析；（2）列联表见解析，没有的把握认为销售量与电商平台有关；（3）．

【解析】（1）由已知数据作出茎叶图如下：

由茎叶图可知：电商平台的销售更好，理由如下：

①由茎叶图可知，电商平台销售量的中位数为，电商平台销售量的中位数为，因此电商平台的销售更好．

②由茎叶图可求得电商平台销售量的平均数为，电商平台销售量的平均数为，因此电商平台的销售更好．

（2）由题中数据，可得列联表如下：

∴，

∴没有的把握认为销售量与电商平台有关．

（3）由已知数据，销售量前五名的店铺，销售量分别为，，，，．

设对应的店铺分别为．

从其中选取三个店铺共有种情况，如下：，，，，，，，，，，

其中恰好有两个店铺的销售量在以上的情况有种：

，，，，，，

∴其中恰好有两个店铺的销售量在以上的概率．

20．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）因为，平面，所以平面，

因为平面平面，且，所以平面，

同理，平面，所以，从而平面，

所以平面平面，从而平面．

（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．

则，，，，

，，．

平面的一个法向量，平面的一个法向量．

由，

化简得，解得．

21．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）由题意，函数，

可得（），

当，即时，

令，得；令，得，

所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，

故在处取得极大值，且极大值为，无极小值；

当，即时，

令，得；令，得或，

所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，

在区间内单调递减，故在处取得极大值，且极大值为，

在处取得极小值，且极小值为；

当，即时，恒成立，单调递减，无极值；

当，即时，同理可得在区间内单调递减，

在区间内单调递增，在区间内单调递减，

故在处取得极小值，在处取得极大值，

综上所述，当时，的极小值为，极大值为；

当时，无极值；

当时，的极小值为，极大值为；

当时，的极大值为，无极小值．

（2），

设，，则，

当时，，

设，则，所以在上单调递增．

又，，

所以，使得，即，．

当时，，；

当时，，，

所以函数在内单调递增，在内单调递减，

所以，

因为函数在内单调递增，所以，

因为对任意的恒成立，

又，所以的最小值是．

22．【答案】（1），；（2）①证明见解析；②满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和．

【解析】（1）由题意知，从而，

又，解得，，

故，的方程分别为，．

（2）①由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，

由，得，

设，，则是上述方程的两个实根，

于是，．

又点的坐标为，

所以

，

故，即．

②设直线的斜率为，则直线的方程为，

由，解得或，

则点的坐标为，

又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．

于是，

由，得，

解得或，

则点的坐标为；

又直线的斜率为，同理可得点的坐标，

于是，

因此，

由题意知，解得或．

又由点的坐标可知，，所以．

故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和．